数学破题36计
第31计 解开门 轨迹遥控
●计名释义
求动点轨迹图形轨迹方程解析中核心体现代数方法研究问题数学思想轨迹解析灵魂象遥控器指挥着行动方方程研究曲线已知曲线求方程解析两研究方图形方程问题遇困难疏忽轨迹二字正轨迹二字告诉动点性质动点性质图形性质方程性质根基
●典例示范
例1 动椭圆定点M（12）y轴准线离心率e (1)求动椭圆左顶点轨迹方程（2）求椭圆长轴长值值
思考 M（12）右顶点左顶点P（12a2）椭圆中心(1a2)左准线y轴∴a0e ∴23a+10a 点P1(2)M（12）左顶点P2（12）∴P1P2中点（2）
预见求轨迹中心O′(2)椭圆
解答 （1）设椭圆左顶点M(xy)左焦点F（x0y0）F(x+acy)
∵e左准线y轴 ∴0
axc：F椭圆第二定义： e
∴ 化简： ①
(2)椭圆①长半轴a′∴≤x≤x∈
原椭圆长半轴ax∴2a2x∈原椭圆长轴值2值
例2 已知双曲线两焦点分F1F2中F1抛物线y24x焦点点A（12）B（32）双曲线（1）求点F2轨迹方程（2）否存直线yx+m点F2轨迹两公点存求出实数m值存说明理
思考 F1（10）定点∴|AF1|2|BF1|定值设F2(xy)|F2A|2±(F2B2)|F2A||F2B||F2A|+|F2B| 4知动点F2轨迹直线AB垂直分线
AB焦点椭圆
解答 （1）点F2轨迹方程直线l：x1椭圆(含短轴两端含（10）（14）解法略)
（2）图椭圆直线yx+m相切时直线求轨迹恰两交点（切点切线直线x1交点）情况直线yx+m椭圆短轴端点时求轨迹仅公点短轴两端点椭圆部时三公点
∴3x2+(4m10)x+2m28m+10
方程应相等二实根
∴Δ(4m10)212(2m28m+1)0
化简：m22m110∴m1±2
结 探求轨迹注意
完备性充分性：符合
条件点适合轨迹方程二
注意纯粹性必性：
适合轨迹方程点符合轨迹条件 例3题图
例2例：忽视直线x1(含（10）（40）)完备（10）（40）纯粹
●应训练
1已知双曲线坐标原点O实轴长2中焦点坐标F1（60）焦点F2动点
(1)求双曲线中心轨迹方程
(2)双曲线离心率时求双曲线方程
2已知定直线l线外定点OQ直线l动点△OQP正三角形（逆时针方转）求点P轨迹方程
3已知双曲线坐标原点O实轴长2中焦点坐标F1（60）焦点F2动点(1)求双曲线中心轨迹方程（2）双曲线离心率时求双曲线方程
4已知抛物线C：y24x(1)椭圆左焦点相应准线抛物线C焦点相应准线分重合(1)求椭圆短轴端点B焦点F连线段中点P轨迹方程（2）M（m0）x轴定点Q（1）中求轨迹意点求|MQ|值
●参考答案
1设F2(x0y0) ∵O(00)双曲线
∴|OF2| |OF1| ±2|OF1|6
∴|OF2|6±2|OF2|8x20+y2064 ①|OF2|4x20+y2016 ②
OF1F2线时F1F2应点O两侧述轨迹中应分含（80）（40）设双曲线中心M（xy）
③
③代入①：(2x6)2+(2y)264 (x3)2+y216(x≠7)
③代入②：（2x62+(2y)216 (x3)2+y24(x≠5)
(2)∵a1∴e cc|MF1|
M轨迹(x3)2+y216 c
∵4≤x3<4∴1≤x<7
x1时cmax7
M轨迹(x3)2+y24
∵2≤x3<2∴1≤x<5x1时cmax5
取c7a1∴b248x1时（x3）2+y216y0双曲线中心(10)焦点F1(60)实轴x轴求方程：(x+1)21
2图作OA⊥lA直线OAx轴
O垂直OA直线y轴建立
图直角坐标系设A（a0）
直线l：xa设|OQ||OP|d
∠AOQθ∠AOPθ+
设P(xy)∵d
∴x d cos (θ+)(cosθsinθ) 第2题解图
(1tanθ)
ydsin(θ+)(sinθ+cosθ) (tanθ+)
点P参数方程：（θ参数） 消参数：x+y2a
3(1)设F2(x0y0)∵O (00)双曲线∴|OF2| |OF1|±2|OF1|6∴|OF2|6±2|OF2|8x20+y2064 ①|OF2|4x20+y2016 ②OF1F2线时F1F2应点O两侧述轨迹中应分含（80）（40）
设双曲线中心O′(xy) ③
③代入①：(2x6)2+(2y)264 (x3)2+y216 (x≠7)
③代入②：(2x6)2+(2y)216 (x3)2+y24 (x≠5)
(2)∵a1∴e cc|MF1|
M轨迹（x3）2+y216
c
∵4≤x3<4 ∴ 1≤x<7
x 1时cmax 7
M轨迹(x3)2+y24c
∵2≤x3<2∴1≤x<5x1时cmax 5
取c7a1 ∴b248x 1时(x3)2+y216y0双曲线中心（10）焦点F1（60）实轴x轴求方程：(x+1)21
4（1）图设椭圆中心O′(x00)
左焦点F（10）左准线x 1
∴x0c+1x0+1
∴a2c(x01)x201
b2a2c2(x201) (x01)22x02
椭圆短轴端点B（x0） 第4（1）题解图
设FB中点P(xy)：
消x0：y2x1(x≥1)
(2)曲线y2x1(x≥1)图形图中虚线示顶点F（10）
显然m≤1时|MQ| min1m点M（m0）抛物线顶点Fm>1时M（m0）圆心R半径圆方程：(xm)2+y2R2(*)
x2+(12m)x+m21R20
命Δ≥0（12m）24(m21R2)0 ∴R2≤ (1)
m≥时R min |MQ|值
1注：题选陕西师中学数学教学参考04·1～2期P7263题原题答案：
≤1m≤时|MQ|值>1m>时|MQ| min笔者妥重解处请位仁指正
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第31计 解开门 轨迹遥控
●计名释义
求动点轨迹图形轨迹方程解析中核心体现代数方法研究问题数学思想轨迹解析灵魂象遥控器指挥着行动方方程研究曲线已知曲线求方程解析两研究方图形方程问题遇困难疏忽轨迹二字正轨迹二字告诉动点性质动点性质图形性质方程性质根基
●典例示范
例1 动椭圆定点M（12）y轴准线离心率e (1)求动椭圆左顶点轨迹方程（2）求椭圆长轴长值值
思考 M（12）右顶点左顶点P（12a2）椭圆中心(1a2)左准线y轴∴a0e ∴23a+10a 点P1(2)M（12）左顶点P2（12）∴P1P2中点（2）
预见求轨迹中心O′(2)椭圆
解答 （1）设椭圆左顶点M(xy)左焦点F（x0y0）F(x+acy)
∵e左准线y轴 ∴0
axc：F椭圆第二定义： e
∴ 化简： ①
(2)椭圆①长半轴a′∴≤x≤x∈
原椭圆长半轴ax∴2a2x∈原椭圆长轴值2值
例2 已知双曲线两焦点分F1F2中F1抛物线y24x焦点点A（12）B（32）双曲线（1）求点F2轨迹方程（2）否存直线yx+m点F2轨迹两公点存求出实数m值存说明理
思考 F1（10）定点∴|AF1|2|BF1|定值设F2(xy)|F2A|2±(F2B2)|F2A||F2B||F2A|+|F2B| 4知动点F2轨迹直线AB垂直分线
AB焦点椭圆
解答 （1）点F2轨迹方程直线l：x1椭圆(含短轴两端含（10）（14）解法略)
（2）图椭圆直线yx+m相切时直线求轨迹恰两交点（切点切线直线x1交点）情况直线yx+m椭圆短轴端点时求轨迹仅公点短轴两端点椭圆部时三公点
∴3x2+(4m10)x+2m28m+10
方程应相等二实根
∴Δ(4m10)212(2m28m+1)0
化简：m22m110∴m1±2
结 探求轨迹注意
完备性充分性：符合
条件点适合轨迹方程二
注意纯粹性必性：
适合轨迹方程点符合轨迹条件 例3题图
例2例：忽视直线x1(含（10）（40）)完备（10）（40）纯粹
●应训练
1已知双曲线坐标原点O实轴长2中焦点坐标F1（60）焦点F2动点
(1)求双曲线中心轨迹方程
(2)双曲线离心率时求双曲线方程
2已知定直线l线外定点OQ直线l动点△OQP正三角形（逆时针方转）求点P轨迹方程
3已知双曲线坐标原点O实轴长2中焦点坐标F1（60）焦点F2动点(1)求双曲线中心轨迹方程（2）双曲线离心率时求双曲线方程
4已知抛物线C：y24x(1)椭圆左焦点相应准线抛物线C焦点相应准线分重合(1)求椭圆短轴端点B焦点F连线段中点P轨迹方程（2）M（m0）x轴定点Q（1）中求轨迹意点求|MQ|值
●参考答案
1设F2(x0y0) ∵O(00)双曲线
∴|OF2| |OF1| ±2|OF1|6
∴|OF2|6±2|OF2|8x20+y2064 ①|OF2|4x20+y2016 ②
OF1F2线时F1F2应点O两侧述轨迹中应分含（80）（40）设双曲线中心M（xy）
③
③代入①：(2x6)2+(2y)264 (x3)2+y216(x≠7)
③代入②：（2x62+(2y)216 (x3)2+y24(x≠5)
(2)∵a1∴e cc|MF1|
M轨迹(x3)2+y216 c
∵4≤x3<4∴1≤x<7
x1时cmax7
M轨迹(x3)2+y24
∵2≤x3<2∴1≤x<5x1时cmax5
取c7a1∴b248x1时（x3）2+y216y0双曲线中心(10)焦点F1(60)实轴x轴求方程：(x+1)21
2图作OA⊥lA直线OAx轴
O垂直OA直线y轴建立
图直角坐标系设A（a0）
直线l：xa设|OQ||OP|d
∠AOQθ∠AOPθ+
设P(xy)∵d
∴x d cos (θ+)(cosθsinθ) 第2题解图
(1tanθ)
ydsin(θ+)(sinθ+cosθ) (tanθ+)
点P参数方程：（θ参数） 消参数：x+y2a
3(1)设F2(x0y0)∵O (00)双曲线∴|OF2| |OF1|±2|OF1|6∴|OF2|6±2|OF2|8x20+y2064 ①|OF2|4x20+y2016 ②OF1F2线时F1F2应点O两侧述轨迹中应分含（80）（40）
设双曲线中心O′(xy) ③
③代入①：(2x6)2+(2y)264 (x3)2+y216 (x≠7)
③代入②：(2x6)2+(2y)216 (x3)2+y24 (x≠5)
(2)∵a1∴e cc|MF1|
M轨迹（x3）2+y216
c
∵4≤x3<4 ∴ 1≤x<7
x 1时cmax 7
M轨迹(x3)2+y24c
∵2≤x3<2∴1≤x<5x1时cmax 5
取c7a1 ∴b248x 1时(x3)2+y216y0双曲线中心（10）焦点F1（60）实轴x轴求方程：(x+1)21
4（1）图设椭圆中心O′(x00)
左焦点F（10）左准线x 1
∴x0c+1x0+1
∴a2c(x01)x201
b2a2c2(x201) (x01)22x02
椭圆短轴端点B（x0） 第4（1）题解图
设FB中点P(xy)：
消x0：y2x1(x≥1)
(2)曲线y2x1(x≥1)图形图中虚线示顶点F（10）
显然m≤1时|MQ| min1m点M（m0）抛物线顶点Fm>1时M（m0）圆心R半径圆方程：(xm)2+y2R2(*)
x2+(12m)x+m21R20
命Δ≥0（12m）24(m21R2)0 ∴R2≤ (1)
m≥时R min |MQ|值
1
≤1m≤时|MQ|值>1m>时|MQ| min笔者妥重解处请位仁指正
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