数学破题36计
第30计 统计开门 存异求
●计名释义
甲问：什统？乙答：性完成统
甲：话讲？乙：排列组合讲状态概率讲值统计种计算称统
甲：什意义呢？乙：现实意义实际意义应意义知道数学应题全部转入统中
甲：错高考应题函数方程等式意新课标普应题转概率统计否实方面点偏离高中数学干容呢？乙：概命题想点年概统应题似想方设法函数方程等式方面拉关系
●典例示范
例1 假设关某设备年限x支出维修费y（万元）统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2．2
3．8
5．5
6．5
7．0
资料知yx呈线性相关关系试求：
（1）线性回方程
（2）估计年限10年时维修费少？
分析 题告诉yx间呈线性相关关系记住公式便迅速解答出题
注：设求直线方程bx+a中ab定系数．
相应直线做回直线两变量进行述统计分析做回分析
解：（1）列表：
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
22
3．8
5．5
6．5
7．0
xiyi
4．4
11．4
22．0
32．5
42．0
x
4
9
16
25
36
b
a008 ∴线性回方程：bx+a123x+008
（2）x10时123×10+0081238（万元）
估计10年时维修费1238万元
点评 题没告诉yx间呈线性相关应首先进行相关性检验果身两变量具备线性相关关系者说间相关关系显著时求出回方程没意义估计预测信
例2 某种灯泡时数1000时概率07求：
（1）3灯泡1000时恰坏1概率
（2）3灯泡1000时坏1概率
思考 题实质检查3灯泡视3次独立重复试验(1)中3灯泡1000时恰坏1相3次独立重复试验中事件A恰发生2次（事件A灯泡时数1000时）（2）中指恰坏13未坏两种情况事件A发生2次发生3次独立重复试验方法求解
解答 设灯泡时数1000时事件AP（A）07检查3灯泡视3次独立重复试验
(1)3灯泡1000时恰坏1相3次独立重复试验中事件A恰发生2次
∴P3(2) C(07)2(107)323×049×030441
(2)3灯泡1000时坏1包括恰坏13未坏两种情况彼互斥相A发生2次发生3次概率求概率P3（2）+P3(3)0441+C0730784
点评 独立重复试验概率公式Pn(k)C·Pk·(1p)nk求概率步骤：①首先判断独立重复试验②求次试验中事件A发生概率P③利公式计算n次独立重复试验中事件A恰发生k次概率
例3 甲乙两参加次英语口语考试已知备选10道试题中甲答中6题乙答中8题规定次考试备选题中机抽出3题进行测试少答2题算合格
(1)求甲答试题数ξ概率分布数学期
(2)求甲乙两少考试合格概率
思考 题考查概率统计基础知识离散变量概念数学期定义首先弄清ξ取值范围ξ0123然求概率
解答 （1）题意甲答试题数ξ概率分布：
ξ
0
1
2
3
P
甲答试题数ξ数学期
Eξ0×+1×+2×+3×
(2)设甲乙两考试合格事件分AB
P(A) P(B)
事件AB相互独立
方法：∴甲乙两考试均合格概率
∴甲乙两少考试合格概率P1P（）1
方法二：∴甲乙两少考试合格概率
PP(A·)+P（·B）+P(A·B)P(A)P()+P()·P(B)+P(A)P(B)×+×+×
点评 ①分清立事件互斥事件关系独立事件互斥事件相互区②数学中必须强调机变量概念分布列定义求法熟悉常分布列：0~1分布二项分布数学期方差计算等
●应训练
1袋里装30球彩球中n(n≥2)红球5蓝球10黄球余白球袋里取出3相颜色彩球（白色）概率求红球数求袋中取3球少红球概率
2某突发事件采取预防措施情况发生概率03旦发生造成400万元损失现甲乙两种相互独立预防措施供采单独采甲乙预防措施需费分45万元30万元采相应预防措施突发事件突发生概率分09085预防方案允许甲乙两种预防措施单独采联合采采请确定预防方案总费少(总费采取预防措施费+发生突发事件损失期值)
3公汽车门高度确保99成年男子头部车门顶部碰撞设计果某成年男子身高ξ～N（17372）（cm）问车门应设计高？
4考虑广告费x销售额y间关系抽取5家餐厅数：
广告费（千元）
1．0
4．0
6．0
10．0
14．0
销售额 （千元）
19．0
44．0
40．0
52．0
53．0
现销售额达6万元需广告费 （保留两位效数字）●参考答案
1取3球方法数C4060
设3球全红球事件A3球全蓝球事件B3球全黄球事件CP(B)P(C)
∵ABC互斥事件∴P(A+B+C)P(A)+P(B)+P(C)
P(A)++P(A)0∴红球数≤2∵n≥2n2
记3球少红球事件D3球没红球
P(D)1P()1
2①采取预防措施时总费损失期值400×03120(万元)
②单独采取措施甲预防措施费45万元发生突发事件概率10901损失期值400×0140(万元)总费45+4085（万元）
③单独采取预防措施乙预防措施费30万元发生突发事件概率1085015损失期值400×01560(万元)总费30+6090（万元）
④联合采取甲乙两种措施预防措施费45+3075(万元)发生突发事件概率（109）(1085)0015损失期值400×00156(万元)总费75+681(万元)综合①②③④较总费知应选择甲乙两种预防措施联合采总费少
3设公汽车门设计高度x cm题意需P（ξ≥x）＜1
∵ξ～N（17372）∴P（ξ≤x）Φ（）＞099
查表＞233∴x＞18931公汽车门高度应设计190 cm确保99成年男子头部车门顶部碰撞
点评：题正态分布计算带入实际生活中质然考查正态分布掌握
4类似例1根公式先求出回方程bx+a令6x15万元
答案：15万元
点评：然运公式求回直线例子掌握例4中提关回直线公式便迅速解答终求出结果
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第30计 统计开门 存异求
●计名释义
甲问：什统？乙答：性完成统
甲：话讲？乙：排列组合讲状态概率讲值统计种计算称统
甲：什意义呢？乙：现实意义实际意义应意义知道数学应题全部转入统中
甲：错高考应题函数方程等式意新课标普应题转概率统计否实方面点偏离高中数学干容呢？乙：概命题想点年概统应题似想方设法函数方程等式方面拉关系
●典例示范
例1 假设关某设备年限x支出维修费y（万元）统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2．2
3．8
5．5
6．5
7．0
资料知yx呈线性相关关系试求：
（1）线性回方程
（2）估计年限10年时维修费少？
分析 题告诉yx间呈线性相关关系记住公式便迅速解答出题
注：设求直线方程bx+a中ab定系数．
相应直线做回直线两变量进行述统计分析做回分析
解：（1）列表：
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
22
3．8
5．5
6．5
7．0
xiyi
4．4
11．4
22．0
32．5
42．0
x
4
9
16
25
36
b
a008 ∴线性回方程：bx+a123x+008
（2）x10时123×10+0081238（万元）
估计10年时维修费1238万元
点评 题没告诉yx间呈线性相关应首先进行相关性检验果身两变量具备线性相关关系者说间相关关系显著时求出回方程没意义估计预测信
例2 某种灯泡时数1000时概率07求：
（1）3灯泡1000时恰坏1概率
（2）3灯泡1000时坏1概率
思考 题实质检查3灯泡视3次独立重复试验(1)中3灯泡1000时恰坏1相3次独立重复试验中事件A恰发生2次（事件A灯泡时数1000时）（2）中指恰坏13未坏两种情况事件A发生2次发生3次独立重复试验方法求解
解答 设灯泡时数1000时事件AP（A）07检查3灯泡视3次独立重复试验
(1)3灯泡1000时恰坏1相3次独立重复试验中事件A恰发生2次
∴P3(2) C(07)2(107)323×049×030441
(2)3灯泡1000时坏1包括恰坏13未坏两种情况彼互斥相A发生2次发生3次概率求概率P3（2）+P3(3)0441+C0730784
点评 独立重复试验概率公式Pn(k)C·Pk·(1p)nk求概率步骤：①首先判断独立重复试验②求次试验中事件A发生概率P③利公式计算n次独立重复试验中事件A恰发生k次概率
例3 甲乙两参加次英语口语考试已知备选10道试题中甲答中6题乙答中8题规定次考试备选题中机抽出3题进行测试少答2题算合格
(1)求甲答试题数ξ概率分布数学期
(2)求甲乙两少考试合格概率
思考 题考查概率统计基础知识离散变量概念数学期定义首先弄清ξ取值范围ξ0123然求概率
解答 （1）题意甲答试题数ξ概率分布：
ξ
0
1
2
3
P
甲答试题数ξ数学期
Eξ0×+1×+2×+3×
(2)设甲乙两考试合格事件分AB
P(A) P(B)
事件AB相互独立
方法：∴甲乙两考试均合格概率
∴甲乙两少考试合格概率P1P（）1
方法二：∴甲乙两少考试合格概率
PP(A·)+P（·B）+P(A·B)P(A)P()+P()·P(B)+P(A)P(B)×+×+×
点评 ①分清立事件互斥事件关系独立事件互斥事件相互区②数学中必须强调机变量概念分布列定义求法熟悉常分布列：0~1分布二项分布数学期方差计算等
●应训练
1袋里装30球彩球中n(n≥2)红球5蓝球10黄球余白球袋里取出3相颜色彩球（白色）概率求红球数求袋中取3球少红球概率
2某突发事件采取预防措施情况发生概率03旦发生造成400万元损失现甲乙两种相互独立预防措施供采单独采甲乙预防措施需费分45万元30万元采相应预防措施突发事件突发生概率分09085预防方案允许甲乙两种预防措施单独采联合采采请确定预防方案总费少(总费采取预防措施费+发生突发事件损失期值)
3公汽车门高度确保99成年男子头部车门顶部碰撞设计果某成年男子身高ξ～N（17372）（cm）问车门应设计高？
4考虑广告费x销售额y间关系抽取5家餐厅数：
广告费（千元）
1．0
4．0
6．0
10．0
14．0
销售额 （千元）
19．0
44．0
40．0
52．0
53．0
现销售额达6万元需广告费 （保留两位效数字）●参考答案
1取3球方法数C4060
设3球全红球事件A3球全蓝球事件B3球全黄球事件CP(B)P(C)
∵ABC互斥事件∴P(A+B+C)P(A)+P(B)+P(C)
P(A)++P(A)0∴红球数≤2∵n≥2n2
记3球少红球事件D3球没红球
P(D)1P()1
2①采取预防措施时总费损失期值400×03120(万元)
②单独采取措施甲预防措施费45万元发生突发事件概率10901损失期值400×0140(万元)总费45+4085（万元）
③单独采取预防措施乙预防措施费30万元发生突发事件概率1085015损失期值400×01560(万元)总费30+6090（万元）
④联合采取甲乙两种措施预防措施费45+3075(万元)发生突发事件概率（109）(1085)0015损失期值400×00156(万元)总费75+681(万元)综合①②③④较总费知应选择甲乙两种预防措施联合采总费少
3设公汽车门设计高度x cm题意需P（ξ≥x）＜1
∵ξ～N（17372）∴P（ξ≤x）Φ（）＞099
查表＞233∴x＞18931公汽车门高度应设计190 cm确保99成年男子头部车门顶部碰撞
点评：题正态分布计算带入实际生活中质然考查正态分布掌握
4类似例1根公式先求出回方程bx+a令6x15万元
答案：15万元
点评：然运公式求回直线例子掌握例4中提关回直线公式便迅速解答终求出结果
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