数学破题36计
第13计 钥匙开门
●计名释义
开门钥匙应性果钥匙通性邻居吓跑
知识具性切犯相混症没握知识性
数学知识根基数学定义性揭示概念质介定概念范畴似模糊边缘判定非
定义身蕴含着方法线面垂直定义直接导出线面垂直判定定理椭圆定义直接导出椭圆方程里判定定理方程应定义定义外开设代办处问题身离定义时必跑遥远方找代办处呢？引出回定义解题说
●典例示范
例1 F1F2椭圆两焦点|F1F2|2c 椭圆点P（x y)F1（c 0) F2 (c 0)距离2a 求证：|PF1||PF2|
分析 定搬动椭圆方程？里已知条件cb椭圆方程bc搬动椭圆方程肯定舍求远
解答 |PF1| |PF2|距离公式结合椭圆定义关|PF1| r1 |PF2| r2方程组
②③消y2 x2c2 rr ④
①④联立解 |PF1| |PF2|
点评 快捷清晰题已知条件定义离方程远
例2 设数列{an}前n项Sn1+anlgb 求成立b取值范围
思考 应首先分清{an}什数列根数列性质极限定义解题
解答 a11+a1lgb lgb0 b 1时 a1S11矛盾
∴b≠1a1 an(1+anlgb)(1+an1lgb)
∴an(1lgb)an1lgb 常数{an}首项公q穷递缩等数列(已知存)∴q∈(10)∪(01)
>1 >0 lgb1
<000<<1 ∴b∈(0 1)] ②
综合①②取集求b取值范围b∈(01)∪(1)
例3 某商场促销顾客购买商品金额达定数量通抽奖方法获奖箱中4红球3白球抽红球时奖励20元商品抽白球时奖励10元商品(顾客通抽奖方法确定获奖商品球全部放回箱中)
(1)顾客购买金额超500元少1000元时抽取3球求中少红球概率
(2)顾客购买金额超1000元时抽取4球设获奖商品金额ξ(ξ5060
7080)元求ξ概率分布期
思考 解题清楚概率统计关概念定义否知道
关计算公式法准确解题例：
(1)机事件A发生概率0≤P(A)≤1 计算方法P (A) 中m n分表示
事件A发生次数基事件总数
(2)时发生事件称互斥事件A必发生A互斥事件立事件立事件满足P(A)+P（）1
(3)离散型机变量期Eξx1 p1+x2 p2+…+xn pn+… 概念实质加权均数期反映离散型机变量均水
(4)离散型机变量方差Dξ(x1Eξ)2p1+(x2Eξ)2p2+…+(xn Eξ)2pn+…方差反映离散型机变量发生稳定性
解答 (1)基事件总数nC35 设事件A{取3球少红球}事件 {取3球全白球}
∵A立事件Card1(取3球全白球仅种)
∴P()P (A)1P ()
该顾客取3球少红球概率
(2)ξ50表示取4球3白1红(∵3×10+1×2050)∴P (ξ50)
ξ60表示取4球2白2红(∵2×10+2×2060) ∴P (ξ60)
ξ70表示取4球3红1白(∵3×20+1×1070) ∴P (ξ70)
ξ80表示取4球全红球 ∴P (ξ80)
ξ分布列：
ξ
50
60
70
80
P
∴Dξ50×+60×+70×+80×(元)
该顾客获奖期≈63(元)
●应训练
1M双曲线意点 F1左焦点 求证MF1直径圆圆x2+y2 a2相切
2求证椭圆意点条焦半径直径作圆圆必椭圆长轴直径圆相
切
3离散型机变量中证明期方差分具性质
(1)E(aξ+b)aEξ+b (2)DξEξ2 E 2ξ
4M抛物线y22px意点F焦点证明MF直径圆必y轴相切
●参考答案
1图示MF1中点P 设|PF1| r 连接POMF2∵|PO||MF2|(中位线性质）
∴|PF1| |PO|(|MF1| |MF2|)·2a a
|PO| ra MF1直径圆圆x2+y2a2切
2图示设M椭圆点MF1焦半径MF1中点P 设|PF1| r 连OPMF2
|OP||MF2|(2a|MF1|) ar
∴MF1直径圆椭圆长轴直径圆切
第1题解图 第2题解图
3．（1）∵Eξx1 p1+x2 p2+…+xn pn
∴E (aξ+b) (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn a (x1 p1+x2 p2+…+xn pn)+b(p1+p2+…+pn)
aEξ+b (∵p1+p2+…+pn1)
（2）Dξ(x1 Eξ)2·p1+(x2 Eξ)2p2+…+(xn Eξ)2pn+…
（xp1+xp2+…+xpn+…）2Eξ(x1 p1+x2 p2+…+xn pn+…)+E2ξ(p1+p2+…+pn+…)
Eξ22Eξ·Eξ+E2ξ·1Eξ2 E2ξ
4图示抛物线焦点F
准线lx作MH⊥lHFM中点
P设圆P半径|PF| r作PQ⊥y
轴QPQ梯形MNOF中位线
∴|PQ|
∴MF直径圆y轴相切 第4题解图
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第13计 钥匙开门
●计名释义
开门钥匙应性果钥匙通性邻居吓跑
知识具性切犯相混症没握知识性
数学知识根基数学定义性揭示概念质介定概念范畴似模糊边缘判定非
定义身蕴含着方法线面垂直定义直接导出线面垂直判定定理椭圆定义直接导出椭圆方程里判定定理方程应定义定义外开设代办处问题身离定义时必跑遥远方找代办处呢？引出回定义解题说
●典例示范
例1 F1F2椭圆两焦点|F1F2|2c 椭圆点P（x y)F1（c 0) F2 (c 0)距离2a 求证：|PF1||PF2|
分析 定搬动椭圆方程？里已知条件cb椭圆方程bc搬动椭圆方程肯定舍求远
解答 |PF1| |PF2|距离公式结合椭圆定义关|PF1| r1 |PF2| r2方程组
②③消y2 x2c2 rr ④
①④联立解 |PF1| |PF2|
点评 快捷清晰题已知条件定义离方程远
例2 设数列{an}前n项Sn1+anlgb 求成立b取值范围
思考 应首先分清{an}什数列根数列性质极限定义解题
解答 a11+a1lgb lgb0 b 1时 a1S11矛盾
∴b≠1a1 an(1+anlgb)(1+an1lgb)
∴an(1lgb)an1lgb 常数{an}首项公q穷递缩等数列(已知存)∴q∈(10)∪(01)
>1 >0 lgb
<00
综合①②取集求b取值范围b∈(01)∪(1)
例3 某商场促销顾客购买商品金额达定数量通抽奖方法获奖箱中4红球3白球抽红球时奖励20元商品抽白球时奖励10元商品(顾客通抽奖方法确定获奖商品球全部放回箱中)
(1)顾客购买金额超500元少1000元时抽取3球求中少红球概率
(2)顾客购买金额超1000元时抽取4球设获奖商品金额ξ(ξ5060
7080)元求ξ概率分布期
思考 解题清楚概率统计关概念定义否知道
关计算公式法准确解题例：
(1)机事件A发生概率0≤P(A)≤1 计算方法P (A) 中m n分表示
事件A发生次数基事件总数
(2)时发生事件称互斥事件A必发生A互斥事件立事件立事件满足P(A)+P（）1
(3)离散型机变量期Eξx1 p1+x2 p2+…+xn pn+… 概念实质加权均数期反映离散型机变量均水
(4)离散型机变量方差Dξ(x1Eξ)2p1+(x2Eξ)2p2+…+(xn Eξ)2pn+…方差反映离散型机变量发生稳定性
解答 (1)基事件总数nC35 设事件A{取3球少红球}事件 {取3球全白球}
∵A立事件Card1(取3球全白球仅种)
∴P()P (A)1P ()
该顾客取3球少红球概率
(2)ξ50表示取4球3白1红(∵3×10+1×2050)∴P (ξ50)
ξ60表示取4球2白2红(∵2×10+2×2060) ∴P (ξ60)
ξ70表示取4球3红1白(∵3×20+1×1070) ∴P (ξ70)
ξ80表示取4球全红球 ∴P (ξ80)
ξ分布列：
ξ
50
60
70
80
P
∴Dξ50×+60×+70×+80×(元)
该顾客获奖期≈63(元)
●应训练
1M双曲线意点 F1左焦点 求证MF1直径圆圆x2+y2 a2相切
2求证椭圆意点条焦半径直径作圆圆必椭圆长轴直径圆相
切
3离散型机变量中证明期方差分具性质
(1)E(aξ+b)aEξ+b (2)DξEξ2 E 2ξ
4M抛物线y22px意点F焦点证明MF直径圆必y轴相切
●参考答案
1图示MF1中点P 设|PF1| r 连接POMF2∵|PO||MF2|(中位线性质）
∴|PF1| |PO|(|MF1| |MF2|)·2a a
|PO| ra MF1直径圆圆x2+y2a2切
2图示设M椭圆点MF1焦半径MF1中点P 设|PF1| r 连OPMF2
|OP||MF2|(2a|MF1|) ar
∴MF1直径圆椭圆长轴直径圆切
第1题解图 第2题解图
3．（1）∵Eξx1 p1+x2 p2+…+xn pn
∴E (aξ+b) (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn a (x1 p1+x2 p2+…+xn pn)+b(p1+p2+…+pn)
aEξ+b (∵p1+p2+…+pn1)
（2）Dξ(x1 Eξ)2·p1+(x2 Eξ)2p2+…+(xn Eξ)2pn+…
（xp1+xp2+…+xpn+…）2Eξ(x1 p1+x2 p2+…+xn pn+…)+E2ξ(p1+p2+…+pn+…)
Eξ22Eξ·Eξ+E2ξ·1Eξ2 E2ξ
4图示抛物线焦点F
准线lx作MH⊥lHFM中点
P设圆P半径|PF| r作PQ⊥y
轴QPQ梯形MNOF中位线
∴|PQ|
∴MF直径圆y轴相切 第4题解图
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