考前必记60公式原理
抢分点1 集合问题必须牢记重结
(1)a{a}区般a表示元素{a}表示元素a集合
(2)易混淆0∅{0}0实数∅集合含0元素{0}元素0集合0∉∅∅⊆{0}
(3)求解集合补集时先求出集合然写补集直接转化条件导致出错A{x|1x>0} 补集{x|x≤0} {x|1x≤0}
(4)交集补集等补集集∁U(A∩B)∁UA∪∁UB集补集等补集交集∁U(A∪B)∁UA∩∁UB
(5)A∩BAA⊆B反成立A∪BBA⊆B反成立利两结时定忘记集合A∅特例
(6)含n元素限集合M子集真子集非空子集非空真子集数次2n2n12n12n2
考必记集合问题注意四
(1)代表元素代表元素反映集合中元素特征解题时需分清点集数集集合
(2)二元素组成集合元素组成研究集合元素入手解集合问题常方法
(3)三否化简集合化简果先化简研究关系问题变简捷
(4)四否数形结合常运数形结合形式数轴坐标轴Venn图
抢分点2 集合间关系判断方法
(1)A⊆B⇔A⫋BAB类a≤b⇔a(2)A⫋B⇔A⊆BA≠B类a(3)AB⇔A⊆BB⊆A类ab⇔a≤ba≥b
注意 判断两集合间关系两实数间关系进行韦恩图直观表示述种关系
抢分点3 四种命题真假性仅面四种情况
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
考必记 (1)两命题互逆否命题相真假性
(2)互逆命题互否命题真假性没关系
(3)命题逆命题否命题具相真假性
(4)判断命题真假时果容易直接判断反判断逆否命题真假
抢分点4 全称量词存量词
(1)全称命题p∀x∈Mp(x)否定¬p∃x∈M¬p(x)
(2)特称命题p∃x∈Mp(x)否定¬p∀x∈M¬p(x)
考谨记 (1)全称命题否定特称命题特称命题否定全称命题
(2)命题否定命题否命题两概念命题p否定否定命题作判断否命题pq形式命题言否定条件否定结
抢分点5 充条件必条件三种判断方法
(1)定义法寻找条件pq间推式先命题pqqp进行真假判断结注意pq什条件四种充分必条件必充分条件充条件充分必条件
(2)集合法判断命题方程根等式解集关描述象集合表示时助集合间包含关系进行充分条件必条件判断
(3)等价法判断¬q¬p间关系时原命题逆否命题等价性转化判断pq关系
考谨记 关充分必性判断混淆四点
(1)p⇒q q⇒ ppq充分必条件(2)p⇒ q q⇒ppq必充分条件(3)p⇒ qq⇒ ppq充分必条件(4)p⇒qq⇒pp⇔qpq充条件
抢分点6 指数函数数函数区分表
解析式
yax(a>0a≠1)
ylogax(a>0a≠1)
定义域
R
(0+∞)
值域
(0+∞)
R
图
关系
指数函数数函数
奇偶性
非奇非偶
非奇非偶
单调性
01时R增函数
01时(0+∞)增函数
考必记 指数函数数函数活学巧记口诀
指数增减清抓着底数放松反正底数零等1已表明
底数1图增底数01间图减
函数增减图(01)点
数增减思路函数图底数底数0等1行
底数1图增底数01间图减
函数增减图(10)点
抢分点7 方程根函数零点
(1)方程根函数零点关系 函数零点定义知函数yf(x)零点方程f(x)0实数根函数yf(x)图x轴交点横坐标方程f(x)0实数根⇔函数yf(x)图x轴交点⇔函数yf(x)零点
(2)函数零点存性 果函数yf(x)区间[ab]图连续断条曲线f(a)·f(b)<0函数f(x)区间(ab)少零点存c∈(ab)f(c)0c方程f(x)0实数根
考必记 函数方程活学巧记口诀
函数连续值两端相负零点区间数方程成立显然
求方程似值先零点区间次区间分二分两端零点
考谨记 函数零点存定理应中误区
函数零点存定理判断函数某区间变号零点判断函数变号零点连续函数区间端点处函数值异号函数区间存零点充分条件必条件函数区间端点处函数值号时函数区间存零点判断函数某区间存零点时
完全赖函数零点存定理综合函数性质进行分析判断
抢分点8 二分法求函数零点般步骤
第步 确定区间[ab]验证f(a)·f(b)<0定精确度ε
第二步 求区间[ab]中点c
第三步 计算f(c)
①f(c)0c函数零点
②f(a)·f(c)<0令bc(时零点x0∈(ac))
③f(c)·f(b)<0令ac(时零点x0∈(cb))
第四步 判断否达精确度ε|ab|<ε零点似值ab否重复第二步第四步
考必记 精确度精确
二分法断零点区间二等分缩零点区间求零点似值种方法求零点似值时候注意精确度精确两种求精确度01指函数零点似值零点差绝值01求解时利零点区间(ab)两端点差绝值|ba|衡量精确度|ba|≤01
抢分点9 熟记基初等函数导数公式
(1)C＇0(C常数)
(2)(xn)＇nxn1(n∈N*)
(3)(sin x)＇cos x(cos x)＇sin x
(4)(ln x)＇1x(x>0)(logax)＇1xlna(x>0a>0a≠1)
(5)(ex)＇ex(ax)＇axln a(a>0a≠1)
考必记 (1)(1x)＇1x2
(2)奇函数导数偶函数偶函数导数奇函数周期函数导数周期函数
(3)(ln|x|)＇1x
抢分点10 导数运算法
(1)(u±v)＇u＇±v＇⇒
[f1(x)+f2(x)+…+fn(x)]＇f ＇1(x)+f ＇2(x)+…+f ＇n(x)
(2)(uv)＇vu＇+v＇u⇒(cv)＇c＇v+cv＇cv＇(c常数)
(3)(uv)＇vu＇v＇uv2(v≠0)
注意 (1)uv必须导函数
(2)两函数导差积商必导两函数均导差积商定导
考必记 (1)利公式求导时定注意公式适范围符号(xn)＇nxn1中n≠0n∈Q(cos x)＇sin x
(2)注意公式混(ax)＇axln a(ax)＇xax1
(3)导数加法减法法两导函数推广意
限导函数情形
[u(x)±v(x)±…±w(x)]＇u＇(x)±v＇(x)±…±w＇(x)
(4)般情况[f(x)g(x)]＇≠f ＇(x)g＇(x)[f(x)g(x)]＇≠f ＇(x)+g＇(x)
[f(x)g(x)]＇≠f ＇(x)g＇(x)[f(x)g(x)]＇≠f ＇(x)g＇(x)
抢分点11 求导函数单调区间步骤
(1)确定yf(x)定义域
(2)求导数f ＇(x)
(3)求出f ＇(x)0根f(x)定义域分成干区间列表考查干区间f ＇(x)符号进确定f(x)单调区间
考谨记 (1)求函数单调区间易忽视函数定义域样解答结果错误解题程复杂求函数单调区间时应优先考虑函数定义域
(2)果函数具相单调性区间止单调区间∪连接逗号字隔开
(3)果某区间(ab)恒f ＇(x)0函数yf(x)常数函数区间具单调性
抢分点12 判极值极值方法
第步确定函数定义域求导数f ＇(x)
第二步求方程f ＇(x)0根
第三步检查f ＇(x)f ＇(x)0根左右两侧值符号果左正右负f(x)根处取极值果左负右正f(x)根处取极值果左右改变符号正负f(x)根处极值步骤中利方程f ＇(x)0根次函数定义域分成干开区间列成表格表格容结表格极值点两边符号目然便求极值
考谨记 (1)导函数极值点导数0导数0点定极值点函数f(x)x3x0时极值点f ＇(0)0
(2)极值点点数x0xx0时函数取极值x0处 f ＇(x0)0函数f(x)x0处取极值必充分条件
(3)函数f(x)闭区间值函数区间极值端点值中值函数f(x)闭区间值函数区间极值端点值中值
抢分点13 定积分微积分基定理
(1)定积分性质
①ab kf(x)dxkab f(x)dx(k常数)
②ab [f1(x)±f2(x)]dxab f1(x)dx±ab f2(x)dx
③ab f(x)dxac f(x)dx+cb f(x)dx(中a
考必记 (1)ab xmdx1m+1xm+1 ab(m∈Q*)(2)ab 1xdxln|x| ab(3)ab exdxex ab(4)mn axdxaxlna mn(5)ab cos xdxsin x ab(6)ab sin xdx(cos x) ab
(2)定积分求面图形面积方面应
①应曲边梯形位x轴方时定积分取正值等曲边梯形面积
②应曲边梯形位x轴方时定积分取负值等曲边梯形面积相反数
③位x轴方曲边梯形面积等位x轴方曲边梯形面积时定积分值0等位x轴方曲边梯形面积减位x轴方曲边梯形面积
注意 定积分值取正取负0
抢分点14 弧度制相关必备公式
(1) 角度弧度换算360°2π rad180°π rad
1 rad(180π)°≈5730°57°18＇1°π180 rad≈0017 45 rad
注意 正角弧度数正数负角弧度数负数零角弧度数零
(2)弧长公式l|α|·r扇形面积公式S扇形12lr12|α|·r2
抢分点15 角三角函数基关系
(1)商关系 sinαcosatan α
(2)方关系 sin2α+cos2α1
考必记 (1)公式常见变形
sin2α1cos2αcos2α1sin2αsin α±1cos2αcos α±1sin2αsin αcos αtan αcos αsinαtanα等
(2)角理解角基关系式成立拘泥角形式sin2(α+π3)+cos2(α+π3)1tan 3αsin3αcos3α等成立sin2(α+π3)+cos2(α+π6)1定成立
抢分点16 三角函数诱导公式
公式
sin(2kπ+α)sin α cos(2kπ+α)cos α tan(2kπ+α)tan αk∈Z
公式二
sin(π+α)sin α cos(π+α)cos α
tan(π+α)tan α
公式三
sin(α)sin α cos(α)cos α
tan(α)tan α
公式四
sin(πα)sin α cos(πα)cos α
tan(πα)tan α
公式五
sin(π2α)cos α cos(π2α)sin α
公式六
sin(π2+α)cos α cos(π2+α)sin α
推算公式
sin(3π2+α)cos α cos(3π2+α)sin α
sin(3π2α)cos α cos(3π2α)sin α
考必记 奇变偶变符号象限
奇偶指π2倍数奇偶变变指三角函数名称变化变指正弦变余弦(反然成立)符号象限含义角α作锐角n·π2±α第象限角等式右边正号负号
抢分点17 三角函数图基变换
ysin x图左移φ(φ>0)单位ysin(x+φ)图(φ<0时右移|φ|单位)
ysin x图点坐标保持变横坐标变原1ω倍ysin ωx图
ysin x图点横坐标保持变坐标变原A倍yAsin x图
考谨记 (1)ysin ωx图移变换ysin(ωx+φ)图移单位|φ||φω|
(2)函数图移伸缩变换实质点变化助三角函数图特征点坐标变化寻找移伸缩变换规律般助两函数图高点低点坐标分析
抢分点18 两角差正弦余弦正切公式
sin(α±β)sin αcos β±cos αsin β
cos(α±β)cos αcos β∓sin αsin β
tan(α±β)tanα±tanβ1∓tanαtanβ
sin(α+β)sin(αβ)sin2αsin2β(方正弦公式)
cos(α+β)cos(αβ)cos2αsin2β
考谨记 (1)两角余弦正弦公式章类公式基础两公式中两角余弦公式基础中基础两角正弦公式诱导公式导出
(2)公式S(α±β)C(α±β)具般性αβ意角公式T(α±β)具般性应明确公式T(α±β)α≠kπ+π2β≠kπ+π2α±β≠kπ+π2k∈Z时成立否成立tan αtan βtan(α±β)存时公式改诱导公式方法
抢分点19 半角公式二倍角公式
(1)半角公式
sinα2±1cosα2
cosα2±1+cosα2
tanα2±1cosα1+cosαsinα1+cosα1cosαsinα
考谨记 出角α范围(某区间)时先求出α2范围根α2范围确定符号果没出决定符号条件根号前保留正负两符号
(2)二倍角公式
sin 2α2sin αcos α
cos 2αcos2αsin2α2cos2α112sin2α
tan 2α2tanα1tan2α
考必记 (1)1+sin 2α(sin α+cos α)2
(2)1sin 2α(sin αcos α)2
抢分点20 差化积积化差公式
(1)差化积公式
sin α+sin β2sinα+β2cosαβ2
sin αsin β2cosα+β2sin αβ2
cos α+cos β2cosα+β2cosαβ2
cos αcos β2sinα+β2sinαβ2
考必记 (1)中前两公式合sin θ+sin φ2sinθ+φ2cosθφ2
(2)系数相互相反数名函数差直接运公式化成积形式果正弦余弦差先诱导公式化成名函数运公式化积
(2)积化差公式
sin αcos β12[sin(α+β)+sin(αβ)]
cos αsin β12[sin(α+β)sin(αβ)]
cos αcos β12[cos(α+β)+cos(αβ)]
sin αsin β12[cos(α+β)cos(αβ)]
考必记 (1)两角正弦余弦积化成±12[f(α+β)±f(αβ)]形式
(2)果两角函数正弦余弦f 表示余弦果正弦余弦f 表示正弦
(3)第四式子右端取号
(3)万公式
sin θ2tanθ21+tan2θ2cos θ1tan2θ21+tan2θ2tan θ2tanθ21tan2θ2
(4)辅助角公式
asin α+bcos αa2+b2sin(α+φ)
中sin φba2+b2cos φaa2+b2(0≤φ<2π)
抢分点21 面量中种特殊量
特殊量
定义
备注
零量
长度零量
零量记作0方意
单位量
长度等1单位量
单位量记作a0a0a|a|
行量
方相相反非零量(线量)
0意量线
相等量
长度相等方相量
相等量定行量
相反量
长度相等方相反两量
ab相反量ab
考必记 零量单位量特殊性
零量单位量两特殊量模确定方确定解题时注意特殊性命题a∥bb∥ca∥c假命题b零量时ac意量两者定行
抢分点22 面量坐标运算
(1)a(x1y1)b(x2y2)λ实数a+b(x1+x2y1+y2)ab(x1x2y1y2)λa(λx1λy1)
(2)已知A(x1y1)B(x2y2)ABOBOA(x2x1y2y1)
(3)面量线坐标表示设a(x1y1)b(x2y2)(b≠0)a∥b充条件x1y2x2y10
(4)设A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3)证三点线需证明
AB∥BCAB(x2x1y2y1)BC(x3x2y3y2)
需证明(x2x1)(y3y2)(x3x2)(y2y1)0
(5)设a(x1y1)b(x2y2)a·bx1x2+y1y2
抢分点23 面量数量积
a(x1y1)b(x2y2)
|a|2a2a·aa·b|a|·|b|·cosx1x2+y1y2
cosa·b|a||b|x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22
ab投影|a|cosa·b|b|x1x2+y1y2x22+y22
考谨记 (1)锐角⇔a·b>0ab直角⇔a·b0ab≠0钝角⇔a·b<0ab反a·b<0钝角必充分条件
(2)量等式移项两边方两边实数两边时取模两边量两边量两边时约量量法满足结合律a·(b·c)≠(a·b)·c
抢分点24 判断等差数列常方法
(1)定义法an+1and(d常数)(n∈N*)⇔{an}等差数列
(2)通项公式法数列通项公式定唯
(3)中项公式法2an+1an+an+2(n∈N*)⇔{an}等差数列
(4)前n项公式法SnAn2+Bn(AB常数n∈N*)⇔
{an}等差数列
抢分点25 anSn关系
an数列{an}通项Sn前n项
anSn间关系anS1n1SnSn1n≥2
考谨记 关系式anS1n1SnSn1n≥2时定注意分n1n≥2两种情况求出结果两种情况否整合起
抢分点26 判断等数列常方法
(1) 定义法an+1anq(q0常数n∈N*)⇔
{an}等数列
(2) 通项公式法ancqn(cq均0常数n∈N*)⇔
{an}等数列
(3)中项公式法an+12an·an+2(an·an+1·an+2≠0n∈N*)⇔
{an}等数列
考谨记 (1)等数列中项0公q≠0
(2)q1时数列常数列时数列等差数列注意数列常数列数列定等差数列定等数列000…
抢分点27 较两数者两式子方法
(1)作差较法意两实数ab(ab∈R)
a>b⇔ab>0ab⇔ab0a(2)作商较法设ab∈R+ ab>1⇔a>bab1⇔abab<1⇔a常作差较方法
(3)利单调性较
抢分点28 含参等式恒成立解必备条件
(1)定区间(∞+∞)子区间L(形[αβ](∞α][β+∞)等)含参数等式f(x)≥t(t参数)恒成立充条件f(x)min≥t(x∈L)
(2)定区间(∞+∞)子区间L含参数等式f(x)≤t(t参数)恒成立充条件f(x)max≤t(x∈L)
(3)定区间(∞+∞)子区间L含参数等式f(x)≥t(t参数)解充条件f(x)max≥t(x∈L)
(4)定区间(∞+∞)子区间L含参数等式f(x)≤t(t参数)解充条件f(x)min≤t(x∈L)
抢分点29 线性目标函数值问题
(1)解线性目标函数zax+by约束条件值问题满足约束条件行解(xy)组成行域利线性移方法找点(x0y0)目标函数取值
(2)已知目标函数值求参数关键确定行域点处目标函数取值建立等式求出参数值需注意果目标函数存优解优解通常行域顶点处取果目标函数存优解优解般行域边界
考必记 线性目标函数优整数解
线性目标函数优整数解定行域顶点边界处取时直接代入顶点坐标求值面方法求解
(1)移直线法先行域网格描整点移目标函数表示直线先整点坐标优整数解
(2)检验优值法行域整点数较少时整点坐标逐代入目标函数求值较出优解
(3)调整优值法先求非整数点优解优值助定方程知识调整优值筛选出优解
抢分点30 已知图形直观图面积体积间关系
(1)面图形直观图画法结 果面图形F面积S直观图F＇面积S＇S22S＇
(2)画空间图形直观图时行z轴线段行性长度变结果空间图形W体积V直观图W＇体积V＇V22V＇
抢分点31 空间体表面积体积
(1)直棱柱侧面积S侧cl(c底面周长l侧棱长)
正棱锥侧面积S侧12ch＇(c底面周长h＇斜高)
正棱台侧面积S侧12(c+c＇)h＇(cc＇分底面
周长h＇斜高)
圆柱侧面积S侧cl2πrl(c底面周长l母线长)
圆锥侧面积S侧12clπrl(c底面周长l母线长)
圆台侧面积S侧12(c+c＇)lπ(r+R)l(cc＇分
底面周长l母线长)
球表面积S4πR2
(2)柱体体积V柱Sh(S底面积h柱体高)
锥体体积V锥13Sh(S底面积h锥体高)
球体积V球43πR313S表R
考必记 柱体锥体台体侧面面积公式间关系
(1)正棱台底面底面全等时正棱柱正棱台底面缩点时正棱锥SchS12(c+c＇)h＇S12ch＇
(2)圆台底面半径底面半径相等时圆柱圆台底面半径零时圆锥S2πrlSπ(r+r＇)lSπrl
抢分点32 证明空间位置关系6种方法
(1)线面行a∥bb⊂αa⊄α⇒a∥αα∥βa⊂β⇒a∥αα⊥βa⊥βa⊄α⇒a∥α
(2)线线行
a∥αa⊂βα⋂βb⇒a∥ba⊥αb⊥α⇒a∥b
α∥βα⋂γaβ⋂γb⇒a∥ba∥ba∥c⇒c∥b
(3) 面面行
a⊂αb⊂αa⋂bOa∥βb∥β⇒α∥βa⊥αa⊥β⇒α∥βα∥βγ∥β⇒α∥γ
(4)线线垂直a⊥αb⊂α⇒a⊥b
(5)线面垂直
a⊂αb⊂αa⋂bOl⊥al⊥b⇒l⊥αα⊥βα⋂βla⊂αa⊥l⇒a⊥βα∥βa⊥α⇒a⊥β
a∥ba⊥α⇒b⊥α
(6)面面垂直a⊂βa⊥α⇒α⊥βa∥βa⊥α⇒α⊥β
考谨记 利定理证明线面关系时注意结合体结构特征尤注意正棱柱正棱锥等特殊体性质灵活运进行空间线面关系相互转化
抢分点33 空间量应
(1) 夹角公式设a(a1a2a3)b(b1b2b3)
cosa1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32·b12+b22+b32
推(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)
(2) 异面直线成角
cos θ|cos||a·b||a|·|b||a1b1+a2b2+a3b3|a12+a22+a32·b12+b22+b32
中θ(0°<θ≤90°)异面直线ab成角ab分表示异面直线ab方量
(3) 直线AB面α成角β满足
sin β|cos||AB·m||AB|·|m|(m面α法量)
(4) 二面角αlβ面角θ满足
|cos θ||cos||m·n||m|·|n|(mn分面αβ法量)
考谨记 处理实际问题时根具体图形确定二面角面角锐角钝角确定角
(5)点B面α距离d|AB·n||n|(n面α法量A∈αAB面α条斜线段)
抢分点34 直线方程5种形式
(1)点斜式yy1k(xx1)(直线点P1(x1y1)斜率k包括y轴行y轴直线)
(2)斜截式ykx+b(b直线ly轴截距斜率k包括y轴行y轴直线)
(3)两点式yy1y2y1xx1x2x1(直线点P1(x1y1)P2(x2y2)x1≠x2y1≠y2包括坐标轴行坐标轴直线)
(4)截距式xa+yb1(ab分直线横截距a≠0b≠0包括坐标轴行坐标轴原点直线)
(5)般式Ax+By+C0(中AB时0)
考谨记 (1)应直线方程点斜式斜截式设直线方程时般设直线斜率k注意直线垂直x轴斜率k存情况
(2)研究方便定点P(x0y0)直线设法直线y轴垂直时设yy00直线y轴垂直时设xx0m(yy0)样直线方程曲线方程联立时消x较方便
抢分点35 两条直线位置关系
(1) 已知直线l1A1x+B1y+C10
l2A2x+B2y+C20(A1B1A2B2全0)l1l2相交⇔A1A2≠B1B2l1∥l2⇔A1A2B1B2≠C1C2l1l2重合⇔A1A2B1B2C1C2
A1B1A2B2中0时应单独讨
(2) 直线l1A1x+B1y+C10l2A2x+B2y+C20(A12+B12≠0
A22+B22≠0)垂直⇔A1A2+B1B20
考谨记 (1)讨两条直线位置关系应注意斜率存斜率0情况两条直线中条直线斜率存条直线斜率0时垂直
(2)已知直线lAx+By+C0
直线l行直线方程设Ax+By+m0(m≠C)
直线l垂直直线方程设BxAy+n0
抢分点36 圆方程三种形式
(1)圆标准方程(xa)2+(yb)2r2(r>0)
(2)圆般方程x2+y2+Dx+Ey+F0(D2+E24F>0)
(3)圆直径式方程(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)0(圆直径两端点A(x1y1)B(x2y2))
抢分点37 椭圆标准方程性质
(1)标准方程焦点x轴方程x2a2+y2b21(a>b>0)焦点y轴方程y2a2+x2b21(a>b>0)
(2)性质①离心率eca1b2a2∈(01)
②焦点垂直长轴弦通径长度2b2a
考谨记 (1)满足|PF1|+|PF2|2a点P轨迹定椭圆2a>|F1F2|时点P轨迹椭圆2a|F1F2|时点P轨迹线段F1F22a<|F1F2|时点P轨迹存
(2)已知两点椭圆方程设Ax2+By21形式中A>0B>0A≠B
(3)椭圆长轴长2a短轴长2b焦距2cc2a2b2
考必记 (1)椭圆离心率e取值范围0(2)直线l焦点F1(c0)F2(c0)交椭圆M(x1y1)N(x2y2)两点|MN|2a+e(x1+x2)(左焦点)|MN|2ae(x1+x2)(右焦点)△F2MN周长4a
抢分点38 双曲线标准方程性质
(1) 标准方程焦点x轴方程x2a2y2b21(a>0b>0)
焦点y轴方程y2a2x2b21(a>0b>0)
(2)性质①离心率eca1+b2a2∈(1+∞)
②焦点垂直实轴弦通径长度2b2a
③双曲线x2a2y2b21(a>0b>0)渐线方程y±bax
焦点渐线距离等b
考必记 (1)离心率e取值范围e>1e越接1时双曲线开口越e越接+∞时双曲线开口越
(2)满足||PF1||PF2||2a点P轨迹定双曲线2a0时点P轨迹线段F1F2中垂线0<2a<|F1F2|时点P轨迹双曲线2a|F1F2|时点P轨迹两条射线2a>|F1F2|时点P轨迹存
抢分点39 抛物线标准方程性质
(1)焦点x轴正半轴抛物线方程y2ax(a>0)焦点F(a40)准线方程xa4焦点y轴正半轴抛物线方程x2ay(a>0)焦点F(0a4)准线方程ya4
(2)已知CD抛物线y22px(p>0)焦点F弦点C(x1y1)D(x2y2)
①焦半径|CF|x1+p2|DF|x2+p2
②焦点弦长|CD|x1+x2+p2psin2α (中α直线CD倾斜角)1|CF|+1|DF|2p(定值)
③x1x2p24y1y2p2
④抛物线点圆心焦半径半径圆必准线相切抛物线焦点弦直径圆必准线相切
抢分点40 直线圆锥曲线位置关系
(1)直线圆锥曲线相交必条件构成方程组实数解出现元二次方程时务必求判式Δ≥0尤应根系数关系解决问题时必须先判式Δ≥0
(2)设A(x1y1)B(x2y2)弦长公式
|AB|(x1x2)2+(y1y2)21+k2|x2x1|
1+1k2|y1y2|
(3)果三三点条直线选择斜率桥梁进行转化
抢分点41 排列数组合数公式相关性质
(1)排列数公式
Anmn(n1)(n2)…(nm+1)n(nm)(m≤nmn∈N*)
Annnn(n1)(n2)…2·1(n∈N*)
考谨记
(1)公式中mn∈N*m≤n规定01
mn时Anmn
(2)Anmn(nm)两作①mn较时
计算器快速算出结果②含字母排列数式子进
行变形时常公式
(2)组合数公式
CnmAnmAmmn(n1)…(nm+1)mnm(nm)(m≤nnm∈N*)
考谨记 (1)公式Cnmnm(nm)两作
①mn较时利公式计算组合数较简便
②含字母组合数式子进行变形证明时
常公式
(2)组合数性质
CnmCnnm(m≤nnm∈N*)
Cn+1mCnm1+Cnm(m≤nnm∈N*)
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnr+…+Cnn2n
Cn1+Cn3+Cn5+…Cn0+Cn2+Cn4+…2n1
(3)排列组合联系
AnmCnmAmm
抢分点42 二项式定理注意问题
(a+b)nCn0an+Cn1an1b+…+Cnkankbk+…+Cnnbn(n∈N*)公式作二项式定理右边项式作(a+b)n二项展开式n+1项中项系数Cnk(k01…n)作二项式系数式中Cnkankbk作二项展开式通项Tk+1表示通项展开式第k+1项Tk+1Cnkankbk(中0≤k≤nk∈Nn∈N*)
考必记 (1)(a+b)n二项展开式第k+1项Cnkankbk(b+a)n二项展开式第k+1项Cnkbnkak
(2)二项式系数项系数两完全概念二项式系数ab值关项系数仅项数关ab值关
抢分点43 三种抽样方法特点联系适范围
类
点
特点
联系
适范围
简单机抽样
①抽样程中体抽性相等
总体中逐抽取
基抽样方法
总体中体较少
②次抽出体放回放回抽样
总体分成部分
第部分抽样时采简单机抽样
总体中体较
预先确定规部分中抽取
总体分成层分层例进行抽取
层抽样时采简单机抽样系统抽样
总体差异明显部分组成
系统抽样
分层抽样
抢分点44 线性相关关系强弱分析判断
变量xy机抽n数(x1y1)(x2y2)…
(xnyn)利相关系数r衡量两变量间线性相关
关系样相关系数具体计算公式
r∑i1n(xix)(yiy)∑i1n(xix)2∑i1n(yiy)2
r>0时表明两变量正相关
r<0时表明两变量负相关
考谨记 (1)r∑i1nxiyinxy(∑i1nxi2nx2)(∑i1nyi2ny2)
(2)|r|≤1|r|越接1两变量线性相关程度越强|r|越接0线性相关程度越弱
|r|075时认xy强线性相关关系时求回直线方程必意义|r|<075时求回直线方程意义
抢分点45 独立性检验基方法
般假设两分类变量XY取值分{x1x2}{y1y2}样频数列联表
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
推断述H1XY关系常等高条形图展示列联表数频率特征利独立性检验考查两分类变量否关系较准确出种判断程度具体做法根观测数公式K2n(adbc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)计算K2观测值kk值越说明XY关系成立性越利数确定XY关系信程度
考谨记 (1)列联表中注意事件应关值确定避免混乱
(2)求判断XY关先假设XY关系
(3)K2k关系kK2kK2观测值者说K2机变量abcd取值时K2k取定组数abcd确定值
抢分点46 数学纳法般步骤
数学纳法证明正整数关命题步骤
(1)证明n取第值n0(n0∈N*)时命题成立
(2)假设nk(k∈N*k≥n0)时命题成立证明nk+1时命题成立
(1)(2)知命题n0开始正整数成立
考谨记 数学纳法证明关问题关键第二步样nk时命题成立推证nk+1时命题成立中特注意nknk+1时等式两边变化情况假设
抢分点47 算法三种基逻辑结构
(1)序结构图211(1)示
图211
(2)条件结构图211(2)图211(3)示
(3)循环结构图211(4)图211(5)示
图说明结构执行
抢分点48 复数四运算法
(a+bi)±(c+di)(a±c)+(b±d)i
(a+bi)(c+di)(acbd)+(bc+ad)i
(a+bi)÷(c+di)ac+bdc2+d2+bcadc2+d2i(abcd∈Rc+di≠0)
考谨记 结(1)(1±i)2±2i
(2)1+i1ii1i1+ii
(3)i4n1i4n+1ii4n+21i4n+3i
i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+30
(4)ω12±32iω01ω2ωω311+ω+ω20
(5)涉复数问题值般考虑复数意义助
数形结合方法求解明确yx意义点(xy)原点连
线斜率
抢分点49 行线分线段成例定理
行线等分线段定理
定理果组行线条直线截线段相等直线截线段相等
推1三角形边中点边行直线必分第三边
推2梯形腰中点底边行直线分腰
行线分线段成例定理
定理三条行线截两条直线应线段成例
考必记 行线分线段成例定理关推
(1)行三角形边直线截两边(两边延长线)应线段成例
(2)三角形角分线分边成两条线段角两边应成例
(3)梯形中位线行两底等两底半
(4)条直线截三角形两边(延长线)应线段成例直线三角形第三边行
抢分点50 相似三角形判定性质
相似三角形判定定理①两角应相等两三角形相似②两边应成例夹角相等两三角形相似③三边应成例两三角形相似
相似三角形性质定理①相似三角形应高应中线应角分线等相似②相似三角形周长等相似③相似三角形面积等相似方
直角三角形射影定理直角三角形斜边高两直角边斜边射影例中项两直角边分斜边射影斜边例中项
考必记 (1)相似三角形传递性果△ABC∽△A1B1C1△ABC∽△A2B2C2△A1B1C1∽△A2B2C2
(2)行三角形边直线两边(两边延长线)相交构成三角形原三角形相似
抢分点51 圆中关定理应
(1)圆周角定理圆条弧圆周角等圆心角半
(2)圆心角定理圆心角度数等弧度数
推1弧等弧圆周角相等圆等圆中相等圆周角弧相等
推2半圆(直径)圆周角直角90°圆周角弦直径
(3)圆接四边形性质判定定理
性质定理1圆接四边形角互补
性质定理2圆接四边形外角等角角
判定定理果四边形角互补四边形四顶点圆
推果四边形外角等角角四边形四顶点圆
(4)圆切线性质判定定理
性质定理圆切线垂直切点半径
推1圆心垂直切线直线必切点
推2切点垂直切线直线必圆心
判定定理半径外端垂直条半径直线圆切线
(5)弦切角定理 弦切角等夹弧圆周角
考必记 圆周角定理弦切角定理证明角关系证明三角形全等相似求线段长角圆切线关问题
(6)圆关例线段
相交弦定理圆两条相交弦交点分成两条线段长积相等
割线定理圆外点引圆两条割线点条割线圆交点两条线段长积相等
切割线定理圆外点引圆切线割线切线长点割线圆交点两条线段长例中项
切线长定理圆外点引圆两条切线切线长相等圆心点连线分两条切线夹角
抢分点52 面直角坐标系中伸缩变换
设点P(xy)面直角坐标系中意点变换φx＇λ·x(λ>0)y＇μ·y(μ>0)作点P(xy)应点P＇(x＇y＇)称φ面直角坐标系中坐标伸缩变换简称伸缩变换
抢分点53 直角坐标极坐标互化
直角坐标系原点作极点x轴正半轴作极轴两坐标系中取相长度单位设M面意点直角坐标(xy)极坐标(ρθ)
xρcos θyρsin θρ2x2+y2tan θyx(x≠0)
直角坐标极坐标互化公式
抢分点54 参数方程普通方程互化
代入法运解方程技巧求出参数然代入消参数
三角法运三角恒等式消参数
整体消元法根参数方程身结构特征整体消
化参数方程 xf(t)yg(t) 普通方程F(xy)0时消参程中应注意变量xy取值范围致性必须根参数取值范围确定f(t)g(t)值域xy取值范围
抢分点55 常见曲线参数方程
(1)圆x2+y2r2参数方程xrcosθyrsinθ(θ参数)
(2)圆(xx0)2+(yy0)2r2参数方程xx0+rcosθyy0+rsinθ
(θ参数)
(3)椭圆x2a2+y2b21参数方程xacosθybsinθ(θ参数)
(4)抛物线y22px参数方程x2pt2y2pt(t参数)
(5)定点P(x0y0)倾斜角α直线参数方程
xx0+tcosαyy0+tsinα(t参数)
抢分点56 基等式
定理1果ab∈Ra2+b2≥2ab仅ab时等号成立
定理2(基等式)果ab>0 a+b2≥ab 仅ab时等号成立两正数算术均(等)均
定理3果abc∈R+ a+b+c3≥3abc 仅abc时等号成立三正数算术均均
推广n正数a1a2…an算术均均a1+a2+…+ann≥na1a2…an仅a1a2…
an时等号成立
抢分点57 绝值三角等式
定理1果ab实数|a+b|≤|a|+|b|仅ab≥0时等号成立
定理2果abc实数|ac|≤|ab|+|bc|仅(ab)·(bc)≥0时等号成立
抢分点58 绝值等式解法
(1)|x|0)⇔aa(a>0)⇔x>ax(2)|ax+b|≤c⇔c≤ax+b≤c|ax+b|≥c⇔ax+b≤cax+b≥c
(3)|xa|+|xb|≥c|xa|+|xb|≤c解法三种根绝值意义结合数轴直观求解二零点分段法绝值转化三等式求解三构造函数利函数图求解
抢分点59 证明等式基方法
(1)较法作差较法作商较法
(2)综合法导果法
(3)分析法执果索法
(4)反证法假设命题成立推出矛盾
(5)放缩法通等式中某部分值放缩简化等式
考必记 证明等式常方法较法综合法分析法果已知条件证结直接联系明显考虑分析法果证命题否定性命题唯性命题少等方式出考虑反证法果证等式然数关考虑数学纳法等必情况需换元法构造法等技巧简化问题表述证明
抢分点60 柯西等式
(1)二维形式柯西等式abcd实数(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2仅adbc时等号成立
(2)柯西等式量形式设αβ两量|α·β|≤|α|·|β|仅β零量存实数kαkβ时等号成立
(3)二维形式三角等式设x1y1x2y2∈R
x12+y12+x22+y22≥(x1x2)2+(y1y2)2
(4)般形式柯西等式
设a1a2a3…anb1b2b3…bn实数(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2
仅bi0(i12…n)存数kaikbi(i12…n)时等号成立
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抢分点1 集合问题必须牢记重结
(1)a{a}区般a表示元素{a}表示元素a集合
(2)易混淆0∅{0}0实数∅集合含0元素{0}元素0集合0∉∅∅⊆{0}
(3)求解集合补集时先求出集合然写补集直接转化条件导致出错A{x|1x>0} 补集{x|x≤0} {x|1x≤0}
(4)交集补集等补集集∁U(A∩B)∁UA∪∁UB集补集等补集交集∁U(A∪B)∁UA∩∁UB
(5)A∩BAA⊆B反成立A∪BBA⊆B反成立利两结时定忘记集合A∅特例
(6)含n元素限集合M子集真子集非空子集非空真子集数次2n2n12n12n2
考必记集合问题注意四
(1)代表元素代表元素反映集合中元素特征解题时需分清点集数集集合
(2)二元素组成集合元素组成研究集合元素入手解集合问题常方法
(3)三否化简集合化简果先化简研究关系问题变简捷
(4)四否数形结合常运数形结合形式数轴坐标轴Venn图
抢分点2 集合间关系判断方法
(1)A⊆B⇔A⫋BAB类a≤b⇔a
注意 判断两集合间关系两实数间关系进行韦恩图直观表示述种关系
抢分点3 四种命题真假性仅面四种情况
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
考必记 (1)两命题互逆否命题相真假性
(2)互逆命题互否命题真假性没关系
(3)命题逆命题否命题具相真假性
(4)判断命题真假时果容易直接判断反判断逆否命题真假
抢分点4 全称量词存量词
(1)全称命题p∀x∈Mp(x)否定¬p∃x∈M¬p(x)
(2)特称命题p∃x∈Mp(x)否定¬p∀x∈M¬p(x)
考谨记 (1)全称命题否定特称命题特称命题否定全称命题
(2)命题否定命题否命题两概念命题p否定否定命题作判断否命题pq形式命题言否定条件否定结
抢分点5 充条件必条件三种判断方法
(1)定义法寻找条件pq间推式先命题pqqp进行真假判断结注意pq什条件四种充分必条件必充分条件充条件充分必条件
(2)集合法判断命题方程根等式解集关描述象集合表示时助集合间包含关系进行充分条件必条件判断
(3)等价法判断¬q¬p间关系时原命题逆否命题等价性转化判断pq关系
考谨记 关充分必性判断混淆四点
(1)p⇒q q⇒ ppq充分必条件(2)p⇒ q q⇒ppq必充分条件(3)p⇒ qq⇒ ppq充分必条件(4)p⇒qq⇒pp⇔qpq充条件
抢分点6 指数函数数函数区分表
解析式
yax(a>0a≠1)
ylogax(a>0a≠1)
定义域
R
(0+∞)
值域
(0+∞)
R
图
关系
指数函数数函数
奇偶性
非奇非偶
非奇非偶
单调性
0
0
考必记 指数函数数函数活学巧记口诀
指数增减清抓着底数放松反正底数零等1已表明
底数1图增底数01间图减
函数增减图(01)点
数增减思路函数图底数底数0等1行
底数1图增底数01间图减
函数增减图(10)点
抢分点7 方程根函数零点
(1)方程根函数零点关系 函数零点定义知函数yf(x)零点方程f(x)0实数根函数yf(x)图x轴交点横坐标方程f(x)0实数根⇔函数yf(x)图x轴交点⇔函数yf(x)零点
(2)函数零点存性 果函数yf(x)区间[ab]图连续断条曲线f(a)·f(b)<0函数f(x)区间(ab)少零点存c∈(ab)f(c)0c方程f(x)0实数根
考必记 函数方程活学巧记口诀
函数连续值两端相负零点区间数方程成立显然
求方程似值先零点区间次区间分二分两端零点
考谨记 函数零点存定理应中误区
函数零点存定理判断函数某区间变号零点判断函数变号零点连续函数区间端点处函数值异号函数区间存零点充分条件必条件函数区间端点处函数值号时函数区间存零点判断函数某区间存零点时
完全赖函数零点存定理综合函数性质进行分析判断
抢分点8 二分法求函数零点般步骤
第步 确定区间[ab]验证f(a)·f(b)<0定精确度ε
第二步 求区间[ab]中点c
第三步 计算f(c)
①f(c)0c函数零点
②f(a)·f(c)<0令bc(时零点x0∈(ac))
③f(c)·f(b)<0令ac(时零点x0∈(cb))
第四步 判断否达精确度ε|ab|<ε零点似值ab否重复第二步第四步
考必记 精确度精确
二分法断零点区间二等分缩零点区间求零点似值种方法求零点似值时候注意精确度精确两种求精确度01指函数零点似值零点差绝值01求解时利零点区间(ab)两端点差绝值|ba|衡量精确度|ba|≤01
抢分点9 熟记基初等函数导数公式
(1)C＇0(C常数)
(2)(xn)＇nxn1(n∈N*)
(3)(sin x)＇cos x(cos x)＇sin x
(4)(ln x)＇1x(x>0)(logax)＇1xlna(x>0a>0a≠1)
(5)(ex)＇ex(ax)＇axln a(a>0a≠1)
考必记 (1)(1x)＇1x2
(2)奇函数导数偶函数偶函数导数奇函数周期函数导数周期函数
(3)(ln|x|)＇1x
抢分点10 导数运算法
(1)(u±v)＇u＇±v＇⇒
[f1(x)+f2(x)+…+fn(x)]＇f ＇1(x)+f ＇2(x)+…+f ＇n(x)
(2)(uv)＇vu＇+v＇u⇒(cv)＇c＇v+cv＇cv＇(c常数)
(3)(uv)＇vu＇v＇uv2(v≠0)
注意 (1)uv必须导函数
(2)两函数导差积商必导两函数均导差积商定导
考必记 (1)利公式求导时定注意公式适范围符号(xn)＇nxn1中n≠0n∈Q(cos x)＇sin x
(2)注意公式混(ax)＇axln a(ax)＇xax1
(3)导数加法减法法两导函数推广意
限导函数情形
[u(x)±v(x)±…±w(x)]＇u＇(x)±v＇(x)±…±w＇(x)
(4)般情况[f(x)g(x)]＇≠f ＇(x)g＇(x)[f(x)g(x)]＇≠f ＇(x)+g＇(x)
[f(x)g(x)]＇≠f ＇(x)g＇(x)[f(x)g(x)]＇≠f ＇(x)g＇(x)
抢分点11 求导函数单调区间步骤
(1)确定yf(x)定义域
(2)求导数f ＇(x)
(3)求出f ＇(x)0根f(x)定义域分成干区间列表考查干区间f ＇(x)符号进确定f(x)单调区间
考谨记 (1)求函数单调区间易忽视函数定义域样解答结果错误解题程复杂求函数单调区间时应优先考虑函数定义域
(2)果函数具相单调性区间止单调区间∪连接逗号字隔开
(3)果某区间(ab)恒f ＇(x)0函数yf(x)常数函数区间具单调性
抢分点12 判极值极值方法
第步确定函数定义域求导数f ＇(x)
第二步求方程f ＇(x)0根
第三步检查f ＇(x)f ＇(x)0根左右两侧值符号果左正右负f(x)根处取极值果左负右正f(x)根处取极值果左右改变符号正负f(x)根处极值步骤中利方程f ＇(x)0根次函数定义域分成干开区间列成表格表格容结表格极值点两边符号目然便求极值
考谨记 (1)导函数极值点导数0导数0点定极值点函数f(x)x3x0时极值点f ＇(0)0
(2)极值点点数x0xx0时函数取极值x0处 f ＇(x0)0函数f(x)x0处取极值必充分条件
(3)函数f(x)闭区间值函数区间极值端点值中值函数f(x)闭区间值函数区间极值端点值中值
抢分点13 定积分微积分基定理
(1)定积分性质
①ab kf(x)dxkab f(x)dx(k常数)
②ab [f1(x)±f2(x)]dxab f1(x)dx±ab f2(x)dx
③ab f(x)dxac f(x)dx+cb f(x)dx(中a
考必记 (1)ab xmdx1m+1xm+1 ab(m∈Q*)(2)ab 1xdxln|x| ab(3)ab exdxex ab(4)mn axdxaxlna mn(5)ab cos xdxsin x ab(6)ab sin xdx(cos x) ab
(2)定积分求面图形面积方面应
①应曲边梯形位x轴方时定积分取正值等曲边梯形面积
②应曲边梯形位x轴方时定积分取负值等曲边梯形面积相反数
③位x轴方曲边梯形面积等位x轴方曲边梯形面积时定积分值0等位x轴方曲边梯形面积减位x轴方曲边梯形面积
注意 定积分值取正取负0
抢分点14 弧度制相关必备公式
(1) 角度弧度换算360°2π rad180°π rad
1 rad(180π)°≈5730°57°18＇1°π180 rad≈0017 45 rad
注意 正角弧度数正数负角弧度数负数零角弧度数零
(2)弧长公式l|α|·r扇形面积公式S扇形12lr12|α|·r2
抢分点15 角三角函数基关系
(1)商关系 sinαcosatan α
(2)方关系 sin2α+cos2α1
考必记 (1)公式常见变形
sin2α1cos2αcos2α1sin2αsin α±1cos2αcos α±1sin2αsin αcos αtan αcos αsinαtanα等
(2)角理解角基关系式成立拘泥角形式sin2(α+π3)+cos2(α+π3)1tan 3αsin3αcos3α等成立sin2(α+π3)+cos2(α+π6)1定成立
抢分点16 三角函数诱导公式
公式
sin(2kπ+α)sin α cos(2kπ+α)cos α tan(2kπ+α)tan αk∈Z
公式二
sin(π+α)sin α cos(π+α)cos α
tan(π+α)tan α
公式三
sin(α)sin α cos(α)cos α
tan(α)tan α
公式四
sin(πα)sin α cos(πα)cos α
tan(πα)tan α
公式五
sin(π2α)cos α cos(π2α)sin α
公式六
sin(π2+α)cos α cos(π2+α)sin α
推算公式
sin(3π2+α)cos α cos(3π2+α)sin α
sin(3π2α)cos α cos(3π2α)sin α
考必记 奇变偶变符号象限
奇偶指π2倍数奇偶变变指三角函数名称变化变指正弦变余弦(反然成立)符号象限含义角α作锐角n·π2±α第象限角等式右边正号负号
抢分点17 三角函数图基变换
ysin x图左移φ(φ>0)单位ysin(x+φ)图(φ<0时右移|φ|单位)
ysin x图点坐标保持变横坐标变原1ω倍ysin ωx图
ysin x图点横坐标保持变坐标变原A倍yAsin x图
考谨记 (1)ysin ωx图移变换ysin(ωx+φ)图移单位|φ||φω|
(2)函数图移伸缩变换实质点变化助三角函数图特征点坐标变化寻找移伸缩变换规律般助两函数图高点低点坐标分析
抢分点18 两角差正弦余弦正切公式
sin(α±β)sin αcos β±cos αsin β
cos(α±β)cos αcos β∓sin αsin β
tan(α±β)tanα±tanβ1∓tanαtanβ
sin(α+β)sin(αβ)sin2αsin2β(方正弦公式)
cos(α+β)cos(αβ)cos2αsin2β
考谨记 (1)两角余弦正弦公式章类公式基础两公式中两角余弦公式基础中基础两角正弦公式诱导公式导出
(2)公式S(α±β)C(α±β)具般性αβ意角公式T(α±β)具般性应明确公式T(α±β)α≠kπ+π2β≠kπ+π2α±β≠kπ+π2k∈Z时成立否成立tan αtan βtan(α±β)存时公式改诱导公式方法
抢分点19 半角公式二倍角公式
(1)半角公式
sinα2±1cosα2
cosα2±1+cosα2
tanα2±1cosα1+cosαsinα1+cosα1cosαsinα
考谨记 出角α范围(某区间)时先求出α2范围根α2范围确定符号果没出决定符号条件根号前保留正负两符号
(2)二倍角公式
sin 2α2sin αcos α
cos 2αcos2αsin2α2cos2α112sin2α
tan 2α2tanα1tan2α
考必记 (1)1+sin 2α(sin α+cos α)2
(2)1sin 2α(sin αcos α)2
抢分点20 差化积积化差公式
(1)差化积公式
sin α+sin β2sinα+β2cosαβ2
sin αsin β2cosα+β2sin αβ2
cos α+cos β2cosα+β2cosαβ2
cos αcos β2sinα+β2sinαβ2
考必记 (1)中前两公式合sin θ+sin φ2sinθ+φ2cosθφ2
(2)系数相互相反数名函数差直接运公式化成积形式果正弦余弦差先诱导公式化成名函数运公式化积
(2)积化差公式
sin αcos β12[sin(α+β)+sin(αβ)]
cos αsin β12[sin(α+β)sin(αβ)]
cos αcos β12[cos(α+β)+cos(αβ)]
sin αsin β12[cos(α+β)cos(αβ)]
考必记 (1)两角正弦余弦积化成±12[f(α+β)±f(αβ)]形式
(2)果两角函数正弦余弦f 表示余弦果正弦余弦f 表示正弦
(3)第四式子右端取号
(3)万公式
sin θ2tanθ21+tan2θ2cos θ1tan2θ21+tan2θ2tan θ2tanθ21tan2θ2
(4)辅助角公式
asin α+bcos αa2+b2sin(α+φ)
中sin φba2+b2cos φaa2+b2(0≤φ<2π)
抢分点21 面量中种特殊量
特殊量
定义
备注
零量
长度零量
零量记作0方意
单位量
长度等1单位量
单位量记作a0a0a|a|
行量
方相相反非零量(线量)
0意量线
相等量
长度相等方相量
相等量定行量
相反量
长度相等方相反两量
ab相反量ab
考必记 零量单位量特殊性
零量单位量两特殊量模确定方确定解题时注意特殊性命题a∥bb∥ca∥c假命题b零量时ac意量两者定行
抢分点22 面量坐标运算
(1)a(x1y1)b(x2y2)λ实数a+b(x1+x2y1+y2)ab(x1x2y1y2)λa(λx1λy1)
(2)已知A(x1y1)B(x2y2)ABOBOA(x2x1y2y1)
(3)面量线坐标表示设a(x1y1)b(x2y2)(b≠0)a∥b充条件x1y2x2y10
(4)设A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3)证三点线需证明
AB∥BCAB(x2x1y2y1)BC(x3x2y3y2)
需证明(x2x1)(y3y2)(x3x2)(y2y1)0
(5)设a(x1y1)b(x2y2)a·bx1x2+y1y2
抢分点23 面量数量积
a(x1y1)b(x2y2)
|a|2a2a·aa·b|a|·|b|·cos
cos
ab投影|a|cos
考谨记 (1)
(2)量等式移项两边方两边实数两边时取模两边量两边量两边时约量量法满足结合律a·(b·c)≠(a·b)·c
抢分点24 判断等差数列常方法
(1)定义法an+1and(d常数)(n∈N*)⇔{an}等差数列
(2)通项公式法数列通项公式定唯
(3)中项公式法2an+1an+an+2(n∈N*)⇔{an}等差数列
(4)前n项公式法SnAn2+Bn(AB常数n∈N*)⇔
{an}等差数列
抢分点25 anSn关系
an数列{an}通项Sn前n项
anSn间关系anS1n1SnSn1n≥2
考谨记 关系式anS1n1SnSn1n≥2时定注意分n1n≥2两种情况求出结果两种情况否整合起
抢分点26 判断等数列常方法
(1) 定义法an+1anq(q0常数n∈N*)⇔
{an}等数列
(2) 通项公式法ancqn(cq均0常数n∈N*)⇔
{an}等数列
(3)中项公式法an+12an·an+2(an·an+1·an+2≠0n∈N*)⇔
{an}等数列
考谨记 (1)等数列中项0公q≠0
(2)q1时数列常数列时数列等差数列注意数列常数列数列定等差数列定等数列000…
抢分点27 较两数者两式子方法
(1)作差较法意两实数ab(ab∈R)
a>b⇔ab>0ab⇔ab0a
(3)利单调性较
抢分点28 含参等式恒成立解必备条件
(1)定区间(∞+∞)子区间L(形[αβ](∞α][β+∞)等)含参数等式f(x)≥t(t参数)恒成立充条件f(x)min≥t(x∈L)
(2)定区间(∞+∞)子区间L含参数等式f(x)≤t(t参数)恒成立充条件f(x)max≤t(x∈L)
(3)定区间(∞+∞)子区间L含参数等式f(x)≥t(t参数)解充条件f(x)max≥t(x∈L)
(4)定区间(∞+∞)子区间L含参数等式f(x)≤t(t参数)解充条件f(x)min≤t(x∈L)
抢分点29 线性目标函数值问题
(1)解线性目标函数zax+by约束条件值问题满足约束条件行解(xy)组成行域利线性移方法找点(x0y0)目标函数取值
(2)已知目标函数值求参数关键确定行域点处目标函数取值建立等式求出参数值需注意果目标函数存优解优解通常行域顶点处取果目标函数存优解优解般行域边界
考必记 线性目标函数优整数解
线性目标函数优整数解定行域顶点边界处取时直接代入顶点坐标求值面方法求解
(1)移直线法先行域网格描整点移目标函数表示直线先整点坐标优整数解
(2)检验优值法行域整点数较少时整点坐标逐代入目标函数求值较出优解
(3)调整优值法先求非整数点优解优值助定方程知识调整优值筛选出优解
抢分点30 已知图形直观图面积体积间关系
(1)面图形直观图画法结 果面图形F面积S直观图F＇面积S＇S22S＇
(2)画空间图形直观图时行z轴线段行性长度变结果空间图形W体积V直观图W＇体积V＇V22V＇
抢分点31 空间体表面积体积
(1)直棱柱侧面积S侧cl(c底面周长l侧棱长)
正棱锥侧面积S侧12ch＇(c底面周长h＇斜高)
正棱台侧面积S侧12(c+c＇)h＇(cc＇分底面
周长h＇斜高)
圆柱侧面积S侧cl2πrl(c底面周长l母线长)
圆锥侧面积S侧12clπrl(c底面周长l母线长)
圆台侧面积S侧12(c+c＇)lπ(r+R)l(cc＇分
底面周长l母线长)
球表面积S4πR2
(2)柱体体积V柱Sh(S底面积h柱体高)
锥体体积V锥13Sh(S底面积h锥体高)
球体积V球43πR313S表R
考必记 柱体锥体台体侧面面积公式间关系
(1)正棱台底面底面全等时正棱柱正棱台底面缩点时正棱锥SchS12(c+c＇)h＇S12ch＇
(2)圆台底面半径底面半径相等时圆柱圆台底面半径零时圆锥S2πrlSπ(r+r＇)lSπrl
抢分点32 证明空间位置关系6种方法
(1)线面行a∥bb⊂αa⊄α⇒a∥αα∥βa⊂β⇒a∥αα⊥βa⊥βa⊄α⇒a∥α
(2)线线行
a∥αa⊂βα⋂βb⇒a∥ba⊥αb⊥α⇒a∥b
α∥βα⋂γaβ⋂γb⇒a∥ba∥ba∥c⇒c∥b
(3) 面面行
a⊂αb⊂αa⋂bOa∥βb∥β⇒α∥βa⊥αa⊥β⇒α∥βα∥βγ∥β⇒α∥γ
(4)线线垂直a⊥αb⊂α⇒a⊥b
(5)线面垂直
a⊂αb⊂αa⋂bOl⊥al⊥b⇒l⊥αα⊥βα⋂βla⊂αa⊥l⇒a⊥βα∥βa⊥α⇒a⊥β
a∥ba⊥α⇒b⊥α
(6)面面垂直a⊂βa⊥α⇒α⊥βa∥βa⊥α⇒α⊥β
考谨记 利定理证明线面关系时注意结合体结构特征尤注意正棱柱正棱锥等特殊体性质灵活运进行空间线面关系相互转化
抢分点33 空间量应
(1) 夹角公式设a(a1a2a3)b(b1b2b3)
cos
推(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)
(2) 异面直线成角
cos θ|cos
中θ(0°<θ≤90°)异面直线ab成角ab分表示异面直线ab方量
(3) 直线AB面α成角β满足
sin β|cos
(4) 二面角αlβ面角θ满足
|cos θ||cos
考谨记 处理实际问题时根具体图形确定二面角面角锐角钝角确定角
(5)点B面α距离d|AB·n||n|(n面α法量A∈αAB面α条斜线段)
抢分点34 直线方程5种形式
(1)点斜式yy1k(xx1)(直线点P1(x1y1)斜率k包括y轴行y轴直线)
(2)斜截式ykx+b(b直线ly轴截距斜率k包括y轴行y轴直线)
(3)两点式yy1y2y1xx1x2x1(直线点P1(x1y1)P2(x2y2)x1≠x2y1≠y2包括坐标轴行坐标轴直线)
(4)截距式xa+yb1(ab分直线横截距a≠0b≠0包括坐标轴行坐标轴原点直线)
(5)般式Ax+By+C0(中AB时0)
考谨记 (1)应直线方程点斜式斜截式设直线方程时般设直线斜率k注意直线垂直x轴斜率k存情况
(2)研究方便定点P(x0y0)直线设法直线y轴垂直时设yy00直线y轴垂直时设xx0m(yy0)样直线方程曲线方程联立时消x较方便
抢分点35 两条直线位置关系
(1) 已知直线l1A1x+B1y+C10
l2A2x+B2y+C20(A1B1A2B2全0)l1l2相交⇔A1A2≠B1B2l1∥l2⇔A1A2B1B2≠C1C2l1l2重合⇔A1A2B1B2C1C2
A1B1A2B2中0时应单独讨
(2) 直线l1A1x+B1y+C10l2A2x+B2y+C20(A12+B12≠0
A22+B22≠0)垂直⇔A1A2+B1B20
考谨记 (1)讨两条直线位置关系应注意斜率存斜率0情况两条直线中条直线斜率存条直线斜率0时垂直
(2)已知直线lAx+By+C0
直线l行直线方程设Ax+By+m0(m≠C)
直线l垂直直线方程设BxAy+n0
抢分点36 圆方程三种形式
(1)圆标准方程(xa)2+(yb)2r2(r>0)
(2)圆般方程x2+y2+Dx+Ey+F0(D2+E24F>0)
(3)圆直径式方程(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)0(圆直径两端点A(x1y1)B(x2y2))
抢分点37 椭圆标准方程性质
(1)标准方程焦点x轴方程x2a2+y2b21(a>b>0)焦点y轴方程y2a2+x2b21(a>b>0)
(2)性质①离心率eca1b2a2∈(01)
②焦点垂直长轴弦通径长度2b2a
考谨记 (1)满足|PF1|+|PF2|2a点P轨迹定椭圆2a>|F1F2|时点P轨迹椭圆2a|F1F2|时点P轨迹线段F1F22a<|F1F2|时点P轨迹存
(2)已知两点椭圆方程设Ax2+By21形式中A>0B>0A≠B
(3)椭圆长轴长2a短轴长2b焦距2cc2a2b2
考必记 (1)椭圆离心率e取值范围0
抢分点38 双曲线标准方程性质
(1) 标准方程焦点x轴方程x2a2y2b21(a>0b>0)
焦点y轴方程y2a2x2b21(a>0b>0)
(2)性质①离心率eca1+b2a2∈(1+∞)
②焦点垂直实轴弦通径长度2b2a
③双曲线x2a2y2b21(a>0b>0)渐线方程y±bax
焦点渐线距离等b
考必记 (1)离心率e取值范围e>1e越接1时双曲线开口越e越接+∞时双曲线开口越
(2)满足||PF1||PF2||2a点P轨迹定双曲线2a0时点P轨迹线段F1F2中垂线0<2a<|F1F2|时点P轨迹双曲线2a|F1F2|时点P轨迹两条射线2a>|F1F2|时点P轨迹存
抢分点39 抛物线标准方程性质
(1)焦点x轴正半轴抛物线方程y2ax(a>0)焦点F(a40)准线方程xa4焦点y轴正半轴抛物线方程x2ay(a>0)焦点F(0a4)准线方程ya4
(2)已知CD抛物线y22px(p>0)焦点F弦点C(x1y1)D(x2y2)
①焦半径|CF|x1+p2|DF|x2+p2
②焦点弦长|CD|x1+x2+p2psin2α (中α直线CD倾斜角)1|CF|+1|DF|2p(定值)
③x1x2p24y1y2p2
④抛物线点圆心焦半径半径圆必准线相切抛物线焦点弦直径圆必准线相切
抢分点40 直线圆锥曲线位置关系
(1)直线圆锥曲线相交必条件构成方程组实数解出现元二次方程时务必求判式Δ≥0尤应根系数关系解决问题时必须先判式Δ≥0
(2)设A(x1y1)B(x2y2)弦长公式
|AB|(x1x2)2+(y1y2)21+k2|x2x1|
1+1k2|y1y2|
(3)果三三点条直线选择斜率桥梁进行转化
抢分点41 排列数组合数公式相关性质
(1)排列数公式
Anmn(n1)(n2)…(nm+1)n(nm)(m≤nmn∈N*)
Annnn(n1)(n2)…2·1(n∈N*)
考谨记
(1)公式中mn∈N*m≤n规定01
mn时Anmn
(2)Anmn(nm)两作①mn较时
计算器快速算出结果②含字母排列数式子进
行变形时常公式
(2)组合数公式
CnmAnmAmmn(n1)…(nm+1)mnm(nm)(m≤nnm∈N*)
考谨记 (1)公式Cnmnm(nm)两作
①mn较时利公式计算组合数较简便
②含字母组合数式子进行变形证明时
常公式
(2)组合数性质
CnmCnnm(m≤nnm∈N*)
Cn+1mCnm1+Cnm(m≤nnm∈N*)
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnr+…+Cnn2n
Cn1+Cn3+Cn5+…Cn0+Cn2+Cn4+…2n1
(3)排列组合联系
AnmCnmAmm
抢分点42 二项式定理注意问题
(a+b)nCn0an+Cn1an1b+…+Cnkankbk+…+Cnnbn(n∈N*)公式作二项式定理右边项式作(a+b)n二项展开式n+1项中项系数Cnk(k01…n)作二项式系数式中Cnkankbk作二项展开式通项Tk+1表示通项展开式第k+1项Tk+1Cnkankbk(中0≤k≤nk∈Nn∈N*)
考必记 (1)(a+b)n二项展开式第k+1项Cnkankbk(b+a)n二项展开式第k+1项Cnkbnkak
(2)二项式系数项系数两完全概念二项式系数ab值关项系数仅项数关ab值关
抢分点43 三种抽样方法特点联系适范围
类
点
特点
联系
适范围
简单机抽样
①抽样程中体抽性相等
总体中逐抽取
基抽样方法
总体中体较少
②次抽出体放回放回抽样
总体分成部分
第部分抽样时采简单机抽样
总体中体较
预先确定规部分中抽取
总体分成层分层例进行抽取
层抽样时采简单机抽样系统抽样
总体差异明显部分组成
系统抽样
分层抽样
抢分点44 线性相关关系强弱分析判断
变量xy机抽n数(x1y1)(x2y2)…
(xnyn)利相关系数r衡量两变量间线性相关
关系样相关系数具体计算公式
r∑i1n(xix)(yiy)∑i1n(xix)2∑i1n(yiy)2
r>0时表明两变量正相关
r<0时表明两变量负相关
考谨记 (1)r∑i1nxiyinxy(∑i1nxi2nx2)(∑i1nyi2ny2)
(2)|r|≤1|r|越接1两变量线性相关程度越强|r|越接0线性相关程度越弱
|r|075时认xy强线性相关关系时求回直线方程必意义|r|<075时求回直线方程意义
抢分点45 独立性检验基方法
般假设两分类变量XY取值分{x1x2}{y1y2}样频数列联表
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
推断述H1XY关系常等高条形图展示列联表数频率特征利独立性检验考查两分类变量否关系较准确出种判断程度具体做法根观测数公式K2n(adbc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)计算K2观测值kk值越说明XY关系成立性越利数确定XY关系信程度
考谨记 (1)列联表中注意事件应关值确定避免混乱
(2)求判断XY关先假设XY关系
(3)K2k关系kK2kK2观测值者说K2机变量abcd取值时K2k取定组数abcd确定值
抢分点46 数学纳法般步骤
数学纳法证明正整数关命题步骤
(1)证明n取第值n0(n0∈N*)时命题成立
(2)假设nk(k∈N*k≥n0)时命题成立证明nk+1时命题成立
(1)(2)知命题n0开始正整数成立
考谨记 数学纳法证明关问题关键第二步样nk时命题成立推证nk+1时命题成立中特注意nknk+1时等式两边变化情况假设
抢分点47 算法三种基逻辑结构
(1)序结构图211(1)示
图211
(2)条件结构图211(2)图211(3)示
(3)循环结构图211(4)图211(5)示
图说明结构执行
抢分点48 复数四运算法
(a+bi)±(c+di)(a±c)+(b±d)i
(a+bi)(c+di)(acbd)+(bc+ad)i
(a+bi)÷(c+di)ac+bdc2+d2+bcadc2+d2i(abcd∈Rc+di≠0)
考谨记 结(1)(1±i)2±2i
(2)1+i1ii1i1+ii
(3)i4n1i4n+1ii4n+21i4n+3i
i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+30
(4)ω12±32iω01ω2ωω311+ω+ω20
(5)涉复数问题值般考虑复数意义助
数形结合方法求解明确yx意义点(xy)原点连
线斜率
抢分点49 行线分线段成例定理
行线等分线段定理
定理果组行线条直线截线段相等直线截线段相等
推1三角形边中点边行直线必分第三边
推2梯形腰中点底边行直线分腰
行线分线段成例定理
定理三条行线截两条直线应线段成例
考必记 行线分线段成例定理关推
(1)行三角形边直线截两边(两边延长线)应线段成例
(2)三角形角分线分边成两条线段角两边应成例
(3)梯形中位线行两底等两底半
(4)条直线截三角形两边(延长线)应线段成例直线三角形第三边行
抢分点50 相似三角形判定性质
相似三角形判定定理①两角应相等两三角形相似②两边应成例夹角相等两三角形相似③三边应成例两三角形相似
相似三角形性质定理①相似三角形应高应中线应角分线等相似②相似三角形周长等相似③相似三角形面积等相似方
直角三角形射影定理直角三角形斜边高两直角边斜边射影例中项两直角边分斜边射影斜边例中项
考必记 (1)相似三角形传递性果△ABC∽△A1B1C1△ABC∽△A2B2C2△A1B1C1∽△A2B2C2
(2)行三角形边直线两边(两边延长线)相交构成三角形原三角形相似
抢分点51 圆中关定理应
(1)圆周角定理圆条弧圆周角等圆心角半
(2)圆心角定理圆心角度数等弧度数
推1弧等弧圆周角相等圆等圆中相等圆周角弧相等
推2半圆(直径)圆周角直角90°圆周角弦直径
(3)圆接四边形性质判定定理
性质定理1圆接四边形角互补
性质定理2圆接四边形外角等角角
判定定理果四边形角互补四边形四顶点圆
推果四边形外角等角角四边形四顶点圆
(4)圆切线性质判定定理
性质定理圆切线垂直切点半径
推1圆心垂直切线直线必切点
推2切点垂直切线直线必圆心
判定定理半径外端垂直条半径直线圆切线
(5)弦切角定理 弦切角等夹弧圆周角
考必记 圆周角定理弦切角定理证明角关系证明三角形全等相似求线段长角圆切线关问题
(6)圆关例线段
相交弦定理圆两条相交弦交点分成两条线段长积相等
割线定理圆外点引圆两条割线点条割线圆交点两条线段长积相等
切割线定理圆外点引圆切线割线切线长点割线圆交点两条线段长例中项
切线长定理圆外点引圆两条切线切线长相等圆心点连线分两条切线夹角
抢分点52 面直角坐标系中伸缩变换
设点P(xy)面直角坐标系中意点变换φx＇λ·x(λ>0)y＇μ·y(μ>0)作点P(xy)应点P＇(x＇y＇)称φ面直角坐标系中坐标伸缩变换简称伸缩变换
抢分点53 直角坐标极坐标互化
直角坐标系原点作极点x轴正半轴作极轴两坐标系中取相长度单位设M面意点直角坐标(xy)极坐标(ρθ)
xρcos θyρsin θρ2x2+y2tan θyx(x≠0)
直角坐标极坐标互化公式
抢分点54 参数方程普通方程互化
代入法运解方程技巧求出参数然代入消参数
三角法运三角恒等式消参数
整体消元法根参数方程身结构特征整体消
化参数方程 xf(t)yg(t) 普通方程F(xy)0时消参程中应注意变量xy取值范围致性必须根参数取值范围确定f(t)g(t)值域xy取值范围
抢分点55 常见曲线参数方程
(1)圆x2+y2r2参数方程xrcosθyrsinθ(θ参数)
(2)圆(xx0)2+(yy0)2r2参数方程xx0+rcosθyy0+rsinθ
(θ参数)
(3)椭圆x2a2+y2b21参数方程xacosθybsinθ(θ参数)
(4)抛物线y22px参数方程x2pt2y2pt(t参数)
(5)定点P(x0y0)倾斜角α直线参数方程
xx0+tcosαyy0+tsinα(t参数)
抢分点56 基等式
定理1果ab∈Ra2+b2≥2ab仅ab时等号成立
定理2(基等式)果ab>0 a+b2≥ab 仅ab时等号成立两正数算术均(等)均
定理3果abc∈R+ a+b+c3≥3abc 仅abc时等号成立三正数算术均均
推广n正数a1a2…an算术均均a1+a2+…+ann≥na1a2…an仅a1a2…
an时等号成立
抢分点57 绝值三角等式
定理1果ab实数|a+b|≤|a|+|b|仅ab≥0时等号成立
定理2果abc实数|ac|≤|ab|+|bc|仅(ab)·(bc)≥0时等号成立
抢分点58 绝值等式解法
(1)|x|
(3)|xa|+|xb|≥c|xa|+|xb|≤c解法三种根绝值意义结合数轴直观求解二零点分段法绝值转化三等式求解三构造函数利函数图求解
抢分点59 证明等式基方法
(1)较法作差较法作商较法
(2)综合法导果法
(3)分析法执果索法
(4)反证法假设命题成立推出矛盾
(5)放缩法通等式中某部分值放缩简化等式
考必记 证明等式常方法较法综合法分析法果已知条件证结直接联系明显考虑分析法果证命题否定性命题唯性命题少等方式出考虑反证法果证等式然数关考虑数学纳法等必情况需换元法构造法等技巧简化问题表述证明
抢分点60 柯西等式
(1)二维形式柯西等式abcd实数(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2仅adbc时等号成立
(2)柯西等式量形式设αβ两量|α·β|≤|α|·|β|仅β零量存实数kαkβ时等号成立
(3)二维形式三角等式设x1y1x2y2∈R
x12+y12+x22+y22≥(x1x2)2+(y1y2)2
(4)般形式柯西等式
设a1a2a3…anb1b2b3…bn实数(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2
仅bi0(i12…n)存数kaikbi(i12…n)时等号成立
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