舭耋秽力T学ERL～YFM瞄留尝i2003 9CHINESEQUARTERLYOFHAN年月ECIcs∞p⋯端受集中力作压电悬臂梁弯曲问题解析解杨德庆1刘正兴2(1海交通学船舶海洋工程学院．海200030z．海变通学建筑工程力学学院海200030)摘：文横观性压电介质构成悬臂粱端受集中力作弯曲问题进行研究首先根问题特点．简化线弹性压电悬臂梁基方程然根正交异性材料悬臂粱应力分布特点采逆解法建立该问题应力函数电势分布函数进精确项式解析解该解析解形式简单便应文中端受集中力常规材料压电材料悬臂梁挠度进行较关键谲：悬臂粱压电横观性材料逆解法I项式解中田分类号：0343．TB330．1AnalyticalSolutionforBendingofaPiezoelectricCantileverBeamundera13EndLoadYANGDe．q{叼1LIUZhengzin92(1SchoolofNavalArchitectureandOceanEngineeringShanghaiJiaotongUniversityShanghai200030China2SchoolofCivilEngineeringandMechanicsShanghaiJiaotongUniversityShanghai200030China)Abstract：InthispaperthebendingoftransverselyisotropiccantileverbeamunderanendloadwasinvestigatedThesimplifiedlinearelasticequationsofpiezoelectriccantieverbeamwerederivedaccordingtothecharactersoftheproblem．Usingtheinversemethodthestressfunctionandtheelectricpotentialfunctionwereestablished．andthentheanalyticalexpressionsofstresselectricdisplacementandelectricpotentialwereobtainedintheformofpolynomial．ThepresentpolynomialsolutionsareverysimpleandeasytobeusedthanthatofthesolutionsinFourierseriesorinintegrationtransformation．Finallythede—flecfionsatthefreeendarecomparedbetweentheisotropicbeamandthepiezoelectricbeam．Keywords：cantileverbeampiezoelectricitytransverselyisotropicmaterialinversemethodpolynomialsolution压电材料属功材料具良力电转换特性已广泛应测量控制智结构电子信息等领域掌握力电磁光声温度等载荷作压电材料结构特性感测控制等方面成功应非常重压电材料异性材料加压电材料结构力电耦合效应导致解析方法分析该类问题相困难目前成果压电材料结构基解研究文[1～5]先出压电结构面问题轴称三维问题基解解析表达式应起相繁琐文[67]出压电简支梁简支板弯曲问题解析解然压电介质结构基理研究充分现状压电材料应完善文探索采弹性力学理中逆解法推导出压电材料悬臂梁外力荷载作弯曲问题项式解析解结果丰富压电结构分析理数值解法研究验证参考价值收稿开期：2002—12．16基金项目海市博士科研资助计划项目国家然科学基金项目(10132010)作者偷介杨德庆(1968．)男辽宁海城．博士．副教授．
万方数万方数328力学季刊第24卷————————————————————————————————————————————————————————————————————————1线弹性压电介质面问题基方程文考虑压电陶瓷压电薄膜类横观性压电材料组成结构设压电材料2轴正极化xy面呈性z面呈正交异性考虑三维弹性压电介质结构Y轴方尺寸较两轴方尺寸全部载荷作z2面Y轴方变化计电势Y方变化时该问题简化nz面面应力问题考虑三维弹性压电介质结构Y轴方尺寸较两轴方尺寸全部载荷作∞．2面Y轴变化电势分布Y方关时该问题简化#≈面面应变问题设图1示压电悬臂梁长2高h厚b厚度远长度高度端受∞z面集中力作假定体力计圈1压电臂粱Fig．1Piezoelectriccantileverbeam面面应力问题进行处理面应力问题d20rr0Ea西／a∥0代入三维压电材料物理方程：yⅫ／0DOE812口+8d：+d3E相应简化物理方程{j}[菩妻]{兰}+[耋荨]{：：}c甜巴墨州1o¨0摊}㈤采类似方法推导出压电介质面应变问题物理方程简单表达形式里赘述压电力学衡电学衡线性变形方程力学方程电学方程协调方程f萼+萼：0d≈dgl萼+萼：oL02d∞罂+璺：oo∞d2鑫oo麦aa8≈ez(3)(4j(5)(6)谭≠●．．．．．．．．L●．．．Ja跳e乩～～f●●●●目E●●l
万方数万方数第3期扬德庆等端受集巾力作压电悬臂第弯曲问磨解析解应变协调方程电场强度协调方程萼Oz+≥‰2a扩aza暑堡：堡aga∞2线弹性压电介质面应力问题逆解法(7)(8)力学衡方程(3)知必存应力函数F(x)等磬铲～怒㈣满足力学衡方程(3)理知必存电势函数≯(∞#)电场强度满足电学衡方程6)电场协调方程(8)at口rEE表达式(9)(6)代入物理方程(2)件玄s]悸k0呲雾㈣l糍J㈤州(d33ds翥+d3等筹^裂Ⅲ口z：rEE表达式(9)(6)代A物理方程(1)甜睢0堰№聪}Ⅲs·z第s—s翥飞筹飞等圳扩氏翥：㈤空耋竺2竺}j27墨应力函数F(∞z)电势函数≠(∞z)表达压电介质面应力问题电学衡方程应变协调方程～⋯筹2毒[(da_d1翥蝎雾气雾]㈣器2玎丁杀两∽气+d3(d15飞扪等口ii曩两∽·tt+ds·(4zs—dsa)]嚣叱2813+8·)ll(d15d3∥]器+33气磬{(15)
万方数万方数兰兰——兰竺方程(15)积分电势函数≠(z2)正交异性材料悬臂梁端受集中力时应力场分布结果⋯E知Ⅲh暑(譬)压电悬臂梁力电耦合特性时考虑电学开路情况梁变形产生电场结构旷等z+等旷等o(17)屯襄嘞2+掣方程(17)第式积分厦力幽烈F(∞g)百A∞g3+0(≈)+矾(∞)+^(z)(18)fo(z)2(∞)3(∞)分∞意函数式(18)代方程(17)第三式相应鱼z+皇牮堕：眈z旦垡生(19)2a∞—ag⋯贿A2D掣掣脚)∞+B’)＆峨式(18)代方程(17)第二式相应z掣+訾㈣知3(∞)∞线性项应力函数形式化F(∞)舍∥十fo()+％(21)式中省略应力影响常数项线性项式(21)代方程(15)雾采麓渊掣锄万瓦瓦写司i—爵广_令m怠{等丧愀式积分≠(Ⅲ)：k旦掣+菩¨∞)+铂(∞)+∞)(23)d2Z～式中0(2)g(z)g()g(∞)均定函数式(21)(23)代电学衡方程(11)d3l舻‰孚等卜气等掣堋吨e等㈨ 万方数万方数第s期杨德庆·等：皇兰兰兰兰竺兰皇苎竺竺竺竺竺兰———————————∑方程(24)意∞均成立0(z)g(∞)g(∞)g(∞)函数表达式：竺鲁砉堕竺鲁笋og(∞)z+blgzh)2n∞+bz压电悬臂梁应力函数F妇’电势双曲般表达式蜘㈣≈掣(叩¨)吲#¨z)Ⅶ(z)(25)应力函数F(∞z)电势≠(∞g)代入方程(6)(9)电场强度应力分布a代入方程(5)积分压电体位移表达式欲确定函数表达式中常数根相应边界条件文压电悬臂粱应力边界条件满足：ztih：arz：az：』：{rdzPr暑笔百A≈2c根应力边界条件解：G譬AA手z警虬等Axz+等根应力边界条件解等0线性函数特点应力影响重新考虑应力函数形式：F(∞z)鲁耐+∞20(2)a日z+bo根fo(g)文压电悬臂梁电学边界条件：z鲁：Do导：≠ogih：≠o玑(∞)警(口∞+6)号(Ⅱ∞+6)z鲁：DoDhAdz气[ih(m+b1)+：m+6]o鲁Aa*乞[(考+)z+(百ha+a)]o％ih口忐Ad36hb保证方程(24)意∞2恒成立‰胁气叩(1气七)掣等％b解a1d31A／}⋯bl0圃代入面系数关系式nobo吼(z)譬az综应力函数电势函数具体形式：胁∽舡3+鲁m㈤毫争+争(26)(27)(28)
万方数万方数力学季刊第24卷仁k刍(譬)Ex器丐d31孚芦孚k誉丐dal孚z(29)(30)卜¨气瑟2dis+警)导2(乩+警)等k％旷气錾_d叮P时气百d31rP：门E#28lld￡+dalEz：e2813d#+d33E728r+d15E(萼飞)知d3ld站PI]f1·Jr2(32)+警)导2～(警)争田伺方程(5)第式第二式积分：卜(警飞)导2z诎幻(警飞)争州∞3’里P()p(z)意函数(33)式代方程(5)中第三式移项整理[警+(誓stt)荆+[訾+(d31daa813—844警)扑844+警)争(34)式恒成立f百dP(x)+(誓飞)亭2咄I警+(警81844警)努m∞5’里k均常数满足(％+警)争㈤
万方数万方数第s期杨德庆·等：皇兰兰竺兰竺苎苎兰竺竺竺竺竺——————兰————————————————————————————————————————————№)(譬s1)㈨∥kfl(z)：(1_datds3飞飞警)争％Ⅲ’33133⋯里k2k均常数P(∞)p(g)代方程(33)根位移边界条件：2c220：22O＇aw／ax0确定出：铲(譬飞)鲁3z+k30(甓飞)刍z2岫解
(甓飞)弘妒(甓飞t)争844+警)2盱(萼飞)弘o位移分量㈦铀)弘(警813844警)争(甍飞)扣8444百831dis)鼽l(訾飞)务2(譬飞)孛3+(譬飞)导2*(譬飞)刍z3#0时压电悬臂梁轴线挠度方程吡(萼飞)昏3+(鲁su)异2(譬s)身3css压电悬臂粱端挠度(等飞)争常规性材料悬臂梁结果致出压电修正项3结(39)采逆解法求解横观性压电介质构成悬臂梁端受集中力作弯曲问题该问题精确项式解析解该解较三角级数解积分变换解更直观简单便应参考文献[1]LeeJ8tJiangLZ．Aboundayintegralformulationand2Dfundawlenta[solutionsforpiezoelectricmedia．MechanicsResearchCommun[cation1994t21(1)：4754[2]WangzZhengBThegeneralsolutionofthreedimensionalprobleminpiezoelectricmediaIntJSoLidsStruct．1995．32：1055[33王子昆压电材料空间轴称问题通解应．应数学力学199415(7)：587．598[4]DingHJChertBLiangJ．Generalsolutionsforcoupledequationsforpiezoelectricmedia．IntJS0lidsStruct．1996．33：2283．2298[5]丁皓江王国庆槊剑压电介质面问题般解基解．力学学报1996．28(4)441．448[6]林启荣．刘正拱．金占礼．均布载荷作两端倚支压电架解析解应数学力学．200021(6)817—624[73HeligerPExactsolutioasforsimplysupportedlaminatedpiezoelectricplatesJourttalofAppliedMechanics199764299．306[93罗祖道李思简异性材料力学．海海变通学出版社1994
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