高中数学基础知识扫描
集合简易逻辑：
集合
概念
元素特征
集合表示
集合分类
序性
互异性
确定性
韦恩图
描述法
列举法
关系
元素集合
集合集合
运算
补集
集
交集
非
简易逻辑
命题
联结词
四种命题
条件
否命题
逆命题
原命题
逆否命题
充条件
必非充分条件
充分非必条件
非充分非必
互逆否
理解集合中关概念
（1）集合中元素特征： 确定性 互异性 序性
集合元素互异性：：求
（2）集合元素关系符号表示
（3）常数集符号表示：然数集 正整数集 整数集 理数集 实数集
（4）集合表示法： 列举法 描述法 韦恩图
注意：区分集合中元素形式：：
（5）空集指含元素集合（区0三者间关系）
空集集合子集非空集合真子集
注意：条件讨时候遗忘情况
：果求取值
二集合间关系运算
（1）符号表示元素集合间关系立体中体现 点直线（面）关系
符号表示集合集合间关系立体中体现 面直线(面)关系
（2）
（3）意集合：
①
②
③
（4）①偶数 奇数
②3余0 3余1 3余2
三集合中元素数计算：
（1）集合中元素集合子集数_________真子集数__________非空真子集数
（2）中元素数计算公式：
（3）韦恩图运：
四满足条件满足条件
充分非必条件
必非充分条件
充条件
非充分非必条件
五原命题逆否命题否命题逆命题具相
注意：解题中运
： 条件
六反证法：证明感困难时改证等价命题成立
步骤：1假设结反面成立2假设出发推理证出矛盾3矛盾判断假设成立肯定结正确
矛盾源：1原命题条件矛盾2导出假设相矛盾命题3导出恒假命题
适证命题结涉少唯等字眼时
正面词语
等
否定
正面词语
少
意
n
意两
否定
二函数
应
映 射
函 数
常函数
等式
方 程
性 质
解析式
单调性
奇偶性
周期性性
称性性
图 象
图象变换
移变换
伸缩变换
翻转变换
映射
反函数
函数三素
定义域
值 域
解析式
定义域
值 域
反 解
图 象
定 义
图 象
性 质
方 程
元次函数
元二次函数
反例函数
指数函数
数函数
三角函数
型：
型：
值
关yx称
映射函数：
（1）映射概念： 两集合果某种应法集合A中 元素集合中 元素应记作：
（2）映射：两集合集合集合映射果映射集合中 集合中 中
（3）函数概念：果 映射做函数记作
：问：映射 映射 函数 映射
函数图象直线交点数
二函数三素：
相函数判断方法：① ② (两点必须时具备)
（1）函数解析式求法：
①定义法（拼凑）：：已知求：
②换元法：：已知求
③定系数法：：已知求次函数
④赋值法：：已知求
（2）函数定义域求法：
① ②
③ ④： ⑤含参问题定义域分类讨
：已知函数定义域求定义域
⑥实际问题求出函数解析式必须求出定义域时定义域根实际意义确定：已知扇形周长20半径扇形面积 定义域
（3）函数值域求法：
①配方法：转化二次函数利二次函数特征求值常转化型：形式
②逆求法（反求法）：通反解表示取值范围通解等式出取值范围常解型：
③判式法：转化关元二次方程（中参数）利存方程成立找方程解充条件适题型：全两种情况：（1）具体范围：直接套（2）具体范围：实根分布根充条件
注意：（1）元二次方程二次项系数含项式时分类讨
（2）定义域中连续点验证方法：令取连续点值求出求出应果定义域定义应值域中值否值域中
④换元法：通变量代换转化求值域函数化思想适题型
⑤三角界法：转化含正弦余弦函数运三角函数界性求值域
⑥基等式法：转化成型：利均值等式公式求值域
⑦单调性法：函数单调函数根函数单调性求值域
⑧数形结合：根函数图形利数型结合方法求值域
求列函数值域：①（2种方法）
②（2种方法）③（2种方法）④⑤（2种方法）
⑥⑦⑧
三函数性质：
（1）函数单调性：定区间函数果 定义域意 称增函数 称减函数
注意：（1）函数单调性定义证明函数单调性基方法函数关项式通求导证明： 时增函数 时减函数
（2）单调性般区间表示集合表示
（2）函数奇偶性：函数 果定义域意 称奇函数 称偶函数
奇函数图象关 偶函数图象关
注意：（1）研究函数奇偶性首先研究函数定义域
（2）函数奇函数
：判断奇偶性
关函数单调性奇偶性结：
1奇函数区间单调递增（减）区间单调递
2偶函数区间单调递增（减）区间单调递
3奇函数偶函数函数解析式 样函数
4意定义函数唯表示成奇函数偶函数：中 偶函数 奇函数
（3）函数称性结：
1设函数定义域满足条件：函数 图象关直线 称
：成立关 称
注意：关 称
2定义函数定义域意满足条件关点成中心称
：关原点称
（4）函数周期性：函数果存零常数T定义域值 函数周期函数 周期
关函数周期性结：
①定义函数定义域意满足条件成立 周期周期函数
②函数关直线称关称定周期函数 周期
③关直线成轴称关点成中心称定周期函数 周期
四图形变换：
（1）移变换：
①形：：函数图象 方 移 单位图象
②形：：函数图象 方 移 单位图象
（2）称翻转变换：
①形：：函数图象函数图象关 称
②形：：函数图象函数图象关 称
③形：：函数图象函数图象关 称
④形：：函数图象函数图象关 称
⑤形：偶函数图象关轴称先 图象
⑥形：：函数图象 函数图象
（3）伸缩变换：
①形：：函数图象横坐标（坐标变）缩（）伸长（）原倍
②形：：函数图象坐标（横坐标变）伸长（） 压缩（）原倍
x
O
y
yf(x)
(20)
(01)
：图象图作出列函数图象：（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）
五反函数：
（1）定义：设表示变量函数定义域值域式子解出式子果中值通式子中唯确定值应式子表示变量函数样函数做反函数记惯表示变量表示函数改写成
（2）函数存反函数条件：
（3）互反函数定义域值域关系：
（4）求反函数步骤：①成关方程解出两解注意解选择
②互换③写出反函数定义域（值域）
（5）互反函数图象间关系：
（6）原函数反函数具相单调性
（7）原函数奇函数反函数奇函数原函数偶函数定存反函数
：求列函数反函数：
六复合函数：
（1）定义：果函数记函数记 值域定义域交集空确定关函数时做复合函数中做中间变量做外层函数做层函数
（2）复合函数单调性：
七常初等函数：
（1）元次函数：
时增函数时减函数
（2）元二次函数：
般式：称轴方程 顶点
两点式：称轴方程 轴交点
顶点式：称轴方程 顶点
①元二次函数单调性：
时： 增函数 减函数
时： 增函数 减函数
②二次函数求值问题：首先采配方法化形式
Ⅰ顶点横坐标定区间
时：顶点处取值值距离称轴较远端点处取
时：顶点处取值值距离称轴较远端点处取
Ⅱ顶点横坐标定区间
时：值距离称轴较端点处取值距离称轴较远端点处取
时：值距离称轴较端点处取值距离称轴较远端点处取
三类型题型：
(1)顶点固定区间固定：
(2)顶点含参数(顶点变动)区间固定时讨顶点横坐标时区间时区间外：
(3)顶点固定区间变动时讨区间中参数．
③二次方程实数根分布问题： 设实系数元二次方程两根：
根情况
等价命题
区间两根
区间两根
区间根
充条件
根情况
等价命题
区间两根
区间根
区间根
充条件
注意：闭区间讨方程实数解情况先利开区间实根分布情况出结果令
检查端点情况
（3）反例函数：
图 形
定义域
值 域
单调性
称中心
渐线
（4）指数函数：
指数运算法：
图 象
定义域
值 域
函数值
单调性
（5）数函数：
指数运算法： （1）
（2）换底公式：
（3）数恒等式：
图 象
定义域
值 域
函数值
单调性
注意：（1）图象关系
（2）较两指数数基方法构造相应指数数函数底数相时转化底数指数数注意1较0较
（3）已知函数定义域求取值范围
已知函数值域求取值范围
（4）图中间关系：
六 图象：
定义域：
值域：
奇偶性：
单调性： 增函数 减函数
七补充容：
（1）抽象函数性质应具体特殊函数模型：
①正例函数
②
③
④
（2）等式恒成立条件：
(1)已知
(a)时恒成立
(b)时恒成立 助次函数
(2)已知
(a)时恒成立
(b)时恒成立 （助次函数
(c)时恒成立 二次函数）
(3)恒成立恒成立
三等式
等式基性质：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦ ⑧
注意：特值法判断等式命题否成立种方法法尤适成立命题
二均值等式：两数算术均数均数
（仅时取等号）
基变形：①
②
③
④
基应：①放缩变形
②求函数值：注意：①正二定三取等②积定定积
（常数）仅 时
（常数）仅 时
常方法：拆凑方
：①函数值
②已知值
③值
④正数满足值
推广：①（仅时取等号）
基变形：
②（仅时取等号）
三绝值等式：
注意：
四常基等式：
（1）设（仅 时取等号）
（2）（仅 时取等号）（仅 时取等号）
（3）
（4）
（5）
（6）柯西等式：设
注意：量角度理解：设
（7）
（8）
五证明等式常方法：
（1）较法：①作差较：
②作商较：
作差较步骤：
⑴作差：较两数（式）作差
⑵变形：差进行式分解配方成数（式）完全方
⑶判断差符号：结合变形结果题设条件判断差符号
注意：两正数作差较困难通方差较
（2）综合法：导果
（3）分析法：执果索基步骤：证……需证……需证……
（4）反证法：正难反
（5）放缩法：等式侧适放缩达证题目
放缩法方法：
⑴添加舍项：
⑵分子分母放（缩）
⑶利基等式：
⑷利常结：
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ （程度）
Ⅳ （程度）
Ⅴ
（6）判式法：元二次函数关通等价变形转化成元二次方程根实数解解建立等式关系
：证明转化求函数值域
（7）换元法：换元目减少等式中变量问题化难易化繁简常换元三角换元代数换元：
已知设
已知设()
已知设
已知设
（8）构造法：通构造函数方程数列复数(量)等式证明等式
六等式解法：
（1）果两等式解集相等两等式做解等式解等式等式性质解变形原理求解原等式解等式
（2）等式解原理：
1等式两边加(减)数整式等式原等式解
2等式两边()正数零整式等式原等式解
3等式两边()负数零整式等号改变方等式原等式解
（3）元次等式：
Ⅰ：⑴ ⑵
Ⅱ：⑴ ⑵
（4）元二次等式： 元二次等式二次项系数零解变形二次项系数零
注：进行讨：
Ⅰ：
⑴ ⑵ ⑶
Ⅱ：
⑴ ⑵ ⑶
（5）绝值等式：
⑴
⑵
⑶
⑷含绝值符号等式零点分区间讨方法解
注意：Ⅰ意义：：
：
Ⅱ解关绝值问题考虑绝值绝值方法：
⑴绝值部分等零进行讨绝值① ② ③
⑵通两边方绝值需注意等号两边非负值
（6）高次等式：化成标准型利表解法序轴表根法写出解集
序轴表根法求解步骤：⑴式根标数轴⑵右方次通点画出曲线注意： ⑶根曲线显示值符号变化写出等式解集
注意：式中前系数正值
（7）分式等式解法：通解变形整式等式
⑴ ⑵
⑶ ⑷
（8）理等式解法：通解变形理等式
⑴
⑵
⑶
注意：⑴保证根式意义⑵取根号方法方换元通两边方根号等式两边非负值
（9）指数等式：
⑴
⑵
⑶利换元法令等式化元二次等式解
注意：底数讨
（10）数等式：
⑴
⑵
⑶利换元法令等式化元二次等式解
注意：⑴底数讨⑵真数零
⑶解指数数等式般步骤：统底数解变形分类讨（底数）
（11）等式组解法：分求出等式组中等式解集然求交集等式组解集求交集中通常等式解集画条数轴取公部分
（12）解含参数等式：般含参数等式进行恰分类讨：
⑴二次项系数含参数元二次等式注意二次项系数零转化元次等式问题
⑵含参数元二次等式分讨
⑶元二次等式分式等式转化整式等式根根（更）含参数分讨
⑷指数数等式注意底数分进行讨
：（1）（2）
四三角函数：
角概念弧度制：
（1）直角坐标系讨角：
角顶点原点始边轴正半轴角终边第象限说角第象限角角终边坐标轴说角属象限象限界角
（2）①角终边相角集合：
角终边条直线角集合：
角终边关轴称角集合：
角终边关轴称角集合：
角终边关轴称角集合：
②特殊角集合表示：
终边坐标轴角集合：
终边三象限分线角集合：
终边二四象限分线角集合：
终边四象限分线角集合：
（3）区间角表示：
①象限角：第象限角： 第三象限角：
第三象限角：
②写出图中表示区间角：③④⑤⑥
x
y
O
x
y
O
（4）正确理解角：
正确理解间角
第象限角 锐角
角
（5）终边象限通 判断象限
（6）弧度制：正角弧度数正数负角弧度数负数零角弧度数零
已知角弧度数绝值中角作圆心角时圆弧长圆半径
（7）弧长公式： 半径公式：
扇形面积公式：
二意角三角函数：
（1）意角三角函数定义：
角顶点坐标原点始边轴正半轴建立直角坐标系角终边取异原点点点原点距离记
：角终边点
（2）图中画出角正弦线余弦线正切线
x
y
O
a
x
y
O
a
x
y
O
a
y
O
a
较关系：
（3）特殊角三角函数值：
0
sin
cos
三角三角函数关系诱导公式：
（1）角三角函数关系
方关系
倒数关系
商式关系
作：已知某角三角函数值求余三角函数值
（2）诱导公式：
：
：
：
：
：
：
：
：
：
诱导公式概括：
作：求意角三角函数值
（3）角三角函数关系诱导公式运：
①已知某角三角函数值求余三角函数值
注意：方关系两结果般通已知角象限加取舍分象限加讨
②求意角三角函数值
步骤：
意负角
三角函数
意正教
三角函数
0o~360o角
三角函数
求值
公式三
公式
0o~90o角
三角函数
公式二
四五
六七
八九
③已知三角函数值求角：注意：解唯数．
步骤： ①确定角象限
②函数值正先求出应锐角函数值负先求出绝值
应锐角
③根角象限出间角——果适合已知条件角第二限果第三第四象限
④果求适合条件角利终边相角表达式写出适合条件角集合
_________
注意：巧勾股数求三角函数值提高解题速度：（345）（6810）（51213）（81517）
四三角函数公式：
相
代
积化差：
代
代
差化积
倍角公式
万公式：
反解代
半角公式：
开方
三倍角公式：
五三角恒等变换：三角变换运算化简程中运较变换提高三角变换力学会创设条件灵活运三角公式掌握运算化简方法技．常数学思想方法技巧：
（1）角变换：三角化简求值证明中表达式中出现较相异角根角角间差倍半互补互余关系运角变换沟通条件结中角差异问题获解角变形：
①二倍二倍二倍二倍二倍二倍二倍
②问：
③④
⑤等等
（2）函数名称变换：三角变形中常常需变函数名称名函数三角函数中正余弦基础通常化切割弦变异名名
（3）常数代换：三角函数运算求值证明中时需常数转化三角函数值例常数1代换变形：
（4）幂变换：降幂三角变换时常方法次数较高三角函数式般采降幂处理方法常降幂公式： 降幂非绝时需升幂理式常升幂化理式常升幂公式：
（5）公式变形：三角公式变换应熟练掌握三角公式逆变形应
：
（中 ）
（6）三角函数式化简运算通常：角名形幂四方面入手
基规：切割化弦异角化角复角化单角异名化名高次化低次理化理积互化特殊值特殊角三角函数互化
：
推广：
推广：
六三角函数图象性质：
（1）正弦函数余弦函数正切函数性质：
图 象
作法：
定义域
值域
值（指出时
值
值）
值
周期
奇偶性
称性
称轴
中心
单调性
增区间
减区间
（2）
①样变化：
（a）先移伸缩：
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（b）先伸缩移：
注意：三角函数图象求解析式问题：确定
：图象中相邻值值间距离周期相邻值值零点间距离周期
：运中值左侧原点第零点横坐标
②性质：
定义域
值域
值（指出时值）
值
值
周期
奇偶性
称性
称轴
中心
单调性
增区间
减区间
：函数单调增区间
函数单调增区间
函数单调减区间
③函数值 值 周期 频率 相位 初相 图象称轴直线 点 该图象称中心
七三角关值域值问题（运三角函数界性）：：
①配方法（转化名角函数二次三项式）
：求函数值域
②降幂（转化角三角函数形式）
：求函数值值
③解等式（等号边化成角三角函数形式利正余弦界性解等式）
：求函数值域
④数形结合（联想解析中圆椭圆参数方程）
：求函数值域
⑤判式法（运万公式构造成关（设）参数二次函数）
：求函数值域
⑥换元法：：设求函数值
注意：熟悉间换算具体运中注意符号问题：（助单位圆）
x
y
O
y
O
⑦利函数单调性：：设求函数值
⑧分类讨（含参数三角函数值域值问题需参数进行讨）
：设（1）表示值（2）时求值
⑨基等式法：：求函数值
八重结：
（1）特殊函数周期：
①
②
③函数正周期非零常数正周期 正周期 正周期
④函数正周期两函数正周期公倍数
：求正周期
九解斜三角形：
（1）正弦定理： （ ）
（2）余弦定理：
（3）求角公式：
注意：正余弦定理适题型：
（）余弦定理适题型：
①已知三边求三角
②已知两边夹角求第三边两角
（二）正弦定理适题型：
①已知两角边求两边角
②已知两边边角求第三边两角（解常唯）
（4）三角形解数：
已知两边边角解三角形两解解解三种情况：
（）锐角：
A
C
C
C
C
A
A
A
B
B1
B2
B
①解 ②解 ③两解 ④解
A
C
B
（二）直角钝角：
① 解
② 解
面方法解题：
①先计算
②唯解
（5）面积公式：
中分外接圆切圆半径
（6）三角形中常结：
①意两边第三边意两边差第三边
②边角间等式关系：
③
④
⑤
⑥
五数列
数列定义：
数列定次序排列列数必定开头数相继第二数第三数……数列中数应序号反序号应数列中数数列定义正整数集（限子集）函数变量1开始次取正整数时相应列函数值 通常代数列般形式常记简记中表示数列通项
注意：（1）概念表示数列表示数列第项
（2）数列项项数概念数列项指数列中某确定数函数值项数指数数列中位置序号变量值
（3）间关系：
：已知满足求
二等差数列等数列性质：
等差数列
等数列
定义
果数列第2项起项前项差等常数数列等差数列
果数列第2项起项前项等常数数列做等数列
公差（）
（）
通项公式
求公式
倒序相加法推
错项相减法推
①
②
函数思想理解通项公式
等差数列
等差数列图象直线均匀排开群孤立点
等数列
函数思想理解求公式
等差数列
说明：
二次函数 图象群孤立点
等数列
（中 系数 互相反数公式重特点注意前提条件）
说明：
等数列
增减性
递增数列
递减数列
递增数列
常数列
递减数列
常数列
摆动数列
等差（）中项
意两数等差中项 两数等差中项两数算术均数
两数等中项 （）
等差（）数列性质
_______ _____
特
__________ __
特
等差数列中隔相项抽出项原序排列构成新数列然等差数列剩项原序构成数列定等差数列
：问公差
等数列中隔相项抽出项原序排列构成新数列然等数列剩项原序构成数列定等数列
：问公
数列公差
成等差数列
数列公差
数列公
数列公
数列公
数列均等差数列等差数列公差
数列均等差数列等数列公
等数列公
：（1）等差数列中
（2）等数列中
外等差数列中性质须注意：
（1）等差数列中
（2）等差数列中
（3）等差数列中
（4） 时
（5）均等差数列前n项分
（6）项数偶数等差数列（中间两项）
项数奇数等差数列（中间项）
等数列中性质须注意：
（1）等数列等数列公分
（2）等数列等数列公分
三判定方法：
（1）等差数列判定方法：
①定义法：（常数）等差数列
②中项公式法：等差数列
③通项公式法：（常数）等差数列
④前项公式法：（常数）等差数列
注意：①②证明等差数列理
（2）等数列判定方法：
①定义法：（零常数）等数列
②中项公式法：等差数列
③通项公式法：（零常数）等差数列
④前项公式法：（常数）等差数列
注意：①②证明等数列理
四数列通项求法：
（1）观察法：：（1）020220222……（2）21203200520007……
（2）化法：通递推公式变换转化成等差数列等数列
①递推式（常数）：直接运等差（）数列
②递推式：迭加法
：已知中求
③递推式：迭法
：已知中求
④递推式（常数）：
构造法：Ⅰ相减
等数列
Ⅱ设 等数列
：已知求
⑤递推式（常数）：
两边时令转化④法解决
：已知中求
⑥递推式（常数）：
变形出解出公等数列
：已知中求
（3）公式法：运
①已知求
②已知中 求
③已知中求
五数列求法：
（1）公式法：
①等差（）数列前项公式：
②
③
④
（2）倒序相加（）法：
：①求：
②已知相等两正数间插入正数构成首项末项等数列求插入正数积
（3）错位相减法：：求：
（4）裂项相消法：
：①
②
③
（5）项法：：求
（6）拆项组合法：：数列中求
六数列问题解题策略：
（1）分类讨问题：①等数列中前项公式时公进行讨 时前项公式时
②已知求时进行讨满足满足满足中扩展满足分段写成
（2）设项技巧：
①连续偶数项等差数列设公差
连续奇数项等差数列设公差
②连续偶数项等数列设公
连续奇数项等数列设公
六量
量
量概念
量运算
量运
量加减法
实数量积
量数量积
定分点公式
移
物理学中运
中运
两量行充条件
两量垂直充条件
基概念：
（1）量定义： 做量字母表示： 量线段起点终点字母表示：
（2）量两素： 中量称 记：
（3）量数量区：量数量种新量数量量正数负数0表示代数量进行种代数运算数量间进行较概念数量适量方量量模正数0进行较方较量说没意义
（4）特殊形式量：
①零量： 记： 方 规定：零量量
②单位量：
③量：量改变方起点终点意行移动量做量(书研究量)．
④行量： 做行量(称线量)量量行记作：
⑤相等量： 做相等量量量相等记作：
注：①零量零量相等
②意两相等非零量条线段表示线段起点关
③两量相等重概念意义两量长度相等方相代数表达式考虑应系数相等坐标表示量说两量坐标相等点解题中重作
⑥相反量： 做相反量量量相反记作：
二量表示法
（1）表示法：线段表示：
（2）字母表示法：写字母表示：
注意：解题时量中箭头省
（3）坐标表示法：直角坐标系分取 两单位量作基底量实数做量(直角)坐标记作
注意：①做轴坐标做轴坐标
②
三量运算：
（1）量加法：
①量法：三角形法行四边形法
②坐标法：
③重结：
Ⅰ围成周次始终相结量
Ⅱ两量行时行四边形法适三角形法
（2）量减法
①量法：三角形法行四边形法
②坐标法：
③重结：
④图形角度理解：
取左边等号中等号条件
取右边等号中等号条件
取左边等号中号条件
取右边等号中号条件
异中少零量
中少零量
异
中少零量
异中少零量
异
注意：变较绝值变较模
（3）实数量积(数)
①定义：般实数量积量记作长度方规定：
Ⅰ
Ⅱ时方方相时方方相反
②坐标法：
③运算律：设实数量：
结合律：
第分配律：
第二分配律：
（4）面量数量积
①数量积：已知两非零量夹角数量做 数量积(积)记作：
注意：Ⅰ夹角范围：中时 时时
两量夹角锐角时数量积0
两量夹角钝角时数量积0
零量量数量积等0
Ⅱ投影：做量方投影
②坐标法运算：
③运算律：交换律：
结合律：
分配律： 注意：
④重性质：
Ⅰ设非零量方相单位量夹角
：
Ⅱ
Ⅲ时反时
特：
Ⅳ量夹角公式：
Ⅴ
四定理公式：
（1）面量基定理(做面量分解定理)：
果面两线量该面量实数线量做表示面量组基底
（2）两量行充条件：
设实数
①量式：
②坐标式：
（3）两量垂直充条件：
设
①量式：
②坐标式：
（4）两点间距离公式：
设
：求函数值
x
O
P1
P
P2
y
（5）线段定分点公式：
设
①量式：
时中点应量公式
②坐标式：中点应量公式
时中点坐标公式
：已知直线两点线段相交时求取值范围（斜率角度通数形结合解题）
注意：①分清分点外分点
分点线段时点分点时值
分点线段延长线时点外分点值
点延长线时时值
点延长线时时值
②写成（没定义两量法）时写成
③三角形重心公式：中三角形三顶点坐标
（6）移公式：
移：设坐标面图形点方移动长度图形程图形移
移公式：图形意点移图形应点（注：）
注意：移公式求移解析式般步骤：①设移图形意点②移公式变形③代入原解析式中移解析式（法函数移变换解求轨迹方程中充分体现）
五运量证明面问题：
（1）面量基定理知：面意量两基量（）表示样解题开始设出两公线量涉量两基量表示
（2）证明结出发充分挖掘量关系：
①垂直关系
②行关系（常隐含条件中：三点线）
③角关系：量夹角公式
六量中常见问题处理：
（1）
（2）
（3）线段三点线
（4）
（5）
垂直（思考：含义）
（6）（思考：含义）
（7）理解
七解析：
直线部分
直线倾斜角斜率：
（1）直线倾斜角：面直角坐标系中条轴相交直线果轴绕着交点逆时针方旋转直线重合时转正角记做直线倾斜角
注意：规定直线轴行重合时倾斜角直线倾斜角范围
（2）直线斜率：倾斜角直线倾斜角正切做条直线斜率
①斜率表示倾斜角等直线轴倾斜程度
②条直线唯倾斜角条直线存斜率（直线垂直轴时斜率存)决定研究直线关问题时应考虑斜率存存两种情况否会产生漏解
③斜率计算公式：
设两点直线斜率
时时斜率存
二直线方程种形式：
（1）点斜式：已知点斜率直线方程：
注意：①直线斜率存时点斜式表示时方程
②表示：直线图形
（2）斜截式：已知直线轴截距斜率直线方程：
注意：正确理解截距概念具方性正负分距离区
（3）两点式：已知直线两点（）直线方程：
注意：①表示轴轴垂直直线
②两点式方程写成形式时方程适应条直线
（4）截距式：已知直线轴轴截距分（）直线方程：
注意：表示轴垂直直线表示轴垂直直线特表示原点直线谨慎
（5）参数式：（参数）中方量
点应参数
（参数）中方量 意义斜率倾斜角
（6）般式：条直线方程均写成般式：（时零）反二元次方程表示条直线
注意：①直线方程特殊形式化直线方程般式般式定化特殊形式系数否0确定
②指出时直线方量： （单位量）
直线法量：（直线垂直量）
三两直线位置关系：
位置关系
行
重合
相交
垂直
设两直线方程分：时相交交点坐标方程组解
注意：①行重合方量（法量）行：
垂直方量（法量）垂直
②两直线斜率存两直线 行 条直线斜率存直线斜率 0 两直线垂直
③说直线斜率存否该式成立公式起更方便．
④斜率相等时两直线行(重合)两直线行(重合)时斜率定相等斜率存
四两直线交角
（1）角：直线逆时针方旋转重合时转角角范围
注意：①角角样②旋转方逆时针方
③绕定点指两直线交点
（2）直线夹角：指相交成四角角(直角角)取值范围
（3）设两直线方程分：
①角
②夹角
③时
注意：①述关公式中前提两直线斜率存两直线互垂直条直线斜率存时数形结合法处理
②直线角夹角：
五点直线距离公式：
设点直线点距离：
两行线距离：
六直线系：
（1）设直线交点直线方程（）
：①交点 直线方程
②直线恒定点
注意：推广曲线交点方程：
（2）行直线
（3）垂直直线
七称问题：
（1）中心称：
①点关点称：
该点两称点中点中点坐标公式求解点关称点
②直线关点称：
Ⅰ已知直线取两点利中点公式求出关已知点称两点坐标两点式求出直线方程
Ⅱ求出称点利点斜式出直线方程
Ⅲ利点直线距离相等求出直线方程
：求已知直线关点称直线方程
（2）轴称：
①点关直线称：
Ⅰ点称点中点已知直线点称点连线斜率已知直线斜率负倒数
Ⅱ求出该点已知直线垂直直线方程然解方程组求出直线交点利中点坐标公式求解
：求点关直线称坐标
②直线关直线称：（设关称）
Ⅰ相交角等角距离相等
Ⅱ求出两点关称点两点式求出直线方程
Ⅲ设求直线直线意点关称点坐标适合方程
：求直线关称直线方程
八简单线性规划：
（1）设点直线
①点直线
②点直线方
③点直线方
（2）二元次等式表示面区域：
意二元次等式
①时表示直线方区域
表示直线方区域
②时表示直线方区域
表示直线方区域
注意：通常情况原点代入直线中根表示二元次等式表示面区域
（3）线性规划：
求线性目标函数线性约束条件值值问题统称线性规划问题
满足线性约束条件解做行解行解组成集合做行域生产实际中许问题结线性规划问题
注意：①时直线移值越越
直线移值越越
②时直线移值越越
直线移值越越
x
y
O
A(11)
B(51)
C(42)
：图示坐标面行域（阴影部分包括周界）目标函数取值优解数
圆部分
曲线方程：
直角坐标系中果某曲线点二元方程实数解建立：
①曲线点坐标方程解（纯粹性）
②方程解坐标点曲线点（完备性）
方程做曲线方程条曲线做方程曲线
二圆定义方程．
（1）圆定义：面定点距离等定长点集合(轨迹)做圆定点做圆心定长半径（圆心定位条件半径定型条件）
（2）圆标准方程：圆心半径
圆参数方程：参数)理解含义
圆般方程：圆心半径
般方程特点：①系数相等零②没样二次项③
特圆心坐标原点半径r半圆方程
线段直径圆方程：
三点圆位置关系（仅标准方程例形式化标准式样方法处理）
设圆圆心距
①圆外
②圆
③圆
四直线圆位置关系：
设直线圆圆心直线距直线圆联立方程组消（）元二次方程判式位置关系：
相离相切相交
注意：里关系判定称法圆实简便方法利判定称代数法讨直线二次曲线位置关系适应
五两圆位置关系：
（1）代数法：解两圆方程组成二元二次方程组方程组两组实数解两圆相交方程组两组相实数解两圆相切实数解两圆相离
（2）法：设圆半径圆半径
①两圆外离
②两圆外切
③两圆相交
④两圆切
⑤两圆含
六圆切线关问题：
（1）点圆点点切线方程：
点圆点点切线方程：
点圆点点切线方程：
（2）斜率圆相切切线方程：
斜率圆 相切切线方程求法设切线然利圆心切线距离等半径列出方程求
（3）点圆外面时设切方程利圆心直线距等半径求出利求出求值应该条斜率存直线时应补
（4）直线圆相切时切点坐标方程圆方程联立方程组解圆心切线垂直直线切线联立方程组解
（5）点圆外点点点切线切点弦方程：
点圆点点切线切点弦方程：
七圆弦长求法：
（1）法：直线圆相交时设弦长弦心距半径：
（2）代数法：设斜率圆交点分
（中求法直线圆方程联立消利韦达定理求解）
八圆系方程：
（1）两圆 交点圆系方程
时表示两圆交点直线
（2）直线圆交点圆系方程
圆锥曲线部分
椭圆：
（1）椭圆定义：面两定点距离等常数（）点轨迹
第二定义：面定点距离条定直线距离常数点轨迹
中：两定点做椭圆焦点焦点间距离做焦距定直线做准线
常数做离心率
注意：表示椭圆表示线段没轨迹
（2）椭圆标准方程图象性质：
中心原点焦点轴
中心原点焦点轴
标准方程
参数方程
参数)
参数)
图 形
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
B1
B2
A1
x
O
F1
F2
P
y
A2
B2
B1
顶 点
称轴
轴轴短轴长轴
焦 点
焦 距
离心率
（离心率越椭圆越扁）
准 线
通 径
（焦准距）
焦半径
焦点弦
仅中点横坐标关
仅中点坐标关
焦准距
二双曲线：
（1）双曲线定义：面两定点距离差绝值等常数（）点轨迹
第二定义：面定点距离条定直线距离常数点轨迹
中：两定点做双曲线焦点焦点间距离做焦距定直线做准线
常数做离心率
注意：（）表示双曲线支
表示两条射线没轨迹
（2）双曲线标准方程图象性质：
中心原点焦点轴
中心原点焦点轴
标准方程
图 形
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
y
x
O
F1
P
B2
B1
F2
顶 点
称轴
轴轴虚轴实轴
焦 点
焦 距
离心率
（离心率越开口越）
准 线
渐线
通 径
（焦准距）
焦半径
左支
右支
支
支
焦准距
（3）双曲线渐线：
①求双曲线渐线令右边10式分解
②双曲线渐线双曲线系方程
（4）等轴双曲线离心率
三抛物线：
（1）抛物线定义：面定点距离等条定直线距离点轨迹
中：定点抛物线焦点定直线做准线
（2）抛物线标准方程图象性质：
焦点轴
开口右
焦点轴
开口左
焦点轴
开口
焦点轴
开口
标准方程
图 形
x
O
F
P
y
O
F
P
y
x
O
F
P
y
x
O
F
P
y
x
顶 点
称轴
轴
轴
焦 点
离心率
准 线
通 径
焦半径
焦点弦
（时——通径）
焦准距
：抛物线焦点弦 中点抛物线准线垂足垂足求证：
x
O
F
A
y
B
N
D
M
E
Q
H
（1） （2） （3）
（4）设交抛物线分
（5）设
（6） （7）三点条直线
（8）作交轴求证：
四圆锥曲线统定义：
面动点定点条定直线距离等常数动点轨迹圆锥曲线中定点焦点定直线准线离心率
时轨迹椭圆时轨迹抛物线时轨迹双曲线
五轨迹方程求法：
（1）直接法：果动点满足条件身量等量关系条件简单明易表达需种关系翻译成含等式曲线轨迹方程
：已知底边长8两底角求顶点轨迹方程
（2）定义法：动点轨迹符合某基轨迹定义根定义直接求出动点轨迹方程
：已知圆定点圆动点垂直分线交 求轨迹方程
（3）法：求轨迹满足某性质（线段垂直分线角分线性质等）法列出式代点坐标较简单
：直径圆动点作垂足取点求点轨迹
（4）相关点法（代法）：问题中动点满足条件便等式列出动点着动点（称相关点）运动果相关点满足条件明显分析时动点坐标表示相关点坐标根相关点满足方程求动点轨迹方程
：双曲线两条渐线分取点（中坐标原点双曲线半焦距）求中点轨迹
（5）交轨法：求动点轨迹时时会出现求两动曲线交点轨迹问题类问题常常通解方程组出交点(含参数)坐标消参数出求轨迹方程常参数法
：知两点直线设长线段直线运动求直线交点轨迹方程
（6）整体法（设求法）：探求轨迹较复杂时扩考察视角问题中条件结种关系成整体整体出发运整体思想注重整体结构挖掘分析
：圆心圆椭圆交两点求中点轨迹方程
（7）参数法：时求动点应满足条件易出明显相关点较易发现（分析发现）动点运动常常受变量（角度斜率值截距时间等）制约动点坐标中分变量变化变化称变量参数建立轨迹参数方程种方法参数法
果需轨迹普通方程消参数
选择参数时选参变量具某种物理性质时间速度距离角度线段数量直线斜率点横坐标等没具体意义选定参变量特注意
取值范围动点坐标取值范围影响
注意：求轨迹问题根题意求中取值范围
六直线圆锥曲线位置关系：
（1）会利方程组解状况确定直线圆锥曲线位置关系解类问题般直线圆锥曲线联立方程组解数入手（注意考虑二次项系数零思考时意义）通图形进行讨（注意：称轴渐线行情况）
：试确定实数取值讨直线双曲线公点数
（2）会求直线圆锥曲线截弦长弦中点坐标：解决类问题时直线圆锥曲线相交方程组（尤含定系数否会增解）涉中点坐标注意韦达定理应韦达定理前提条件
：设抛物线两点称轴轴行开口右直线 抛物线截线段长求抛物线方程
（3）直线圆锥曲线相交时求某定条件直线线方程解类问题般根条件求解注意条件应
：已知抛物线方程轴截距2直线抛物线交两点径圆原点求直线方程
（4）圆锥曲线点关某直线称问题解类题方法：圆锥曲线两点直线已知直线垂直圆锥曲线两点中点定称直线关系式求解
：抛物线关称相异两点求取值范围
八立体
立体网络图：
公理4
线线行
线面行
面面行
线线垂直
线面垂直
面面垂直
三垂线逆定理
三垂线定理
⑴
⑵
⑷
⑶
⑸
⑹
⑾
⑿
⒀
⒁
⑼
⑽
⒂
⒃
⑺
⑻
（1）线线行判断：
⑴行直线两直线行
⑶果条直线面行条直线面面相交条直线交线行
⑹果两行面时第三面相交交线行
⑿垂直面两直线行
（2）线线垂直判断：
⑺面条直线果面条斜线射影垂直条斜线垂直
⑻面条直线果面条斜线垂直条斜线射影垂直
⑽直线垂直面条直线垂直面直线
补充：条直线两条行直线中条垂直必垂直行线中条
（3）线面行判断：
⑵果面外条直线面条直线行条直线面行
⑸两面行中面直线必行面
（4）线面垂直判断：
⑼果直线面两相交直线垂直条直线垂直面
⑾果两条行线中条垂直面条垂直面
⒁直线垂直两行面中面垂直面
⒃果两面垂直—面垂直交线直线必垂直—面
（5）面面行判断：
⑷面两条相交直线分行面两面行
⒀垂直条直线两面行
（6）面面垂直判断：
⒂面面垂线两面互相垂直
二定理：
（1）确定面条件：①公线三点②直线直线外点③相交直线
（2）直线直线位置关系： 相交 行 异面
直线面位置关系： 面 行 相交（垂直特殊情况）
面面位置关系： 相交 行
（3）等角定理：果两角两边分行方相两角相等
果两条相交直线外两条相交直线分行两组直线成锐角(直角)相等
（4）射影定理（斜线长射影长定理）：面外点面引垂线段斜线段中射影相等两条斜线段相等射影较长斜线段较长反斜线段相等射影相等斜线段较长射影较长垂线段条斜线段短
（5）角定理：斜线面直线成角中面射影成角
（6）异面直线判定：①反证法
②面外点面点直线面该点直线异面直线
（7）已知点条直线垂直直线点条直线垂直面
（8）果—直线行两相交面条直线行两面交线
（9）果两相交面垂直第三面交线垂直第三面
三唯性定理：
（1）已知点作直线已知面垂直
（2）已知面外点作面已知面行
（3）两条异面直线中条作面条行
四空间角求法：（角问题转化解三角形问题尤直角三角形）
（1）异面直线成角：通直线移异面直线成角转化面相交直线成角异面直线成角范围：
注意：异面直线中条直线三角形边移时找三角形中位线通补形：三棱柱补成四棱柱正方体加三样正方体补成底面正方形长方体
（2）线面成角：①线面行直线面：线面成角
②线面垂直：线面成角
③斜线面成角：范围斜线面射影成角
（3）二面角：关键找出二面角面角方法：①定义法②三垂线定理法③垂面法
注意：射影法：中二面角封闭图形面积封闭图形射影图形面积般解选择填空题
五距离求法：
（1）点点点线点面距离：点点间距离两点间线段长点线面间距离点线面垂足间线段长求首先找表示距离线段然计算
注意：求点面距离方法：
①直接法：直接确定点面垂线段长（垂线段般二面角面）
②转移法：转化点该面距离（利线面行性质）
③体积法：利三棱锥体积公式
（2）线线距离：
关异面直线距离常方法：
①定义法关键确定出公垂线段
②转化线面距离转化行面间距离关键找出构造出面③转化面面距离
（3）线面面面距离：线面间距离面面间距离线线间点线间距离常常相互转化
六常结：
（1）直线面射影直线直线面斜足条直线 成角成角 成角三角间关系
（2）确定点面射影位置：
①Ⅰ果角面外点角两边距离相等点面射影角分线
Ⅱ角顶角引角面斜线果斜线角两边夹角相等斜线点面射影角分线直线
Ⅲ果面外点面两点距离相等点面射影两点端点线段垂直分线
②垂线法：果面外点斜线面条直线垂直点面射影斜足垂直面直线直线(三垂线定理逆定理)
③垂面法：果两面互相垂直面点面射影两面交线(面面垂直性质定理)
④整体法：确定点面射影先确定点斜线整体面射影
（3）四面体中：
①面射影垂心
②面射影外心
③边距离相等面射影心
A’
A
F
E’
E
（4）异面直线两点间距离公式：异面直线成角公垂线段长分取点设
（果锐角公式中取负号果钝公式中取正号）
七面体：
（1）棱柱：
①定义：两面互相行余面四边形相邻两四边形公边互相行面围成体做棱柱
棱柱侧棱垂直底面
斜棱柱侧棱垂直底面
直棱柱底面正边形
正棱柱
四棱柱底面行四边形
行六面体侧棱垂直底面
直行六面体底面矩形
长方体底面正方形
正四棱柱棱长相等
正方体
②性质：Ⅰ侧面行四边形
Ⅱ两底面全等边形
Ⅲ行底面截面底面全等角面行四边形
Ⅳ长方体条角线长方等顶点三条棱长方
③面积：（底周长高）
④体积：（底面积高已知侧面棱距离）
（2）棱锥：
①定义：面边形余面公顶点三角形面围成体做棱锥
正棱锥：底面正边形顶点底面射影底面中心样棱锥做正棱锥
②性质：
Ⅰ行底面截面底面相似
截面边长底面应边边长等截棱锥高原棱锥高
面积等截棱锥高原棱锥高方
截棱锥体积原棱锥体积等截棱锥高原棱锥高立方
Ⅱ正棱锥性质：侧面全等等腰三角形通四直角三角形实现边高斜高间换算
A
B
C
D
P
O
H
③面积：（底周长斜高）
④体积：（底面积高）
（3）正四面体：
棱长正四面体问题补成边长正方体问题
棱间距离（正方体边长）
正四面体高（）
正四面体体积（）
正四面体中心底面顶点距离（）
外接球半径（正方体外接球半径）
切球半径（正四面体中心四面距离半径）
（4）正面体：
①定义：面相边数正边形顶点端相数目棱面体做正面体
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
面数
4
6
8
12
20
顶点数
4
8
6
20
12
棱数
6
12
12
30
30
面形状
正三角形
正方形
正三角形
正五边形
正三角形
顶点棱数
3
3
4
3
5
②欧拉公式：（简单面体顶点数面数棱数）
（表示面棱数表示顶点棱数）
八球
（1）定义：①球面：半圆直径旋转轴旋转成曲面
②球体：球面围成体
（2）性质：
①意截面圆面（球心面截圆圆球心面截圆圆）
两点球面距离指球面两点圆两点间段劣弧长
②球心截面圆心连线垂直截面中球半径截面半径球心截面距离
（3）面积公式：（球半径）
（4）体积公式：（球半径）
九排列组合二项式概率：
分类计数原理分步计数原理：
分类计数原理：果完成某事种方法方法间彼独立选中种方法达完成事目完成事方法总数方法种数
分步计数原理：果完成某事必须分成步骤步骤方法—步骤中种方法步骤中方法连接次完成步达完成事目完成事方法总数方法种数积
区：果类办法中种方法完成件事选分类计数原理类类间相互独立分类完成果步骤做完件事完成选分步计数原理步步间相互存连续分步完成
二排列组合：
（1）排列组合区联系：研究元素中取出元素问题
区：前者序者序
（2）排列数组合数：
排列数公式：
注意：①全排列：
②记住列阶数11223642451206720
排列数性质：
①（元素中取出元素分两步完成：
第步元素中选出1排指定位置
第二步余元素中选出排余位置）
②（元素中取出元素分两类完成：
第类：元素中含分两步完成：
第步排某位置方法
第二步余元素中选出排余位置）
种方法
第二类：元素中含元素中取出元素排位置种方法
组合数公式：
组合数性质：
①（元素中取出元素剩元素说元素中取出元素组合应元素中取出元素唯组合）
②（分两类完成：第类：含种方法第二类：含种方法）
③（第步：先选出1元素第二步：余元素中选出重复先选出选出组成组合先选出选出组成组合相重复次）
④（分类：第类：含第二类：含含第三类：含含含……）
⑤（元素分成分成两部分第部分含元素第二部分含元素：
第部分中取元素第二部分取元素
第部分中取元素第二部分取1元素……）
（3）排列组合应：
解排列组合应题时应抓住排列问题组合问题次搞清需分类需分步
切记：排组分清(序排列序组合)分类分步明确
排列组合应问题三类：带限制条件排列组合题带限制条件排列组合题排列组合综合题
解排列组合应题通常途径：
①元素先满足特殊元素求考虑元素——特殊元素法
②位置先满足特殊位置求考虑位置——特殊位置法
③先考虑附加条件计算出排列组合数减合求排列数组合数——间接法
（4）解组合问题应注意三点：
①组合数恰分类计算解组合题常方法
②直接法间接法解组合题前提正难反
③命题设计分组方案解组合题关键
（3）解排列组合题基策略方法：
①杂法：限制条件问题先总体考虑符合条件情况掉解决排列组合应题时种常解题方法
②分类处理：某问题总体解决时常常分成干类分类计数原理出结解排列组合问题基策略注意：分类重复遗漏：两类交集空集类集全集
③分步处理：分类处理类似某问题总体解决时常常分成干步分步计数原理解决处理排列组合问题时常常分类分步原先分类分步
④插入法（插空法）：某元素相邻采插入法先安排没限制条件元素然限制条件元素求插入排元素间
⑤捆绑法：求某元素相邻相邻干特殊元素捆绑元素然余普通元素全排列松绑特殊元素位置全排列捆绑法
⑥穷举法：满足题设条件排列组合逐排列出
⑦消序处理：均匀分组问题解决时定区分开序分组序分组序分组定清均匀分组形中产生序素
三二项式定理：
（1）通项：
（2）二项式系数性质：
①二项展开式中首末两端等距离两项二项式系数相等：
②二项展开式中中间项两项二项式系数相等
偶数时第项二项式系数
奇数时第项项二项式系数
③二项展开式中项二项式系数等
④二项展开式中奇数项二项式系数偶数项二项式系数相等
⑤
（3）展开式中系数求法（整数）
：展开式中含系数
（4）二项式定理应：
①求展开式中指定项特定项：
：①展开式中含常数项值
②求展开式中常数项
注意：三项三项展开式问题某两项结合项利二项式定理解决
②求展开式中某项系数：
：展开式中系数
③求展开式中系数：
：项系数（赋值法：令）（令）
④求二项式展开式系数项问题：
求展开式中系数项通常设展开式项系数分设第项系数然求出等式组整数解
：求展开式中系数项
⑤利二项式定理证明整问题余数求法：
：求证：64整（）
⑥证明关等式问题：
等式应二项式定理结合放缩法证明二项展开式中某正项适删(缩)某负项删(放)等式转化等式然根等式传递性进行证明①②（）
：求证：
⑦进行似计算：
求数次幂似值时底数化整数加数(减数)形式
充分时常列公式估计似值：
①②
：求似值结果精确001
四概率：
（1）机事件概率：
①必然事件：定条件必然发生事件
②事件：定条件发生事件
③机事件：定条件发生发生事件
④事件概率：量重复进行试验时事件A发生频率总接某常数附摆动时常数做事件概率记作
⑤范围：特例：必然事件事件
（2）等事件概率：
①基条件：次试验中出现结果称基事件
②等事件概率：果次试验中出现结果结果出现性相等基事件概率果某事件包含结果事件概率
③集合角度概率：次试验中等出现结果组成集合结果集合元素基事件均应集合含1元素子集包含结果事件应含元素子集集合角度事件概率子集元素数（记作集合元素数值
（3）互斥事件发生概率：
①互斥事件：时发生两事件做互斥事件
②互斥事件概率：
果事件互斥事件发生概率等事件分发生概率：
果事件彼互斥事件发生概率等 事件分发生概率
③立事件：果表示事件发生表示事件发生事件中必发生种中必发生互斥事件做立事件
④立事件概率：立事件概率等1：
（4）相互独立事件时发生概率：
①相互独立事件：事件 ()否发生事件()发生概率没影响样两事件做相互独立事件
注意：果事件互相独立互相独立事件
②相互独立事件时发生概率：
两相互独立事件时发生概率等事件发生概率积
果事件相互独立事件时发生概率等事件发生概率积
（5）独立重复试验：
①独立重复试验：次重复试验中次试验结果概率赖次试验结果称次试验独立
②独立重复试验概率：
果次试验中某事件发生概率次独立重复试验中事件恰发生次概率：
五统计：
（1）抽样方法：
①简单机抽样：般设总体体数果通逐抽取方法中抽取样次抽取时体抽概率相等称样抽样简单机抽样
注意：果简单机抽样体数总体中抽取容量样体抽概率等
Ⅰ抽签法：先总体中体（）编号（号码1）号码写形状相号签然号签放箱子里进行均匀搅拌抽签时次中抽出1号签连续抽取次容量样
注意：抽签法简便易行总体体数时适宜采种方法
Ⅱ机数表法：先件产品编号编000l02…然附表l机数表中选数作开始系列两位数字号码前面已号码掉样容量样
②系统抽样概念：总体分成均衡部分然预先定出规部分抽取1体需样种抽样做系统抽样
系统抽样步骤：Ⅰ采机方式总体中体编号
Ⅱ整编号分段(分成部分)确定分段间隔（N总体中体数n样容量）整数时整数时运简单机抽样总体中剔体剩总体中体数N’n整时
Ⅲ第1段简单机抽样确定起始体编号
Ⅳ事先确定规抽取样（通常加间隔第2编号加第3编号样继续直获取整样）
③分层抽样：已知总体差异明显部分组成时样更充分反映总体情况常总体分成部分然部分占进行抽样中分成部分做层
类
点
特点
相互联系
适范围
简单机抽样
抽样程中体抽取概率相等
总体中逐抽取
总体中体数较少
系统抽样
总体均分成部分事先确定规部分抽取
起始部分抽样时采简单机抽样
总体中体数较
分层抽样
总体分成层分层进行抽取
层抽样时采简单机抽样系统抽样
总体差异明显部分组
（2）作出频率分布直方图
注意：直方图中矩形表示样落范围频率
理解：频数频率累积频率概率概念
（3）期方差：
期（均数）：
方差：
注意：期方差（1）期方差（2）期方差
十导数：
导数概念：
（1）函数点处导：函数间均变化率
果时极限称函数点处导
（2）函数开区间导：果函数开区间点处导称函数开区间导
（3）函数点导数：
果函数点处导极限做函数点导数（变化率）记作：
（4）函数开区间导函数(导数)：
果函数开区间导开区间确定值应着确定导数样开区间构成新函数—新函数做函数开区间导函数（简称导数）记：
（5）导数意义：函数点处导数曲线点处切线斜率
（6）导数物理中运：函数点处导数物体运动方程时物体运动时刻瞬时速度物体运动时刻加速度
二种常见函数导数：（常数）
三函数差积商导数：
（1）(差)导数：两函数(差)导数等两函数导数(差)
容易推广限函数情形：
（2）积导数：两函数积导数等第函数导数第二函数加第函数第二函数导数：
容易推出：（常数）：常数函数积导数等常数函数导数
四导数运：
（1）函数单调性：
①设函数某区间导果增函数果减函数
②设函数某区间导果该区间单调递增(递减)该区间()
求导函数单调区间步骤：
①求 ②解等式()
③确认指出递增区间(递减区间)
证明导函数单调性步骤：
①求 ②确认符号 ③作出结
（2）函数极值极值：
函数极值定义：设函数点附定义果附点()说函数极()值
求导函数极值步骤：
①求 ②求方程全部实根
③检查方程根左右值符号果左正右负根处取极值果左负右正根处取极值
（3）函数值值：
求值值步骤：
①求极值
②极值较确定值值
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集合简易逻辑：
集合
概念
元素特征
集合表示
集合分类
序性
互异性
确定性
韦恩图
描述法
列举法
关系
元素集合
集合集合
运算
补集
集
交集
非
简易逻辑
命题
联结词
四种命题
条件
否命题
逆命题
原命题
逆否命题
充条件
必非充分条件
充分非必条件
非充分非必
互逆否
理解集合中关概念
（1）集合中元素特征： 确定性 互异性 序性
集合元素互异性：：求
（2）集合元素关系符号表示
（3）常数集符号表示：然数集 正整数集 整数集 理数集 实数集
（4）集合表示法： 列举法 描述法 韦恩图
注意：区分集合中元素形式：：
（5）空集指含元素集合（区0三者间关系）
空集集合子集非空集合真子集
注意：条件讨时候遗忘情况
：果求取值
二集合间关系运算
（1）符号表示元素集合间关系立体中体现 点直线（面）关系
符号表示集合集合间关系立体中体现 面直线(面)关系
（2）
（3）意集合：
①
②
③
（4）①偶数 奇数
②3余0 3余1 3余2
三集合中元素数计算：
（1）集合中元素集合子集数_________真子集数__________非空真子集数
（2）中元素数计算公式：
（3）韦恩图运：
四满足条件满足条件
充分非必条件
必非充分条件
充条件
非充分非必条件
五原命题逆否命题否命题逆命题具相
注意：解题中运
： 条件
六反证法：证明感困难时改证等价命题成立
步骤：1假设结反面成立2假设出发推理证出矛盾3矛盾判断假设成立肯定结正确
矛盾源：1原命题条件矛盾2导出假设相矛盾命题3导出恒假命题
适证命题结涉少唯等字眼时
正面词语
等
否定
正面词语
少
意
n
意两
否定
二函数
应
映 射
函 数
常函数
等式
方 程
性 质
解析式
单调性
奇偶性
周期性性
称性性
图 象
图象变换
移变换
伸缩变换
翻转变换
映射
反函数
函数三素
定义域
值 域
解析式
定义域
值 域
反 解
图 象
定 义
图 象
性 质
方 程
元次函数
元二次函数
反例函数
指数函数
数函数
三角函数
型：
型：
值
关yx称
映射函数：
（1）映射概念： 两集合果某种应法集合A中 元素集合中 元素应记作：
（2）映射：两集合集合集合映射果映射集合中 集合中 中
（3）函数概念：果 映射做函数记作
：问：映射 映射 函数 映射
函数图象直线交点数
二函数三素：
相函数判断方法：① ② (两点必须时具备)
（1）函数解析式求法：
①定义法（拼凑）：：已知求：
②换元法：：已知求
③定系数法：：已知求次函数
④赋值法：：已知求
（2）函数定义域求法：
① ②
③ ④： ⑤含参问题定义域分类讨
：已知函数定义域求定义域
⑥实际问题求出函数解析式必须求出定义域时定义域根实际意义确定：已知扇形周长20半径扇形面积 定义域
（3）函数值域求法：
①配方法：转化二次函数利二次函数特征求值常转化型：形式
②逆求法（反求法）：通反解表示取值范围通解等式出取值范围常解型：
③判式法：转化关元二次方程（中参数）利存方程成立找方程解充条件适题型：全两种情况：（1）具体范围：直接套（2）具体范围：实根分布根充条件
注意：（1）元二次方程二次项系数含项式时分类讨
（2）定义域中连续点验证方法：令取连续点值求出求出应果定义域定义应值域中值否值域中
④换元法：通变量代换转化求值域函数化思想适题型
⑤三角界法：转化含正弦余弦函数运三角函数界性求值域
⑥基等式法：转化成型：利均值等式公式求值域
⑦单调性法：函数单调函数根函数单调性求值域
⑧数形结合：根函数图形利数型结合方法求值域
求列函数值域：①（2种方法）
②（2种方法）③（2种方法）④⑤（2种方法）
⑥⑦⑧
三函数性质：
（1）函数单调性：定区间函数果 定义域意 称增函数 称减函数
注意：（1）函数单调性定义证明函数单调性基方法函数关项式通求导证明： 时增函数 时减函数
（2）单调性般区间表示集合表示
（2）函数奇偶性：函数 果定义域意 称奇函数 称偶函数
奇函数图象关 偶函数图象关
注意：（1）研究函数奇偶性首先研究函数定义域
（2）函数奇函数
：判断奇偶性
关函数单调性奇偶性结：
1奇函数区间单调递增（减）区间单调递
2偶函数区间单调递增（减）区间单调递
3奇函数偶函数函数解析式 样函数
4意定义函数唯表示成奇函数偶函数：中 偶函数 奇函数
（3）函数称性结：
1设函数定义域满足条件：函数 图象关直线 称
：成立关 称
注意：关 称
2定义函数定义域意满足条件关点成中心称
：关原点称
（4）函数周期性：函数果存零常数T定义域值 函数周期函数 周期
关函数周期性结：
①定义函数定义域意满足条件成立 周期周期函数
②函数关直线称关称定周期函数 周期
③关直线成轴称关点成中心称定周期函数 周期
四图形变换：
（1）移变换：
①形：：函数图象 方 移 单位图象
②形：：函数图象 方 移 单位图象
（2）称翻转变换：
①形：：函数图象函数图象关 称
②形：：函数图象函数图象关 称
③形：：函数图象函数图象关 称
④形：：函数图象函数图象关 称
⑤形：偶函数图象关轴称先 图象
⑥形：：函数图象 函数图象
（3）伸缩变换：
①形：：函数图象横坐标（坐标变）缩（）伸长（）原倍
②形：：函数图象坐标（横坐标变）伸长（） 压缩（）原倍
x
O
y
yf(x)
(20)
(01)
：图象图作出列函数图象：（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）
五反函数：
（1）定义：设表示变量函数定义域值域式子解出式子果中值通式子中唯确定值应式子表示变量函数样函数做反函数记惯表示变量表示函数改写成
（2）函数存反函数条件：
（3）互反函数定义域值域关系：
（4）求反函数步骤：①成关方程解出两解注意解选择
②互换③写出反函数定义域（值域）
（5）互反函数图象间关系：
（6）原函数反函数具相单调性
（7）原函数奇函数反函数奇函数原函数偶函数定存反函数
：求列函数反函数：
六复合函数：
（1）定义：果函数记函数记 值域定义域交集空确定关函数时做复合函数中做中间变量做外层函数做层函数
（2）复合函数单调性：
七常初等函数：
（1）元次函数：
时增函数时减函数
（2）元二次函数：
般式：称轴方程 顶点
两点式：称轴方程 轴交点
顶点式：称轴方程 顶点
①元二次函数单调性：
时： 增函数 减函数
时： 增函数 减函数
②二次函数求值问题：首先采配方法化形式
Ⅰ顶点横坐标定区间
时：顶点处取值值距离称轴较远端点处取
时：顶点处取值值距离称轴较远端点处取
Ⅱ顶点横坐标定区间
时：值距离称轴较端点处取值距离称轴较远端点处取
时：值距离称轴较端点处取值距离称轴较远端点处取
三类型题型：
(1)顶点固定区间固定：
(2)顶点含参数(顶点变动)区间固定时讨顶点横坐标时区间时区间外：
(3)顶点固定区间变动时讨区间中参数．
③二次方程实数根分布问题： 设实系数元二次方程两根：
根情况
等价命题
区间两根
区间两根
区间根
充条件
根情况
等价命题
区间两根
区间根
区间根
充条件
注意：闭区间讨方程实数解情况先利开区间实根分布情况出结果令
检查端点情况
（3）反例函数：
图 形
定义域
值 域
单调性
称中心
渐线
（4）指数函数：
指数运算法：
图 象
定义域
值 域
函数值
单调性
（5）数函数：
指数运算法： （1）
（2）换底公式：
（3）数恒等式：
图 象
定义域
值 域
函数值
单调性
注意：（1）图象关系
（2）较两指数数基方法构造相应指数数函数底数相时转化底数指数数注意1较0较
（3）已知函数定义域求取值范围
已知函数值域求取值范围
（4）图中间关系：
六 图象：
定义域：
值域：
奇偶性：
单调性： 增函数 减函数
七补充容：
（1）抽象函数性质应具体特殊函数模型：
①正例函数
②
③
④
（2）等式恒成立条件：
(1)已知
(a)时恒成立
(b)时恒成立 助次函数
(2)已知
(a)时恒成立
(b)时恒成立 （助次函数
(c)时恒成立 二次函数）
(3)恒成立恒成立
三等式
等式基性质：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦ ⑧
注意：特值法判断等式命题否成立种方法法尤适成立命题
二均值等式：两数算术均数均数
（仅时取等号）
基变形：①
②
③
④
基应：①放缩变形
②求函数值：注意：①正二定三取等②积定定积
（常数）仅 时
（常数）仅 时
常方法：拆凑方
：①函数值
②已知值
③值
④正数满足值
推广：①（仅时取等号）
基变形：
②（仅时取等号）
三绝值等式：
注意：
四常基等式：
（1）设（仅 时取等号）
（2）（仅 时取等号）（仅 时取等号）
（3）
（4）
（5）
（6）柯西等式：设
注意：量角度理解：设
（7）
（8）
五证明等式常方法：
（1）较法：①作差较：
②作商较：
作差较步骤：
⑴作差：较两数（式）作差
⑵变形：差进行式分解配方成数（式）完全方
⑶判断差符号：结合变形结果题设条件判断差符号
注意：两正数作差较困难通方差较
（2）综合法：导果
（3）分析法：执果索基步骤：证……需证……需证……
（4）反证法：正难反
（5）放缩法：等式侧适放缩达证题目
放缩法方法：
⑴添加舍项：
⑵分子分母放（缩）
⑶利基等式：
⑷利常结：
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ （程度）
Ⅳ （程度）
Ⅴ
（6）判式法：元二次函数关通等价变形转化成元二次方程根实数解解建立等式关系
：证明转化求函数值域
（7）换元法：换元目减少等式中变量问题化难易化繁简常换元三角换元代数换元：
已知设
已知设()
已知设
已知设
（8）构造法：通构造函数方程数列复数(量)等式证明等式
六等式解法：
（1）果两等式解集相等两等式做解等式解等式等式性质解变形原理求解原等式解等式
（2）等式解原理：
1等式两边加(减)数整式等式原等式解
2等式两边()正数零整式等式原等式解
3等式两边()负数零整式等号改变方等式原等式解
（3）元次等式：
Ⅰ：⑴ ⑵
Ⅱ：⑴ ⑵
（4）元二次等式： 元二次等式二次项系数零解变形二次项系数零
注：进行讨：
Ⅰ：
⑴ ⑵ ⑶
Ⅱ：
⑴ ⑵ ⑶
（5）绝值等式：
⑴
⑵
⑶
⑷含绝值符号等式零点分区间讨方法解
注意：Ⅰ意义：：
：
Ⅱ解关绝值问题考虑绝值绝值方法：
⑴绝值部分等零进行讨绝值① ② ③
⑵通两边方绝值需注意等号两边非负值
（6）高次等式：化成标准型利表解法序轴表根法写出解集
序轴表根法求解步骤：⑴式根标数轴⑵右方次通点画出曲线注意： ⑶根曲线显示值符号变化写出等式解集
注意：式中前系数正值
（7）分式等式解法：通解变形整式等式
⑴ ⑵
⑶ ⑷
（8）理等式解法：通解变形理等式
⑴
⑵
⑶
注意：⑴保证根式意义⑵取根号方法方换元通两边方根号等式两边非负值
（9）指数等式：
⑴
⑵
⑶利换元法令等式化元二次等式解
注意：底数讨
（10）数等式：
⑴
⑵
⑶利换元法令等式化元二次等式解
注意：⑴底数讨⑵真数零
⑶解指数数等式般步骤：统底数解变形分类讨（底数）
（11）等式组解法：分求出等式组中等式解集然求交集等式组解集求交集中通常等式解集画条数轴取公部分
（12）解含参数等式：般含参数等式进行恰分类讨：
⑴二次项系数含参数元二次等式注意二次项系数零转化元次等式问题
⑵含参数元二次等式分讨
⑶元二次等式分式等式转化整式等式根根（更）含参数分讨
⑷指数数等式注意底数分进行讨
：（1）（2）
四三角函数：
角概念弧度制：
（1）直角坐标系讨角：
角顶点原点始边轴正半轴角终边第象限说角第象限角角终边坐标轴说角属象限象限界角
（2）①角终边相角集合：
角终边条直线角集合：
角终边关轴称角集合：
角终边关轴称角集合：
角终边关轴称角集合：
②特殊角集合表示：
终边坐标轴角集合：
终边三象限分线角集合：
终边二四象限分线角集合：
终边四象限分线角集合：
（3）区间角表示：
①象限角：第象限角： 第三象限角：
第三象限角：
②写出图中表示区间角：③④⑤⑥
x
y
O
x
y
O
（4）正确理解角：
正确理解间角
第象限角 锐角
角
（5）终边象限通 判断象限
（6）弧度制：正角弧度数正数负角弧度数负数零角弧度数零
已知角弧度数绝值中角作圆心角时圆弧长圆半径
（7）弧长公式： 半径公式：
扇形面积公式：
二意角三角函数：
（1）意角三角函数定义：
角顶点坐标原点始边轴正半轴建立直角坐标系角终边取异原点点点原点距离记
：角终边点
（2）图中画出角正弦线余弦线正切线
x
y
O
a
x
y
O
a
x
y
O
a
y
O
a
较关系：
（3）特殊角三角函数值：
0
sin
cos
三角三角函数关系诱导公式：
（1）角三角函数关系
方关系
倒数关系
商式关系
作：已知某角三角函数值求余三角函数值
（2）诱导公式：
：
：
：
：
：
：
：
：
：
诱导公式概括：
作：求意角三角函数值
（3）角三角函数关系诱导公式运：
①已知某角三角函数值求余三角函数值
注意：方关系两结果般通已知角象限加取舍分象限加讨
②求意角三角函数值
步骤：
意负角
三角函数
意正教
三角函数
0o~360o角
三角函数
求值
公式三
公式
0o~90o角
三角函数
公式二
四五
六七
八九
③已知三角函数值求角：注意：解唯数．
步骤： ①确定角象限
②函数值正先求出应锐角函数值负先求出绝值
应锐角
③根角象限出间角——果适合已知条件角第二限果第三第四象限
④果求适合条件角利终边相角表达式写出适合条件角集合
_________
注意：巧勾股数求三角函数值提高解题速度：（345）（6810）（51213）（81517）
四三角函数公式：
相
代
积化差：
代
代
差化积
倍角公式
万公式：
反解代
半角公式：
开方
三倍角公式：
五三角恒等变换：三角变换运算化简程中运较变换提高三角变换力学会创设条件灵活运三角公式掌握运算化简方法技．常数学思想方法技巧：
（1）角变换：三角化简求值证明中表达式中出现较相异角根角角间差倍半互补互余关系运角变换沟通条件结中角差异问题获解角变形：
①二倍二倍二倍二倍二倍二倍二倍
②问：
③④
⑤等等
（2）函数名称变换：三角变形中常常需变函数名称名函数三角函数中正余弦基础通常化切割弦变异名名
（3）常数代换：三角函数运算求值证明中时需常数转化三角函数值例常数1代换变形：
（4）幂变换：降幂三角变换时常方法次数较高三角函数式般采降幂处理方法常降幂公式： 降幂非绝时需升幂理式常升幂化理式常升幂公式：
（5）公式变形：三角公式变换应熟练掌握三角公式逆变形应
：
（中 ）
（6）三角函数式化简运算通常：角名形幂四方面入手
基规：切割化弦异角化角复角化单角异名化名高次化低次理化理积互化特殊值特殊角三角函数互化
：
推广：
推广：
六三角函数图象性质：
（1）正弦函数余弦函数正切函数性质：
图 象
作法：
定义域
值域
值（指出时
值
值）
值
周期
奇偶性
称性
称轴
中心
单调性
增区间
减区间
（2）
①样变化：
（a）先移伸缩：
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（b）先伸缩移：
注意：三角函数图象求解析式问题：确定
：图象中相邻值值间距离周期相邻值值零点间距离周期
：运中值左侧原点第零点横坐标
②性质：
定义域
值域
值（指出时值）
值
值
周期
奇偶性
称性
称轴
中心
单调性
增区间
减区间
：函数单调增区间
函数单调增区间
函数单调减区间
③函数值 值 周期 频率 相位 初相 图象称轴直线 点 该图象称中心
七三角关值域值问题（运三角函数界性）：：
①配方法（转化名角函数二次三项式）
：求函数值域
②降幂（转化角三角函数形式）
：求函数值值
③解等式（等号边化成角三角函数形式利正余弦界性解等式）
：求函数值域
④数形结合（联想解析中圆椭圆参数方程）
：求函数值域
⑤判式法（运万公式构造成关（设）参数二次函数）
：求函数值域
⑥换元法：：设求函数值
注意：熟悉间换算具体运中注意符号问题：（助单位圆）
x
y
O
y
O
⑦利函数单调性：：设求函数值
⑧分类讨（含参数三角函数值域值问题需参数进行讨）
：设（1）表示值（2）时求值
⑨基等式法：：求函数值
八重结：
（1）特殊函数周期：
①
②
③函数正周期非零常数正周期 正周期 正周期
④函数正周期两函数正周期公倍数
：求正周期
九解斜三角形：
（1）正弦定理： （ ）
（2）余弦定理：
（3）求角公式：
注意：正余弦定理适题型：
（）余弦定理适题型：
①已知三边求三角
②已知两边夹角求第三边两角
（二）正弦定理适题型：
①已知两角边求两边角
②已知两边边角求第三边两角（解常唯）
（4）三角形解数：
已知两边边角解三角形两解解解三种情况：
（）锐角：
A
C
C
C
C
A
A
A
B
B1
B2
B
①解 ②解 ③两解 ④解
A
C
B
（二）直角钝角：
① 解
② 解
面方法解题：
①先计算
②唯解
（5）面积公式：
中分外接圆切圆半径
（6）三角形中常结：
①意两边第三边意两边差第三边
②边角间等式关系：
③
④
⑤
⑥
五数列
数列定义：
数列定次序排列列数必定开头数相继第二数第三数……数列中数应序号反序号应数列中数数列定义正整数集（限子集）函数变量1开始次取正整数时相应列函数值 通常代数列般形式常记简记中表示数列通项
注意：（1）概念表示数列表示数列第项
（2）数列项项数概念数列项指数列中某确定数函数值项数指数数列中位置序号变量值
（3）间关系：
：已知满足求
二等差数列等数列性质：
等差数列
等数列
定义
果数列第2项起项前项差等常数数列等差数列
果数列第2项起项前项等常数数列做等数列
公差（）
（）
通项公式
求公式
倒序相加法推
错项相减法推
①
②
函数思想理解通项公式
等差数列
等差数列图象直线均匀排开群孤立点
等数列
函数思想理解求公式
等差数列
说明：
二次函数 图象群孤立点
等数列
（中 系数 互相反数公式重特点注意前提条件）
说明：
等数列
增减性
递增数列
递减数列
递增数列
常数列
递减数列
常数列
摆动数列
等差（）中项
意两数等差中项 两数等差中项两数算术均数
两数等中项 （）
等差（）数列性质
_______ _____
特
__________ __
特
等差数列中隔相项抽出项原序排列构成新数列然等差数列剩项原序构成数列定等差数列
：问公差
等数列中隔相项抽出项原序排列构成新数列然等数列剩项原序构成数列定等数列
：问公
数列公差
成等差数列
数列公差
数列公
数列公
数列公
数列均等差数列等差数列公差
数列均等差数列等数列公
等数列公
：（1）等差数列中
（2）等数列中
外等差数列中性质须注意：
（1）等差数列中
（2）等差数列中
（3）等差数列中
（4） 时
（5）均等差数列前n项分
（6）项数偶数等差数列（中间两项）
项数奇数等差数列（中间项）
等数列中性质须注意：
（1）等数列等数列公分
（2）等数列等数列公分
三判定方法：
（1）等差数列判定方法：
①定义法：（常数）等差数列
②中项公式法：等差数列
③通项公式法：（常数）等差数列
④前项公式法：（常数）等差数列
注意：①②证明等差数列理
（2）等数列判定方法：
①定义法：（零常数）等数列
②中项公式法：等差数列
③通项公式法：（零常数）等差数列
④前项公式法：（常数）等差数列
注意：①②证明等数列理
四数列通项求法：
（1）观察法：：（1）020220222……（2）21203200520007……
（2）化法：通递推公式变换转化成等差数列等数列
①递推式（常数）：直接运等差（）数列
②递推式：迭加法
：已知中求
③递推式：迭法
：已知中求
④递推式（常数）：
构造法：Ⅰ相减
等数列
Ⅱ设 等数列
：已知求
⑤递推式（常数）：
两边时令转化④法解决
：已知中求
⑥递推式（常数）：
变形出解出公等数列
：已知中求
（3）公式法：运
①已知求
②已知中 求
③已知中求
五数列求法：
（1）公式法：
①等差（）数列前项公式：
②
③
④
（2）倒序相加（）法：
：①求：
②已知相等两正数间插入正数构成首项末项等数列求插入正数积
（3）错位相减法：：求：
（4）裂项相消法：
：①
②
③
（5）项法：：求
（6）拆项组合法：：数列中求
六数列问题解题策略：
（1）分类讨问题：①等数列中前项公式时公进行讨 时前项公式时
②已知求时进行讨满足满足满足中扩展满足分段写成
（2）设项技巧：
①连续偶数项等差数列设公差
连续奇数项等差数列设公差
②连续偶数项等数列设公
连续奇数项等数列设公
六量
量
量概念
量运算
量运
量加减法
实数量积
量数量积
定分点公式
移
物理学中运
中运
两量行充条件
两量垂直充条件
基概念：
（1）量定义： 做量字母表示： 量线段起点终点字母表示：
（2）量两素： 中量称 记：
（3）量数量区：量数量种新量数量量正数负数0表示代数量进行种代数运算数量间进行较概念数量适量方量量模正数0进行较方较量说没意义
（4）特殊形式量：
①零量： 记： 方 规定：零量量
②单位量：
③量：量改变方起点终点意行移动量做量(书研究量)．
④行量： 做行量(称线量)量量行记作：
⑤相等量： 做相等量量量相等记作：
注：①零量零量相等
②意两相等非零量条线段表示线段起点关
③两量相等重概念意义两量长度相等方相代数表达式考虑应系数相等坐标表示量说两量坐标相等点解题中重作
⑥相反量： 做相反量量量相反记作：
二量表示法
（1）表示法：线段表示：
（2）字母表示法：写字母表示：
注意：解题时量中箭头省
（3）坐标表示法：直角坐标系分取 两单位量作基底量实数做量(直角)坐标记作
注意：①做轴坐标做轴坐标
②
三量运算：
（1）量加法：
①量法：三角形法行四边形法
②坐标法：
③重结：
Ⅰ围成周次始终相结量
Ⅱ两量行时行四边形法适三角形法
（2）量减法
①量法：三角形法行四边形法
②坐标法：
③重结：
④图形角度理解：
取左边等号中等号条件
取右边等号中等号条件
取左边等号中号条件
取右边等号中号条件
异中少零量
中少零量
异
中少零量
异中少零量
异
注意：变较绝值变较模
（3）实数量积(数)
①定义：般实数量积量记作长度方规定：
Ⅰ
Ⅱ时方方相时方方相反
②坐标法：
③运算律：设实数量：
结合律：
第分配律：
第二分配律：
（4）面量数量积
①数量积：已知两非零量夹角数量做 数量积(积)记作：
注意：Ⅰ夹角范围：中时 时时
两量夹角锐角时数量积0
两量夹角钝角时数量积0
零量量数量积等0
Ⅱ投影：做量方投影
②坐标法运算：
③运算律：交换律：
结合律：
分配律： 注意：
④重性质：
Ⅰ设非零量方相单位量夹角
：
Ⅱ
Ⅲ时反时
特：
Ⅳ量夹角公式：
Ⅴ
四定理公式：
（1）面量基定理(做面量分解定理)：
果面两线量该面量实数线量做表示面量组基底
（2）两量行充条件：
设实数
①量式：
②坐标式：
（3）两量垂直充条件：
设
①量式：
②坐标式：
（4）两点间距离公式：
设
：求函数值
x
O
P1
P
P2
y
（5）线段定分点公式：
设
①量式：
时中点应量公式
②坐标式：中点应量公式
时中点坐标公式
：已知直线两点线段相交时求取值范围（斜率角度通数形结合解题）
注意：①分清分点外分点
分点线段时点分点时值
分点线段延长线时点外分点值
点延长线时时值
点延长线时时值
②写成（没定义两量法）时写成
③三角形重心公式：中三角形三顶点坐标
（6）移公式：
移：设坐标面图形点方移动长度图形程图形移
移公式：图形意点移图形应点（注：）
注意：移公式求移解析式般步骤：①设移图形意点②移公式变形③代入原解析式中移解析式（法函数移变换解求轨迹方程中充分体现）
五运量证明面问题：
（1）面量基定理知：面意量两基量（）表示样解题开始设出两公线量涉量两基量表示
（2）证明结出发充分挖掘量关系：
①垂直关系
②行关系（常隐含条件中：三点线）
③角关系：量夹角公式
六量中常见问题处理：
（1）
（2）
（3）线段三点线
（4）
（5）
垂直（思考：含义）
（6）（思考：含义）
（7）理解
七解析：
直线部分
直线倾斜角斜率：
（1）直线倾斜角：面直角坐标系中条轴相交直线果轴绕着交点逆时针方旋转直线重合时转正角记做直线倾斜角
注意：规定直线轴行重合时倾斜角直线倾斜角范围
（2）直线斜率：倾斜角直线倾斜角正切做条直线斜率
①斜率表示倾斜角等直线轴倾斜程度
②条直线唯倾斜角条直线存斜率（直线垂直轴时斜率存)决定研究直线关问题时应考虑斜率存存两种情况否会产生漏解
③斜率计算公式：
设两点直线斜率
时时斜率存
二直线方程种形式：
（1）点斜式：已知点斜率直线方程：
注意：①直线斜率存时点斜式表示时方程
②表示：直线图形
（2）斜截式：已知直线轴截距斜率直线方程：
注意：正确理解截距概念具方性正负分距离区
（3）两点式：已知直线两点（）直线方程：
注意：①表示轴轴垂直直线
②两点式方程写成形式时方程适应条直线
（4）截距式：已知直线轴轴截距分（）直线方程：
注意：表示轴垂直直线表示轴垂直直线特表示原点直线谨慎
（5）参数式：（参数）中方量
点应参数
（参数）中方量 意义斜率倾斜角
（6）般式：条直线方程均写成般式：（时零）反二元次方程表示条直线
注意：①直线方程特殊形式化直线方程般式般式定化特殊形式系数否0确定
②指出时直线方量： （单位量）
直线法量：（直线垂直量）
三两直线位置关系：
位置关系
行
重合
相交
垂直
设两直线方程分：时相交交点坐标方程组解
注意：①行重合方量（法量）行：
垂直方量（法量）垂直
②两直线斜率存两直线 行 条直线斜率存直线斜率 0 两直线垂直
③说直线斜率存否该式成立公式起更方便．
④斜率相等时两直线行(重合)两直线行(重合)时斜率定相等斜率存
四两直线交角
（1）角：直线逆时针方旋转重合时转角角范围
注意：①角角样②旋转方逆时针方
③绕定点指两直线交点
（2）直线夹角：指相交成四角角(直角角)取值范围
（3）设两直线方程分：
①角
②夹角
③时
注意：①述关公式中前提两直线斜率存两直线互垂直条直线斜率存时数形结合法处理
②直线角夹角：
五点直线距离公式：
设点直线点距离：
两行线距离：
六直线系：
（1）设直线交点直线方程（）
：①交点 直线方程
②直线恒定点
注意：推广曲线交点方程：
（2）行直线
（3）垂直直线
七称问题：
（1）中心称：
①点关点称：
该点两称点中点中点坐标公式求解点关称点
②直线关点称：
Ⅰ已知直线取两点利中点公式求出关已知点称两点坐标两点式求出直线方程
Ⅱ求出称点利点斜式出直线方程
Ⅲ利点直线距离相等求出直线方程
：求已知直线关点称直线方程
（2）轴称：
①点关直线称：
Ⅰ点称点中点已知直线点称点连线斜率已知直线斜率负倒数
Ⅱ求出该点已知直线垂直直线方程然解方程组求出直线交点利中点坐标公式求解
：求点关直线称坐标
②直线关直线称：（设关称）
Ⅰ相交角等角距离相等
Ⅱ求出两点关称点两点式求出直线方程
Ⅲ设求直线直线意点关称点坐标适合方程
：求直线关称直线方程
八简单线性规划：
（1）设点直线
①点直线
②点直线方
③点直线方
（2）二元次等式表示面区域：
意二元次等式
①时表示直线方区域
表示直线方区域
②时表示直线方区域
表示直线方区域
注意：通常情况原点代入直线中根表示二元次等式表示面区域
（3）线性规划：
求线性目标函数线性约束条件值值问题统称线性规划问题
满足线性约束条件解做行解行解组成集合做行域生产实际中许问题结线性规划问题
注意：①时直线移值越越
直线移值越越
②时直线移值越越
直线移值越越
x
y
O
A(11)
B(51)
C(42)
：图示坐标面行域（阴影部分包括周界）目标函数取值优解数
圆部分
曲线方程：
直角坐标系中果某曲线点二元方程实数解建立：
①曲线点坐标方程解（纯粹性）
②方程解坐标点曲线点（完备性）
方程做曲线方程条曲线做方程曲线
二圆定义方程．
（1）圆定义：面定点距离等定长点集合(轨迹)做圆定点做圆心定长半径（圆心定位条件半径定型条件）
（2）圆标准方程：圆心半径
圆参数方程：参数)理解含义
圆般方程：圆心半径
般方程特点：①系数相等零②没样二次项③
特圆心坐标原点半径r半圆方程
线段直径圆方程：
三点圆位置关系（仅标准方程例形式化标准式样方法处理）
设圆圆心距
①圆外
②圆
③圆
四直线圆位置关系：
设直线圆圆心直线距直线圆联立方程组消（）元二次方程判式位置关系：
相离相切相交
注意：里关系判定称法圆实简便方法利判定称代数法讨直线二次曲线位置关系适应
五两圆位置关系：
（1）代数法：解两圆方程组成二元二次方程组方程组两组实数解两圆相交方程组两组相实数解两圆相切实数解两圆相离
（2）法：设圆半径圆半径
①两圆外离
②两圆外切
③两圆相交
④两圆切
⑤两圆含
六圆切线关问题：
（1）点圆点点切线方程：
点圆点点切线方程：
点圆点点切线方程：
（2）斜率圆相切切线方程：
斜率圆 相切切线方程求法设切线然利圆心切线距离等半径列出方程求
（3）点圆外面时设切方程利圆心直线距等半径求出利求出求值应该条斜率存直线时应补
（4）直线圆相切时切点坐标方程圆方程联立方程组解圆心切线垂直直线切线联立方程组解
（5）点圆外点点点切线切点弦方程：
点圆点点切线切点弦方程：
七圆弦长求法：
（1）法：直线圆相交时设弦长弦心距半径：
（2）代数法：设斜率圆交点分
（中求法直线圆方程联立消利韦达定理求解）
八圆系方程：
（1）两圆 交点圆系方程
时表示两圆交点直线
（2）直线圆交点圆系方程
圆锥曲线部分
椭圆：
（1）椭圆定义：面两定点距离等常数（）点轨迹
第二定义：面定点距离条定直线距离常数点轨迹
中：两定点做椭圆焦点焦点间距离做焦距定直线做准线
常数做离心率
注意：表示椭圆表示线段没轨迹
（2）椭圆标准方程图象性质：
中心原点焦点轴
中心原点焦点轴
标准方程
参数方程
参数)
参数)
图 形
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
B1
B2
A1
x
O
F1
F2
P
y
A2
B2
B1
顶 点
称轴
轴轴短轴长轴
焦 点
焦 距
离心率
（离心率越椭圆越扁）
准 线
通 径
（焦准距）
焦半径
焦点弦
仅中点横坐标关
仅中点坐标关
焦准距
二双曲线：
（1）双曲线定义：面两定点距离差绝值等常数（）点轨迹
第二定义：面定点距离条定直线距离常数点轨迹
中：两定点做双曲线焦点焦点间距离做焦距定直线做准线
常数做离心率
注意：（）表示双曲线支
表示两条射线没轨迹
（2）双曲线标准方程图象性质：
中心原点焦点轴
中心原点焦点轴
标准方程
图 形
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
y
x
O
F1
P
B2
B1
F2
顶 点
称轴
轴轴虚轴实轴
焦 点
焦 距
离心率
（离心率越开口越）
准 线
渐线
通 径
（焦准距）
焦半径
左支
右支
支
支
焦准距
（3）双曲线渐线：
①求双曲线渐线令右边10式分解
②双曲线渐线双曲线系方程
（4）等轴双曲线离心率
三抛物线：
（1）抛物线定义：面定点距离等条定直线距离点轨迹
中：定点抛物线焦点定直线做准线
（2）抛物线标准方程图象性质：
焦点轴
开口右
焦点轴
开口左
焦点轴
开口
焦点轴
开口
标准方程
图 形
x
O
F
P
y
O
F
P
y
x
O
F
P
y
x
O
F
P
y
x
顶 点
称轴
轴
轴
焦 点
离心率
准 线
通 径
焦半径
焦点弦
（时——通径）
焦准距
：抛物线焦点弦 中点抛物线准线垂足垂足求证：
x
O
F
A
y
B
N
D
M
E
Q
H
（1） （2） （3）
（4）设交抛物线分
（5）设
（6） （7）三点条直线
（8）作交轴求证：
四圆锥曲线统定义：
面动点定点条定直线距离等常数动点轨迹圆锥曲线中定点焦点定直线准线离心率
时轨迹椭圆时轨迹抛物线时轨迹双曲线
五轨迹方程求法：
（1）直接法：果动点满足条件身量等量关系条件简单明易表达需种关系翻译成含等式曲线轨迹方程
：已知底边长8两底角求顶点轨迹方程
（2）定义法：动点轨迹符合某基轨迹定义根定义直接求出动点轨迹方程
：已知圆定点圆动点垂直分线交 求轨迹方程
（3）法：求轨迹满足某性质（线段垂直分线角分线性质等）法列出式代点坐标较简单
：直径圆动点作垂足取点求点轨迹
（4）相关点法（代法）：问题中动点满足条件便等式列出动点着动点（称相关点）运动果相关点满足条件明显分析时动点坐标表示相关点坐标根相关点满足方程求动点轨迹方程
：双曲线两条渐线分取点（中坐标原点双曲线半焦距）求中点轨迹
（5）交轨法：求动点轨迹时时会出现求两动曲线交点轨迹问题类问题常常通解方程组出交点(含参数)坐标消参数出求轨迹方程常参数法
：知两点直线设长线段直线运动求直线交点轨迹方程
（6）整体法（设求法）：探求轨迹较复杂时扩考察视角问题中条件结种关系成整体整体出发运整体思想注重整体结构挖掘分析
：圆心圆椭圆交两点求中点轨迹方程
（7）参数法：时求动点应满足条件易出明显相关点较易发现（分析发现）动点运动常常受变量（角度斜率值截距时间等）制约动点坐标中分变量变化变化称变量参数建立轨迹参数方程种方法参数法
果需轨迹普通方程消参数
选择参数时选参变量具某种物理性质时间速度距离角度线段数量直线斜率点横坐标等没具体意义选定参变量特注意
取值范围动点坐标取值范围影响
注意：求轨迹问题根题意求中取值范围
六直线圆锥曲线位置关系：
（1）会利方程组解状况确定直线圆锥曲线位置关系解类问题般直线圆锥曲线联立方程组解数入手（注意考虑二次项系数零思考时意义）通图形进行讨（注意：称轴渐线行情况）
：试确定实数取值讨直线双曲线公点数
（2）会求直线圆锥曲线截弦长弦中点坐标：解决类问题时直线圆锥曲线相交方程组（尤含定系数否会增解）涉中点坐标注意韦达定理应韦达定理前提条件
：设抛物线两点称轴轴行开口右直线 抛物线截线段长求抛物线方程
（3）直线圆锥曲线相交时求某定条件直线线方程解类问题般根条件求解注意条件应
：已知抛物线方程轴截距2直线抛物线交两点径圆原点求直线方程
（4）圆锥曲线点关某直线称问题解类题方法：圆锥曲线两点直线已知直线垂直圆锥曲线两点中点定称直线关系式求解
：抛物线关称相异两点求取值范围
八立体
立体网络图：
公理4
线线行
线面行
面面行
线线垂直
线面垂直
面面垂直
三垂线逆定理
三垂线定理
⑴
⑵
⑷
⑶
⑸
⑹
⑾
⑿
⒀
⒁
⑼
⑽
⒂
⒃
⑺
⑻
（1）线线行判断：
⑴行直线两直线行
⑶果条直线面行条直线面面相交条直线交线行
⑹果两行面时第三面相交交线行
⑿垂直面两直线行
（2）线线垂直判断：
⑺面条直线果面条斜线射影垂直条斜线垂直
⑻面条直线果面条斜线垂直条斜线射影垂直
⑽直线垂直面条直线垂直面直线
补充：条直线两条行直线中条垂直必垂直行线中条
（3）线面行判断：
⑵果面外条直线面条直线行条直线面行
⑸两面行中面直线必行面
（4）线面垂直判断：
⑼果直线面两相交直线垂直条直线垂直面
⑾果两条行线中条垂直面条垂直面
⒁直线垂直两行面中面垂直面
⒃果两面垂直—面垂直交线直线必垂直—面
（5）面面行判断：
⑷面两条相交直线分行面两面行
⒀垂直条直线两面行
（6）面面垂直判断：
⒂面面垂线两面互相垂直
二定理：
（1）确定面条件：①公线三点②直线直线外点③相交直线
（2）直线直线位置关系： 相交 行 异面
直线面位置关系： 面 行 相交（垂直特殊情况）
面面位置关系： 相交 行
（3）等角定理：果两角两边分行方相两角相等
果两条相交直线外两条相交直线分行两组直线成锐角(直角)相等
（4）射影定理（斜线长射影长定理）：面外点面引垂线段斜线段中射影相等两条斜线段相等射影较长斜线段较长反斜线段相等射影相等斜线段较长射影较长垂线段条斜线段短
（5）角定理：斜线面直线成角中面射影成角
（6）异面直线判定：①反证法
②面外点面点直线面该点直线异面直线
（7）已知点条直线垂直直线点条直线垂直面
（8）果—直线行两相交面条直线行两面交线
（9）果两相交面垂直第三面交线垂直第三面
三唯性定理：
（1）已知点作直线已知面垂直
（2）已知面外点作面已知面行
（3）两条异面直线中条作面条行
四空间角求法：（角问题转化解三角形问题尤直角三角形）
（1）异面直线成角：通直线移异面直线成角转化面相交直线成角异面直线成角范围：
注意：异面直线中条直线三角形边移时找三角形中位线通补形：三棱柱补成四棱柱正方体加三样正方体补成底面正方形长方体
（2）线面成角：①线面行直线面：线面成角
②线面垂直：线面成角
③斜线面成角：范围斜线面射影成角
（3）二面角：关键找出二面角面角方法：①定义法②三垂线定理法③垂面法
注意：射影法：中二面角封闭图形面积封闭图形射影图形面积般解选择填空题
五距离求法：
（1）点点点线点面距离：点点间距离两点间线段长点线面间距离点线面垂足间线段长求首先找表示距离线段然计算
注意：求点面距离方法：
①直接法：直接确定点面垂线段长（垂线段般二面角面）
②转移法：转化点该面距离（利线面行性质）
③体积法：利三棱锥体积公式
（2）线线距离：
关异面直线距离常方法：
①定义法关键确定出公垂线段
②转化线面距离转化行面间距离关键找出构造出面③转化面面距离
（3）线面面面距离：线面间距离面面间距离线线间点线间距离常常相互转化
六常结：
（1）直线面射影直线直线面斜足条直线 成角成角 成角三角间关系
（2）确定点面射影位置：
①Ⅰ果角面外点角两边距离相等点面射影角分线
Ⅱ角顶角引角面斜线果斜线角两边夹角相等斜线点面射影角分线直线
Ⅲ果面外点面两点距离相等点面射影两点端点线段垂直分线
②垂线法：果面外点斜线面条直线垂直点面射影斜足垂直面直线直线(三垂线定理逆定理)
③垂面法：果两面互相垂直面点面射影两面交线(面面垂直性质定理)
④整体法：确定点面射影先确定点斜线整体面射影
（3）四面体中：
①面射影垂心
②面射影外心
③边距离相等面射影心
A’
A
F
E’
E
（4）异面直线两点间距离公式：异面直线成角公垂线段长分取点设
（果锐角公式中取负号果钝公式中取正号）
七面体：
（1）棱柱：
①定义：两面互相行余面四边形相邻两四边形公边互相行面围成体做棱柱
棱柱侧棱垂直底面
斜棱柱侧棱垂直底面
直棱柱底面正边形
正棱柱
四棱柱底面行四边形
行六面体侧棱垂直底面
直行六面体底面矩形
长方体底面正方形
正四棱柱棱长相等
正方体
②性质：Ⅰ侧面行四边形
Ⅱ两底面全等边形
Ⅲ行底面截面底面全等角面行四边形
Ⅳ长方体条角线长方等顶点三条棱长方
③面积：（底周长高）
④体积：（底面积高已知侧面棱距离）
（2）棱锥：
①定义：面边形余面公顶点三角形面围成体做棱锥
正棱锥：底面正边形顶点底面射影底面中心样棱锥做正棱锥
②性质：
Ⅰ行底面截面底面相似
截面边长底面应边边长等截棱锥高原棱锥高
面积等截棱锥高原棱锥高方
截棱锥体积原棱锥体积等截棱锥高原棱锥高立方
Ⅱ正棱锥性质：侧面全等等腰三角形通四直角三角形实现边高斜高间换算
A
B
C
D
P
O
H
③面积：（底周长斜高）
④体积：（底面积高）
（3）正四面体：
棱长正四面体问题补成边长正方体问题
棱间距离（正方体边长）
正四面体高（）
正四面体体积（）
正四面体中心底面顶点距离（）
外接球半径（正方体外接球半径）
切球半径（正四面体中心四面距离半径）
（4）正面体：
①定义：面相边数正边形顶点端相数目棱面体做正面体
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
面数
4
6
8
12
20
顶点数
4
8
6
20
12
棱数
6
12
12
30
30
面形状
正三角形
正方形
正三角形
正五边形
正三角形
顶点棱数
3
3
4
3
5
②欧拉公式：（简单面体顶点数面数棱数）
（表示面棱数表示顶点棱数）
八球
（1）定义：①球面：半圆直径旋转轴旋转成曲面
②球体：球面围成体
（2）性质：
①意截面圆面（球心面截圆圆球心面截圆圆）
两点球面距离指球面两点圆两点间段劣弧长
②球心截面圆心连线垂直截面中球半径截面半径球心截面距离
（3）面积公式：（球半径）
（4）体积公式：（球半径）
九排列组合二项式概率：
分类计数原理分步计数原理：
分类计数原理：果完成某事种方法方法间彼独立选中种方法达完成事目完成事方法总数方法种数
分步计数原理：果完成某事必须分成步骤步骤方法—步骤中种方法步骤中方法连接次完成步达完成事目完成事方法总数方法种数积
区：果类办法中种方法完成件事选分类计数原理类类间相互独立分类完成果步骤做完件事完成选分步计数原理步步间相互存连续分步完成
二排列组合：
（1）排列组合区联系：研究元素中取出元素问题
区：前者序者序
（2）排列数组合数：
排列数公式：
注意：①全排列：
②记住列阶数11223642451206720
排列数性质：
①（元素中取出元素分两步完成：
第步元素中选出1排指定位置
第二步余元素中选出排余位置）
②（元素中取出元素分两类完成：
第类：元素中含分两步完成：
第步排某位置方法
第二步余元素中选出排余位置）
种方法
第二类：元素中含元素中取出元素排位置种方法
组合数公式：
组合数性质：
①（元素中取出元素剩元素说元素中取出元素组合应元素中取出元素唯组合）
②（分两类完成：第类：含种方法第二类：含种方法）
③（第步：先选出1元素第二步：余元素中选出重复先选出选出组成组合先选出选出组成组合相重复次）
④（分类：第类：含第二类：含含第三类：含含含……）
⑤（元素分成分成两部分第部分含元素第二部分含元素：
第部分中取元素第二部分取元素
第部分中取元素第二部分取1元素……）
（3）排列组合应：
解排列组合应题时应抓住排列问题组合问题次搞清需分类需分步
切记：排组分清(序排列序组合)分类分步明确
排列组合应问题三类：带限制条件排列组合题带限制条件排列组合题排列组合综合题
解排列组合应题通常途径：
①元素先满足特殊元素求考虑元素——特殊元素法
②位置先满足特殊位置求考虑位置——特殊位置法
③先考虑附加条件计算出排列组合数减合求排列数组合数——间接法
（4）解组合问题应注意三点：
①组合数恰分类计算解组合题常方法
②直接法间接法解组合题前提正难反
③命题设计分组方案解组合题关键
（3）解排列组合题基策略方法：
①杂法：限制条件问题先总体考虑符合条件情况掉解决排列组合应题时种常解题方法
②分类处理：某问题总体解决时常常分成干类分类计数原理出结解排列组合问题基策略注意：分类重复遗漏：两类交集空集类集全集
③分步处理：分类处理类似某问题总体解决时常常分成干步分步计数原理解决处理排列组合问题时常常分类分步原先分类分步
④插入法（插空法）：某元素相邻采插入法先安排没限制条件元素然限制条件元素求插入排元素间
⑤捆绑法：求某元素相邻相邻干特殊元素捆绑元素然余普通元素全排列松绑特殊元素位置全排列捆绑法
⑥穷举法：满足题设条件排列组合逐排列出
⑦消序处理：均匀分组问题解决时定区分开序分组序分组序分组定清均匀分组形中产生序素
三二项式定理：
（1）通项：
（2）二项式系数性质：
①二项展开式中首末两端等距离两项二项式系数相等：
②二项展开式中中间项两项二项式系数相等
偶数时第项二项式系数
奇数时第项项二项式系数
③二项展开式中项二项式系数等
④二项展开式中奇数项二项式系数偶数项二项式系数相等
⑤
（3）展开式中系数求法（整数）
：展开式中含系数
（4）二项式定理应：
①求展开式中指定项特定项：
：①展开式中含常数项值
②求展开式中常数项
注意：三项三项展开式问题某两项结合项利二项式定理解决
②求展开式中某项系数：
：展开式中系数
③求展开式中系数：
：项系数（赋值法：令）（令）
④求二项式展开式系数项问题：
求展开式中系数项通常设展开式项系数分设第项系数然求出等式组整数解
：求展开式中系数项
⑤利二项式定理证明整问题余数求法：
：求证：64整（）
⑥证明关等式问题：
等式应二项式定理结合放缩法证明二项展开式中某正项适删(缩)某负项删(放)等式转化等式然根等式传递性进行证明①②（）
：求证：
⑦进行似计算：
求数次幂似值时底数化整数加数(减数)形式
充分时常列公式估计似值：
①②
：求似值结果精确001
四概率：
（1）机事件概率：
①必然事件：定条件必然发生事件
②事件：定条件发生事件
③机事件：定条件发生发生事件
④事件概率：量重复进行试验时事件A发生频率总接某常数附摆动时常数做事件概率记作
⑤范围：特例：必然事件事件
（2）等事件概率：
①基条件：次试验中出现结果称基事件
②等事件概率：果次试验中出现结果结果出现性相等基事件概率果某事件包含结果事件概率
③集合角度概率：次试验中等出现结果组成集合结果集合元素基事件均应集合含1元素子集包含结果事件应含元素子集集合角度事件概率子集元素数（记作集合元素数值
（3）互斥事件发生概率：
①互斥事件：时发生两事件做互斥事件
②互斥事件概率：
果事件互斥事件发生概率等事件分发生概率：
果事件彼互斥事件发生概率等 事件分发生概率
③立事件：果表示事件发生表示事件发生事件中必发生种中必发生互斥事件做立事件
④立事件概率：立事件概率等1：
（4）相互独立事件时发生概率：
①相互独立事件：事件 ()否发生事件()发生概率没影响样两事件做相互独立事件
注意：果事件互相独立互相独立事件
②相互独立事件时发生概率：
两相互独立事件时发生概率等事件发生概率积
果事件相互独立事件时发生概率等事件发生概率积
（5）独立重复试验：
①独立重复试验：次重复试验中次试验结果概率赖次试验结果称次试验独立
②独立重复试验概率：
果次试验中某事件发生概率次独立重复试验中事件恰发生次概率：
五统计：
（1）抽样方法：
①简单机抽样：般设总体体数果通逐抽取方法中抽取样次抽取时体抽概率相等称样抽样简单机抽样
注意：果简单机抽样体数总体中抽取容量样体抽概率等
Ⅰ抽签法：先总体中体（）编号（号码1）号码写形状相号签然号签放箱子里进行均匀搅拌抽签时次中抽出1号签连续抽取次容量样
注意：抽签法简便易行总体体数时适宜采种方法
Ⅱ机数表法：先件产品编号编000l02…然附表l机数表中选数作开始系列两位数字号码前面已号码掉样容量样
②系统抽样概念：总体分成均衡部分然预先定出规部分抽取1体需样种抽样做系统抽样
系统抽样步骤：Ⅰ采机方式总体中体编号
Ⅱ整编号分段(分成部分)确定分段间隔（N总体中体数n样容量）整数时整数时运简单机抽样总体中剔体剩总体中体数N’n整时
Ⅲ第1段简单机抽样确定起始体编号
Ⅳ事先确定规抽取样（通常加间隔第2编号加第3编号样继续直获取整样）
③分层抽样：已知总体差异明显部分组成时样更充分反映总体情况常总体分成部分然部分占进行抽样中分成部分做层
类
点
特点
相互联系
适范围
简单机抽样
抽样程中体抽取概率相等
总体中逐抽取
总体中体数较少
系统抽样
总体均分成部分事先确定规部分抽取
起始部分抽样时采简单机抽样
总体中体数较
分层抽样
总体分成层分层进行抽取
层抽样时采简单机抽样系统抽样
总体差异明显部分组
（2）作出频率分布直方图
注意：直方图中矩形表示样落范围频率
理解：频数频率累积频率概率概念
（3）期方差：
期（均数）：
方差：
注意：期方差（1）期方差（2）期方差
十导数：
导数概念：
（1）函数点处导：函数间均变化率
果时极限称函数点处导
（2）函数开区间导：果函数开区间点处导称函数开区间导
（3）函数点导数：
果函数点处导极限做函数点导数（变化率）记作：
（4）函数开区间导函数(导数)：
果函数开区间导开区间确定值应着确定导数样开区间构成新函数—新函数做函数开区间导函数（简称导数）记：
（5）导数意义：函数点处导数曲线点处切线斜率
（6）导数物理中运：函数点处导数物体运动方程时物体运动时刻瞬时速度物体运动时刻加速度
二种常见函数导数：（常数）
三函数差积商导数：
（1）(差)导数：两函数(差)导数等两函数导数(差)
容易推广限函数情形：
（2）积导数：两函数积导数等第函数导数第二函数加第函数第二函数导数：
容易推出：（常数）：常数函数积导数等常数函数导数
四导数运：
（1）函数单调性：
①设函数某区间导果增函数果减函数
②设函数某区间导果该区间单调递增(递减)该区间()
求导函数单调区间步骤：
①求 ②解等式()
③确认指出递增区间(递减区间)
证明导函数单调性步骤：
①求 ②确认符号 ③作出结
（2）函数极值极值：
函数极值定义：设函数点附定义果附点()说函数极()值
求导函数极值步骤：
①求 ②求方程全部实根
③检查方程根左右值符号果左正右负根处取极值果左负右正根处取极值
（3）函数值值：
求值值步骤：
①求极值
②极值较确定值值
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