第 二 章 热 传 导 方 程
§1 热传导方程定解问题提
1 均匀细杆直径假设截面温度相杆表面周围介质发生热交换服规律
假设杆密度热热传导系数试导出时温度满足方程
解：引坐标系：杆称轴轴时杆温度记杆截面面积假设意时刻流入截面坐标段细杆热量
杆表面周围介质发生热交换作动热源假设时刻截面段中产生热量
时刻截面段温度变化需热量
热量守恒原理：
消令精确关系：
中
2 试直接推导扩散程满足微分方程
解：扩散介质中取闭曲面包围区域 时刻流入闭曲面溶质中扩散系数
浓度变需溶质
两者应该相等奥高公式：
中做孔积系数孔隙体积般情形意性方程：
3 砼(混凝土)部储藏着热量称水化热浇筑逐渐放出放热速度储藏水化热成正表示单位体积中储热量初始时刻储热量中常数假设砼热密度热传导系数求浇温度满足方程
解： 水化热视热源假设放热速度
单位时间产生热量原书71页(17)式
4 设均匀导线处周围常数温度介质中试证常电流作导线温度满足微分方程
中分表示导体电流强度电阻系数表示横截面周长表示横截面面积表示导线介质热交换系数
解：问题视热源杆热传导问题原71页(17)(18)式知方程取形式
中单位体积单位时间产生热量
常电流产生单位长度电阻电流作功
功热量单位长度产生热量中024功热量
单位体积时间产生热量
常温度热交换产生(视动热源)节第题出
中细杆直径代入
热源迭加代入求：
5* 设物体表面绝温度时外界辐射出热量斯忒波耳兹曼(StefanBoltzman)定律正
假设物体周围介质间辐射没热传导假设物体周围介质绝温度已
知函数问时该物体热传§导问题边界条件应叙述？
解：假设边界辐射热量交换辐射出热量辐射进热量热量传导定律边界条件：
§2 混合问题分离变量法
1． 分离变量法求列定解问题解：
解：设代入方程边值
求非零解
应Ｔ
初始值
解
２．分离变量法求解热传导方程混合问题
解：设代入方程边值
求非零解 n12……
应Ｔ
解
始值
３．果长度均匀细棒周围两端处均匀等绝热初
始温度分布问时刻温度分布？证明等常数时恒
解：解定解问题
设代入方程边值
求非零解：
时通解
边值
相
视未知数齐次线性代数方程组非零必需零
齐次线性代数方程组非零解代数知必需
单调增函数没非零解
时通解
边值
意非零解
时通解
边值
相
非零必需必需
时应
取正整数负整数应样取
应解T
应解T
迭加性质解
始值
时
4．区域中求解定解问题
中均常数均已知函数
[提示：作变量代换]
解：提示引满足
分离变量法满足方程边值条件解
始值
5．长度均匀细杆初始温度端点保持常温侧面热量发散周围介质中介质温度取时杆温度分布函数满足述定解问题：
试求出
解：引满足齐次方程齐次边值代入方程边值计算满足：
通解
边值
解
时满足：
设代入方程边值条件
求非零解时非零解时通解
边值
非零解必须
令
穷数正根设
应T
中满足方程
始值
应满足方程计算
中满足
解法：设满足取
代入边值
解
时满足
非齐次方程分离变量法
中应齐次方程特征函数前解知
代入方程
完备正交函数系 展成级数
正交性
级数代入等式右端满足方程
始值
解方程通解 ＇
解
6半径a半圆形板表面绝热板圆周边界保持常温直径边
界保持常温圆板稳恒状态温度分布
解：引入极坐标求稳恒状态温度分布化解定解问题
（拉普斯方程极坐标系形式推导见第三章题3）中引入边界条件限时做然边界条件实际情况引入引
满足
设代入方程
移项
右边r函数左边函数恒等必须常数记分开写出
齐次边值
前讨知
应R满足方程
尤拉方程设代入
两线性关特解通解
然边界条件限知 处限必需迭加性质知
满足方程齐次边值然边界条件
§ 3 柯 西 问 题
1． 求述函数富里埃变换：
(1)
(2) (a > 0)
(3) (a > 0 k然数)
解：(1)
（柯西定理）
者
积分
C
F[]2I(P)
(2)
+
2
(3) F[ ]
2．证明f(x)绝积时F(f)连续函数
证：实数p
关p 绝致收敛积分取极限g(p)关p 连续函数
3．富里埃变换求解三维热传导方程柯西问题
：
解：令
问题作富里埃变换
解
卷积定理
4证明（320）表示函数满足非齐次方程(315)初始条件（316）
证：证
满足定解问题
原书85页已证解表达式中第项满足
需证第二项满足
第项第二项关积函数满足
记第二项积函数
显然证
5． 求解热传导方程（322）柯西问题已知
（1）
(2)
(3) 延拓法求解半界直线热传导方程（322）假设
解： （1）sinx界
(2) 1+x界 表达式
收敛满足方程
易验满初始条件
（3）解公式
知需开拓x值意义积分分两
第中换
边界条件
式成立需
作奇开拓解公式
6．证明函数
变量满足方程
变量满足方程
证：验证
理
仿
7．证明果分列两问题解
定解问题
解
证： 验证
8．导出列热传导方程柯西问题解表达式
解：题需分求出
解然相迭加
9．验证二维热传导方程柯西问题
解表达式
证：第6题知函数满足方程需证明积
分号求导二次需证明积分号求导积分致收敛
x求导次
限列积分
绝致收敛充分积分
绝致收敛绝性充分积函数变号出致性充分性判法找出优函数第三积分优函数
收敛
右端致收敛积分积致收敛积分绝致收敛积分
讨类似证明表达式满足方程
证满足始值取点
写成
取
连续性找时
§4 极值原理定解问题解唯性稳定性
1． 方程解矩形R侧边超
B底边超M证明时矩形R满足等式：
推出述混合问题唯性稳定性
证：令满足R边界
热传导方程极值原理知R
唯性：混合问题两解满足
估计
推出
解唯
稳定性：混合问题两解满足
满足估计
满足解稳定
2． 利证明热传导方程极值原理方法证明满足方程函数
界闭区域值会超境界值
证：反证法表值表边界值定理成立內点
作函数
中直径
R点取值该点处：
方面
矛盾假设成立证毕
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第 二 章 热 传 导 方 程
§1 热传导方程定解问题提
1 均匀细杆直径假设截面温度相杆表面周围介质发生热交换服规律
假设杆密度热热传导系数试导出时温度满足方程
解：引坐标系：杆称轴轴时杆温度记杆截面面积假设意时刻流入截面坐标段细杆热量
杆表面周围介质发生热交换作动热源假设时刻截面段中产生热量
时刻截面段温度变化需热量
热量守恒原理：
消令精确关系：
中
2 试直接推导扩散程满足微分方程
解：扩散介质中取闭曲面包围区域 时刻流入闭曲面溶质中扩散系数
浓度变需溶质
两者应该相等奥高公式：
中做孔积系数孔隙体积般情形意性方程：
3 砼(混凝土)部储藏着热量称水化热浇筑逐渐放出放热速度储藏水化热成正表示单位体积中储热量初始时刻储热量中常数假设砼热密度热传导系数求浇温度满足方程
解： 水化热视热源假设放热速度
单位时间产生热量原书71页(17)式
4 设均匀导线处周围常数温度介质中试证常电流作导线温度满足微分方程
中分表示导体电流强度电阻系数表示横截面周长表示横截面面积表示导线介质热交换系数
解：问题视热源杆热传导问题原71页(17)(18)式知方程取形式
中单位体积单位时间产生热量
常电流产生单位长度电阻电流作功
功热量单位长度产生热量中024功热量
单位体积时间产生热量
常温度热交换产生(视动热源)节第题出
中细杆直径代入
热源迭加代入求：
5* 设物体表面绝温度时外界辐射出热量斯忒波耳兹曼(StefanBoltzman)定律正
假设物体周围介质间辐射没热传导假设物体周围介质绝温度已
知函数问时该物体热传§导问题边界条件应叙述？
解：假设边界辐射热量交换辐射出热量辐射进热量热量传导定律边界条件：
§2 混合问题分离变量法
1． 分离变量法求列定解问题解：
解：设代入方程边值
求非零解
应Ｔ
初始值
解
２．分离变量法求解热传导方程混合问题
解：设代入方程边值
求非零解 n12……
应Ｔ
解
始值
３．果长度均匀细棒周围两端处均匀等绝热初
始温度分布问时刻温度分布？证明等常数时恒
解：解定解问题
设代入方程边值
求非零解：
时通解
边值
相
视未知数齐次线性代数方程组非零必需零
齐次线性代数方程组非零解代数知必需
单调增函数没非零解
时通解
边值
意非零解
时通解
边值
相
非零必需必需
时应
取正整数负整数应样取
应解T
应解T
迭加性质解
始值
时
4．区域中求解定解问题
中均常数均已知函数
[提示：作变量代换]
解：提示引满足
分离变量法满足方程边值条件解
始值
5．长度均匀细杆初始温度端点保持常温侧面热量发散周围介质中介质温度取时杆温度分布函数满足述定解问题：
试求出
解：引满足齐次方程齐次边值代入方程边值计算满足：
通解
边值
解
时满足：
设代入方程边值条件
求非零解时非零解时通解
边值
非零解必须
令
穷数正根设
应T
中满足方程
始值
应满足方程计算
中满足
解法：设满足取
代入边值
解
时满足
非齐次方程分离变量法
中应齐次方程特征函数前解知
代入方程
完备正交函数系 展成级数
正交性
级数代入等式右端满足方程
始值
解方程通解 ＇
解
6半径a半圆形板表面绝热板圆周边界保持常温直径边
界保持常温圆板稳恒状态温度分布
解：引入极坐标求稳恒状态温度分布化解定解问题
（拉普斯方程极坐标系形式推导见第三章题3）中引入边界条件限时做然边界条件实际情况引入引
满足
设代入方程
移项
右边r函数左边函数恒等必须常数记分开写出
齐次边值
前讨知
应R满足方程
尤拉方程设代入
两线性关特解通解
然边界条件限知 处限必需迭加性质知
满足方程齐次边值然边界条件
§ 3 柯 西 问 题
1． 求述函数富里埃变换：
(1)
(2) (a > 0)
(3) (a > 0 k然数)
解：(1)
（柯西定理）
者
积分
C
F[]2I(P)
(2)
+
2
(3) F[ ]
2．证明f(x)绝积时F(f)连续函数
证：实数p
关p 绝致收敛积分取极限g(p)关p 连续函数
3．富里埃变换求解三维热传导方程柯西问题
：
解：令
问题作富里埃变换
解
卷积定理
4证明（320）表示函数满足非齐次方程(315)初始条件（316）
证：证
满足定解问题
原书85页已证解表达式中第项满足
需证第二项满足
第项第二项关积函数满足
记第二项积函数
显然证
5． 求解热传导方程（322）柯西问题已知
（1）
(2)
(3) 延拓法求解半界直线热传导方程（322）假设
解： （1）sinx界
(2) 1+x界 表达式
收敛满足方程
易验满初始条件
（3）解公式
知需开拓x值意义积分分两
第中换
边界条件
式成立需
作奇开拓解公式
6．证明函数
变量满足方程
变量满足方程
证：验证
理
仿
7．证明果分列两问题解
定解问题
解
证： 验证
8．导出列热传导方程柯西问题解表达式
解：题需分求出
解然相迭加
9．验证二维热传导方程柯西问题
解表达式
证：第6题知函数满足方程需证明积
分号求导二次需证明积分号求导积分致收敛
x求导次
限列积分
绝致收敛充分积分
绝致收敛绝性充分积函数变号出致性充分性判法找出优函数第三积分优函数
收敛
右端致收敛积分积致收敛积分绝致收敛积分
讨类似证明表达式满足方程
证满足始值取点
写成
取
连续性找时
§4 极值原理定解问题解唯性稳定性
1． 方程解矩形R侧边超
B底边超M证明时矩形R满足等式：
推出述混合问题唯性稳定性
证：令满足R边界
热传导方程极值原理知R
唯性：混合问题两解满足
估计
推出
解唯
稳定性：混合问题两解满足
满足估计
满足解稳定
2． 利证明热传导方程极值原理方法证明满足方程函数
界闭区域值会超境界值
证：反证法表值表边界值定理成立內点
作函数
中直径
R点取值该点处：
方面
矛盾假设成立证毕
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