2023年中等学校高中阶段招生考试数学试卷答案
（满分120分考试时间120分钟）
考生注意：第二题外余题特说明必须写出证明计算步骤．
．填空题（题14题题2分满分28分）
1．计算：＝__________．
2．果分式意义x＝__________．
3．张江高科技园区海超级计算中心称神威1计算机运算速度秒384 000 000 000次速度科学记数法表示秒___________次．
4．方程＝x根__________．
5．抛物线y＝x2－6x＋3顶点坐标 __________．
6．果f（x）＝kxf（2）＝－4k＝__________．
7．方程x2＋＝3x－4中果设y＝x2－3x原方程化关y整式方程__________．
8．某出租车公司五长假期间均天营业额5万元推断5月份总营业额约5×31＝155（万元）根学统计知识认样推断否合理？答：__________．
9．△ABC中点DE分边ABACDE∥BC果AD＝8DB＝6EC＝9AE＝__________．
10．离旗杆20米处方测角仪测旗杆顶仰角a果测角仪高15米旗杆高__________米（含a三角表示）．
11．△ABC中果AB＝AC＝5cmBC＝8cm三角形重心GBC距离__________cm．
12．两点O圆心心圆中圆弦AB圆相切果AB长24圆半径OA13圆半径__________．
13．Rt△ABC中∠A＜∠BCM斜边AB中线△ACM直线CM折叠点A落点D处果CD恰AB垂直∠A等__________度．
14．已知AD△ABC角分线EF分边ABAC中点连结DEDF连结线段前提四边形AEDF成菱形需添加条件条__________．
二项选择题（题4题题3分满分12分）
［题列出四答案中少正确正确答案代号填入括号错选选0分否漏选扣1分直扣完止］
15．列数中理数 （ ）
（A）π （B） （C） （D）．
16．列组根式中类二次根式 （ ）
（A） （B）
（C） （D）．
17．果两半径相等圆公点两圆公切线 （ ）
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
18．列命题中正确 （ ）
（A）正边形轴称图形
（B）正边形角边数成正例
（C）正边形外角边数增加减少
（D）边数3正边形角线长相等．
三（题4题题7分满分28分）
19．计算：．
20．解等式组：
21．图1已知四边形ABCD中BC＝CD＝DB∠ADB＝90°cos∠ABD＝求S△ABD︰S△BCD．
图1
22．某校六年级九年级男生中分机抽取20名男生测量身高绘制频数分布直方图图2示中两条点划线端数值分年级抽20名男生身高均数该根该图提供信息填空：
图2
（1）六年级抽取20名男生身高中位数组范围__________厘米
九年级抽取20名男生身高中位数组范围__________厘米．
（2）估计学校九年级男生均身高六年级男生均身高高__________厘米．
（3）估计学校六九两年级全体男生中身高低153厘米低163厘米男生占百分__________．
四（题4题题10分满40分）
23．已知：二次函数y＝x2－2（m－1）x＋m2－2m－3中m实数．
（1）求证：m取实数二次函数图象x轴必两交点
（2）设二次函数图象x轴交点A（x10）．B（x20）x1x2倒数求二次函数解析式．
24．已知：图3AB半圆O直径弦CD∥AB直线CMDN分切半圆点CD分直线AB相交点MN．
图3
（1）求证：MO＝NO
（2）设∠M＝30°求证：NM＝4CD．
25．某班进行投篮赛受污损表记录规定时间设进n球数分布情况：
时已知进球33均投进35球进球44均投进25求问投进3球4求少．
26．图4直线y＝x＋2分交xy轴点ACP该直线第象限点PB⊥x轴B垂足S△ABP＝9．
图4
（1）求点P坐标
（2）设点R点P反例函数图象点R直线PB右侧作RT⊥x轴T垂足△BRT△AOC相似时求点R坐标
五（题1题满分12分（1）（2）（3）题均4分）
27．操作：三角尺放边长1正方形ABCD直角顶点P角线AC滑动直角边始终点B边射线DC相交点Q．
图5图6图7
探究：设AP两点间距离x．
（1）点Q边CD时线段PQ线段PB间样关系？试证明观察结
（2）点Q边CD时设四边形PBCQ面积y求yx间函数解析式写出函数定义域
（3）点P线段AC滑动时△PCQ否成等腰三角形？果指出△PCQ成等腰三角形点Q位置求出相应x值果试说明理．
（图5图6图7形状相图5供操作实验图6图7备）
数学试卷答案点评分说明
．填空题（题14题题2分满分28分）
1．4 2．2 3．384×1011 4．x＝1 5．（3－6）
6．－2 7．y2＋4y＋1＝0 8．合理 9．12
10．20tana＋15 11．1 12．5 13．30
14．AB＝AC∠B＝∠CAE＝AFAE＝EDDE∥AC…中
二项选择题（题4题题3分满分12分）
15．AD 16．BC 17．ABC 18．AC
三（题4题题7分满分28分）
19．解：原式＝ ……………………（4分）
＝ ……………………（2分）
＝＝1． ……………………（1分）
20．
解：①解 x＜3 ……………………（3分）
②解 x≥ ……………………（3分）
∴ 原等式组解集 ≤x＜3 ……………………（1分）
21．
解：∵ cos∠ABD＝
∴ 设AB＝5k BD＝4k（k＞0）AD＝3k ……………………（1分）
S△ABC＝AD·BD＝6k2 ……………………（2分）
∴ △BCD等边三角形
∴ S△BCD＝BD2＝4k2 ……………………（2分）
∴ S△ABD︰S△BCD＝6k2︰4k2＝︰2 ……………………（2分）
22．（1）148～153 ……………………（1分）
168～173 ……………………（1分）
（2）186 ……………………（2分）
（3）225 ……………………（3分）
四（题4题题10分满分40分）
23．
（1）证明：
二次函数应元二次方程x2－2（m－1）x＋m2－2m－3＝0
Δ＝4（m－1）2－4（m2－2m－3） ……………………（1分）
＝4m2－8m＋4－4m2＋8m＋12 ……………………（1分）
＝16＞0． ……………………（1分）
∵ 方程x2－2（m－1）x＋m2－2m－3＝0必两相等实数根．
∴ m取值二次函数图象x轴必两交点． ……………（1分）
（2）解：
题意知x1x2方程x2－2（m－1）x＋m2－2m－3＝0两实数根
∴ x1＋x2＝2（m－1）x1·x2＝m2－2m－3． ……………………（2分）
∵ ∴ （*） …………（1分）
解 m＝0m＝5 ……………………（2分）
检验：m＝0m＝5方程（*）解
∴ 求二次函数解析y＝x2＋2x－3y＝x2－8x＋12．……………………（1分）
24．证明：连结OCOD．
（1）∵ OC＝OD∴ ∠OCD＝∠ODC ……………………（1分）
∵ CD∥AB∴ ∠COD＝∠COM∠ODC∠DON．
∴ ∠COM＝∠DON ……………………（1分）
∵ CMDN分切半圆O点CD∴ ∠OCM＝∠ODN＝90°． …（1分）
∴ △OCM≌△ODN． ……………………（1分）
∴ OM＝ON． ……………………（1分）
（2）（1）△OCM≌△ODN∠M＝∠N．
∵ ∠M＝30°∴ ∠N＝30° ……………………（1分）
∴ OM＝2ODON＝2OD∠COM＝∠DON＝60° ……………………（1分）
∴ ∠COD＝60° ……………………（1分）
∴ △COD等边三角形CD＝OC＝OD． ……………………（1分）
∴ MN＝OM＋ON＝2OC＋2OD＝4CD． ……………………（1分）
25．解：设投进3球x投进4球y……………………（1分）
题意 （*）……………………（4分）
整理 ……………………（2分）
解 ……………………（2分）
检验： 方程组（*）解．
答：投进3球9投进4球3． ……………………（1分）
26．解：
（1）题意点C（02）点A（－40）． ……………………（2分）
设点P坐标（aa＋2）中a＞0．
题意S△ABP＝（a＋4）（a＋2）＝9． ……………………（1分）
解a＝2a＝－10（舍） ……………………（1分）
a＝2时a＋2＝3∴ 点P坐标（23）． ……………………（1分）
（2）设反例函数解析式y＝．
∵ 点P反例函数图象∴ 3＝k＝6
∴ 反例函数解析式y＝ ……………………（1分）
设点R坐标（b）点T坐标（b0）中b＞2
BT＝b－2RT＝．
①△RTB～△AOC时 ………………（1分）
∴ 解b＝3b＝－1（舍）．
∴ 点R 坐标（32）． ……………………（1分）
①△RTB∽△COA时 ………………（1分）
∴ 解b＝1＋b＝1－（舍）．
∴ 点R 坐标（1＋）． ……………………（1分）
综述点R坐标（32）（1＋）．
五（题1题满分12分（1）（2）（3）题均4分）
27．
图1 图2 图3
（1）解：PQ＝PB ……………………（1分）
证明：点P作MN∥BC分交AB点M交CD点N四边形AMND四边形BCNM矩形△AMP△CNP等腰直角三角形（图1）．
∴ NP＝NC＝MB． ……………………（1分）
∵ ∠BPQ＝90°∴ ∠QPN＋∠BPM＝90°．
∠BPM＋∠PBM＝90°∴ ∠QPN＝∠PBM． ……………………（1分）
∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°∴ △QNP≌△PMB． ……………………（1分）
∴ PQ＝PB．
（2）解法
（1）△QNP≌△PMB．NQ＝MP．
∵ AP＝x∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝BM＝PN＝CN＝1－
∴ CQ＝CD－DQ＝1－2·＝1－．
S△PBC＝BC·BM＝×1×（1－）＝－x． ………………（1分）
S△PCQ＝CQ·PN＝×（1－）（1－）＝－＋x2 （1分）
S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝x2－＋1．
y＝x2－＋1（0≤x＜）． ……………………（1分1分）
解法二
作PT⊥BCT垂足（图2）四边形PTCN正方形．
∴ PT＝CB＝PN．
∠PNQ＝∠PTB＝90°PB＝PQ∴△PBT≌△PQN．
S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN …（2分）
＝CN2＝（1－）2＝x2－＋1
∴ y＝x2－＋1（0≤x＜）． ……………………（1分）（3）△PCQ成等腰三角形
①点P点A重合点Q点D重合时PQ＝QC△PCQ等腰三角形
时x＝0 ……………………（1分）
②点Q边DC延长线CP＝CQ时△PCQ等腰三角形（图3）
……………………（1分）
解法 时QN＝PM＝CP＝－xCN＝CP＝1－．
∴ CQ＝QN－CN＝－（1－）＝－1．
－x＝－1时x＝1． ……………………（1分）
解法二 时∠CPQ＝∠PCN＝225°∠APB＝90°－225°＝675°
∠ABP＝180°－（45°＋675°）＝675°∠APB＝∠ABP
∴ AP＝AB＝1∴ x＝1． ……………………（1分）
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（满分120分考试时间120分钟）
考生注意：第二题外余题特说明必须写出证明计算步骤．
．填空题（题14题题2分满分28分）
1．计算：＝__________．
2．果分式意义x＝__________．
3．张江高科技园区海超级计算中心称神威1计算机运算速度秒384 000 000 000次速度科学记数法表示秒___________次．
4．方程＝x根__________．
5．抛物线y＝x2－6x＋3顶点坐标 __________．
6．果f（x）＝kxf（2）＝－4k＝__________．
7．方程x2＋＝3x－4中果设y＝x2－3x原方程化关y整式方程__________．
8．某出租车公司五长假期间均天营业额5万元推断5月份总营业额约5×31＝155（万元）根学统计知识认样推断否合理？答：__________．
9．△ABC中点DE分边ABACDE∥BC果AD＝8DB＝6EC＝9AE＝__________．
10．离旗杆20米处方测角仪测旗杆顶仰角a果测角仪高15米旗杆高__________米（含a三角表示）．
11．△ABC中果AB＝AC＝5cmBC＝8cm三角形重心GBC距离__________cm．
12．两点O圆心心圆中圆弦AB圆相切果AB长24圆半径OA13圆半径__________．
13．Rt△ABC中∠A＜∠BCM斜边AB中线△ACM直线CM折叠点A落点D处果CD恰AB垂直∠A等__________度．
14．已知AD△ABC角分线EF分边ABAC中点连结DEDF连结线段前提四边形AEDF成菱形需添加条件条__________．
二项选择题（题4题题3分满分12分）
［题列出四答案中少正确正确答案代号填入括号错选选0分否漏选扣1分直扣完止］
15．列数中理数 （ ）
（A）π （B） （C） （D）．
16．列组根式中类二次根式 （ ）
（A） （B）
（C） （D）．
17．果两半径相等圆公点两圆公切线 （ ）
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
18．列命题中正确 （ ）
（A）正边形轴称图形
（B）正边形角边数成正例
（C）正边形外角边数增加减少
（D）边数3正边形角线长相等．
三（题4题题7分满分28分）
19．计算：．
20．解等式组：
21．图1已知四边形ABCD中BC＝CD＝DB∠ADB＝90°cos∠ABD＝求S△ABD︰S△BCD．
图1
22．某校六年级九年级男生中分机抽取20名男生测量身高绘制频数分布直方图图2示中两条点划线端数值分年级抽20名男生身高均数该根该图提供信息填空：
图2
（1）六年级抽取20名男生身高中位数组范围__________厘米
九年级抽取20名男生身高中位数组范围__________厘米．
（2）估计学校九年级男生均身高六年级男生均身高高__________厘米．
（3）估计学校六九两年级全体男生中身高低153厘米低163厘米男生占百分__________．
四（题4题题10分满40分）
23．已知：二次函数y＝x2－2（m－1）x＋m2－2m－3中m实数．
（1）求证：m取实数二次函数图象x轴必两交点
（2）设二次函数图象x轴交点A（x10）．B（x20）x1x2倒数求二次函数解析式．
24．已知：图3AB半圆O直径弦CD∥AB直线CMDN分切半圆点CD分直线AB相交点MN．
图3
（1）求证：MO＝NO
（2）设∠M＝30°求证：NM＝4CD．
25．某班进行投篮赛受污损表记录规定时间设进n球数分布情况：
时已知进球33均投进35球进球44均投进25求问投进3球4求少．
26．图4直线y＝x＋2分交xy轴点ACP该直线第象限点PB⊥x轴B垂足S△ABP＝9．
图4
（1）求点P坐标
（2）设点R点P反例函数图象点R直线PB右侧作RT⊥x轴T垂足△BRT△AOC相似时求点R坐标
五（题1题满分12分（1）（2）（3）题均4分）
27．操作：三角尺放边长1正方形ABCD直角顶点P角线AC滑动直角边始终点B边射线DC相交点Q．
图5图6图7
探究：设AP两点间距离x．
（1）点Q边CD时线段PQ线段PB间样关系？试证明观察结
（2）点Q边CD时设四边形PBCQ面积y求yx间函数解析式写出函数定义域
（3）点P线段AC滑动时△PCQ否成等腰三角形？果指出△PCQ成等腰三角形点Q位置求出相应x值果试说明理．
（图5图6图7形状相图5供操作实验图6图7备）
数学试卷答案点评分说明
．填空题（题14题题2分满分28分）
1．4 2．2 3．384×1011 4．x＝1 5．（3－6）
6．－2 7．y2＋4y＋1＝0 8．合理 9．12
10．20tana＋15 11．1 12．5 13．30
14．AB＝AC∠B＝∠CAE＝AFAE＝EDDE∥AC…中
二项选择题（题4题题3分满分12分）
15．AD 16．BC 17．ABC 18．AC
三（题4题题7分满分28分）
19．解：原式＝ ……………………（4分）
＝ ……………………（2分）
＝＝1． ……………………（1分）
20．
解：①解 x＜3 ……………………（3分）
②解 x≥ ……………………（3分）
∴ 原等式组解集 ≤x＜3 ……………………（1分）
21．
解：∵ cos∠ABD＝
∴ 设AB＝5k BD＝4k（k＞0）AD＝3k ……………………（1分）
S△ABC＝AD·BD＝6k2 ……………………（2分）
∴ △BCD等边三角形
∴ S△BCD＝BD2＝4k2 ……………………（2分）
∴ S△ABD︰S△BCD＝6k2︰4k2＝︰2 ……………………（2分）
22．（1）148～153 ……………………（1分）
168～173 ……………………（1分）
（2）186 ……………………（2分）
（3）225 ……………………（3分）
四（题4题题10分满分40分）
23．
（1）证明：
二次函数应元二次方程x2－2（m－1）x＋m2－2m－3＝0
Δ＝4（m－1）2－4（m2－2m－3） ……………………（1分）
＝4m2－8m＋4－4m2＋8m＋12 ……………………（1分）
＝16＞0． ……………………（1分）
∵ 方程x2－2（m－1）x＋m2－2m－3＝0必两相等实数根．
∴ m取值二次函数图象x轴必两交点． ……………（1分）
（2）解：
题意知x1x2方程x2－2（m－1）x＋m2－2m－3＝0两实数根
∴ x1＋x2＝2（m－1）x1·x2＝m2－2m－3． ……………………（2分）
∵ ∴ （*） …………（1分）
解 m＝0m＝5 ……………………（2分）
检验：m＝0m＝5方程（*）解
∴ 求二次函数解析y＝x2＋2x－3y＝x2－8x＋12．……………………（1分）
24．证明：连结OCOD．
（1）∵ OC＝OD∴ ∠OCD＝∠ODC ……………………（1分）
∵ CD∥AB∴ ∠COD＝∠COM∠ODC∠DON．
∴ ∠COM＝∠DON ……………………（1分）
∵ CMDN分切半圆O点CD∴ ∠OCM＝∠ODN＝90°． …（1分）
∴ △OCM≌△ODN． ……………………（1分）
∴ OM＝ON． ……………………（1分）
（2）（1）△OCM≌△ODN∠M＝∠N．
∵ ∠M＝30°∴ ∠N＝30° ……………………（1分）
∴ OM＝2ODON＝2OD∠COM＝∠DON＝60° ……………………（1分）
∴ ∠COD＝60° ……………………（1分）
∴ △COD等边三角形CD＝OC＝OD． ……………………（1分）
∴ MN＝OM＋ON＝2OC＋2OD＝4CD． ……………………（1分）
25．解：设投进3球x投进4球y……………………（1分）
题意 （*）……………………（4分）
整理 ……………………（2分）
解 ……………………（2分）
检验： 方程组（*）解．
答：投进3球9投进4球3． ……………………（1分）
26．解：
（1）题意点C（02）点A（－40）． ……………………（2分）
设点P坐标（aa＋2）中a＞0．
题意S△ABP＝（a＋4）（a＋2）＝9． ……………………（1分）
解a＝2a＝－10（舍） ……………………（1分）
a＝2时a＋2＝3∴ 点P坐标（23）． ……………………（1分）
（2）设反例函数解析式y＝．
∵ 点P反例函数图象∴ 3＝k＝6
∴ 反例函数解析式y＝ ……………………（1分）
设点R坐标（b）点T坐标（b0）中b＞2
BT＝b－2RT＝．
①△RTB～△AOC时 ………………（1分）
∴ 解b＝3b＝－1（舍）．
∴ 点R 坐标（32）． ……………………（1分）
①△RTB∽△COA时 ………………（1分）
∴ 解b＝1＋b＝1－（舍）．
∴ 点R 坐标（1＋）． ……………………（1分）
综述点R坐标（32）（1＋）．
五（题1题满分12分（1）（2）（3）题均4分）
27．
图1 图2 图3
（1）解：PQ＝PB ……………………（1分）
证明：点P作MN∥BC分交AB点M交CD点N四边形AMND四边形BCNM矩形△AMP△CNP等腰直角三角形（图1）．
∴ NP＝NC＝MB． ……………………（1分）
∵ ∠BPQ＝90°∴ ∠QPN＋∠BPM＝90°．
∠BPM＋∠PBM＝90°∴ ∠QPN＝∠PBM． ……………………（1分）
∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°∴ △QNP≌△PMB． ……………………（1分）
∴ PQ＝PB．
（2）解法
（1）△QNP≌△PMB．NQ＝MP．
∵ AP＝x∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝BM＝PN＝CN＝1－
∴ CQ＝CD－DQ＝1－2·＝1－．
S△PBC＝BC·BM＝×1×（1－）＝－x． ………………（1分）
S△PCQ＝CQ·PN＝×（1－）（1－）＝－＋x2 （1分）
S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝x2－＋1．
y＝x2－＋1（0≤x＜）． ……………………（1分1分）
解法二
作PT⊥BCT垂足（图2）四边形PTCN正方形．
∴ PT＝CB＝PN．
∠PNQ＝∠PTB＝90°PB＝PQ∴△PBT≌△PQN．
S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN …（2分）
＝CN2＝（1－）2＝x2－＋1
∴ y＝x2－＋1（0≤x＜）． ……………………（1分）（3）△PCQ成等腰三角形
①点P点A重合点Q点D重合时PQ＝QC△PCQ等腰三角形
时x＝0 ……………………（1分）
②点Q边DC延长线CP＝CQ时△PCQ等腰三角形（图3）
……………………（1分）
解法 时QN＝PM＝CP＝－xCN＝CP＝1－．
∴ CQ＝QN－CN＝－（1－）＝－1．
－x＝－1时x＝1． ……………………（1分）
解法二 时∠CPQ＝∠PCN＝225°∠APB＝90°－225°＝675°
∠ABP＝180°－（45°＋675°）＝675°∠APB＝∠ABP
∴ AP＝AB＝1∴ x＝1． ……………………（1分）
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