第十章 非球形扰动项广义二（GLS）
） 问题提出
元化回模型扰动项违背古典假设更般模型广义回模型假设
（1）
中Ω般正定矩阵古典假设情况单位矩阵古典假设条件情况种模型特例
考察正定矩阵Ω两种特殊情况异方差性相关
异方差性
扰动项方差时异方差异方差性常产生横截面数中变量尺度（scales）模型解释力观察值间倾变动然假设观测值间扰动关σ2Ω
相关
相关常出现时间序列数中济时间序列常表现出种记忆变化时期间独立时间序列数通常方差σ2Ω
非角线值赖扰动项模式
普通二法（OLS）结果
具球形干扰项
（2）
重申前面容普通二估计量
（3）
佳线性偏致渐正态分布（CANConsistent and asymptotically normally distributed）果干扰项服正态分布CAN估计量中渐效现考察特性（1）模型中然成立
限样特性
（3）两边取期果
（4）
果回量扰动项关二法偏性受（2）假设变化影响
二法估计量样方差
（5）
（3）中b线性函数果服正态分布
二估计量方差基推断导致错误仅矩阵错误s2偏估计量通常法知道b真正方差估计Var[b]传统估计量会
二法渐特性
果Var[b]收敛0b致表现良回量收敛常数矩阵（0）前面子收敛0定收敛果收敛
（5）式推断普通二致偏
果限正定矩阵bβ致估计量
述结成立条件赖XΩ
种分离两组成部分处理办法：
果
1X′X特征根时限制增加意味着
2Ω特征根n限异方差模型方差特征根求限相关模型求Ω元素限非角线元素角线元素相特普通二法广义回模型中致
说明普通二法致模型
假定回模型中均值0方差常数观测值间具相相关系数
矩阵X列1μ普通二估计量Ω代入（5）
（5a）
表达式极限0OLS偏致模型收敛X列1标
量满足条件1Ω特征根（重数n1）满足条件2例子中模型困难观测值间太相关时间序列情况般求观测值间关时间相关系数间距离增加减里条件没满足关简介中讨相关扰动项协方差矩阵需附加什种类求出意义信息
果
（5b）
极限分布正态OLS估计量渐服正态分布果右边项极限分布
（5c）
分布相中X行（然假定极限分布确实存）现问题中心极限定理否直接应v果扰动项异方差关答案通常肯定种情况容易X表现良Ω角元素限二估计量渐正态分布方差矩阵（5）出数般情况答案否定（5c）中定相互独立甚关机变量雨宫（1985）安德森（1971）指出相关扰动项模型中b渐正态性足够普遍致包括实际中遇数情况结特利情况
b渐服均值β方差矩阵（5）出正态分布
总OLS模型中保留取性质偏致渐正态分布效需寻求b效估计
二） 广义二（GLS）
广义回模型中β效估计需关Ω知识考察Ω已知称正定矩阵情况种情况偶尔会发生数模型中Ω包含必须估计未知参数
Ω正定称矩阵分解
（6）
中C列Ω特征量正交化CC’IΩ特征根放角矩阵中令角元素角矩阵
果令
P’前（1）中模型
（7）
方差
变换模型熟悉古典回模型Ω已知
观测数古典回模型中OLS效
效估计量广义二（GLS）估计量古典回模型结：
果GLS估计量偏等价P已知常数矩阵求求回量扰动项关模型基假设
果
（8）
GLS估计量致中Q*限正定矩阵进行换
（9）
需变换数原始数X数
根（9）假设GLS估计量渐正态分布均值样方差
（10）
通（7）中模型应高斯—马尔科夫定理艾特肯（1935）定理：
GLS估计量广义回模型中方差线性偏估计量
时称艾特肯估计量般性结果时高斯—马尔科夫定理特例
假设检验结果应变换模型（7）中检验J线性约束Rβq相应统计量
中残差量
约束GLS残差基
（11）
总古典模型结果包括通常推断程适（7）中模型
应该注意：广义回模型中没R2准确等物统计量意义时定谨慎
三） 行二估计（FGLS）
节结果基Ω必须已知条件基础果Ω含必须估计未知参数GLS行约束情况中n(n+1)2附加参数n观测值估计参数现实模型中需估计参数较少时模型中Ω某种结构简化找求解方法
行二估计（FGLS）
具代表性问题涉组参数满足例未知数常见表达形式
包含新参数异方差模型
接假定致估计量（果知道求样估计量）GLS估计行
代真正考虑问题利否求改变节某结果
果利似渐等价利真正(根slutsky定理)然需满足相应条件令行广义二（FGLS）估计量记
渐等价条件
（18）
（19）
果（7）中变换回量表现良（19）右边服务极限正态分布正求二估计量渐分布时利条件时（19）求样条件成立
必须逐情况进行核实条件数情况中确成立果假设成立基FGLS估计量GLS估计量具样渐性质相结果特注意结：
1渐效FLGS估计量求效估计量需致估计量
2简单情况FGLS估计量限样性质精确分布未知FGLS估计量渐效性样情况成立估计引入易变性异方差情况分析泰勒（1977年）出相关模型格涅里切斯拉奥（1969年）做分析两项研究中发现许类型参数FGLS二更效果偏离古典假设太严重样情况二FGLS更效
四）异方差检验异方差数检验均基述策略
便存异方差性普通二致估计量抽样变化十分完美普通二残差非常似真实扰动异方差数情况判定异方差性否存设计检验均采普通二残差
怀特般检验(White’s General Test)
述般假设进行检验合理检验
i
n样n参数模型进行估计件十分困难事种检验极具挑战性种检验已怀特1980年设计出
异方差条件二估计量（OLS）协方差矩阵：
式加估计
Est
果存异方差性二估计量（OLS）协方差矩阵：
Var[b]
Var[b]估计量
方法：常数X中单变量组合组成变量进行回nR2
统计量渐服P1 度卡方分布nR2～x2(P－1)（Why？）中R2SSRSSTP回量数量包含常数
怀特检验极般进行检验需异方差性质作特定假设优点时极严重缺点怀特检验揭示异方差性导致简单识某设定误差（简单回中省略）外讨检验怀特检验非建设性果拒绝方差假设检验结果步应做什没启示
二戈德菲尔德匡特检验(The GoldfeldQuandt Test)
外两相般性检验戈尔德匡特检验（1965）布罗施帕甘（1979）拉格朗日数检验
戈德菲尔德匡特检验假设观测值扰动方差相备择假设情况扰动方差存系统性差检验理想情形组间异方差模型者某变量满足类模型该基础观测值进行排列观测值分成高方差抵方差两部分通样分成具观测值两组进行检验获统计独立方差估计量回采两组观测值分进行估计该检验统计量：
中假定第样中扰动方差第二组（非变换标）方差零假设情况统计量度分布样值标准表样值较拒绝零假设样检验完成
提请注意：果扰动项正态分布戈德菲尔德匡特统计量零假设严格服分布该检验名义值合适果扰动项正态分布分布适需具已知样性质某备择方法
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） 问题提出
元化回模型扰动项违背古典假设更般模型广义回模型假设
（1）
中Ω般正定矩阵古典假设情况单位矩阵古典假设条件情况种模型特例
考察正定矩阵Ω两种特殊情况异方差性相关
异方差性
扰动项方差时异方差异方差性常产生横截面数中变量尺度（scales）模型解释力观察值间倾变动然假设观测值间扰动关σ2Ω
相关
相关常出现时间序列数中济时间序列常表现出种记忆变化时期间独立时间序列数通常方差σ2Ω
非角线值赖扰动项模式
普通二法（OLS）结果
具球形干扰项
（2）
重申前面容普通二估计量
（3）
佳线性偏致渐正态分布（CANConsistent and asymptotically normally distributed）果干扰项服正态分布CAN估计量中渐效现考察特性（1）模型中然成立
限样特性
（3）两边取期果
（4）
果回量扰动项关二法偏性受（2）假设变化影响
二法估计量样方差
（5）
（3）中b线性函数果服正态分布
二估计量方差基推断导致错误仅矩阵错误s2偏估计量通常法知道b真正方差估计Var[b]传统估计量会
二法渐特性
果Var[b]收敛0b致表现良回量收敛常数矩阵（0）前面子收敛0定收敛果收敛
（5）式推断普通二致偏
果限正定矩阵bβ致估计量
述结成立条件赖XΩ
种分离两组成部分处理办法：
果
1X′X特征根时限制增加意味着
2Ω特征根n限异方差模型方差特征根求限相关模型求Ω元素限非角线元素角线元素相特普通二法广义回模型中致
说明普通二法致模型
假定回模型中均值0方差常数观测值间具相相关系数
矩阵X列1μ普通二估计量Ω代入（5）
（5a）
表达式极限0OLS偏致模型收敛X列1标
量满足条件1Ω特征根（重数n1）满足条件2例子中模型困难观测值间太相关时间序列情况般求观测值间关时间相关系数间距离增加减里条件没满足关简介中讨相关扰动项协方差矩阵需附加什种类求出意义信息
果
（5b）
极限分布正态OLS估计量渐服正态分布果右边项极限分布
（5c）
分布相中X行（然假定极限分布确实存）现问题中心极限定理否直接应v果扰动项异方差关答案通常肯定种情况容易X表现良Ω角元素限二估计量渐正态分布方差矩阵（5）出数般情况答案否定（5c）中定相互独立甚关机变量雨宫（1985）安德森（1971）指出相关扰动项模型中b渐正态性足够普遍致包括实际中遇数情况结特利情况
b渐服均值β方差矩阵（5）出正态分布
总OLS模型中保留取性质偏致渐正态分布效需寻求b效估计
二） 广义二（GLS）
广义回模型中β效估计需关Ω知识考察Ω已知称正定矩阵情况种情况偶尔会发生数模型中Ω包含必须估计未知参数
Ω正定称矩阵分解
（6）
中C列Ω特征量正交化CC’IΩ特征根放角矩阵中令角元素角矩阵
果令
P’前（1）中模型
（7）
方差
变换模型熟悉古典回模型Ω已知
观测数古典回模型中OLS效
效估计量广义二（GLS）估计量古典回模型结：
果GLS估计量偏等价P已知常数矩阵求求回量扰动项关模型基假设
果
（8）
GLS估计量致中Q*限正定矩阵进行换
（9）
需变换数原始数X数
根（9）假设GLS估计量渐正态分布均值样方差
（10）
通（7）中模型应高斯—马尔科夫定理艾特肯（1935）定理：
GLS估计量广义回模型中方差线性偏估计量
时称艾特肯估计量般性结果时高斯—马尔科夫定理特例
假设检验结果应变换模型（7）中检验J线性约束Rβq相应统计量
中残差量
约束GLS残差基
（11）
总古典模型结果包括通常推断程适（7）中模型
应该注意：广义回模型中没R2准确等物统计量意义时定谨慎
三） 行二估计（FGLS）
节结果基Ω必须已知条件基础果Ω含必须估计未知参数GLS行约束情况中n(n+1)2附加参数n观测值估计参数现实模型中需估计参数较少时模型中Ω某种结构简化找求解方法
行二估计（FGLS）
具代表性问题涉组参数满足例未知数常见表达形式
包含新参数异方差模型
接假定致估计量（果知道求样估计量）GLS估计行
代真正考虑问题利否求改变节某结果
果利似渐等价利真正(根slutsky定理)然需满足相应条件令行广义二（FGLS）估计量记
渐等价条件
（18）
（19）
果（7）中变换回量表现良（19）右边服务极限正态分布正求二估计量渐分布时利条件时（19）求样条件成立
必须逐情况进行核实条件数情况中确成立果假设成立基FGLS估计量GLS估计量具样渐性质相结果特注意结：
1渐效FLGS估计量求效估计量需致估计量
2简单情况FGLS估计量限样性质精确分布未知FGLS估计量渐效性样情况成立估计引入易变性异方差情况分析泰勒（1977年）出相关模型格涅里切斯拉奥（1969年）做分析两项研究中发现许类型参数FGLS二更效果偏离古典假设太严重样情况二FGLS更效
四）异方差检验异方差数检验均基述策略
便存异方差性普通二致估计量抽样变化十分完美普通二残差非常似真实扰动异方差数情况判定异方差性否存设计检验均采普通二残差
怀特般检验(White’s General Test)
述般假设进行检验合理检验
i
n样n参数模型进行估计件十分困难事种检验极具挑战性种检验已怀特1980年设计出
异方差条件二估计量（OLS）协方差矩阵：
式加估计
Est
果存异方差性二估计量（OLS）协方差矩阵：
Var[b]
Var[b]估计量
方法：常数X中单变量组合组成变量进行回nR2
统计量渐服P1 度卡方分布nR2～x2(P－1)（Why？）中R2SSRSSTP回量数量包含常数
怀特检验极般进行检验需异方差性质作特定假设优点时极严重缺点怀特检验揭示异方差性导致简单识某设定误差（简单回中省略）外讨检验怀特检验非建设性果拒绝方差假设检验结果步应做什没启示
二戈德菲尔德匡特检验(The GoldfeldQuandt Test)
外两相般性检验戈尔德匡特检验（1965）布罗施帕甘（1979）拉格朗日数检验
戈德菲尔德匡特检验假设观测值扰动方差相备择假设情况扰动方差存系统性差检验理想情形组间异方差模型者某变量满足类模型该基础观测值进行排列观测值分成高方差抵方差两部分通样分成具观测值两组进行检验获统计独立方差估计量回采两组观测值分进行估计该检验统计量：
中假定第样中扰动方差第二组（非变换标）方差零假设情况统计量度分布样值标准表样值较拒绝零假设样检验完成
提请注意：果扰动项正态分布戈德菲尔德匡特统计量零假设严格服分布该检验名义值合适果扰动项正态分布分布适需具已知样性质某备择方法
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