考点12 三角化简求值
考点分类
热点 利两角差正弦余弦正切公式求值
1 （2012年高考（重庆文））（ ）
A． B． C． D．
22013年普通高等学校招生全国统考试（海卷）理
32013年普通高等学校统考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷设第二象限角_________
42013年普通高等学校招生全国统考试（广东卷）理已知函数
(Ⅰ) 求值
(Ⅱ) 求．
52013年普通高等学校招生全国统考试（湖南卷）文科已知函数
（1） 求值
（2） 求 成立取值集合
x取值集合
方法总结
两角差三角函数公式作诱导公式推广αβ三角函数表示α±β三角函数两角差三角函数公式时特注意角角间关系完成统角角角转换目
(1)运两角差三角函数公式时熟练准确熟悉公式逆变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)二倍角余弦公式种变形等．
(2)应熟悉公式逆变形应公式正常见逆变形应容易忽视公式逆变形应更开拓思路培养正思维逆思维转化力熟悉公式逆变形应真正掌握公式应
热点二 利倍角公式诱导公式求值
6 2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷 已知sin2αcos2(α+)（ ）
（A） （B） （C） （D）
72013年普通高等学校招生全国统考试（广东卷）文科已知（ ）
A． B． C． D．
82013年普通高等学校统考试试题纲全国文科已知第二象限角（ ）
（A） （B） （C） （D）
92013年普通高等学校招生全国统考试（江西卷）文科（ ）
A． B． C ． D．
102013年普通高等学校招生全国统考试数学浙江理已知（ ）
A B C D
11 （2012年高考（江西文））tan2α （ ）
A． B． C． D．
12 （2012年高考（山东理）） （ ）
A． B． C． D．
13 （2012年高考（江西理））tan+ 4sin2 （ ）
A． B． C． D．
142013年普通高等学校招生全国统考试（四川卷）理科设值____________
152013年普通高等学校招生全国统考试（湖南卷）理
已知函数
（I）第象限角求值
（II）求成立x取值集合
方法总结
利诱导公式化简求值时原
1．负化正运公式三意负角三角函数化意正角三角函数．
2．化利公式360°角三角函数化0°360°三角函数利公式二180°角三角函数化0°180°三角函数．
3．化锐利公式六90°角化0°90°角三角函数．
4．锐求值0°90°三角函数特殊角直接求非特殊角计算器求
二利倍角公式化简求值
二倍角公式实际两角公式中令β＝α．特余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝ 2cos2α－1＝1－2sin2α三公式处等重特逆降幂公式考题中常体现．
考点剖析
．明确求
1利两角差正弦余弦正切公式进行三角函数式化简求值高考常考点．
2．考查角三角函数基关系式考查诱导公式三角函数化简求值中运．
3．考查三角函数中倍角公式转化思想运算求解力属容易题
二．命题方
1．考查利三角函数公式三角函数式进行化简求值
2公式逆变形应高考热点．
3题型选择题解答题
三．规律总结
基础梳理
1．角三角函数基关系
(1)方关系：sin2α＋cos2α＝1
(2)商数关系：＝tan α
2．诱导公式
公式：sin(α＋2kπ)＝sin αcos(α＋2kπ)＝cos_α中k∈Z
公式二：sin(π＋α)＝－sin_αcos(π＋α)＝－cos_α
tan(π＋α)＝tan α
公式三：sin(－α)＝－sin_αcos(－α)＝cos_α
公式四：sin(π－α)＝sin αcos(π－α)＝－cos_α
公式五：sin＝cos_αcos＝sin α
公式六：sin＝cos_αcos＝－sin_α
3．两角差正弦余弦正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝
(6)T(α－β)：tan(α－β)＝
4．二倍角正弦余弦正切公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α
(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
(3)T2α：tan 2α＝
5．关公式逆变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)[源学科网ZXXK]
(2)cos2α＝sin2α＝
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)21－sin 2α＝(sin α－cos α)2
sin α±cos α＝sin
6．函数f(α)＝acos α＋bsin α(ab常数)化f(α)＝sin(α＋φ)f(α)＝cos(α－φ)中φab值唯确定．
口诀
诱导公式记忆口诀：奇变偶变符号象限．
三种方法
求值化简时常方法：
(1)弦切互化法：利公式tan α＝化成正余弦．
(2)积转换法：利(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ关系进行变形转化．
(3)巧1变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝…
三防范
(1)利诱导公式进行化简求值时先利公式化意角三角函数锐角三角函数步骤：负－脱周－化锐．
特注意函数名称符号确定．
(2)利角三角函数方关系时开方特注意判断符号．
(3)注意求值化简结果般理化整式化．
两技巧
(1)拆角拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)α＝(α＋β)－ββ＝－＝－
(2)化简技巧：切化弦1代换等．
三变化
(1)变角：目沟通题设条件结中涉角手法通常配凑．
(2)变名：通变换函数名称达减少函数种类目手法通常切化弦升幂降幂等．
(3)变式：根式子结构特征进行变形更贴某公式某期目标手法通常：常值代换逆变公式通分约分分解组合配方方等．
考点模拟
．扎实基础
1 2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模
已知值（ ）
A B C D
2 河北省唐山中衡水中2013届高三4月联考第三象限角值（ ）
A． B． C．1 D．3
3 湖北黄冈市2013年高三年级4月份模拟考试值属区间（ ）
A． B． C． D．
4 2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试 已知（ ）
A． B． C． D．
∴
52013届河北省重点中学联合考试已知（ ）
A．2 B．1 C． D．
6江西省2013届百重点高中阶段性诊断考试已知等（ ）
A B C D
7 2013届贵州天柱民中锦屏中学黎中黄民中四校联考已知
8 广西百高中2013届高三年级第三届联考已知
9 湖北省黄冈中学2013届高三十月月考 ．
10 安徽省江淮名校2013届高考卷已知值
二．力拔高
11 湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试已知[源学科网ZXXK]
（ ）
A． B． C． D．
12 广东省华南师附中20122013学年度高三第三次月考设值（ ）
（A） （B） （C） （D）[源学+科+网Z+X+X+K]
13 山 西 省2012—2013年度高三第二次诊断考试已知角α终边点等（ ）
A． B． C．—4 D．4
14 山 西 省2012—2013年度高三第二次诊断考试等（ ）
A．4 B．—4 C． D．—[源学科网ZXXK]
15 山东省烟台市20122013学年度第学期模块检测已知等（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析知选B
16 天津中2012—2013学年高三数学月考已知_________
17 天津市新华中学20112012学年度第学期第二次月考 已知_____________________
18 20122013学年江西省南昌市调研考试（题满分12分）
已知求
19 四川省成市2013届高中毕业班第次诊断性检测已知角构成公差等差数列 __________
20 江苏省南通市2013届高三第二次调研测试设．值 ．
三．提升
21 北京市房山区2013届高三学期期末考试（题满分13分）已知函数
（Ⅰ）求函数定义域
（Ⅱ）求值
（Ⅰ） ………………1分
22 山东省东阿县第中学20122013学年度学期考试（题满分12分）已知函数．
（1）求值
（2）意求实数取值范围．
23 广东省潮州市20122013学年度第学期期末质量检测（题12分）已知函数导函数．
（1）求函数值相应值集合
（2）求值．
∴． …… 12分
24 已知函数f(x)x2kx +1存f(sina)f(cosa)
(I)k时求tana值
(II)求实数k取值范围
25 2013年安徽省马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）中求值
考点预测
1 已知函数值（ ）
A． B． C． D．（中k∈Z）
2已知sin()－ sincos________
3已知等（ ）
A B C D
解析
5图直角坐标系中角顶点原点始边轴正半轴重合终边交单位圆点．角终边逆时针方旋转交单位圆点．记．
（Ⅰ）求
（Ⅱ）分作轴垂线垂足次．记△
面积△面积．求角值． [源Z|xx|kCom]
（Ⅰ）解：三角函数定义 ． ………………2分
． ………………3分
． ………………5分
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考点分类
热点 利两角差正弦余弦正切公式求值
1 （2012年高考（重庆文））（ ）
A． B． C． D．
22013年普通高等学校招生全国统考试（海卷）理
32013年普通高等学校统考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷设第二象限角_________
42013年普通高等学校招生全国统考试（广东卷）理已知函数
(Ⅰ) 求值
(Ⅱ) 求．
52013年普通高等学校招生全国统考试（湖南卷）文科已知函数
（1） 求值
（2） 求 成立取值集合
x取值集合
方法总结
两角差三角函数公式作诱导公式推广αβ三角函数表示α±β三角函数两角差三角函数公式时特注意角角间关系完成统角角角转换目
(1)运两角差三角函数公式时熟练准确熟悉公式逆变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)二倍角余弦公式种变形等．
(2)应熟悉公式逆变形应公式正常见逆变形应容易忽视公式逆变形应更开拓思路培养正思维逆思维转化力熟悉公式逆变形应真正掌握公式应
热点二 利倍角公式诱导公式求值
6 2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷 已知sin2αcos2(α+)（ ）
（A） （B） （C） （D）
72013年普通高等学校招生全国统考试（广东卷）文科已知（ ）
A． B． C． D．
82013年普通高等学校统考试试题纲全国文科已知第二象限角（ ）
（A） （B） （C） （D）
92013年普通高等学校招生全国统考试（江西卷）文科（ ）
A． B． C ． D．
102013年普通高等学校招生全国统考试数学浙江理已知（ ）
A B C D
11 （2012年高考（江西文））tan2α （ ）
A． B． C． D．
12 （2012年高考（山东理）） （ ）
A． B． C． D．
13 （2012年高考（江西理））tan+ 4sin2 （ ）
A． B． C． D．
142013年普通高等学校招生全国统考试（四川卷）理科设值____________
152013年普通高等学校招生全国统考试（湖南卷）理
已知函数
（I）第象限角求值
（II）求成立x取值集合
方法总结
利诱导公式化简求值时原
1．负化正运公式三意负角三角函数化意正角三角函数．
2．化利公式360°角三角函数化0°360°三角函数利公式二180°角三角函数化0°180°三角函数．
3．化锐利公式六90°角化0°90°角三角函数．
4．锐求值0°90°三角函数特殊角直接求非特殊角计算器求
二利倍角公式化简求值
二倍角公式实际两角公式中令β＝α．特余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝ 2cos2α－1＝1－2sin2α三公式处等重特逆降幂公式考题中常体现．
考点剖析
．明确求
1利两角差正弦余弦正切公式进行三角函数式化简求值高考常考点．
2．考查角三角函数基关系式考查诱导公式三角函数化简求值中运．
3．考查三角函数中倍角公式转化思想运算求解力属容易题
二．命题方
1．考查利三角函数公式三角函数式进行化简求值
2公式逆变形应高考热点．
3题型选择题解答题
三．规律总结
基础梳理
1．角三角函数基关系
(1)方关系：sin2α＋cos2α＝1
(2)商数关系：＝tan α
2．诱导公式
公式：sin(α＋2kπ)＝sin αcos(α＋2kπ)＝cos_α中k∈Z
公式二：sin(π＋α)＝－sin_αcos(π＋α)＝－cos_α
tan(π＋α)＝tan α
公式三：sin(－α)＝－sin_αcos(－α)＝cos_α
公式四：sin(π－α)＝sin αcos(π－α)＝－cos_α
公式五：sin＝cos_αcos＝sin α
公式六：sin＝cos_αcos＝－sin_α
3．两角差正弦余弦正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝
(6)T(α－β)：tan(α－β)＝
4．二倍角正弦余弦正切公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α
(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
(3)T2α：tan 2α＝
5．关公式逆变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)[源学科网ZXXK]
(2)cos2α＝sin2α＝
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)21－sin 2α＝(sin α－cos α)2
sin α±cos α＝sin
6．函数f(α)＝acos α＋bsin α(ab常数)化f(α)＝sin(α＋φ)f(α)＝cos(α－φ)中φab值唯确定．
口诀
诱导公式记忆口诀：奇变偶变符号象限．
三种方法
求值化简时常方法：
(1)弦切互化法：利公式tan α＝化成正余弦．
(2)积转换法：利(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ关系进行变形转化．
(3)巧1变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝…
三防范
(1)利诱导公式进行化简求值时先利公式化意角三角函数锐角三角函数步骤：负－脱周－化锐．
特注意函数名称符号确定．
(2)利角三角函数方关系时开方特注意判断符号．
(3)注意求值化简结果般理化整式化．
两技巧
(1)拆角拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)α＝(α＋β)－ββ＝－＝－
(2)化简技巧：切化弦1代换等．
三变化
(1)变角：目沟通题设条件结中涉角手法通常配凑．
(2)变名：通变换函数名称达减少函数种类目手法通常切化弦升幂降幂等．
(3)变式：根式子结构特征进行变形更贴某公式某期目标手法通常：常值代换逆变公式通分约分分解组合配方方等．
考点模拟
．扎实基础
1 2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模
已知值（ ）
A B C D
2 河北省唐山中衡水中2013届高三4月联考第三象限角值（ ）
A． B． C．1 D．3
3 湖北黄冈市2013年高三年级4月份模拟考试值属区间（ ）
A． B． C． D．
4 2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试 已知（ ）
A． B． C． D．
∴
52013届河北省重点中学联合考试已知（ ）
A．2 B．1 C． D．
6江西省2013届百重点高中阶段性诊断考试已知等（ ）
A B C D
7 2013届贵州天柱民中锦屏中学黎中黄民中四校联考已知
8 广西百高中2013届高三年级第三届联考已知
9 湖北省黄冈中学2013届高三十月月考 ．
10 安徽省江淮名校2013届高考卷已知值
二．力拔高
11 湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试已知[源学科网ZXXK]
（ ）
A． B． C． D．
12 广东省华南师附中20122013学年度高三第三次月考设值（ ）
（A） （B） （C） （D）[源学+科+网Z+X+X+K]
13 山 西 省2012—2013年度高三第二次诊断考试已知角α终边点等（ ）
A． B． C．—4 D．4
14 山 西 省2012—2013年度高三第二次诊断考试等（ ）
A．4 B．—4 C． D．—[源学科网ZXXK]
15 山东省烟台市20122013学年度第学期模块检测已知等（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析知选B
16 天津中2012—2013学年高三数学月考已知_________
17 天津市新华中学20112012学年度第学期第二次月考 已知_____________________
18 20122013学年江西省南昌市调研考试（题满分12分）
已知求
19 四川省成市2013届高中毕业班第次诊断性检测已知角构成公差等差数列 __________
20 江苏省南通市2013届高三第二次调研测试设．值 ．
三．提升
21 北京市房山区2013届高三学期期末考试（题满分13分）已知函数
（Ⅰ）求函数定义域
（Ⅱ）求值
（Ⅰ） ………………1分
22 山东省东阿县第中学20122013学年度学期考试（题满分12分）已知函数．
（1）求值
（2）意求实数取值范围．
23 广东省潮州市20122013学年度第学期期末质量检测（题12分）已知函数导函数．
（1）求函数值相应值集合
（2）求值．
∴． …… 12分
24 已知函数f(x)x2kx +1存f(sina)f(cosa)
(I)k时求tana值
(II)求实数k取值范围
25 2013年安徽省马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）中求值
考点预测
1 已知函数值（ ）
A． B． C． D．（中k∈Z）
2已知sin()－ sincos________
3已知等（ ）
A B C D
解析
5图直角坐标系中角顶点原点始边轴正半轴重合终边交单位圆点．角终边逆时针方旋转交单位圆点．记．
（Ⅰ）求
（Ⅱ）分作轴垂线垂足次．记△
面积△面积．求角值． [源Z|xx|kCom]
（Ⅰ）解：三角函数定义 ． ………………2分
． ………………3分
． ………………5分
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