数学破题36计
第28计 三角开门 八面玲珑
●计名释义
三角函数沟通面立体解析量函数重工具具特点：
1公式变换技巧
2思想方法集中特函数方程思想数形结合思想特殊般思想
3应广泛学科身应跨学科综合应
●典例示范
例1 设ab∈Ra2+2b26a+b值 （ ）
A2 B C3 D
解答 a2+2b261 设(θ∈［02π］)
a+bcosθ+sinθ3cos(θφ)中cosφsinφ∴a+b≥3选C
点评 例实施代数解析三角函数间转换利三角函数界性破题
例2 已知正数xy满足3x2+2y26xx2+y2值
思考 题解法鲜见
条件y23xx2
∴x2+y2x2+x2+3x(x3)2+
∴仅x3时（x2+y2）max 发现种解法什毛病？
先检验x3会什情况发生x3代入已知条件：
3×9+2y218 ∴2y29
显然错误等式毛病里呢？没分析条件暗示变量xy范围正确解法
∵y23xx2≥0∴x22x≤0 x∈［02］x2+y2(x3)2+
令z(x3)2+x≤3时z增函数已求x∈［02］x2时
zmax (23)2+ 4(x2+y2)max 4
评注 题三角代换避开陷阱达八面玲珑条件：
(x1)2+y21
设
x2+y2(1+cosθ)2+sin2θcos2θ+2cosθ+(cosθ2)2+
cosθ∈［11］cosθ1时(x2+y2)max +4
时x2y0
例3 设抛物线y24px(p>0)准线交x轴点MM作直线l交抛物线A
B两点求AB中点轨迹方程
解答 抛物线y24px准线x p交x轴M(p0)
设M直线参数方程：(t参数)代入y24px：
t2sin2θ4ptcosθ+4p20 (1)
方程(1)相异二实根条件：
1
设方程(1)二根t1t2t1+t2
设AB中点Q(xy) ∵t
∴消θ：y22p(x+p)
∵|cotθ|>1∴|y|>2p求AB中点轨迹方程：y22p(x+p)(|y|>2p)
点评 直线参数方程直线三角形式处理解析中直线曲线关系中常起重作减少变量(xy两变量减变量t)运算程常般方程简便
起直线参数方程时必须标准式：
中P(x0y0)定点θ直线倾斜角参数t表示动点M(xy)定点P(x0y0)连线段数量MP方t>0反t<0
例4 两圆O1O2外离半径分r1r2直线AB分交两圆
ACDBACDBAB
切线交E求证：
思考 例面题
谁试图仅知识证明
肯定难成功引入三角然
解答 作两圆直径AFBG连
CFDG命∠EAB∠F∠α∠EBA∠G∠β
AC2r1sinαBD2r2sinβ
已知ACBD∴2r1sinα2r2sinβ 例4题图
△EAB中正弦定理：∴
例5某矿石基A冶炼厂B铁路MN两侧A距铁路m千米B距铁路n千米 铁路建造两火车站CD修两条公路ACBD A矿石先汽车公路运火车站C然火车运D汽车运冶炼厂B（图示）AB铁路MN投影A′B′距离l千米汽车时行u公里火车时行v公里（v>u）运输矿石时间短火车站CD应建什方？
分析 求CD建方
问题简化暂考虑车站D
设法求出ACB′需短时间
解答 ∵ACA′CmtanA
∴CB′A′B′A′ClmtanA
∴ACB′需时间 例5题图
t
常数问题转化求y值
∵y′令y′0时sinA<1
sinA<时y′<0sinA>时y′>0
函数y函数tsinA时取极值：
∵sinA∴A′CmtanA车站C距A′千米l长短关
理站D距B′千米
点评 例次映证求导法求值中重作
●应训练
1已知方程x2+xsin2θ sinθcotθ0(π<θ<π)二根αβ求等数列1…前100项零θ值
2设实数(xy)满足方程x2+y22x2y+10求值
3已知圆方程x2+y21四边形PABQ该圆接梯形底边AB圆直径x轴梯形ABCD周长l时求P点坐标周长
4△ABC中已知三角满足关系式y2+cos Ccos (AB) cos2C
(Ⅰ)证明意交换ABC位置y值变
（Ⅱ）求y值
5条河宽1km相距4km(直线距离)两座城市AB分位河两岸现需铺设条电缆连通AB 已知电缆修建费千米2万元水电缆修建费千米4万元 假定两岸行直线问应铺设电缆总修建费少
●参考答案
1条件：
∴等数列公q2sinθ∴S100
已知S1000∴(2sinθ)10012sinθ≠12sinθ 1sinθ
∵θ∈(ππ) ∴θπ
2圆(x1)2+(y1)21圆心C(11)半径r1圆第象限两轴相切求
值先求值
图表示圆点(xy)
定点P(10)连线斜率PAPB
圆C切线连PC
设∠BPC∠APCθtanθ 第2题解图
tan∠BPAtan2θ
3图示A(10)B(10)
⊙方程x2+y21∴设P(cosθsinθ)
圆点妨设P第象限
Q(cosθsinθ)
∴|PQ|2cosθRt△PAB中∠PBA
∴|BQ||PA||AB| sin2sin
l2+2cosθ+4sin2+2(12sin2)+4sin54(sin)2 第3题解图
仅sinθ60°(θ四象限300°)时lmax5时
点P坐标
4(Ⅰ)y2+cos C［cos (AB) cosC］
2+cos C［cos (AB)+cos (A+B)］2+2cos Acos Bcos C
关ABC称轮换式意交换ABC位置y值变
(Ⅱ)y2［cos Ccos (AB)］2 +cos2(AB)求y值必须［cosCcos (AB)］2取cos2(AB)取
∵［cosCcos (AB) 2≥0cos+(AB)≤仅时两条时成立
∴ymax 时△ABC正三角形
5解法图示设OMx kmAMxBM 总修建费
S2（x）+4
2++x+3(x)
2+（+x）+≥2+2
+xx时
S取值2+2时
AM≈33BM≈12
先岸铺设33 km电缆
铺设12 km水电缆连通AB时 第5题解图
总修建费少时修建费114万元
解法二：图示设∠OBMα(0<αAMAOMOtanα总修建费S2tanα)+2+
设tsinα+tcosα2 ∴ sin(α+φ)
t>0t≥ ∴ S≥2+2
t代入sinα+tcosα2解α
∵ 0<Smin 2×３．３＋４×１．２＝１１．４
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第28计 三角开门 八面玲珑
●计名释义
三角函数沟通面立体解析量函数重工具具特点：
1公式变换技巧
2思想方法集中特函数方程思想数形结合思想特殊般思想
3应广泛学科身应跨学科综合应
●典例示范
例1 设ab∈Ra2+2b26a+b值 （ ）
A2 B C3 D
解答 a2+2b261 设(θ∈［02π］)
a+bcosθ+sinθ3cos(θφ)中cosφsinφ∴a+b≥3选C
点评 例实施代数解析三角函数间转换利三角函数界性破题
例2 已知正数xy满足3x2+2y26xx2+y2值
思考 题解法鲜见
条件y23xx2
∴x2+y2x2+x2+3x(x3)2+
∴仅x3时（x2+y2）max 发现种解法什毛病？
先检验x3会什情况发生x3代入已知条件：
3×9+2y218 ∴2y29
显然错误等式毛病里呢？没分析条件暗示变量xy范围正确解法
∵y23xx2≥0∴x22x≤0 x∈［02］x2+y2(x3)2+
令z(x3)2+x≤3时z增函数已求x∈［02］x2时
zmax (23)2+ 4(x2+y2)max 4
评注 题三角代换避开陷阱达八面玲珑条件：
(x1)2+y21
设
x2+y2(1+cosθ)2+sin2θcos2θ+2cosθ+(cosθ2)2+
cosθ∈［11］cosθ1时(x2+y2)max +4
时x2y0
例3 设抛物线y24px(p>0)准线交x轴点MM作直线l交抛物线A
B两点求AB中点轨迹方程
解答 抛物线y24px准线x p交x轴M(p0)
设M直线参数方程：(t参数)代入y24px：
t2sin2θ4ptcosθ+4p20 (1)
方程(1)相异二实根条件：
1
设方程(1)二根t1t2t1+t2
设AB中点Q(xy) ∵t
∴消θ：y22p(x+p)
∵|cotθ|>1∴|y|>2p求AB中点轨迹方程：y22p(x+p)(|y|>2p)
点评 直线参数方程直线三角形式处理解析中直线曲线关系中常起重作减少变量(xy两变量减变量t)运算程常般方程简便
起直线参数方程时必须标准式：
中P(x0y0)定点θ直线倾斜角参数t表示动点M(xy)定点P(x0y0)连线段数量MP方t>0反t<0
例4 两圆O1O2外离半径分r1r2直线AB分交两圆
ACDBACDBAB
切线交E求证：
思考 例面题
谁试图仅知识证明
肯定难成功引入三角然
解答 作两圆直径AFBG连
CFDG命∠EAB∠F∠α∠EBA∠G∠β
AC2r1sinαBD2r2sinβ
已知ACBD∴2r1sinα2r2sinβ 例4题图
△EAB中正弦定理：∴
例5某矿石基A冶炼厂B铁路MN两侧A距铁路m千米B距铁路n千米 铁路建造两火车站CD修两条公路ACBD A矿石先汽车公路运火车站C然火车运D汽车运冶炼厂B（图示）AB铁路MN投影A′B′距离l千米汽车时行u公里火车时行v公里（v>u）运输矿石时间短火车站CD应建什方？
分析 求CD建方
问题简化暂考虑车站D
设法求出ACB′需短时间
解答 ∵ACA′CmtanA
∴CB′A′B′A′ClmtanA
∴ACB′需时间 例5题图
t
常数问题转化求y值
∵y′令y′0时sinA<1
sinA<时y′<0sinA>时y′>0
函数y函数tsinA时取极值：
∵sinA∴A′CmtanA车站C距A′千米l长短关
理站D距B′千米
点评 例次映证求导法求值中重作
●应训练
1已知方程x2+xsin2θ sinθcotθ0(π<θ<π)二根αβ求等数列1…前100项零θ值
2设实数(xy)满足方程x2+y22x2y+10求值
3已知圆方程x2+y21四边形PABQ该圆接梯形底边AB圆直径x轴梯形ABCD周长l时求P点坐标周长
4△ABC中已知三角满足关系式y2+cos Ccos (AB) cos2C
(Ⅰ)证明意交换ABC位置y值变
（Ⅱ）求y值
5条河宽1km相距4km(直线距离)两座城市AB分位河两岸现需铺设条电缆连通AB 已知电缆修建费千米2万元水电缆修建费千米4万元 假定两岸行直线问应铺设电缆总修建费少
●参考答案
1条件：
∴等数列公q2sinθ∴S100
已知S1000∴(2sinθ)10012sinθ≠12sinθ 1sinθ
∵θ∈(ππ) ∴θπ
2圆(x1)2+(y1)21圆心C(11)半径r1圆第象限两轴相切求
值先求值
图表示圆点(xy)
定点P(10)连线斜率PAPB
圆C切线连PC
设∠BPC∠APCθtanθ 第2题解图
tan∠BPAtan2θ
3图示A(10)B(10)
⊙方程x2+y21∴设P(cosθsinθ)
圆点妨设P第象限
Q(cosθsinθ)
∴|PQ|2cosθRt△PAB中∠PBA
∴|BQ||PA||AB| sin2sin
l2+2cosθ+4sin2+2(12sin2)+4sin54(sin)2 第3题解图
仅sinθ60°(θ四象限300°)时lmax5时
点P坐标
4(Ⅰ)y2+cos C［cos (AB) cosC］
2+cos C［cos (AB)+cos (A+B)］2+2cos Acos Bcos C
关ABC称轮换式意交换ABC位置y值变
(Ⅱ)y2［cos Ccos (AB)］2 +cos2(AB)求y值必须［cosCcos (AB)］2取cos2(AB)取
∵［cosCcos (AB) 2≥0cos+(AB)≤仅时两条时成立
∴ymax 时△ABC正三角形
5解法图示设OMx kmAMxBM 总修建费
S2（x）+4
2++x+3(x)
2+（+x）+≥2+2
+xx时
S取值2+2时
AM≈33BM≈12
先岸铺设33 km电缆
铺设12 km水电缆连通AB时 第5题解图
总修建费少时修建费114万元
解法二：图示设∠OBMα(0<α
设tsinα+tcosα2 ∴ sin(α+φ)
t>0t≥ ∴ S≥2+2
t代入sinα+tcosα2解α
∵ 0<
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