1行列式
1 行列式元素展开项分解行列式
2 代数余子式性质：
①关
②某行（列）元素行（列）元素代数余子式0
③某行（列）元素该行（列）元素代数余子式
3 代数余子式余子式关系：
4 设行列式：
翻转左右翻转行列式
时针逆时针旋转行列式
角线翻转（转置）行列式
副角线翻转行列式
5 行列式重公式：
①角行列式：角元素积
②副角行列式：副角元素积
③三角行列式（）：角元素积
④：副角元素积
⑤拉普拉斯展开式：
⑥范德蒙行列式：指标减指标连积
⑦特征值
6 阶行列式恒：中阶子式
7 证明方法：
①
②反证法
③构造齐次方程组证明非零解
④利秩证明
⑤证明0特征值
2矩阵
1 阶逆矩阵：
（非奇异矩阵）
（满秩矩阵）
行（列）量组线性关
齐次方程组非零解
总唯解
等价
表示成干初等矩阵积
特征值全0
正定矩阵
行（列）量组组基
中某两组基渡矩阵
2 阶矩阵： 条件恒成立
3
4 矩阵表格推导符号波浪号箭头行列式数值求代数
5 关分块矩阵重结中均逆：
：
Ⅰ
Ⅱ
②（角分块）
③（副角分块）
④（拉普拉斯）
⑤（拉普拉斯）
3矩阵初等变换线性方程组
1 矩阵总初等变换化标准形标准形唯确定：
等价类：等价矩阵组成集合称等价类标准形形状简单矩阵
型矩阵
2 行简形矩阵：
①通初等行变换获
②行首非0元素必须1
③行首非0元素列元素必须0
3 初等行变换应：（初等列变换类似转置采初等行变换）
① 逆
②矩阵做初等行变化变时变成：
③求解线形方程组：未知数方程果逆
4 初等矩阵角矩阵概念：
①初等矩阵行变换列变换位置决定：左初等行矩阵右初等列矩阵
②左矩阵行元素右列元素
③调两行两列符号例：
④倍某行某列符号例：
⑤倍加某行某列符号：
5 矩阵秩基性质：
①
②
③
④逆（逆矩阵影响矩阵秩）
⑤（※）
⑥（※）
⑦（※）
⑧果矩阵矩阵：（※）
Ⅰ列量全部齐次方程组解（转置运算结）
Ⅱ
⑨均阶方阵
6 三种特殊矩阵方幂：
①秩1矩阵：定分解列矩阵（量）行矩阵（量）形式采结合律
②型矩阵：利二项展开式
二项展开式：
注：Ⅰ展开项
Ⅱ
Ⅲ组合性质：
③利特征值相似角化：
7 伴矩阵：
①伴矩阵秩：
②伴矩阵特征值：
③
8 关矩阵秩描述：
①中阶子式0阶子式全部0（两句话）
②中阶子式全部0
③中阶子式0
9 线性方程组：中矩阵：
①方程数相方程组方程
②方程组未知数数相方程组元方程
10 线性方程组求解：
①增广矩阵进行初等行变换（初等行变换）
②齐次解应齐次方程组解
③特解：变量赋初值求
11 未知数方程方程组构成元线性方程：
①
②（量方程矩阵方程未知数）
③（全部列分块中）
④（线性表出）
⑤解充条件：（未知数数维数）
4量组线性相关性
1 维列量组成量组：构成矩阵
维行量组成量组：构成矩阵
含限量序量组矩阵应
2 ①量组线性相关关 非零解（齐次线性方程组）
②量线性表出 否解（线性方程组）
③量组相互线性表示 否解（矩阵方程）
3 矩阵行量组等价充分必条件：齐次方程组解(例14)
4 (例15)
5 维量线性相关意义：
①线性相关
②线性相关 坐标成例线（行）
③线性相关 面
6 线性相关关两套定理：
线性相关必线性相关
线性关必线性关（量数加加减减二者偶）
维量组量添分量构成维量组：
线性关线性关反线性相关线性相关（量组维数加加减减）
简言：关组延长关反确定
7 量组（数）量组（数）线性表示线性关(二版定理7)
量组量组线性表示（定理3）
量组量组线性表示
解
（定理2）
量组量组等价（定理2推）
8 方阵逆存限初等矩阵
①矩阵行等价：（左逆）解
②矩阵列等价：（右逆）
③矩阵等价：（逆）
9 矩阵：
①行等价行秩相等
②行等价解应列量组具相线性相关性
③矩阵初等变换改变矩阵秩
④矩阵行秩等列秩
10 ：
①列量组列量组线性表示系数矩阵
②行量组行量组线性表示系数矩阵（转置）
11 齐次方程组解定解考试中直接作定理需证明
① 零解零解
② 非零解定存非零解
12 设量组量组线性表示：（题19结）
（）
中线性关组线性关（列量组具相线性相关性）
（必性：充分性：反证法）
注：时方阵作定理
13 ①矩阵存 列量线性关（）
②矩阵存 行量线性关
14 线性相关
存组全0数成立（定义）
非零解非零解
系数矩阵秩未知数数
15 设矩阵秩元齐次线性方程组解集秩：
16 解基础解系线性关（题33结）
5相似矩阵二次型
1 正交矩阵（定义）性质：
①列量单位量两两正交
②正交矩阵正交阵
③正交阵正交阵
注意：求解正交阵千万忘记施密特正交化单位化
2 施密特正交化：
3 普通方阵特征值应特征量线性关
实称阵特征值应特征量正交
4 ①等价 初等变换
逆
型
②合 中逆
相正负惯性指数
③相似
5 相似定合合未必相似
正交矩阵（合相似约束条件相似更严格）
6 称阵二次型矩阵
7 元二次型正定：
正惯性指数
合存逆矩阵
特征值均正数
阶序子式均0
(必条件)
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1行列式
1 行列式元素展开项分解行列式
2 代数余子式性质：
①关
②某行（列）元素行（列）元素代数余子式0
③某行（列）元素该行（列）元素代数余子式
3 代数余子式余子式关系：
4 设行列式：
翻转左右翻转行列式
时针逆时针旋转行列式
角线翻转（转置）行列式
副角线翻转行列式
5 行列式重公式：
①角行列式：角元素积
②副角行列式：副角元素积
③三角行列式（）：角元素积
④：副角元素积
⑤拉普拉斯展开式：
⑥范德蒙行列式：指标减指标连积
⑦特征值
6 阶行列式恒：中阶子式
7 证明方法：
①
②反证法
③构造齐次方程组证明非零解
④利秩证明
⑤证明0特征值
2矩阵
1 阶逆矩阵：
（非奇异矩阵）
（满秩矩阵）
行（列）量组线性关
齐次方程组非零解
总唯解
等价
表示成干初等矩阵积
特征值全0
正定矩阵
行（列）量组组基
中某两组基渡矩阵
2 阶矩阵： 条件恒成立
3
4 矩阵表格推导符号波浪号箭头行列式数值求代数
5 关分块矩阵重结中均逆：
：
Ⅰ
Ⅱ
②（角分块）
③（副角分块）
④（拉普拉斯）
⑤（拉普拉斯）
3矩阵初等变换线性方程组
1 矩阵总初等变换化标准形标准形唯确定：
等价类：等价矩阵组成集合称等价类标准形形状简单矩阵
型矩阵
2 行简形矩阵：
①通初等行变换获
②行首非0元素必须1
③行首非0元素列元素必须0
3 初等行变换应：（初等列变换类似转置采初等行变换）
① 逆
②矩阵做初等行变化变时变成：
③求解线形方程组：未知数方程果逆
4 初等矩阵角矩阵概念：
①初等矩阵行变换列变换位置决定：左初等行矩阵右初等列矩阵
②左矩阵行元素右列元素
③调两行两列符号例：
④倍某行某列符号例：
⑤倍加某行某列符号：
5 矩阵秩基性质：
①
②
③
④逆（逆矩阵影响矩阵秩）
⑤（※）
⑥（※）
⑦（※）
⑧果矩阵矩阵：（※）
Ⅰ列量全部齐次方程组解（转置运算结）
Ⅱ
⑨均阶方阵
6 三种特殊矩阵方幂：
①秩1矩阵：定分解列矩阵（量）行矩阵（量）形式采结合律
②型矩阵：利二项展开式
二项展开式：
注：Ⅰ展开项
Ⅱ
Ⅲ组合性质：
③利特征值相似角化：
7 伴矩阵：
①伴矩阵秩：
②伴矩阵特征值：
③
8 关矩阵秩描述：
①中阶子式0阶子式全部0（两句话）
②中阶子式全部0
③中阶子式0
9 线性方程组：中矩阵：
①方程数相方程组方程
②方程组未知数数相方程组元方程
10 线性方程组求解：
①增广矩阵进行初等行变换（初等行变换）
②齐次解应齐次方程组解
③特解：变量赋初值求
11 未知数方程方程组构成元线性方程：
①
②（量方程矩阵方程未知数）
③（全部列分块中）
④（线性表出）
⑤解充条件：（未知数数维数）
4量组线性相关性
1 维列量组成量组：构成矩阵
维行量组成量组：构成矩阵
含限量序量组矩阵应
2 ①量组线性相关关 非零解（齐次线性方程组）
②量线性表出 否解（线性方程组）
③量组相互线性表示 否解（矩阵方程）
3 矩阵行量组等价充分必条件：齐次方程组解(例14)
4 (例15)
5 维量线性相关意义：
①线性相关
②线性相关 坐标成例线（行）
③线性相关 面
6 线性相关关两套定理：
线性相关必线性相关
线性关必线性关（量数加加减减二者偶）
维量组量添分量构成维量组：
线性关线性关反线性相关线性相关（量组维数加加减减）
简言：关组延长关反确定
7 量组（数）量组（数）线性表示线性关(二版定理7)
量组量组线性表示（定理3）
量组量组线性表示
解
（定理2）
量组量组等价（定理2推）
8 方阵逆存限初等矩阵
①矩阵行等价：（左逆）解
②矩阵列等价：（右逆）
③矩阵等价：（逆）
9 矩阵：
①行等价行秩相等
②行等价解应列量组具相线性相关性
③矩阵初等变换改变矩阵秩
④矩阵行秩等列秩
10 ：
①列量组列量组线性表示系数矩阵
②行量组行量组线性表示系数矩阵（转置）
11 齐次方程组解定解考试中直接作定理需证明
① 零解零解
② 非零解定存非零解
12 设量组量组线性表示：（题19结）
（）
中线性关组线性关（列量组具相线性相关性）
（必性：充分性：反证法）
注：时方阵作定理
13 ①矩阵存 列量线性关（）
②矩阵存 行量线性关
14 线性相关
存组全0数成立（定义）
非零解非零解
系数矩阵秩未知数数
15 设矩阵秩元齐次线性方程组解集秩：
16 解基础解系线性关（题33结）
5相似矩阵二次型
1 正交矩阵（定义）性质：
①列量单位量两两正交
②正交矩阵正交阵
③正交阵正交阵
注意：求解正交阵千万忘记施密特正交化单位化
2 施密特正交化：
3 普通方阵特征值应特征量线性关
实称阵特征值应特征量正交
4 ①等价 初等变换
逆
型
②合 中逆
相正负惯性指数
③相似
5 相似定合合未必相似
正交矩阵（合相似约束条件相似更严格）
6 称阵二次型矩阵
7 元二次型正定：
正惯性指数
合存逆矩阵
特征值均正数
阶序子式均0
(必条件)
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