2020届九师联盟高三12月质量检测数学（文）试题
单选题
1．已知复数（虚数单位）（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析利复数法运算复数模求法公式求解
详解
选：A
点睛
题考查复数法运算复数模求法属基础题
2．已知集合（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析利集合交补运算求解
详解
选：B
点睛
题考查集合基运算属基础题
3．函数区间图象致（ ）
A． B．
C． D．
答案A
解析根函数奇偶性排排正确结果
详解
奇函数图象关原点称排
排正确
选：
点睛
题考查函数图象识通常采排法进行判断排通常：奇偶性特殊位置符号单调性
4．已知关系（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析利指数数运算性质数函数单调性判断出关系
详解
选：D
点睛
题考查指数数运算性质数函数单调性需熟记数运算性质属基础题
5．河南省新郑市京楼遗址位新郑市新村镇杜村孟家沟村西周边区域北距郑州市35公里遗址发现20世纪60年代群众整土时出土批青铜器玉器等贵重文物京楼商代城址保存较完整城址面方形东城墙长约590米北城墙长约602米南城墙长约630米西城墙长约560米城墙宽度10米～20米列数中作整城址面积较准确估算值（ ）
A．24万方米 B．25万方米 C．37万方米 D．45万方米
答案C
解析城址方形计算出方形边长似值进估算面积
详解
米城址面方形
城址面积约万方米
选项中接数万方米
选：
点睛
题考查根数计算估算值问题关键够计算出方形边长似值属基础题
6．已知量量垂直实数值（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析利坐标表示出垂直关系知数量积坐标运算构造方程求结果
详解
题意：
垂直 解：
选：
点睛
题考查根面量垂直关系坐标表示关键明确两量垂直等价两量数量积等零
7．某零售商店检查货架150瓶饮料否保质期饮料编号12…150饮料中系统抽样方法抽取30瓶饮料进行保质期检查饮料编号抽81号面4饮料编号中抽编号（ ）
A．6 B．41 C．126 D．135
答案D
解析根系统抽样步骤判断编号位数字16抽结合选项出答案
详解
知分30组组5编号抽编号中编号81
系统抽样特点知编号位数字16抽特征编号抽
选：D
点睛
题考查系统抽样法需掌握系统抽样步骤属基础题
8．已知双曲线左焦点点双曲线条渐线距离（）双曲线渐线方程（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析首先求出双曲线渐线方程点直线距离然求出求出渐线方程
详解
点坐标双曲线条渐线方程
点直线距离
双曲线渐线方程
选：A
点睛
题考查双曲线性质点直线距离公式属基础题
9．中角边分（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析正弦定理角化边余弦定理切化弦结合三角形角取值范围出选项
详解
正弦定理
选：C
点睛
题考查正余弦定理解三角形需熟记定理容属基础题
10．（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析利正切半角公式正余二倍角公式化简求解
详解
选：D
点睛
题考查三角恒等变换化简求值问题需熟记半角公式二倍角公式属基础题
11．已知三棱锥侧棱底面成角均三棱锥四面中面积面面积（ ）
A．6 B．9 C． D．12
答案C
解析点作面垂足根线面角三角形边长证出点斜边中点然根三角形面积公式求出侧面底面值
详解
点作面垂足
直角三角形点斜边中点图
三棱锥四面中面积面面积
选：C
点睛
题考查立体中线面角定义考查学生空间想象力推理力属中档题
12．面直角坐标系中已知圆两动点直线存唯点实数值（ ）
A． B．
C． D．
答案B
解析取中点连接求点圆设点坐标点坐标量坐标运算求出点代入点方程
根题意求解
详解
取中点连接
点圆
设点坐标点坐标
整理
直线存唯点
选：B
点睛
题考查面解析中直线圆位置关系考查量坐标运算综合性较强属中档题
二填空题
13．项均正数等数列中__________．
答案8
解析利数运算性质等数列性质求解
详解
答案：8
点睛
题考查数运算性质等数列性质需熟记性质属基础题
14．已知函数曲线点处切线方程__________．
答案
解析利导函数求切线斜率原函数求直线点斜式方程整理结果
详解
题意：
处切线方程：
答案：
点睛
题考查曲线某点处切线方程求解问题导数意义应属基础题
15．函数区间值域__________．
答案
解析利两角差公式二倍角公式函数化三角函数单调性求出值域
详解
时
答案：
点睛
题考查两角差展开式二倍角正余弦公式正弦函数性质需熟记灵活运公式属基础题
16．面直角坐标系中已知点椭圆左顶点点椭圆点直线直线相交点椭圆离心率__________．
答案
解析设出点坐标求出直线方程求出点坐标
利量数量积坐标运算化简结合点椭圆代入椭圆方程两式联立
求离心率
详解
设点坐标
点坐标点坐标
直线斜率
直线方程
点坐标
椭圆离心率
答案：
点睛
题考查椭圆集合性质直线椭圆位置关系量数量积坐标运算综合性较强属中档题
三解答题
17．某高级中学调查学生选科情况高学生中机抽取40名男生20名女生进行调查列联表：
选理科
选文科
男生（单位：名）
35
5
女生（单位：名）
5
15
（1）分估计男生中选择理科女生中选择文科概率
（2）否999握认学生选择理科文科性关？
参考公式：中
005
0010
0001
3841
6635
10828
答案（1）（2）
解析（1）根列联表求解
（2）独立性检验列联表求解
详解
(1)男生选择学理科概率
女生选择学文科概率
(2)
握认学生选择学理科文科性关
点睛
题考查独立性检验需理解独立性检验中意义属基础题
18．等差数列中
（1）求数列通项公式
（2）设数列前项令求数列中项第项求出该项
答案（1）（2）329
解析（1）利等差数列通项公式求解
（2）等差数列前公式基等式求解
详解
(1)设数列公差
数列通公式
(2) (1)
(仅时取等号)
数列中项第3项该项值29
点睛
题考查等差数列通项公式前公式基等式求值属基础题
19．图棱长2正方体中点棱中点
（1）证明：面
（2）求点面距离
答案（1）证明见解析（2）
解析（1）首先证出线面行判断定理证出
（2）（1)面点面距离点面距离相等利求解
详解
(1)证明正方体中
∴四边形行四边形 ∴
∵面面
∴面
(2)(1)面
点面距离点面距离相等
设点面距离
中
中
中
中
点面距离
点睛
题考查线面行判定定理等体积法求点面距离考查学生空间想象力推理力属中档题
20．已知函数
（1）证明：函数区间单调递减
（2）意恒成立求实数取值范围
答案（1）证明见解析（2
解析（1）求函数导函数导函数零证
（2）分类讨题意分析时令研究函数单调性证明否成立
详解
(1)证明题意
①时
②时令()
时函数单调递减
①②知时 函数区间单调递减
(2)题意
函数区间单调递减
时 显然
时令
（1）知时时
∴单调递减
时题意符
实数取值范围
点睛
题考查导函数研究函数中应考查逻辑推理力属中档题
21．已知抛物线焦点
(1)点直线抛物线相交两点求直线方程
(2)点抛物线两点点坐标分12分点作倾斜角互补两条直线交抛物线外两点求直线斜率
答案(1) (2)
解析（1）设直线方程直线抛物线联立消根韦达定理抛物线定义求解
（2）求出点坐标点坐标分类讨①两条直线倾斜角时②两条直线倾斜角时设直线方程设直线方程分直线抛物线联立利韦达定理整理化简求出直线斜率
详解
（1）设直线方程点坐标分
联立方程消整理
抛物线定义
解：
直线方程
（2）题意知点坐标点坐标
①两条直线倾斜角时点坐标点坐标
时直线斜率
②两条直线倾斜角时设点坐标点坐标
时直线斜率
设直线方程
联立方程消整理
设直线方程
联立方程消整理
直线斜率
综直线斜率
点睛
题考查焦点弦公式直线抛物线位置关系分类讨思想考查学生计算力难度较属难题
22．面直角坐标系中曲线参数方程（参数）直线参数方程（参数）
（1）直线曲线相交两点求
（2）求曲线点直线距离值
答案（1）（2）
解析（1）曲线参数方程化直角坐标方程代入直线参数方程整理求坐标利两点间距离公式求结果
（2）根曲线参数方程设点坐标直线化普通方程利点直线距离公式问题化三角函数值求解问题求结果
详解
（1）参数方程曲线直角坐标方程：
时直线参数方程（参数）
设点应参数分
代入曲线直角坐标方程整理：
解：
设
（2）设曲线点坐标
时直线直角坐标方程：
曲线点直线距离
（仅时取等号）
曲线点直线距离值：
点睛
题考查参数方程问题中弦长求解点直线距离求解问题求解点直线距离值关键够问题转化三角函数值求解问题题易错点直线参数方程非标准形式时候错误应直线参数方程中参数意义造成弦长求解错误
23．已知正数满足证明：
（1）
（2）
答案（1）证明见解析（2）证明见解析
解析（1）利基等式构造等式求证结
（2）利基等式求证结
详解
（1）（仅时取等号）
解：（仅时取等号）
（仅时取等号）
（2）（仅时取等号）（仅时取等号）（仅时取等号）
三式相加：
（仅时取等号）
点睛
题考查利基等式证明等式问题关键灵活利基等式配凑出证结需形式属常考题型
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单选题
1．已知复数（虚数单位）（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析利复数法运算复数模求法公式求解
详解
选：A
点睛
题考查复数法运算复数模求法属基础题
2．已知集合（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析利集合交补运算求解
详解
选：B
点睛
题考查集合基运算属基础题
3．函数区间图象致（ ）
A． B．
C． D．
答案A
解析根函数奇偶性排排正确结果
详解
奇函数图象关原点称排
排正确
选：
点睛
题考查函数图象识通常采排法进行判断排通常：奇偶性特殊位置符号单调性
4．已知关系（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析利指数数运算性质数函数单调性判断出关系
详解
选：D
点睛
题考查指数数运算性质数函数单调性需熟记数运算性质属基础题
5．河南省新郑市京楼遗址位新郑市新村镇杜村孟家沟村西周边区域北距郑州市35公里遗址发现20世纪60年代群众整土时出土批青铜器玉器等贵重文物京楼商代城址保存较完整城址面方形东城墙长约590米北城墙长约602米南城墙长约630米西城墙长约560米城墙宽度10米～20米列数中作整城址面积较准确估算值（ ）
A．24万方米 B．25万方米 C．37万方米 D．45万方米
答案C
解析城址方形计算出方形边长似值进估算面积
详解
米城址面方形
城址面积约万方米
选项中接数万方米
选：
点睛
题考查根数计算估算值问题关键够计算出方形边长似值属基础题
6．已知量量垂直实数值（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析利坐标表示出垂直关系知数量积坐标运算构造方程求结果
详解
题意：
垂直 解：
选：
点睛
题考查根面量垂直关系坐标表示关键明确两量垂直等价两量数量积等零
7．某零售商店检查货架150瓶饮料否保质期饮料编号12…150饮料中系统抽样方法抽取30瓶饮料进行保质期检查饮料编号抽81号面4饮料编号中抽编号（ ）
A．6 B．41 C．126 D．135
答案D
解析根系统抽样步骤判断编号位数字16抽结合选项出答案
详解
知分30组组5编号抽编号中编号81
系统抽样特点知编号位数字16抽特征编号抽
选：D
点睛
题考查系统抽样法需掌握系统抽样步骤属基础题
8．已知双曲线左焦点点双曲线条渐线距离（）双曲线渐线方程（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析首先求出双曲线渐线方程点直线距离然求出求出渐线方程
详解
点坐标双曲线条渐线方程
点直线距离
双曲线渐线方程
选：A
点睛
题考查双曲线性质点直线距离公式属基础题
9．中角边分（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析正弦定理角化边余弦定理切化弦结合三角形角取值范围出选项
详解
正弦定理
选：C
点睛
题考查正余弦定理解三角形需熟记定理容属基础题
10．（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析利正切半角公式正余二倍角公式化简求解
详解
选：D
点睛
题考查三角恒等变换化简求值问题需熟记半角公式二倍角公式属基础题
11．已知三棱锥侧棱底面成角均三棱锥四面中面积面面积（ ）
A．6 B．9 C． D．12
答案C
解析点作面垂足根线面角三角形边长证出点斜边中点然根三角形面积公式求出侧面底面值
详解
点作面垂足
直角三角形点斜边中点图
三棱锥四面中面积面面积
选：C
点睛
题考查立体中线面角定义考查学生空间想象力推理力属中档题
12．面直角坐标系中已知圆两动点直线存唯点实数值（ ）
A． B．
C． D．
答案B
解析取中点连接求点圆设点坐标点坐标量坐标运算求出点代入点方程
根题意求解
详解
取中点连接
点圆
设点坐标点坐标
整理
直线存唯点
选：B
点睛
题考查面解析中直线圆位置关系考查量坐标运算综合性较强属中档题
二填空题
13．项均正数等数列中__________．
答案8
解析利数运算性质等数列性质求解
详解
答案：8
点睛
题考查数运算性质等数列性质需熟记性质属基础题
14．已知函数曲线点处切线方程__________．
答案
解析利导函数求切线斜率原函数求直线点斜式方程整理结果
详解
题意：
处切线方程：
答案：
点睛
题考查曲线某点处切线方程求解问题导数意义应属基础题
15．函数区间值域__________．
答案
解析利两角差公式二倍角公式函数化三角函数单调性求出值域
详解
时
答案：
点睛
题考查两角差展开式二倍角正余弦公式正弦函数性质需熟记灵活运公式属基础题
16．面直角坐标系中已知点椭圆左顶点点椭圆点直线直线相交点椭圆离心率__________．
答案
解析设出点坐标求出直线方程求出点坐标
利量数量积坐标运算化简结合点椭圆代入椭圆方程两式联立
求离心率
详解
设点坐标
点坐标点坐标
直线斜率
直线方程
点坐标
椭圆离心率
答案：
点睛
题考查椭圆集合性质直线椭圆位置关系量数量积坐标运算综合性较强属中档题
三解答题
17．某高级中学调查学生选科情况高学生中机抽取40名男生20名女生进行调查列联表：
选理科
选文科
男生（单位：名）
35
5
女生（单位：名）
5
15
（1）分估计男生中选择理科女生中选择文科概率
（2）否999握认学生选择理科文科性关？
参考公式：中
005
0010
0001
3841
6635
10828
答案（1）（2）
解析（1）根列联表求解
（2）独立性检验列联表求解
详解
(1)男生选择学理科概率
女生选择学文科概率
(2)
握认学生选择学理科文科性关
点睛
题考查独立性检验需理解独立性检验中意义属基础题
18．等差数列中
（1）求数列通项公式
（2）设数列前项令求数列中项第项求出该项
答案（1）（2）329
解析（1）利等差数列通项公式求解
（2）等差数列前公式基等式求解
详解
(1)设数列公差
数列通公式
(2) (1)
(仅时取等号)
数列中项第3项该项值29
点睛
题考查等差数列通项公式前公式基等式求值属基础题
19．图棱长2正方体中点棱中点
（1）证明：面
（2）求点面距离
答案（1）证明见解析（2）
解析（1）首先证出线面行判断定理证出
（2）（1)面点面距离点面距离相等利求解
详解
(1)证明正方体中
∴四边形行四边形 ∴
∵面面
∴面
(2)(1)面
点面距离点面距离相等
设点面距离
中
中
中
中
点面距离
点睛
题考查线面行判定定理等体积法求点面距离考查学生空间想象力推理力属中档题
20．已知函数
（1）证明：函数区间单调递减
（2）意恒成立求实数取值范围
答案（1）证明见解析（2
解析（1）求函数导函数导函数零证
（2）分类讨题意分析时令研究函数单调性证明否成立
详解
(1)证明题意
①时
②时令()
时函数单调递减
①②知时 函数区间单调递减
(2)题意
函数区间单调递减
时 显然
时令
（1）知时时
∴单调递减
时题意符
实数取值范围
点睛
题考查导函数研究函数中应考查逻辑推理力属中档题
21．已知抛物线焦点
(1)点直线抛物线相交两点求直线方程
(2)点抛物线两点点坐标分12分点作倾斜角互补两条直线交抛物线外两点求直线斜率
答案(1) (2)
解析（1）设直线方程直线抛物线联立消根韦达定理抛物线定义求解
（2）求出点坐标点坐标分类讨①两条直线倾斜角时②两条直线倾斜角时设直线方程设直线方程分直线抛物线联立利韦达定理整理化简求出直线斜率
详解
（1）设直线方程点坐标分
联立方程消整理
抛物线定义
解：
直线方程
（2）题意知点坐标点坐标
①两条直线倾斜角时点坐标点坐标
时直线斜率
②两条直线倾斜角时设点坐标点坐标
时直线斜率
设直线方程
联立方程消整理
设直线方程
联立方程消整理
直线斜率
综直线斜率
点睛
题考查焦点弦公式直线抛物线位置关系分类讨思想考查学生计算力难度较属难题
22．面直角坐标系中曲线参数方程（参数）直线参数方程（参数）
（1）直线曲线相交两点求
（2）求曲线点直线距离值
答案（1）（2）
解析（1）曲线参数方程化直角坐标方程代入直线参数方程整理求坐标利两点间距离公式求结果
（2）根曲线参数方程设点坐标直线化普通方程利点直线距离公式问题化三角函数值求解问题求结果
详解
（1）参数方程曲线直角坐标方程：
时直线参数方程（参数）
设点应参数分
代入曲线直角坐标方程整理：
解：
设
（2）设曲线点坐标
时直线直角坐标方程：
曲线点直线距离
（仅时取等号）
曲线点直线距离值：
点睛
题考查参数方程问题中弦长求解点直线距离求解问题求解点直线距离值关键够问题转化三角函数值求解问题题易错点直线参数方程非标准形式时候错误应直线参数方程中参数意义造成弦长求解错误
23．已知正数满足证明：
（1）
（2）
答案（1）证明见解析（2）证明见解析
解析（1）利基等式构造等式求证结
（2）利基等式求证结
详解
（1）（仅时取等号）
解：（仅时取等号）
（仅时取等号）
（2）（仅时取等号）（仅时取等号）（仅时取等号）
三式相加：
（仅时取等号）
点睛
题考查利基等式证明等式问题关键灵活利基等式配凑出证结需形式属常考题型
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