极坐标与直角坐标、普通方程与参数方程 的互相转化


    1 极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化 一、直角坐标的伸缩 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ: 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩      )( )( 0, 0,   yy xx 变换,简称伸缩变换.平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换Error!下,直线 仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成 圆(重点考察). 【强化理解】 1.曲线 C 经过伸缩变换 后,对应曲线的方程为:x2+y2=1,则曲线 C 的方程为(  ) A. B. C. D.4x2+9y2=1 【解答】解:曲线 C 经过伸缩变换 ①后,对应曲线的方程为:x′2+y′2=1②, 把①代入②得到: 故选:A 2、在同一直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换:由曲线 4x2+9y2=36 变成曲线 x′2+y′2 =1. 【解答】解:设变换为φ: 可将其代入 x′2+y′2=1,得λ2x2+μ2y2=1. {x′=λx(λ > 0), y′=μy(μ > 0),) 将 4x2+9y2=36 变形为 + =1, x2 9 y2 4 比较系数得λ= ,μ= . 1 3 1 22 所以 将椭圆 4x2+9y2=36 上的所有点的横坐标变为原来的 ,纵坐标变为原来的 , { x′=1 3x, y′=1 2y.) 1 3 1 2 可得到圆 x′2+y′2=1. 亦可利用配凑法将 4x2+9y2=36 化为 + =1,与 x′2+y′2=1 对应项比较即可得(x 3 )2 (y 2 )2 { x′=x 3, y′=y 2.)二、极坐标 1.公式: (1)极坐标与直角坐标的互化公式如下表: 点 M 直角坐标 ,x y 极坐标 ,  互化 公式 cos sin x y          2 2 2 tan 0 x y y xx        已知极坐标化成直角坐标 已知直角坐标化成极坐标 2.极坐标与直角坐标的转化 (1)点:有关点的极坐标与直角转化的思路 A:直角坐标 ,x y 化为极坐标 ,  的步骤 ①运用   2 2 2 tan 0 x y y xx        ②在 0,2 内由  tan 0y xx   求 时,由直角坐标的符号特征判断点所在的象限. 3 B::极坐标 ,  化为直角坐标 ,x y 的步骤,运用 cos sin x y        (2)直线:直线的极坐标与直角坐标转化的思路 A:直角坐标转化成极坐标 思路:直接利用公式 cos sin x y        ,将式子里面的 x 和 y 用 转化,最后整理化简即可。  sincos 和 例如:x+3y-2=0:用公式将 x 和 y 转化,即 02-sin3cos   B:极坐标转化成直角坐标 类型①:直接转化---直接利用公式转化 例如:ρ( cosθ+sinθ)=1 2 思路:第一步:去括号,ρ cosθ+ρsinθ=1 2 第二步:用公式 cos sin x y        转化,即 12  yx 类型②:利用三角函数的两角和差公式,即    2 sin 2 cosk k        或 思路:第一步:利用两角和差公式把 sin(θ±α)或 cosθ±α)化开,特殊角的正余弦值化成数字,整理 化简 第二步:利用公式 cos sin x y        转化 例如:直线 的极坐标方程是 l 2 sin 3 33       解:第一步:利用两角和差公式把 sin(θ±α)或 cosθ±α)化开特殊角的正余弦值化成数字,整理化简, 即 4 33cos3sin33)cos2 3sin2 1233)3sincos3cossin2   (( 第二步:第二步:利用公式 cos sin x y        转化 0333,33333cos3sin  yxxy即 类型③:,该直线经过原点(极点),对应的直角角可以不是特殊角)为倾斜角,可以是特殊(  坐标方程为 kxx即ytanαy  例如: ( 0)3    思路:直接代入 033  yxxyx ,33yx3 3x即y3tany  (注:直线的直角坐标方程一般要求写成一般式:Ax+By+C=0) 三、曲线极坐标与直角坐标互换 (一)圆的直角与极坐标互换 1.圆的极坐标转化成直角坐标 类型一:  sincos  详解:一般 要转化成 x、y 都需要跟 搭配,一对一搭配。  sin,cos  所以两边同时乘以 ,即  0--,sincos 22222  yxyxyxyx 即 类型二: 2 没有三角函数时,可以考虑两边同时平方 5 44 222  yx即 2.圆的直角坐标转化成极坐标 3)1()4( 22  yx 解题方法一:拆开--公式代入 014sin2cos8014280312168 22222  yxyxyyxx 即 解题方法二:代入-拆-合 031sin2sin16cos8cos3)1sin()4cos( 222222   即 014sin2cos8014sin2cos8)sin(cos 2222   即 【强化理解】 1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化. ①将点 M 的极坐标 化成直角坐标; (4,14 3 π) ②将点 N 的直角坐标(4,-4 )化成极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 3 【解答】解:①∵x=4cos π=4cos =4× =-2,y=4sin π=4sin =2 ,∴点 A 的14 3 2π 3 (-1 2 ) 14 3 2π 3 3 直角坐标是(-2,2 ). 3 ②∵ρ= =8,tanθ= =- ,θ∈[0,2π),又点(4,-4 )在第四象42+(-4 3)2 -4 3 4 3 3 限,∴θ= ,∴对应的极坐标为 . 5π 3 (8,5π 3 ) 6 2、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化. ①y2=4x; ②θ= (ρ∈R); π 3 ③ρ2cos2θ=4; ④ρ= . 1 2-cosθ 【解答】解:①将 x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2=4x,得(ρsinθ)2=4ρcosθ.化简得ρsin2θ=4cosθ. ②当 x≠0 时,由于 tanθ= ,故 tan = = ,化简得 y= x(x≠0);当 x=0 时,y=0.显y x π 3 y x 3 3 然(0,0)在 y= x 上,故θ= (ρ∈R)的直角坐标方程为 y= x. 3 π 3 3 ③因为ρ2cos2θ=4,所以ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=4,即 x2-y2=4. ④因为ρ= ,所以 2ρ-ρcosθ=1,因此 1 2-cosθ 2 -x=1,化简得 3x2+4y2-2x-1=0. x2+y2 三、参数方程 1.必记的曲线参数方程 已知条件 普通方程 参数方程 经过点 P(x0,y0),倾斜角为α )( 00 xxkyy  Error!(α为参数) 圆心在点 M0(x0,y0),半径为 r 22 0 2 0 )y-yx-x r()( Error!(θ为参数) 7 长半轴 a 和短半轴 b 椭圆 + =1(a>b>0) x2 a2 y2 b2 Error!(θ为参数) 实轴 a 和虚轴 b 双曲线 - =1(a>0,b>0) x2 a2 y2 b2 Error!(θ为参数) 已知 p 抛物线 y2=2px(p>0) Error! 2.参数方程与普通方程的转化 (1)参数方程转化成普通方程 类型一:含 t 的消参 思路:含有 t 的参数方程消参时,想办法把参数 t 消掉就可以啦,有两个思路: 思路一:代入消元法,把两条式子中比较简单的一条式子转化成 t=f(x)或 t=f(y), 思路二:加减消元:让含有 t 前面的系数相同或成相反数后相加减。 例如:曲线 C: (t为参数)         ty tx 2 21 2 22 解:思路一:代入消元:∵x=2+ t,∴ t=x-2,代入 y=1+ t,得 y=x-1,即 x-y-1=2 2 2 2 2 2 0. 思路二:加减消元:两式相减,x-y-1=0. 类型二:含三角函数的消参 思路:三角函数类型的消参一般的步骤就是:移项-化同-平方-相加 移项:把除了三角函数的其他相加减数字移动左边 8 化同:把三角函数前面的系数化成相同 平方:两道式子左右同时平方 相加:平方后的式子进行相加 (注:有时候并不需要全部步骤) 例如:圆 消参数θ,化为普通方程是(x-1)2+(y+2)2=1. {x=1+cos θ, y=-2+sin θ ) 解:移项: (三角函数前面系数已经相同,省去化同,直接平方)        sin2 cos1 y x 平方:        22 22 sin2 cos1 )( )( y x 相加: 12)y1-x 22 ()( 3.参数方程涉及题型 (1)直线参数方程的几何意义 (2)距离最值(点到点、曲线点到线、) 【强化理解】 1、直线 l 的参数方程为 为参数).写出直线 l 的直角坐标方程; 【解答】直线 l 的参数方程为 为参数). 由上式化简成 t=2(x﹣1)代入下式得 根据ρ2=x2+y2,进行化简得 C:x2+y2=1(2 分) 9

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