数学破题36计
第26计 数列开门 前踪
●计名释义
数列特殊函数告诉变量正然数函数应知道特殊函数两种关系式通项公式外前踪关系递推式高考30年数列难题出现递推式中
●典例示范
例1 数列{an}满足：a11an+n+an1 n∈N*n≥2求证：ann∈N*
证明 递推式中分令n234…直n(n1)等式：
a2+2+a1 a3+3+a2
a4+4+a3…… an
(n1)等式整体相加
an++…++2+3+…+n+a1
n1时a11适合式
∴ann∈N*
点评 里anan1系数相等（1）等号两旁递推式（n1）等式相加项消进利求出an
数列作正整数n函数递推关系式出现问题常常递推关系式中n123……入手系列等式通进行加减等运算问题获解决递推意识解数列问题种基重意识
例2 (2006年全国卷Ⅰ)设数列{an}前n项Snan×2n+1+n123……（Ⅰ）求首项a1通项an
（Ⅱ）设Tnn123……求证：
解答 （Ⅰ）a1S1a1解a2
an+1Sn+1Snan+1an(2n+22n+1)∴an+14an+2n+1
里an系数4法仿例1直接递推法求解先已知递推式两边2n+1
令bnbn+12bn+1 (*)
(*)式熟知线性递推式运定系数法求解
设bn+1+k2(bn+k)bn+12bn+k ∴k12(n∈N*)
{bn+1}b1+1首项2公等数列
∴bn+1(b1+1)·2n1bn2n1an4n2n(n∈N*)
（Ⅱ）Snan×2n+1 +(4n2n) ×2n+1 +(2n+11)(2n1)
Tn
∴
点评 里递推式an+14an+2n+1化成bn+12bn+1形an+1Aan+B
an+1Aan+B：A1时an+1an+B an+1anB通项ana1+(n1)B
A≠1时an+1+kAan+B+kA
令k(A1)kBk
∴{an+k}a1+ka1+首项公A等数列
an+k·An1∴an·An1
例3 (2006年安徽高考题)数列{an}前n项Sn已知a1Snn2ann(n1)n12……写出SnSn1递推关系式(n≥2)求Sn关n表达式
解答 n≥2时anSnSn1代入Snn2ann(n1)中
Snn2(SnSn1)n (n1) (n21)Snn2Sn1n(n1) (*)
SnSn1递推关系式
(*)式两边n(n1)SnSn11(n≥2)
构造新数列2S12a11首项1公差等差数列
1+(n1)×1nSn(n≥2)
显然式n1时成立∴Snn∈N*
点评 里构造新数列关键（*）式变形SnSn11发现递推关系
高考中许数列问题等等差两类基数列背景设计成解决类问题常常通构造新数列实现问题转化强化构造意识助创新力提高
●应训练
1假定刚出生兔月长成兔月便生兔月生兔果发生死亡问刚出生兔年繁殖成少？
2意函数f (x)x∈D图示构造
数列发生器工作原理：
① 输入数x0∈D数列发生器
输出x1f (x0)
②x1D数列发生器结束工作
x1∈Dx1反馈回输入端
输出x2f(x1)规律继续
现定义f (x)
(1) 输入x0数列发生器产生数列{xn} 第2题图
请写出数列{xn}项
(2)数列发生器产生穷常数数列试求输入初始数x0值
(3)输入x0时产生穷数列{xn}满足：意正整数n均xn3某公司全年纯利润b元中部分作奖金发n位职工奖金分配方案：首先职工工作业绩(工作业绩均相)1n排序第1位职工奖金元然余额n发第2位
职工方法奖金逐发位职工剩余部分作公司发展基金
(1)设ak(1≤k≤n)第k位职工奖金额试求a2a3knb表示ak(必证明)
(2)证明ak>ak+1(k12…n1)解释等式关分配原实际意义
(3)发展基金nb关记Pn(b)常数bn变化时求
●参考答案
1第n月兔子总数记f (n)f (1)1f (2)1f (3)2f (4)3f (5)5f (6)8f (7)13……考查数列{f (n)}规律难发现第三项开始第项前两项：f (3) f (1)+f (2)f (4) f (2)+f (3)f (5)f (3)+f (4)f (6) f (4)+f (5)f (7)f (5)+f (6)…
f (13) f (11)+f(12)89+144233兔子年繁殖成233
2(1)∵ f (x)定义域D(∞1)∪(1+∞)
∴ 数列{xn}三项：x1x2x31
(2)∵ f (x)xx23x+20 ∴ x1x2
x012时xn+1xn
x01时xn1x02时xn2(n∈N)
(2) 解等式x<
∴ <0x<11x1函数f (x) x1<1x2f (x1)>4x3 f (x2)x1∈(12)时x2 f (x1)>x11满足xn+1>xn(n∈N+)
综述x1∈(12)时x1 f (x0)x0∈(12)
点评 题考查函数基知识数列基知识解等式基方法综合运知识力判断推理力题利框图形式函数数列等式等知识点冶炉形式新颖结构巧妙富思考出现种富创新意识试题
3(1)第1位职工奖金a1第2位职工奖金a2
第3位职工奖金a3……第k位职工奖金ak
(2)ak ak+1>0
奖金分配方案体现劳分配吃锅饭等原
（3）设fk(b)表示奖金发第k位职工剩余款
f1(b)f2(b)…fk(b)
Pn(b) fn(b)
点评：题考查数列等式极限综合运结合职
工福利实际应正年高考命题热点重点
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第26计 数列开门 前踪
●计名释义
数列特殊函数告诉变量正然数函数应知道特殊函数两种关系式通项公式外前踪关系递推式高考30年数列难题出现递推式中
●典例示范
例1 数列{an}满足：a11an+n+an1 n∈N*n≥2求证：ann∈N*
证明 递推式中分令n234…直n(n1)等式：
a2+2+a1 a3+3+a2
a4+4+a3…… an
(n1)等式整体相加
an++…++2+3+…+n+a1
n1时a11适合式
∴ann∈N*
点评 里anan1系数相等（1）等号两旁递推式（n1）等式相加项消进利求出an
数列作正整数n函数递推关系式出现问题常常递推关系式中n123……入手系列等式通进行加减等运算问题获解决递推意识解数列问题种基重意识
例2 (2006年全国卷Ⅰ)设数列{an}前n项Snan×2n+1+n123……（Ⅰ）求首项a1通项an
（Ⅱ）设Tnn123……求证：
解答 （Ⅰ）a1S1a1解a2
an+1Sn+1Snan+1an(2n+22n+1)∴an+14an+2n+1
里an系数4法仿例1直接递推法求解先已知递推式两边2n+1
令bnbn+12bn+1 (*)
(*)式熟知线性递推式运定系数法求解
设bn+1+k2(bn+k)bn+12bn+k ∴k12(n∈N*)
{bn+1}b1+1首项2公等数列
∴bn+1(b1+1)·2n1bn2n1an4n2n(n∈N*)
（Ⅱ）Snan×2n+1 +(4n2n) ×2n+1 +(2n+11)(2n1)
Tn
∴
点评 里递推式an+14an+2n+1化成bn+12bn+1形an+1Aan+B
an+1Aan+B：A1时an+1an+B an+1anB通项ana1+(n1)B
A≠1时an+1+kAan+B+kA
令k(A1)kBk
∴{an+k}a1+ka1+首项公A等数列
an+k·An1∴an·An1
例3 (2006年安徽高考题)数列{an}前n项Sn已知a1Snn2ann(n1)n12……写出SnSn1递推关系式(n≥2)求Sn关n表达式
解答 n≥2时anSnSn1代入Snn2ann(n1)中
Snn2(SnSn1)n (n1) (n21)Snn2Sn1n(n1) (*)
SnSn1递推关系式
(*)式两边n(n1)SnSn11(n≥2)
构造新数列2S12a11首项1公差等差数列
1+(n1)×1nSn(n≥2)
显然式n1时成立∴Snn∈N*
点评 里构造新数列关键（*）式变形SnSn11发现递推关系
高考中许数列问题等等差两类基数列背景设计成解决类问题常常通构造新数列实现问题转化强化构造意识助创新力提高
●应训练
1假定刚出生兔月长成兔月便生兔月生兔果发生死亡问刚出生兔年繁殖成少？
2意函数f (x)x∈D图示构造
数列发生器工作原理：
① 输入数x0∈D数列发生器
输出x1f (x0)
②x1D数列发生器结束工作
x1∈Dx1反馈回输入端
输出x2f(x1)规律继续
现定义f (x)
(1) 输入x0数列发生器产生数列{xn} 第2题图
请写出数列{xn}项
(2)数列发生器产生穷常数数列试求输入初始数x0值
(3)输入x0时产生穷数列{xn}满足：意正整数n均xn
职工方法奖金逐发位职工剩余部分作公司发展基金
(1)设ak(1≤k≤n)第k位职工奖金额试求a2a3knb表示ak(必证明)
(2)证明ak>ak+1(k12…n1)解释等式关分配原实际意义
(3)发展基金nb关记Pn(b)常数bn变化时求
●参考答案
1第n月兔子总数记f (n)f (1)1f (2)1f (3)2f (4)3f (5)5f (6)8f (7)13……考查数列{f (n)}规律难发现第三项开始第项前两项：f (3) f (1)+f (2)f (4) f (2)+f (3)f (5)f (3)+f (4)f (6) f (4)+f (5)f (7)f (5)+f (6)…
f (13) f (11)+f(12)89+144233兔子年繁殖成233
2(1)∵ f (x)定义域D(∞1)∪(1+∞)
∴ 数列{xn}三项：x1x2x31
(2)∵ f (x)xx23x+20 ∴ x1x2
x012时xn+1xn
x01时xn1x02时xn2(n∈N)
(2) 解等式x<
∴ <0x<11
综述x1∈(12)时x1 f (x0)x0∈(12)
点评 题考查函数基知识数列基知识解等式基方法综合运知识力判断推理力题利框图形式函数数列等式等知识点冶炉形式新颖结构巧妙富思考出现种富创新意识试题
3(1)第1位职工奖金a1第2位职工奖金a2
第3位职工奖金a3……第k位职工奖金ak
(2)ak ak+1>0
奖金分配方案体现劳分配吃锅饭等原
（3）设fk(b)表示奖金发第k位职工剩余款
f1(b)f2(b)…fk(b)
Pn(b) fn(b)
点评：题考查数列等式极限综合运结合职
工福利实际应正年高考命题热点重点
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