数学破题36计
第23计 探索开门 智勇双锋
●计名释义
谓创新题前没做没见没现成套路套陌生题目答案（否存）解法（暂时知）需摸着石头河中发现解决谓探索解题
石头指已知识方法然重河仅够
河需两素质：智勇
面着数学探索问题智勇体现里？勇——胆猜智——心证●典例示范
例1 图示正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中EFGH分棱CC1C1D1D1D中点NBC中点点M四边形EFGH部运动M满足
条件 时MN∥面B1BDD1（请填认正确条件必考虑全部情况）
思考 显然HN∥BDHN∥面B1BDD1点M面EFGH运动时总B1BDD1∥M需HN作面行面B1BDD1线面行问题转化面面行问题
解答 连FH点MHF运动时恒MN∥面B1BDD1
例1题图 例1题解图
证明：连NHHFBDB1D1面NHF交B1C1P NH∥BDHF∥BB1面PNHF∥面B1BDD1 MN面PNHF∴MN∥面B1BDD1
例2 知f (x)二次项系数负数二次函数x∈Rf (2x) f (2+x)总成立问f (12x2)f (1+2xx2)满足什条件时2思考 根已知条件容易f (x)开口称轴x2二次函数然通函数单调区间进行分类讨
解答 题设知：函数f (x)图象开口称轴直线x2抛物线
函数f (x)(∞2］增函数［2+∞)减函数
∵12x2≤1<21+2xx2（x1）2+2≤2 ∴12x2∈(∞2］1+2xx2∈(∞2］
f (12x2)< f (1+2xx2)时 12x2<1+2xx2
x2+2x>0解x<2x>02f (12x2)>f (1+2xx2)时12x2>1+2xx2 x2+2x<0解2f (12x2)f (1+2xx2)时 x 202∴f (12x2)>f (1+2xx2)时2例3 否构造等数列{an}时满足三条件①a1+a611②a3a4③少存然数mam1aam+1+次成等差数列请写出数列通项公式
解答 先考虑前两条件设等数列{an}公q
∵a3a4a1a6 ∴
满足条件①②等数列通项公式an·2n1an·n1
（1）an·2n1设存题设求m∈N2×
化简：22m7·2m802m8∴m3
（2）an·n1设存m∈N2·
化简：4(26m)2－11·26m80里Δ112+16×8249完全方数 ∴符合条件m存
综述构造出满足条件①②③等数列该然数m3数列通项公式：
an·2n1
例4 二次函数f (x)ax2+bx+c应次函数g (x)2ax+b
(1)求f (x)x2+2x+1应次函数g (x) （2）观察请写出应法
（3）g(x)某性质研究f (x)性质：g(x)>0时应f (x)性质？（4）研究外某性质？
（5）设g(x)x写出g(x)应f (x)三解析式
思考 例结开放型试题解题时求根已知条件结（必条件）补充完整 f (x)g(x)什关系？容易f′(x)2ax+b知f′(x)g(x)见
g(x) f′(x)时g(x)性质研究f (x)某性质
解答 (1)∵a1b2∴g (x)2x+2
（2）①g(x)次项系数f (x)二次项系数次数积
②g(x)常数项等f (x)次项系数
(3)g(x)>02ax+b>0a>0时x>xf (x)称轴时f (x)单调增函数a<0时x(4)g(x)<0时f (x)单调减函数(请仿（3）证明)
(5)g(x)x时2ax+bx知ab0 须f (x)ax2+bx+c中命ab0c取意值f (x)x2+1f (x)x2+f (x)x2+5
结 指导开放题解法理充分必条件AB称AB充分条件BA必条件
●应训练
1已知圆O′定点A（0P）(P>0)圆心O′抛物线x22py运动MN圆O′x轴截弦令|AM|d1|AN|d2∠MANθ
(1)O′运动时|MN|否变化证明结
（2）求值求取值θ值
2图示已知矩形ABCD中
AB1BCa(a>0)PA⊥面AC
PA1
(1)问BC边否存Q
便PQ⊥QD说明理
（2）BC边点Q
PQ⊥QD求时二面角
Q—PD—A 第2题图
3已知椭圆(a>b>0)离心率e点A（0b）B（a0）直线原点距离
(Ⅰ)求椭圆方程
(Ⅱ)已知定点E（10）直线ykx+2(k≠0)椭圆交CD两点试判断：否存k值CD直径圆点E？存求出值存说明理
4否存条双曲线时满足列两条件：
①原点O直线x1焦点准线
②直线x+y0垂直分弦长等2存求出方程存说明理
●参考答案
1(1)图示设抛物线点O′(x0)
连结O′AO′M 作O′C⊥MNC
|MN|2|MC|
∵|O′M||O′A|
∴|MC| 第1题解图
∴|MN|2p定值
O′运动时|MN|会变化总|MN|2p
(2)图示M（x0p0）N(x0+p0)
∴d1 d2
∴d+d4p2+2xd1d2
∴
4
仅x2p2x0±py0p时等式成立时|O′M′||O′N′|p
∴∠MO′N90° ∴△MO′N等腰直角三角形 ∴θ 45°
2思考 道探索性问题解决类问题常探求线面关系必须满足条件出发题PQ⊥QD∵PA⊥面ABCD需满足AQ⊥QD转化面ABCD寻求AQ⊥QD条件问题解决
解答 （1）连结AQ∵PA⊥面ABCD
∴PQ⊥QDAQ⊥QDAD直径圆BC公点
说AD≥2ABa≥2BC边存点QPQ⊥QD
(2)∵a>2时AD直径圆BC两交点
a2时BC中点满足条件
∴AD2QBC中点取AD中点M连结QM
∵面PAD⊥面ABCDQM⊥AD∴QM⊥面PADM作MN⊥PDN连结NQ
根三垂线定理QN⊥PD ∴∠MNQ二面角Q—PD—A面角
Rt△QMN中QM1MNMD·sin∠MDN1× ∴tan∠MNQ
∴二面角Q—PD—Aarctan
3思考 第问离心率定义入手容易求ab值椭圆方程第二问判断k值否存假设存问题变成结确定传统问题求出符合条件k值存反存
解答 （Ⅰ）e∴∴a23b2ab
A（0b）B (a0)直线
ab代入xyb0
已知解b1∴a
(Ⅱ)设C(x1y1)D（x2y2）
消y (1+3k2)x2+12kx+90
必须 1+3k2≠0Δ（12k）236(1+3k2)>0 ∴k<1k>1 ①
存k满足① x1x2+x1+x2+1+y1y20 ②
∵y1kx1+2y2kx2+2
∴②式(1+k2)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+50 ③
∵x1+x2代入③9k2+924k212k+5+15k20
∴k满足①式∴存k值CD直径圆E点值
4设存样双曲线离心率根双曲线定义：
化简：(e21)x2y22e2x+e20
弦直线yx+b代入：(e22)x22(b+e2)x+e2b20
设弦AB两端点A(x1y1)B (x2y2)AB中点M（x0y0）
x1+x2x1x2x0
y0x0+b+b代入x+y0b2
x1+x22x1·x2弦长|AB|
解e2符合题意
存双曲线方程：3x2y28x+40检验满足题意双曲线
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档
第23计 探索开门 智勇双锋
●计名释义
谓创新题前没做没见没现成套路套陌生题目答案（否存）解法（暂时知）需摸着石头河中发现解决谓探索解题
石头指已知识方法然重河仅够
河需两素质：智勇
面着数学探索问题智勇体现里？勇——胆猜智——心证●典例示范
例1 图示正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中EFGH分棱CC1C1D1D1D中点NBC中点点M四边形EFGH部运动M满足
条件 时MN∥面B1BDD1（请填认正确条件必考虑全部情况）
思考 显然HN∥BDHN∥面B1BDD1点M面EFGH运动时总B1BDD1∥M需HN作面行面B1BDD1线面行问题转化面面行问题
解答 连FH点MHF运动时恒MN∥面B1BDD1
例1题图 例1题解图
证明：连NHHFBDB1D1面NHF交B1C1P NH∥BDHF∥BB1面PNHF∥面B1BDD1 MN面PNHF∴MN∥面B1BDD1
例2 知f (x)二次项系数负数二次函数x∈Rf (2x) f (2+x)总成立问f (12x2)f (1+2xx2)满足什条件时2
解答 题设知：函数f (x)图象开口称轴直线x2抛物线
函数f (x)(∞2］增函数［2+∞)减函数
∵12x2≤1<21+2xx2（x1）2+2≤2 ∴12x2∈(∞2］1+2xx2∈(∞2］
f (12x2)< f (1+2xx2)时 12x2<1+2xx2
x2+2x>0解x<2x>02
解答 先考虑前两条件设等数列{an}公q
∵a3a4a1a6 ∴
满足条件①②等数列通项公式an·2n1an·n1
（1）an·2n1设存题设求m∈N2×
化简：22m7·2m802m8∴m3
（2）an·n1设存m∈N2·
化简：4(26m)2－11·26m80里Δ112+16×8249完全方数 ∴符合条件m存
综述构造出满足条件①②③等数列该然数m3数列通项公式：
an·2n1
例4 二次函数f (x)ax2+bx+c应次函数g (x)2ax+b
(1)求f (x)x2+2x+1应次函数g (x) （2）观察请写出应法
（3）g(x)某性质研究f (x)性质：g(x)>0时应f (x)性质？（4）研究外某性质？
（5）设g(x)x写出g(x)应f (x)三解析式
思考 例结开放型试题解题时求根已知条件结（必条件）补充完整 f (x)g(x)什关系？容易f′(x)2ax+b知f′(x)g(x)见
g(x) f′(x)时g(x)性质研究f (x)某性质
解答 (1)∵a1b2∴g (x)2x+2
（2）①g(x)次项系数f (x)二次项系数次数积
②g(x)常数项等f (x)次项系数
(3)g(x)>02ax+b>0a>0时x>xf (x)称轴时f (x)单调增函数a<0时x
(5)g(x)x时2ax+bx知ab0 须f (x)ax2+bx+c中命ab0c取意值f (x)x2+1f (x)x2+f (x)x2+5
结 指导开放题解法理充分必条件AB称AB充分条件BA必条件
●应训练
1已知圆O′定点A（0P）(P>0)圆心O′抛物线x22py运动MN圆O′x轴截弦令|AM|d1|AN|d2∠MANθ
(1)O′运动时|MN|否变化证明结
（2）求值求取值θ值
2图示已知矩形ABCD中
AB1BCa(a>0)PA⊥面AC
PA1
(1)问BC边否存Q
便PQ⊥QD说明理
（2）BC边点Q
PQ⊥QD求时二面角
Q—PD—A 第2题图
3已知椭圆(a>b>0)离心率e点A（0b）B（a0）直线原点距离
(Ⅰ)求椭圆方程
(Ⅱ)已知定点E（10）直线ykx+2(k≠0)椭圆交CD两点试判断：否存k值CD直径圆点E？存求出值存说明理
4否存条双曲线时满足列两条件：
①原点O直线x1焦点准线
②直线x+y0垂直分弦长等2存求出方程存说明理
●参考答案
1(1)图示设抛物线点O′(x0)
连结O′AO′M 作O′C⊥MNC
|MN|2|MC|
∵|O′M||O′A|
∴|MC| 第1题解图
∴|MN|2p定值
O′运动时|MN|会变化总|MN|2p
(2)图示M（x0p0）N(x0+p0)
∴d1 d2
∴d+d4p2+2xd1d2
∴
4
仅x2p2x0±py0p时等式成立时|O′M′||O′N′|p
∴∠MO′N90° ∴△MO′N等腰直角三角形 ∴θ 45°
2思考 道探索性问题解决类问题常探求线面关系必须满足条件出发题PQ⊥QD∵PA⊥面ABCD需满足AQ⊥QD转化面ABCD寻求AQ⊥QD条件问题解决
解答 （1）连结AQ∵PA⊥面ABCD
∴PQ⊥QDAQ⊥QDAD直径圆BC公点
说AD≥2ABa≥2BC边存点QPQ⊥QD
(2)∵a>2时AD直径圆BC两交点
a2时BC中点满足条件
∴AD2QBC中点取AD中点M连结QM
∵面PAD⊥面ABCDQM⊥AD∴QM⊥面PADM作MN⊥PDN连结NQ
根三垂线定理QN⊥PD ∴∠MNQ二面角Q—PD—A面角
Rt△QMN中QM1MNMD·sin∠MDN1× ∴tan∠MNQ
∴二面角Q—PD—Aarctan
3思考 第问离心率定义入手容易求ab值椭圆方程第二问判断k值否存假设存问题变成结确定传统问题求出符合条件k值存反存
解答 （Ⅰ）e∴∴a23b2ab
A（0b）B (a0)直线
ab代入xyb0
已知解b1∴a
(Ⅱ)设C(x1y1)D（x2y2）
消y (1+3k2)x2+12kx+90
必须 1+3k2≠0Δ（12k）236(1+3k2)>0 ∴k<1k>1 ①
存k满足① x1x2+x1+x2+1+y1y20 ②
∵y1kx1+2y2kx2+2
∴②式(1+k2)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+50 ③
∵x1+x2代入③9k2+924k212k+5+15k20
∴k满足①式∴存k值CD直径圆E点值
4设存样双曲线离心率根双曲线定义：
化简：(e21)x2y22e2x+e20
弦直线yx+b代入：(e22)x22(b+e2)x+e2b20
设弦AB两端点A(x1y1)B (x2y2)AB中点M（x0y0）
x1+x2x1x2x0
y0x0+b+b代入x+y0b2
x1+x22x1·x2弦长|AB|
解e2符合题意
存双曲线方程：3x2y28x+40检验满足题意双曲线
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档
