第二章元二次函数方程等式
21 等式性质等式性质
素养目标
1．解现实世界日常生活中等量关系等关系．(数学抽象)
2．解等式(组)实际背景会等式(组)表示等关系．(数学建模)
3．掌握等式性质应．(逻辑推理)
4．会作差法(作商法)较两实数代数式值．(数学运算)
5．运等式性质等式性质解决相关问题．(逻辑推理)
学法解读
相等关系等关系学中学生通类学等式等式性质进步探索等式等式性差异．
第1课时等关系较
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 等式等关系
等式定义含两点．
(1)等符号____________
(2)表示关系____________
思考1：等式含义什？时成立时该等式成立？
提示：等式应读作者等含义指者等价中正确正确．
知识点2 较两实数
思考2：(1)较两实数中两数意实数？
(2)关系样？
提示：(1) (2)
基础测
1．判断正误(√错×)
(1)等式含义指( )
(2)( )
(3)( )
(4)两实数间三种关系中种．( )
[解析] (1)等式表示
(2)成立．
(3)者
(4)意两数间三种关系中种没关系．
2．桥桥头立着限重吨警示牌提示司机安全通该桥应车货物总质量满足关系( )
A． B．
C． D．
3．已知关系_____________
关键力·攻重难
题型探究
题型 等式(组)表示等关系
例1 某商果进货单价元商品件元销售天销售件现采提高售价减少进货量办法增加利润．已知种商品售价提高元销售量相应减少件．提价商品售价设元样等式表示天利润低元？
[分析] 种商品售价提高元销售量相应减少件确定售价变化时相应天利润天利润低元确定等关系列出等式．
[解析] 提价商品售价元销售量减少件天利润元天利润低元等式表示
[纳提升] 等关系表示成等式思路
(1)读懂题意找准等式联系量．
(2)适等号连接．
例2 某矿山车队辆载重甲型卡车辆载重乙型卡车名驾驶员车队天少运矿石冶炼厂．已知甲型卡车辆天返次乙型卡车辆天返次写出满足述等关系等式．
[分析] 首先变量分表示甲型卡车乙型卡车车辆数然分析已知量未知量间等关系：(1)卡车数量驾驶员数关系(2)车队天运矿石数量(3)甲型卡车数量(4)乙型卡车数量．等关系含未知数等式表示出注意变量取值范围．
[解析] 设天派出甲型卡车辆乙型卡车辆
[纳提升] 等式组表示等关系方法
首先先弄清题意分清常量常量变量变量函数函数组变量间等关系然类等式建立程找等词选准等号量量间等号连接注意等式等关系应重漏尤检验实际问题中变量取值范围．
点练❶段长篱笆围成边墙矩形菜园墙长求菜园面积墙边长试等式表示中等关系．
[解析] 矩形菜园墙边长墙长
时菜园条边长．
菜园面积题意
该题中等关系等式组表示
题型二 较实数
例3 已知正实数试较．
[解析] 方法(作差法)：
∵正实数∴
∴∴
方法二(作商法)：
∵∴
方法三(方作差)：∵
∴
∵∴
[纳提升] 较方法
1．作差法：
步骤：作差—变形—判断差符号—出结．
注意：需判断差符号差值究竟少关紧通常差化完全方式形式式积形式．
2．作商法：时
步骤：作商——变形——判断商——出结．
注意：作商法适范围较限制条件较较少．
3．介值较法：(1)介值较法理根：中中介值．(2)介值较法关键通等式恰放缩找出较合适中介值．
点练❷时较．
[解析]
．
第2课时 等式性质
必备知识·探新知
基础知识
知识点等式性质
性质 ________(称性)
性质 ________(传递性)
性质 ______________(加保序性)
推：___________(移项法)
性质 __________(正保序性)(负反序性)
性质 ______________(相加保序性)
性质 __________(正数相保序性)
性质 __________．(非负方保序性)
思考：(1)性质推实际解等式中什法？
(2)性质等式两边零数改变等号方？什？
(3)性质时注意什条件？
提示：(1)移项法．
(2)．两边数符号正数改变等号方负数时改变等号方．
(3)数均正数．
基础测
1．判断正误(√错×)
(1)( )
(2)等式相加相条件致．( )
(3)设( )
(4)( )
[解析] (1)等式性质反时
(2)相需否相加正负零均关系．
(3)符合等式方性．
(4)取满足满足说法错误．
2．设列等式中定成立( )
A． B．
C． D．
3．已知列等式成立( )
A． B．
C． D．
[解析]
∴选D．
4．等号><填空：
(1)果______
(2)果______
(3)果______
(4)果______
[解析] (1)∵∴∵∴
(2)∵∴∵∴∴
(3)∵∴∴
∴∴
(4)∵∵∴
关键力·攻重难
题型探究
例1 列结正确( )
A． B．
C． D．
[分析] 通赋值排AD根等式性质判断BC正误．
[解析] A选项时成立B选项等价成立C选项选项正确D选项时正确．
[纳提升] 判断关等式命题真假两种方法
(1)直接运等式性质：判断命题等式性质联系起考虑找命题相性质然进行推理判断．
(2)特殊值验证法：判断式子中涉变量取特殊值然进行较判断．
点练❶设非零实数列等式成立( )
A． B．
C． D．
[解析] 时定成立A错．符号确定B错C正确．D中确定．
题型二 利等式性质证明等式
例2设求证：
[分析] 等式证明利等式性质已知条件推出等式成立．
[证明]
[纳提升] 利等式性质证明等式注意事项
(1)利等式性质推证明等式．解决类问题定理解基础
记准记熟等式性质注意解题中灵活准确加应．
(2)应等式性质进行推导时应注意紧扣等式性质成立条件省略条件跳步推导更意构造性质法．
点练❷求证：
[证明]
题型三 利等式性质求范围
例3 已知
(1)求取值范围．
(2)求取值范围．
[解析] (1)
(2)
[纳提升] 利等式性质求取值范围策略
(1)建立求范围整体已知范围整体关系利次等式性质进行运算求求范围．
(2)(异)等式两边相加(相减)种转化等价变形果解题程中次种转化扩取值范围．
点练❸已知求取值范围．
[解析]
误区警示
错等式性质
例4 已知取值范围_____________
[错解] ∵∴
∴填
[错分析] 等式等式(正项)相性质法导致错误．
[正解] ∵∴∴∴
填
[方法点拨] 题目中指定代数式取值范围必须等式性质进行求解等式具加性性相减相解题时必须利性质步步避免改变代数式取值范围．
学科素养
等关系实际应
等关系数学中基部分关系实际问题中广泛应高考考查重点容．
例5 三房间需粉刷粉刷方案求：房间种颜色三房间颜色相．已知三房间粉刷面积(单位：)分三种颜色涂料粉刷费(单位：元)分方案中低总费(单位：元)( )
A． B．
C． D．
[分析] 题考查实际问题中等关系建立利等式性质较．
[解析] 方法：
理
综低总费
方法二：采特殊值法进行求解验证
知低总费
[纳提升] 等关系判断问题求解般需通作差进行推理证运算力求较高具明确等关系式子进行判断时特殊值法种非常值推广简便方法．
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21 等式性质等式性质
素养目标
1．解现实世界日常生活中等量关系等关系．(数学抽象)
2．解等式(组)实际背景会等式(组)表示等关系．(数学建模)
3．掌握等式性质应．(逻辑推理)
4．会作差法(作商法)较两实数代数式值．(数学运算)
5．运等式性质等式性质解决相关问题．(逻辑推理)
学法解读
相等关系等关系学中学生通类学等式等式性质进步探索等式等式性差异．
第1课时等关系较
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 等式等关系
等式定义含两点．
(1)等符号____________
(2)表示关系____________
思考1：等式含义什？时成立时该等式成立？
提示：等式应读作者等含义指者等价中正确正确．
知识点2 较两实数
思考2：(1)较两实数中两数意实数？
(2)关系样？
提示：(1) (2)
基础测
1．判断正误(√错×)
(1)等式含义指( )
(2)( )
(3)( )
(4)两实数间三种关系中种．( )
[解析] (1)等式表示
(2)成立．
(3)者
(4)意两数间三种关系中种没关系．
2．桥桥头立着限重吨警示牌提示司机安全通该桥应车货物总质量满足关系( )
A． B．
C． D．
3．已知关系_____________
关键力·攻重难
题型探究
题型 等式(组)表示等关系
例1 某商果进货单价元商品件元销售天销售件现采提高售价减少进货量办法增加利润．已知种商品售价提高元销售量相应减少件．提价商品售价设元样等式表示天利润低元？
[分析] 种商品售价提高元销售量相应减少件确定售价变化时相应天利润天利润低元确定等关系列出等式．
[解析] 提价商品售价元销售量减少件天利润元天利润低元等式表示
[纳提升] 等关系表示成等式思路
(1)读懂题意找准等式联系量．
(2)适等号连接．
例2 某矿山车队辆载重甲型卡车辆载重乙型卡车名驾驶员车队天少运矿石冶炼厂．已知甲型卡车辆天返次乙型卡车辆天返次写出满足述等关系等式．
[分析] 首先变量分表示甲型卡车乙型卡车车辆数然分析已知量未知量间等关系：(1)卡车数量驾驶员数关系(2)车队天运矿石数量(3)甲型卡车数量(4)乙型卡车数量．等关系含未知数等式表示出注意变量取值范围．
[解析] 设天派出甲型卡车辆乙型卡车辆
[纳提升] 等式组表示等关系方法
首先先弄清题意分清常量常量变量变量函数函数组变量间等关系然类等式建立程找等词选准等号量量间等号连接注意等式等关系应重漏尤检验实际问题中变量取值范围．
点练❶段长篱笆围成边墙矩形菜园墙长求菜园面积墙边长试等式表示中等关系．
[解析] 矩形菜园墙边长墙长
时菜园条边长．
菜园面积题意
该题中等关系等式组表示
题型二 较实数
例3 已知正实数试较．
[解析] 方法(作差法)：
∵正实数∴
∴∴
方法二(作商法)：
∵∴
方法三(方作差)：∵
∴
∵∴
[纳提升] 较方法
1．作差法：
步骤：作差—变形—判断差符号—出结．
注意：需判断差符号差值究竟少关紧通常差化完全方式形式式积形式．
2．作商法：时
步骤：作商——变形——判断商——出结．
注意：作商法适范围较限制条件较较少．
3．介值较法：(1)介值较法理根：中中介值．(2)介值较法关键通等式恰放缩找出较合适中介值．
点练❷时较．
[解析]
．
第2课时 等式性质
必备知识·探新知
基础知识
知识点等式性质
性质 ________(称性)
性质 ________(传递性)
性质 ______________(加保序性)
推：___________(移项法)
性质 __________(正保序性)(负反序性)
性质 ______________(相加保序性)
性质 __________(正数相保序性)
性质 __________．(非负方保序性)
思考：(1)性质推实际解等式中什法？
(2)性质等式两边零数改变等号方？什？
(3)性质时注意什条件？
提示：(1)移项法．
(2)．两边数符号正数改变等号方负数时改变等号方．
(3)数均正数．
基础测
1．判断正误(√错×)
(1)( )
(2)等式相加相条件致．( )
(3)设( )
(4)( )
[解析] (1)等式性质反时
(2)相需否相加正负零均关系．
(3)符合等式方性．
(4)取满足满足说法错误．
2．设列等式中定成立( )
A． B．
C． D．
3．已知列等式成立( )
A． B．
C． D．
[解析]
∴选D．
4．等号><填空：
(1)果______
(2)果______
(3)果______
(4)果______
[解析] (1)∵∴∵∴
(2)∵∴∵∴∴
(3)∵∴∴
∴∴
(4)∵∵∴
关键力·攻重难
题型探究
例1 列结正确( )
A． B．
C． D．
[分析] 通赋值排AD根等式性质判断BC正误．
[解析] A选项时成立B选项等价成立C选项选项正确D选项时正确．
[纳提升] 判断关等式命题真假两种方法
(1)直接运等式性质：判断命题等式性质联系起考虑找命题相性质然进行推理判断．
(2)特殊值验证法：判断式子中涉变量取特殊值然进行较判断．
点练❶设非零实数列等式成立( )
A． B．
C． D．
[解析] 时定成立A错．符号确定B错C正确．D中确定．
题型二 利等式性质证明等式
例2设求证：
[分析] 等式证明利等式性质已知条件推出等式成立．
[证明]
[纳提升] 利等式性质证明等式注意事项
(1)利等式性质推证明等式．解决类问题定理解基础
记准记熟等式性质注意解题中灵活准确加应．
(2)应等式性质进行推导时应注意紧扣等式性质成立条件省略条件跳步推导更意构造性质法．
点练❷求证：
[证明]
题型三 利等式性质求范围
例3 已知
(1)求取值范围．
(2)求取值范围．
[解析] (1)
(2)
[纳提升] 利等式性质求取值范围策略
(1)建立求范围整体已知范围整体关系利次等式性质进行运算求求范围．
(2)(异)等式两边相加(相减)种转化等价变形果解题程中次种转化扩取值范围．
点练❸已知求取值范围．
[解析]
误区警示
错等式性质
例4 已知取值范围_____________
[错解] ∵∴
∴填
[错分析] 等式等式(正项)相性质法导致错误．
[正解] ∵∴∴∴
填
[方法点拨] 题目中指定代数式取值范围必须等式性质进行求解等式具加性性相减相解题时必须利性质步步避免改变代数式取值范围．
学科素养
等关系实际应
等关系数学中基部分关系实际问题中广泛应高考考查重点容．
例5 三房间需粉刷粉刷方案求：房间种颜色三房间颜色相．已知三房间粉刷面积(单位：)分三种颜色涂料粉刷费(单位：元)分方案中低总费(单位：元)( )
A． B．
C． D．
[分析] 题考查实际问题中等关系建立利等式性质较．
[解析] 方法：
理
综低总费
方法二：采特殊值法进行求解验证
知低总费
[纳提升] 等关系判断问题求解般需通作差进行推理证运算力求较高具明确等关系式子进行判断时特殊值法种非常值推广简便方法．
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