排列组合难题21计
解决排列组合综合性问题般程
1认真审题弄清做什事
2样做完成做事采取分步分类分步分类时进行确定分少步少类
3确定步类排列问题(序)组合(序)问题元素总数少取出少元素
4解决排列组合综合性问题类步交叉必须掌握常解题策略
特殊元素特殊位置优先策略
例1012345组成少没重复数字五位奇数
解末位首位特殊求应该优先安排免合求元素占两位置
先排末位
然排首位
排位置
分步计数原理
位置分析法元素分析法解决排列组合问题常基方法元素分析需先安排特殊元素处理元素位置分析需先满足特殊位置求处理位置约束条件考虑约束条件时兼顾条件
练题7种花种排成列花盆里两种葵花种中间种两端花盆里问少种法？
二相邻元素捆绑策略
例2 7站成排 中甲乙相邻丙丁相邻 少种排法
解：先甲乙两元素捆绑成整体成复合元素时丙丁成复合元素元素进行排列时相邻元素部进行排分步计数原理种排法
求某元素必须排起问题捆绑法解决问题需相邻元素合元素元素起作排列时注意合元素部必须排列
练题某射击8枪命中4枪4枪命中恰3枪连起情形种数 20
三相邻问题插空策略
例3晚会节目4舞蹈2相声3独唱舞蹈节目连续出场节目出场序少种？
解分两步进行第步排2相声3独唱种第二步4舞蹈插入第步排6元素中间包含首尾两空位种方法分步计数原理节目序 种
元素相离问题先没位置求元素进行排队相邻元素插入中间两端
练题：某班新年联欢会原定5节目已排成节目单开演前增加两新节目果两新节目插入原节目单中两新节目相邻插法种数 30
四定序问题倍缩空位插入策略
例47排队中甲乙丙3序定少排法
解(倍缩法)某元素序定排列问题先元素元素起进行排列然总排列数元素间全排列数排法种数：
(空位法)设想7椅子甲乙丙外四坐种方法余三位置甲乙丙 1
种坐法种方法
思考先甲乙丙坐
（插入法)先排甲乙丙三1种排法余4四次插入 方法
定序问题倍缩法转化占位插
空模型处理
练题10身高相等排成前排排5求左右身高逐渐增加少排法？
五重排问题求幂策略
例56名实生分配7车间实少种分法
解完成事分六步第名实生分配车间 7 种分法第二名实生分配车间7种分类推分步计数原理种排法
允许重复排列问题特点元素研究象元素受位置约束逐安排元素位置般n元素没限制安排m位置排列数种
练题：
1． 某班新年联欢会原定5节目已排成节目单开演前增加两新节目果两节目插入原节目单中插法种数 42
2 某8层楼楼电梯8名客层电梯电梯方法
六环排问题线排策略
例6 8围桌坐少种坐法
解：围桌坐坐成排点坐成圆形没首尾分固定位置圆形展成直线余7（81）种排法
般n元素作圆形排列(n1)种排法果n元素中取出m元素作圆形排列
练题：6颗颜色钻石穿成种钻石圈 120
七排问题直排策略
例78排成前两排排4中甲乙前排丙排少排法
解8排前两排相8坐8椅子椅子排成排特殊元素种排4位置特殊元素丙种余55位置意排列种种
般元素分成排排列问题结排考虑分段研究
练题：两排座位前排11座位排12座位现安排2座规定前排中间3座位坐2左右相邻排法种数 346
八排列组合混合问题先选排策略
例85球装入4盒盒少装球少装法
解第步5球中选出2组成复合元种方法4元素(包含复合元素)装入4盒种方法根分步计数原理装球方法
解决排列组合混合问题先选排基指导思想法相邻元素捆绑策略相似
练题：班6名战士中正副班长1现中选4完成四种务完成种务正副班长1参加选法 192 种
九集团问题先整体局部策略
例912345组成没重复数字五位数中恰两偶数夹1５两奇数间样五位数少？
解：１５２４作集团３排队种排法排集团部种排法分步计数原理种排法
集团排列问题中先整体局部结合策略进行处理
练题：
１计划展出10幅画中1幅水彩画４幅油画５幅国画 排成行陈列求 品种必须连起水彩画两端陈列方式种数
2 5男生５女生站成排男生相邻女生相邻排法种
十元素相问题隔板策略
例1010运动员名额分7班班少少种分配方案？
解：10名额没差排成排相邻名额间形成９空隙９空档中选６位置插隔板名额分成７份应分７班级种插板方法应种分法种分法
n相元素分成m份（nm正整数）份少元素m1块隔板插入n元素排成排n1空隙中分法数
练题：
1． 10相球装5盒中盒少少装法？
2 求方程组然数解组数
十正难反总体淘汰策略
例110123456789十数字中取出三数10偶数
取法少种？
解：问题中果直接求10偶数困难总体淘汰法十数字中5偶数5奇数取三数含3偶数取法含1偶数取法偶数取法淘汰10偶数9种符合条件取法
排列组合问题正面直接考虑较复杂反面较简捷先求出反面整体中淘汰
练题：班里43位学中抽5正副班长团支部书记少抽法少种
十二均分组问题法策略
例12 6书均分成3堆堆2少分法？
解 分三步取书种方法里出现重复计数现象妨记6书ABCDEF第步取AB第二步取CD第三步取EF该分法记(ABCDEF)中(ABEFCD)(CDABEF)(CDEFAB)(EFCDAB)(EFABCD)种取法 分法仅(ABCDEF)种分法种分法
均分成组序种情况分组定(均分组数)避免重复计数
练题：
1 13球队分成3组组5队两组4队 少分法？（）
210名学生分成3组中组4 两组3正副班长分组少种
分组方法 （1540）
3某校高二年级六班级现外转 入4名学生安排该年级两班级班安
排2名安排方案种数______（）
十三 合理分类分步策略
例13次演唱会10名演员中8唱歌5会跳舞现演出2唱歌2伴舞节目少选派方法
解：10演员中5会唱歌2会跳舞3全演员选唱歌员标准进行研究
会唱5中没选唱歌员种会唱5中1选唱歌员种会唱5中2选唱歌员种分类计数原理
种
解含约束条件排列组合问题元素性质进行分类事件发生连续程分步做标准明确分步层次清楚重漏分类标准旦确定贯穿解题程始终
练题：
14名男生3名女生中选出4参加某座 谈会4中必须男生女生选法34
2 3成2孩船游玩1号船3 2号船23号船1选2船3船孩单独船 3少船方法 （27）
题分类标准：
*3全演员否选唱歌员标准
*3全演员否选跳舞员标准
*会跳舞2否选跳舞员标准
正确结果
十四构造模型策略
例14 马路编号123456789九路灯现关掉中3盏关掉相邻2盏3盏关掉两端2盏求满足条件关灯方法少种？
解：问题作排队模型6盏亮灯5空隙中插入3亮灯 种
易理解排列组合题果转化非常熟悉模型占位填空模型排队模型装盒模型等问题直观解决
练题：某排10座位4坐左右两边空位坐法少种？（120）
十五实际操作穷举策略
例15设编号12345五球编号12345五盒子现5球投入五盒子求盒子放球恰两球编号盒子编号相少投法
解：5球中取出2盒子号种剩3球3盒序号应利实际操作法果剩345号球 345号盒3号球装4号盒时45号球1种装法理3号球装5号盒时45号球1种装法分步计数原理种
3号盒 4号盒 5号盒
条件较复杂排列组合问题易公式进行运算利穷举法画出树状图会收意想结果
练题：
1寝室4写张贺年卡集中起然张贺年卡四张贺年卡分配方式少种？ (9)
2图中区域涂色求相邻区 域色现4种选颜色着色方法 72种
十六 分解合成策略
例16 30030少偶数整
分析：先30030分解成质数积形式300302×3×5 × 7 ×11×13
题意知偶数必先取2余5数中取干组成积
偶数：
练正方体8顶点连成少异面直线
解：先8顶点中取4顶点构成四体体四面体
分解合成策略排列组合问题种基解题策略复杂问题分解成问题逐解决然问题分解结构分类计数原理分步计数原理问题合成问题答案 较复杂问题种解题策略
3异面直线正方体中8顶点连成异面直线
十七化策略
例17 25排成5×5方阵现中选3求3行列选法少种？
解：问题退化成9排成3×3方阵现中选3求3行列少选法样行必1中行中选取1行列划掉继续3×3方队中选3方法种5×5方阵选出3×3方阵便解决问题5×5方队中选取3行3列选法5×5方阵选行列3选法
处理复杂排列组合问题时问题退化成简问题通解决简问题解决找解题方法进步解决原问题
练题某城市街区12全等矩形区组成中实线表示马路A走B短路径少种？()
数字排序问题查字典法查字典法应高位低位查次求出符合求数根分类计数原理求出总数
十八数字排序问题查字典策略
例18．012345六数字组成少
没重复324105数？
解
条件较复杂排列组合问题易公式进行运算树图会收意想结果
练012345六数字组成没重复四位偶数数字排列起第71数 3140
十九树图策略
例19．相互传球甲开始发球作第次传球
次传求球回甲手中传球方式
______
练 分编12345号码椅中号坐号椅（）坐法少种？
二十复杂分类问题表格策略
例20．红黄兰色球5分标ABCDE五字母现中取5求字母均三色齐备少种取法
红
1
1
1
2
2
3
黄
1
2
3
1
2
1
兰
3
2
1
2
1
1
取法
解
复杂分类选取题满足条件较 入手常出现重复遗漏情况表格法分类明确保证题中须满足条件达效果
二十：住店法策略
解决允许重复排列问题注意区分两类元素：类元素重复类重复重复元素作客重复元素作店利法原理直接求解
例21七名学生争夺五项冠军项冠军获获冠军种数
分析：学生时夺n项冠军学生重复排列七名学生作7家店五项冠军作5名客客7种住宿法法原理7种
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解决排列组合综合性问题般程
1认真审题弄清做什事
2样做完成做事采取分步分类分步分类时进行确定分少步少类
3确定步类排列问题(序)组合(序)问题元素总数少取出少元素
4解决排列组合综合性问题类步交叉必须掌握常解题策略
特殊元素特殊位置优先策略
例1012345组成少没重复数字五位奇数
解末位首位特殊求应该优先安排免合求元素占两位置
先排末位
然排首位
排位置
分步计数原理
位置分析法元素分析法解决排列组合问题常基方法元素分析需先安排特殊元素处理元素位置分析需先满足特殊位置求处理位置约束条件考虑约束条件时兼顾条件
练题7种花种排成列花盆里两种葵花种中间种两端花盆里问少种法？
二相邻元素捆绑策略
例2 7站成排 中甲乙相邻丙丁相邻 少种排法
解：先甲乙两元素捆绑成整体成复合元素时丙丁成复合元素元素进行排列时相邻元素部进行排分步计数原理种排法
求某元素必须排起问题捆绑法解决问题需相邻元素合元素元素起作排列时注意合元素部必须排列
练题某射击8枪命中4枪4枪命中恰3枪连起情形种数 20
三相邻问题插空策略
例3晚会节目4舞蹈2相声3独唱舞蹈节目连续出场节目出场序少种？
解分两步进行第步排2相声3独唱种第二步4舞蹈插入第步排6元素中间包含首尾两空位种方法分步计数原理节目序 种
元素相离问题先没位置求元素进行排队相邻元素插入中间两端
练题：某班新年联欢会原定5节目已排成节目单开演前增加两新节目果两新节目插入原节目单中两新节目相邻插法种数 30
四定序问题倍缩空位插入策略
例47排队中甲乙丙3序定少排法
解(倍缩法)某元素序定排列问题先元素元素起进行排列然总排列数元素间全排列数排法种数：
(空位法)设想7椅子甲乙丙外四坐种方法余三位置甲乙丙 1
种坐法种方法
思考先甲乙丙坐
（插入法)先排甲乙丙三1种排法余4四次插入 方法
定序问题倍缩法转化占位插
空模型处理
练题10身高相等排成前排排5求左右身高逐渐增加少排法？
五重排问题求幂策略
例56名实生分配7车间实少种分法
解完成事分六步第名实生分配车间 7 种分法第二名实生分配车间7种分类推分步计数原理种排法
允许重复排列问题特点元素研究象元素受位置约束逐安排元素位置般n元素没限制安排m位置排列数种
练题：
1． 某班新年联欢会原定5节目已排成节目单开演前增加两新节目果两节目插入原节目单中插法种数 42
2 某8层楼楼电梯8名客层电梯电梯方法
六环排问题线排策略
例6 8围桌坐少种坐法
解：围桌坐坐成排点坐成圆形没首尾分固定位置圆形展成直线余7（81）种排法
般n元素作圆形排列(n1)种排法果n元素中取出m元素作圆形排列
练题：6颗颜色钻石穿成种钻石圈 120
七排问题直排策略
例78排成前两排排4中甲乙前排丙排少排法
解8排前两排相8坐8椅子椅子排成排特殊元素种排4位置特殊元素丙种余55位置意排列种种
般元素分成排排列问题结排考虑分段研究
练题：两排座位前排11座位排12座位现安排2座规定前排中间3座位坐2左右相邻排法种数 346
八排列组合混合问题先选排策略
例85球装入4盒盒少装球少装法
解第步5球中选出2组成复合元种方法4元素(包含复合元素)装入4盒种方法根分步计数原理装球方法
解决排列组合混合问题先选排基指导思想法相邻元素捆绑策略相似
练题：班6名战士中正副班长1现中选4完成四种务完成种务正副班长1参加选法 192 种
九集团问题先整体局部策略
例912345组成没重复数字五位数中恰两偶数夹1５两奇数间样五位数少？
解：１５２４作集团３排队种排法排集团部种排法分步计数原理种排法
集团排列问题中先整体局部结合策略进行处理
练题：
１计划展出10幅画中1幅水彩画４幅油画５幅国画 排成行陈列求 品种必须连起水彩画两端陈列方式种数
2 5男生５女生站成排男生相邻女生相邻排法种
十元素相问题隔板策略
例1010运动员名额分7班班少少种分配方案？
解：10名额没差排成排相邻名额间形成９空隙９空档中选６位置插隔板名额分成７份应分７班级种插板方法应种分法种分法
n相元素分成m份（nm正整数）份少元素m1块隔板插入n元素排成排n1空隙中分法数
练题：
1． 10相球装5盒中盒少少装法？
2 求方程组然数解组数
十正难反总体淘汰策略
例110123456789十数字中取出三数10偶数
取法少种？
解：问题中果直接求10偶数困难总体淘汰法十数字中5偶数5奇数取三数含3偶数取法含1偶数取法偶数取法淘汰10偶数9种符合条件取法
排列组合问题正面直接考虑较复杂反面较简捷先求出反面整体中淘汰
练题：班里43位学中抽5正副班长团支部书记少抽法少种
十二均分组问题法策略
例12 6书均分成3堆堆2少分法？
解 分三步取书种方法里出现重复计数现象妨记6书ABCDEF第步取AB第二步取CD第三步取EF该分法记(ABCDEF)中(ABEFCD)(CDABEF)(CDEFAB)(EFCDAB)(EFABCD)种取法 分法仅(ABCDEF)种分法种分法
均分成组序种情况分组定(均分组数)避免重复计数
练题：
1 13球队分成3组组5队两组4队 少分法？（）
210名学生分成3组中组4 两组3正副班长分组少种
分组方法 （1540）
3某校高二年级六班级现外转 入4名学生安排该年级两班级班安
排2名安排方案种数______（）
十三 合理分类分步策略
例13次演唱会10名演员中8唱歌5会跳舞现演出2唱歌2伴舞节目少选派方法
解：10演员中5会唱歌2会跳舞3全演员选唱歌员标准进行研究
会唱5中没选唱歌员种会唱5中1选唱歌员种会唱5中2选唱歌员种分类计数原理
种
解含约束条件排列组合问题元素性质进行分类事件发生连续程分步做标准明确分步层次清楚重漏分类标准旦确定贯穿解题程始终
练题：
14名男生3名女生中选出4参加某座 谈会4中必须男生女生选法34
2 3成2孩船游玩1号船3 2号船23号船1选2船3船孩单独船 3少船方法 （27）
题分类标准：
*3全演员否选唱歌员标准
*3全演员否选跳舞员标准
*会跳舞2否选跳舞员标准
正确结果
十四构造模型策略
例14 马路编号123456789九路灯现关掉中3盏关掉相邻2盏3盏关掉两端2盏求满足条件关灯方法少种？
解：问题作排队模型6盏亮灯5空隙中插入3亮灯 种
易理解排列组合题果转化非常熟悉模型占位填空模型排队模型装盒模型等问题直观解决
练题：某排10座位4坐左右两边空位坐法少种？（120）
十五实际操作穷举策略
例15设编号12345五球编号12345五盒子现5球投入五盒子求盒子放球恰两球编号盒子编号相少投法
解：5球中取出2盒子号种剩3球3盒序号应利实际操作法果剩345号球 345号盒3号球装4号盒时45号球1种装法理3号球装5号盒时45号球1种装法分步计数原理种
3号盒 4号盒 5号盒
条件较复杂排列组合问题易公式进行运算利穷举法画出树状图会收意想结果
练题：
1寝室4写张贺年卡集中起然张贺年卡四张贺年卡分配方式少种？ (9)
2图中区域涂色求相邻区 域色现4种选颜色着色方法 72种
十六 分解合成策略
例16 30030少偶数整
分析：先30030分解成质数积形式300302×3×5 × 7 ×11×13
题意知偶数必先取2余5数中取干组成积
偶数：
练正方体8顶点连成少异面直线
解：先8顶点中取4顶点构成四体体四面体
分解合成策略排列组合问题种基解题策略复杂问题分解成问题逐解决然问题分解结构分类计数原理分步计数原理问题合成问题答案 较复杂问题种解题策略
3异面直线正方体中8顶点连成异面直线
十七化策略
例17 25排成5×5方阵现中选3求3行列选法少种？
解：问题退化成9排成3×3方阵现中选3求3行列少选法样行必1中行中选取1行列划掉继续3×3方队中选3方法种5×5方阵选出3×3方阵便解决问题5×5方队中选取3行3列选法5×5方阵选行列3选法
处理复杂排列组合问题时问题退化成简问题通解决简问题解决找解题方法进步解决原问题
练题某城市街区12全等矩形区组成中实线表示马路A走B短路径少种？()
数字排序问题查字典法查字典法应高位低位查次求出符合求数根分类计数原理求出总数
十八数字排序问题查字典策略
例18．012345六数字组成少
没重复324105数？
解
条件较复杂排列组合问题易公式进行运算树图会收意想结果
练012345六数字组成没重复四位偶数数字排列起第71数 3140
十九树图策略
例19．相互传球甲开始发球作第次传球
次传求球回甲手中传球方式
______
练 分编12345号码椅中号坐号椅（）坐法少种？
二十复杂分类问题表格策略
例20．红黄兰色球5分标ABCDE五字母现中取5求字母均三色齐备少种取法
红
1
1
1
2
2
3
黄
1
2
3
1
2
1
兰
3
2
1
2
1
1
取法
解
复杂分类选取题满足条件较 入手常出现重复遗漏情况表格法分类明确保证题中须满足条件达效果
二十：住店法策略
解决允许重复排列问题注意区分两类元素：类元素重复类重复重复元素作客重复元素作店利法原理直接求解
例21七名学生争夺五项冠军项冠军获获冠军种数
分析：学生时夺n项冠军学生重复排列七名学生作7家店五项冠军作5名客客7种住宿法法原理7种
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