数学破题36计
第16计 摆渡开门 萍水相逢
●计名释义
道数学题求证π> 学生知措时学生说题非常简单需找第三者 现已指定第三者整数3
π>33>π>
里第三者渡船关两岸连接起数学渡法三者牵线截迂直策略等式中具体表现传递法渡法渡船形式样参数图形然函数方程等式等
●典例示范
例1 已知曲线C ：求曲线C关直线xy+10称曲线C1方程
分析 般解法轨迹转移法：（1）设P（x y)C1动点（2）求出P（x y)关直线xy+10称点Q（x′ y′) (3)Q点坐标代入C方程（4）xy表示x′y′C1方程
法甚繁考虑里称轴直线斜率1直接中换式
解答 xy+10 代入C方程
C1方程
点评 称轴xy+10条参定位直线现充代式成名符实第三者摆渡
例2 长2线段AB抛物线yx2滑动求AB中点轨迹方程
解答 设A(x1y1)B(x2y2)抛物线yx2两点：
设AB中点M(xy)
∴|AB| 2(x1x2)2+(y1y2)2 （1+4x2）（x1x2）2 （1+4x2）［（x1+x2)24x1x2］
（1+4x2）［4x24（2x2y）］
已知|AB|2 ∴（1+4x2)（yx2)1求点M轨迹方程：yx2+
点评 解说明直线曲线相交已知弦长度目求弦中点轨迹两端坐标实施设求
例3 椭圆(a>b>0)右准线x1倾斜角α直线l交椭圆AB两点已知AB中点M
（1）求椭圆方程
（2）PQ椭圆满足|OP|2+|OQ|2两点求证：|kOP·kOQ|定值
分析 常规应设直线斜截式方程代入椭圆方程韦达定理中点条件先求直线截距确定椭圆方程样算设求种方法计算量然太
请欣赏解法：
解 （1）椭圆右准线x1∴a2cb2 a2c2 cc2
求椭圆应： (1c)x2+y2 c（1c） ①
设弦AB两端分A(x1y1)B(x2y2)
∵kABAB中点M∴x1+x21y1+y2
全代入②：1 ∴1cc代入①：x2+y2
求椭圆方程：2x2+4y21
（2）（1）知椭圆方程：2x2+4y21 设PQ坐标次（x1y1）(x2y2)
：③
∴|OP|2+|OQ|2 ∴(x+y)+(x+y) ④
③代入④：x+x+（x+x）
∴x+x
∵
|kOP·kOQ|定值
点评 解优点：
1确定椭圆方程须求两参数ab里先准线条件须求参数c
2求椭圆方程证斜率积绝值定值需利弦ABPQ端点里抽象设定真求解题程中然逐消失设求技术达佳效果
例4 （05湖北卷21题）设AB椭圆3x2+y2λ两点点N（13）线段AB中点线段AB垂直分线椭圆相交CD两点
（Ⅰ）确定λ取值范围求直线AB方程
（Ⅱ）试判断否存样λABCD四点圆？说明理
分析 （1）已知弦中点求弦直线方程（1）实施设求（2）判断四点圆佳方法引入面相应知识
解答 （1）∵点N（13）椭圆3x2+y2λ
∴3·12+32<λλ>12∴λ∈（12+∞）
设AB两端点A（x1y1）B（x2y2）：
（1）（2）：3（x1x2）（x1+x2）
+（y1y2）（y1+y2）0 （3）
∵N(13)线段AB中点∴x1+x22y1+y26 代入（3）： 例4题解图
6（x1x2）+6（y1y2）0kAB直线AB方程：y3 （x1）x+y40
（2）解法1：CDAB垂直分线kAB1∴kCD1直线CD：y31·（x1）
xy+20直线AB参数方程方程：
∴代入椭圆方程：2t2+12λ0（（1）知λ>12）设方程二根tAtBtA·tB
直线CD参数方程方程：
代入椭圆方程：2t26t+12λ0
设方程二根tC tD tC·tD
（4）（5）知|tA·tB||tC·tD|│AN│·│BN││CN│·│DN│说存λ>12ABCD四点总圆
结 理说解数学题避免求终目（计算题证明题）求出结果里说求专指简化解题中间程设代求
宏观说设求解析解题基手段设求灵魂通科学手段运算量限度减少需做（1）必直接计算更简洁解决问题实施设求（2）设求避免设参消参设参原宜少宜（3）设求思想应三角立代数等数学领域中限篇幅里讲心读者妨解题中留心运
●应训练
1长2线段AB抛物线yx2滑动求AB中点轨迹方程
2求圆x2+y22x0直线x+2y30交点直线x+3y40相切圆方程
3已知直线yx+1椭圆(a>b>0)交AB两点线段AB中点直线
l：x2y0（1）求椭圆离心率（2）椭圆右焦点关直线l称点圆x2+y24
求椭圆方程
4已知(a>0a≠1x>0)判断f (x)单调性证明结
5图已知直线l：xny0（n∈N)
圆M：(x+1)2+(y+1)2 1
抛物线φ：y(x1)2
l交MAB
交φCD
求 第5题图
●参考答案
1须设直线点斜式解方程组设A(x1y1)B (x2y2)抛物线yx2两点：
设AB中点M(xy)
∴|AB| 2（x1x2）2+（y1y2）2 （1+4x2 )（x1x2)2
（1+4x2)［（x1+x2)24x1x2］
（1+4x2)［4x24（2x2y)］
已知|AB|2 ∴（1+4x2）（yx2）1 求点M轨迹方程：y
2须求直线圆交点设求圆方程：x2+y22x+λ(x+2y3)0
x2+y2+（λ2）x+2λy3λ0 ①
圆圆心D
半径R
∵直线x+3y40圆相切
∴
化简：λ24λ+40∴λ2
代入①：x2+y2+4y60 ②
②求圆方程
3须先求直线椭圆交点坐标
AB中点M
∵点M直线x2y0∴a22b2 a22(a2c2)∴a22c2 e
容易求F(c0)关直线l：x2y0称点F′
代入x2+y24 c2 4a22c28b2c24
求椭圆方程
4须先求函数解析式
设logaxtx at（t∈R)原函数式变形f (t)(x∈R)
∵
里a≠0a>100f (x)原函数定义域增函数5须分求直线曲线
交点求弦长
图圆心M(11)直线
xny0距离：
∴|AB| 2（22
第5题解图
设方程二根xC xD
|CD|2（xC xD)2+(yC yD)2
：
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第16计 摆渡开门 萍水相逢
●计名释义
道数学题求证π> 学生知措时学生说题非常简单需找第三者 现已指定第三者整数3
π>33>π>
里第三者渡船关两岸连接起数学渡法三者牵线截迂直策略等式中具体表现传递法渡法渡船形式样参数图形然函数方程等式等
●典例示范
例1 已知曲线C ：求曲线C关直线xy+10称曲线C1方程
分析 般解法轨迹转移法：（1）设P（x y)C1动点（2）求出P（x y)关直线xy+10称点Q（x′ y′) (3)Q点坐标代入C方程（4）xy表示x′y′C1方程
法甚繁考虑里称轴直线斜率1直接中换式
解答 xy+10 代入C方程
C1方程
点评 称轴xy+10条参定位直线现充代式成名符实第三者摆渡
例2 长2线段AB抛物线yx2滑动求AB中点轨迹方程
解答 设A(x1y1)B(x2y2)抛物线yx2两点：
设AB中点M(xy)
∴|AB| 2(x1x2)2+(y1y2)2 （1+4x2）（x1x2）2 （1+4x2）［（x1+x2)24x1x2］
（1+4x2）［4x24（2x2y）］
已知|AB|2 ∴（1+4x2)（yx2)1求点M轨迹方程：yx2+
点评 解说明直线曲线相交已知弦长度目求弦中点轨迹两端坐标实施设求
例3 椭圆(a>b>0)右准线x1倾斜角α直线l交椭圆AB两点已知AB中点M
（1）求椭圆方程
（2）PQ椭圆满足|OP|2+|OQ|2两点求证：|kOP·kOQ|定值
分析 常规应设直线斜截式方程代入椭圆方程韦达定理中点条件先求直线截距确定椭圆方程样算设求种方法计算量然太
请欣赏解法：
解 （1）椭圆右准线x1∴a2cb2 a2c2 cc2
求椭圆应： (1c)x2+y2 c（1c） ①
设弦AB两端分A(x1y1)B(x2y2)
∵kABAB中点M∴x1+x21y1+y2
全代入②：1 ∴1cc代入①：x2+y2
求椭圆方程：2x2+4y21
（2）（1）知椭圆方程：2x2+4y21 设PQ坐标次（x1y1）(x2y2)
：③
∴|OP|2+|OQ|2 ∴(x+y)+(x+y) ④
③代入④：x+x+（x+x）
∴x+x
∵
|kOP·kOQ|定值
点评 解优点：
1确定椭圆方程须求两参数ab里先准线条件须求参数c
2求椭圆方程证斜率积绝值定值需利弦ABPQ端点里抽象设定真求解题程中然逐消失设求技术达佳效果
例4 （05湖北卷21题）设AB椭圆3x2+y2λ两点点N（13）线段AB中点线段AB垂直分线椭圆相交CD两点
（Ⅰ）确定λ取值范围求直线AB方程
（Ⅱ）试判断否存样λABCD四点圆？说明理
分析 （1）已知弦中点求弦直线方程（1）实施设求（2）判断四点圆佳方法引入面相应知识
解答 （1）∵点N（13）椭圆3x2+y2λ
∴3·12+32<λλ>12∴λ∈（12+∞）
设AB两端点A（x1y1）B（x2y2）：
（1）（2）：3（x1x2）（x1+x2）
+（y1y2）（y1+y2）0 （3）
∵N(13)线段AB中点∴x1+x22y1+y26 代入（3）： 例4题解图
6（x1x2）+6（y1y2）0kAB直线AB方程：y3 （x1）x+y40
（2）解法1：CDAB垂直分线kAB1∴kCD1直线CD：y31·（x1）
xy+20直线AB参数方程方程：
∴代入椭圆方程：2t2+12λ0（（1）知λ>12）设方程二根tAtBtA·tB
直线CD参数方程方程：
代入椭圆方程：2t26t+12λ0
设方程二根tC tD tC·tD
（4）（5）知|tA·tB||tC·tD|│AN│·│BN││CN│·│DN│说存λ>12ABCD四点总圆
结 理说解数学题避免求终目（计算题证明题）求出结果里说求专指简化解题中间程设代求
宏观说设求解析解题基手段设求灵魂通科学手段运算量限度减少需做（1）必直接计算更简洁解决问题实施设求（2）设求避免设参消参设参原宜少宜（3）设求思想应三角立代数等数学领域中限篇幅里讲心读者妨解题中留心运
●应训练
1长2线段AB抛物线yx2滑动求AB中点轨迹方程
2求圆x2+y22x0直线x+2y30交点直线x+3y40相切圆方程
3已知直线yx+1椭圆(a>b>0)交AB两点线段AB中点直线
l：x2y0（1）求椭圆离心率（2）椭圆右焦点关直线l称点圆x2+y24
求椭圆方程
4已知(a>0a≠1x>0)判断f (x)单调性证明结
5图已知直线l：xny0（n∈N)
圆M：(x+1)2+(y+1)2 1
抛物线φ：y(x1)2
l交MAB
交φCD
求 第5题图
●参考答案
1须设直线点斜式解方程组设A(x1y1)B (x2y2)抛物线yx2两点：
设AB中点M(xy)
∴|AB| 2（x1x2）2+（y1y2）2 （1+4x2 )（x1x2)2
（1+4x2)［（x1+x2)24x1x2］
（1+4x2)［4x24（2x2y)］
已知|AB|2 ∴（1+4x2）（yx2）1 求点M轨迹方程：y
2须求直线圆交点设求圆方程：x2+y22x+λ(x+2y3)0
x2+y2+（λ2）x+2λy3λ0 ①
圆圆心D
半径R
∵直线x+3y40圆相切
∴
化简：λ24λ+40∴λ2
代入①：x2+y2+4y60 ②
②求圆方程
3须先求直线椭圆交点坐标
AB中点M
∵点M直线x2y0∴a22b2 a22(a2c2)∴a22c2 e
容易求F(c0)关直线l：x2y0称点F′
代入x2+y24 c2 4a22c28b2c24
求椭圆方程
4须先求函数解析式
设logaxtx at（t∈R)原函数式变形f (t)(x∈R)
∵
里a≠0a>10
交点求弦长
图圆心M(11)直线
xny0距离：
∴|AB| 2（22
第5题解图
设方程二根xC xD
|CD|2（xC xD)2+(yC yD)2
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