第3章 中值定理导数应
容概
名称
容（3132）
31
中值
定理
名称
条件
结
罗尔中值定理
：（1）连续（2）导（3）
少存点
拉格朗日中值定理
：（1）连续（2）导
少存点
柯西中值定理
：（1）连续导（2）点处
少存点
32
洛必达
法
基形式
型型未定式
通分取倒数化基形式
1）型：常通分手段化型型
2）型：常取倒数手段化型型：
取数化
基形式
1）型：取数中
2）型：取数
中
3）型：取数
中
课题全解
题31
★1列函数定区间否满足罗尔定理条件？满足请求出满足定理数值
（1） （2）
知识点：罗尔中值定理
思路：根罗尔定理条件结求解方程根便求
解：（1）∵连续导
∴满足罗尔定理条件令求
（2）∵连续导
∴满足罗尔定理条件令
求
★2验证拉格朗日中值定理函数区间正确性
知识点：拉格朗日中值定理
思路：根拉格朗日中值定理条件结求解方程根验证定理正确性
解：∵连续导∴区间满足拉格朗日中值定理条件
∴：
∴验证完毕
★3已知函数区间满足拉格朗日中值定理条件试求满足定理
解：满足定理
★★4试证明函数应拉格朗日中值定理时求点总位区间正中间
证明：妨设讨区间函数连续导
解结成立
★5函数区间否满足柯西定理条件？满足请求出满足定理数值
知识点：柯西中值定理
思路：根柯西中值定理条件结求解方程根便求
解：∵连续导点处满足柯西中值定理条件解 满足定理数值
★★★6设连续导求证：
存
知识点：罗尔中值定理应
思路：结出发变形构造辅助函数导函数 然利罗尔中值定理便结构造辅助函数利中值定理解决问题时常方法
证明：构造辅助函数
根题意连续导
罗尔中值定理：存
注：辅助函数构造方法般通结倒推：
∴设辅助函数
★★7函数具二阶导函数
证明：少点
知识点：罗尔中值定理应
思路：连续两次罗尔中值定理
证明：∵ 具二阶导函数∴连续
导
∴罗尔定理少点
连续导
罗尔中值定理少点
★★84次方程4实根证明：
根皆实根
知识点：罗尔中值定理应
思路：讨方程根情况考虑罗尔中值定理
证明：令
题意4实数零点分设
∵连续导
∴罗尔中值定理少点
方程少3实根三次方程3实根结成立
★★★9证明：方程正根
知识点：零点定理罗尔定理应
思路：讨某方程根唯性利反证法结合零点定理罗尔定理出结零点定理讨函数零点情况罗尔定理讨导函数零点情况
解：令∵连续
∴零点定理少点
假设两正根分设（）
连续导
罗尔定理少点
∴方程正根
★★10求出函数导数说明方程实根指出区间
知识点：罗尔中值定理应
思路：讨导函数零点考虑利罗尔中值定理
解： ∵连续
导
∴罗尔中值定理少点
方程少三实根
方程三次方程三实根
∴3实根分
★★★11证明列等式：
（1） （2） 时
（3） 设 证明 （4） 时
知识点：利拉格朗日中值定理
思路：拉格朗日中值定理证明等式程：寻找函数通式子（）证明等式
证明：（1）令 ∵连续导
∴拉格朗日中值定理
（2）令∵连续导
∴拉格朗日中值定理
∵∴ 时
（3）令∵连续导
∴拉格朗日中值定理
∵∴
（4）令∵连续导
∴拉格朗日中值定理
∵∴时
★★12证明等式：
知识点：（常数）
思路：证明函数表达式恒等常数证
证明：令
时时
∴
∴成立
★★★13证明：函数满足关系式
知识点：
思路： 设时证
证明：构造辅助函数
∴
∴
★★★14设函数连续二阶导数
试证少存点
知识点：拉格朗日中值定理应
思路：关导函数点处符号判断根已知条件拉格朗日中值定理结逐层分析层导函数改变量变量改变量符号出结
证明：∵ 连续导
∴拉格朗日中值定理少点
连续导少点
★★★15设微试证明少两零点
知识点：极限保号性介值定理微分中值定理
思路：证明某区间导函数少存两零点证该函数三零点利罗尔中值定理出结
证明：∵极限保号性知
（妨设）均
特∴
理（）
∵连续∴介值定理知少点
∵连续导
∴罗尔中值定理知少点结成立
★★★16设闭区间满足试证明存唯
知识点：微分中值定理函数单调性应
思路：证明唯性题目考虑利反证法正面述题反证法罗尔中值定理利函数单调性出结
证明：存性
∵连续导∴拉格朗日中值定理知少点
唯性证明：
方法：利反证法假设外存点
∵（）连续（）导
∴罗尔中值定理知少存点（）闭区间满足矛盾结成立
方法二：∵闭区间满足∴单调递增
存存唯结成立
★★★17设函数某邻域具阶导数
试柯西中值定理证明：
知识点：柯西中值定理
思路：连续次柯西中值定理便结
证明：∵阶导数连续导
点处
∴连续次柯西中值定理
结成立
题32
★★1洛必达法求列极限：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
（9） （10） （11） （12）（13） （14） （15） （16）
（17） （18） （19） （20）
知识点：洛必达法
思路：注意洛必达法适范围该法解决未定型极限问题基形式：型型未定式种形式连续洛必达法型型未定式通通分者取倒数形式化基形式型型型未定式通取数等手段化未定式外结合等价穷换两重极限换元等手段问题简化
解： （1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（解：）
（10）
（解：∵时∴）
（11）
（12）
（解：
）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）令
∴
★★2验证极限存洛必达法求出
知识点：洛必达法
思路：求导极限果存说明原式极限存说洛必达法失效洛必达法解决未定型极限问题
解：∵ ∴极限存
洛必达法
存洛必达法求出
★★★3二阶导数证明
知识点：导数定义洛必达法
思路：洛必达法极限中函数求关导数然利导数定义结
证明：∵
∴结成立
★★★4讨函数点处连续性
知识点：函数点连续概念
思路：讨分段函数分段点处连续性利函数点处左右连续概念
解：∵
∴处右连续
∵∴处左连续
知点处连续
★★★5设处二阶导试确定值处导求中
知识点：连续导关系洛必达法
思路：讨分段函数分段点处连续性导性般考虑利定义
解：处导必处连续
∵处∴
导数定义
容概
名称
容（33）
33 泰勒公式
泰勒中值定理：果含某开区间具阶导数
公式称阶泰勒公式
中（介间）称拉格朗日型余项称皮亚诺型余项
阶麦克劳林公式：
中（）
常初等函数麦克劳林公式：1）
2）
3）
4）
5）
6）
题33
★1幂展开项式
知识点：泰勒公式
思路：直接展开法求幂展开阶泰勒公式次求直阶导数处值然带代入公式
解：
结果代入泰勒公式
★★2求函数幂展开带拉格朗日型余项三阶泰勒公式
知识点：泰勒公式
思路：1
解：
结果代入泰勒公式
（介4间）
★★★3点展开含项求
知识点：麦克劳林公式
思路：间接展开法理分式时通常利已知结
解：
泰勒公式知前系数
★★4求函数幂展开带皮亚诺型余项阶泰勒公式
知识点：泰勒公式
思路：直接展开法解法1者间接展开法数函数时通常利已知结
方法：（直接展开）
结果代入泰勒公式
方法二：
★★5求函数幂展开带拉格朗日型余项阶泰勒公式
知识点：泰勒公式
思路：直接展开法解法1者间接展开法理分式时通常利已知结
方法：
结果代入泰勒公式
（介间）
方法二：
（介间）
★★6求函数带皮亚诺型余项阶麦克劳林展开式
知识点：麦克劳林公式
思路：直接展开法解法1间接展开法中含时通常利已知结
方法：
结果代入麦克劳林公式
方法二：
★★7验证时公式计算似值时产生误差求似值误差
知识点：泰勒公式应
思路：利泰勒公式估计误差估计拉格朗日余项范围
解：
★★8泰勒公式取求似值估计误差
知识点：泰勒公式应
解：设
误差：
★★★9利函数泰勒展开式求列极限：
（1） （2）
知识点：泰勒展开式应
思路：间接展开法利已知结函数展开适形式然利极限运算性质结果
解：（1）
（2）
★★10设证明：
知识点：泰勒公式
思路：泰勒公式证明等式常种方法特等式边某函数边幂级数展开部分时考虑泰勒公式
解：（介间）∵ ∴
结成立
（§34函数单调性判定定理证明）
★★11证明函数次项式充条件
知识点：麦克劳林公式
思路：麦克劳林公式形式展开根已知条件结
解：必性易知次项式
充分性∵∴阶麦克劳林公式：
次项式结成立
★★★12阶导数
证明少存点
知识点：泰勒中值定理拉格朗日中值定理
思路：证明连续拉格朗日中值定理验证满足罗尔中值定理者利泰勒中值定理根处泰勒展开式已知条件结
方法：∵ 导
∴罗尔中值定理知少存点
∵ 导
∴罗尔中值定理知少存点
次类推知 导
∴罗尔中值定理知少存点
方法二：根已知条件处泰勒展开式：
∴结成立
容概
名称
容（34）
34 函数单调性曲线凹凸性
函数单调性判法：设连续导
（1）单调增加
（2）单调减少
1） 曲线凹凸性概念：设区间连续果意两点恒
称图形凹果恒
称图形凸
2）拐点概念：连续曲线凹弧凸弧分界点成曲线拐点
曲线凹凸性判法：设连续具阶二阶导数
（1）图形凹
（2）图形凸
题34
★1证明函数单调增加
知识点：导数应
思路：利阶导数符号判断函数单调性常方法某区间（）单调增加（减少）
证明：∵（仅处）
∴单调增加
★2判定函数单调性
解：∵（仅处）
∴单调增加
★★3求列函数单调区间：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
知识点：导数应
思路：利阶导数符号判断函数单调性求函数单调区间导数零点导点定义域划分成干区间然区间判断函数单调性果划分定义域点两列表讨思路更清晰
解：（1） 定义域令
列表讨：
－
↗
↘
↗
表知严格单增严格单减
（2） 令
时 时
∴严格单增严格单减
（3）定义域令
导点列表讨：
－
↗
↘
↗
表知严格单增严格单减
（4）定义域
∴严格单增
（5）定义域∵
∴严格单增
（6）定义域令
时时
∴严格单增严格单减
★★4证明列等式：
（1） 时 （2）时
（3）时 （4）时
知识点：导数应者泰勒公式应
思路：利泰勒公式证明等式（见题33第10题）利函数单调性证明等式常方法
解：（1）方法：令
时
∴严格单增
结成立
方法二：泰勒公式
（）
∴结成立
（2）方法：令时
∴严格单增
∴严格单增
∴结成立
注：利符号判断单调性利单调性判断某区间符号出某区间单调性常种方法
方法二：令
时
∴严格单增
∴
∴结成立
（3）令
时（仅时）
∴严格单增
结成立
（4）令时
严格单增∴
令
时
严格单增∴
结成立
★★★5试证方程实根
知识点：导数应
思路：利导数符号判断函数单调性进讨方程根常方法
解：易知方程根
令（仅处）
∴严格单增零点
方程实根
★★6单调函数导函数否必单调函数？研究例子：
知识点：导数应
思路：利阶导数符号判断单调性证明结
解：单调函数导函数定单调函数
∵（仅处）
∴严格单增
严格单减严格单增单调
★★7求列函数图形拐点凹凸区间：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
知识点：导数应
思路：利二阶导数符号判断函数凹凸性求拐点凹凸区间二阶导数零点导点定义域划分成干区间然区间判断函数凹凸性果划分定义域点两列表讨思路更清晰
解：（1）∵时
∴凹函数没拐点
（2）定义域
令
时时
∴凹区间凸区间∴拐点
（3） 定义域
∴整定义域凹函数没拐点
（4）定义域
∴整定义域凹函数没拐点
（5） 定义域
令列表讨：
－
－
表知凸区间凹区间拐点
（6）定义域
令时时
∴凹区间凸区间拐点
★★★8利函数图形凹凸性证明等式：
（1） （2）
知识点：函数凹凸性概念
思路：利函数凹凸性概念证明等式特等式中含变量线性组合函数值线性组合时考虑利函数凹凸性
证明：（1）令∵∴凹
利凹函数定义结成立
（2）令∵∴凸利凸函数定义结成立
★★★9求曲线拐点
知识点：导数应
思路：7
解：定义域
令现列表讨：
－
－
表知拐点
★★10问值时点曲线拐点？
知识点：导数应
思路：拐点通常二阶导数零点者导点高阶导函数拐点定二阶导数零点
解：定义域
代入中：①
代入中：②
①②
★★★11试确定曲线中处曲线水切线拐点点曲线
知识点：导数意义导数应
思路：利导函数拐点定二阶导数零点某点处导数值等该点处切线斜率已知条件建立方程组确定函数中定参数
解： 代入
①
分代入中
② ③
代入中 ④
①②③④
★★★12试确定中值曲线拐点处法线通原点
知识点：导数应
思路：导拐点必二阶导数零点求出拐点坐标写出法线方程根已知条件求出值
解：定义域
令易知取值通两侧时会变号
∴均拐点∵
∴两拐点处法线方程分：
两法线原点代入法线方程解
★★★★13设函数某邻域具三阶导数果
试问否拐点什？
知识点：导数应
思路：根极限保号性拐点定义结
方法：妨设
极限保号性知必存均
时时
∴拐点
容概
名称
容（35）
35
函数极值值值
极值概念：设函数点某邻域定义该邻域意点（）恒（）称点处取极值（极值）成函数极值点（极值点）
函数极值
判法
第充分条件：设函数点某邻域连续导（存）
（1）左邻域右邻域
处取极值
（2）左邻域右邻域处取极值
（3）左邻域变号处没极值
注：第充分条件利阶导数符号判断函数单调性
第二充分条件：设处具二阶导数
（1）时函数处取极值
（2）时函数处取极值
注：利驻点处二阶导数符号判断驻点否极值点
函数值值：注意函数极值值区联系
题35
★★1求列函数极值：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
知识点：极值充分条件
思路：求点者存点然利极值第者第二充分条件进行判断极值疑点两时利第充分条件列表讨第二充分条件仅驻点否极值点进行判断
解：（1）方法： 定义域
令现列表讨：
－
↗
极值点
↘
极值点
↗
表知处取极值处取极值
方法二：令
∴极值第二充分条件知处取极值
处取极值
（2）方法：定义域令
时时
∴极值第充分条件知处取极值
方法二：定义域令
∴极值第二充分条件知处取极值
（3） 方法：定义域令现列表讨：
－
－
↘
极值点
↗
极值点
↘
表知处取极值处取极值
方法二：定义域令
∴极值第二充分条件知处取极值处取极值
（4） 定义域令
时时
∴极值第充分条件知处取极值
注：题中表达式较繁琐优先考虑第充分条件
（5） 定义域
令
∴极值第二充分条件知
处取极值
处取极值
注：题单调区间穷优先考虑第二充分条件
（6）定义域令
导点现列表讨：
－
↗
极值点
↘
极值点
↗
表知处取极值处取极值
注：题中函数具导点第充分条件
★★★2试证：时取极值
知识点：函数取极值条件
思路：定义区间求点然利极值充分条件进行判断
证明：定义域令
∵方程根判式：
∴时驻点
∴处取极值处取极值
★★3试问值时函数处取极值求出极值
知识点：取极值条件
思路：利极值必条件确定值然利充分条件判断极值极值
解：根题意
∴处取极值
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档
容概
名称
容（3132）
31
中值
定理
名称
条件
结
罗尔中值定理
：（1）连续（2）导（3）
少存点
拉格朗日中值定理
：（1）连续（2）导
少存点
柯西中值定理
：（1）连续导（2）点处
少存点
32
洛必达
法
基形式
型型未定式
通分取倒数化基形式
1）型：常通分手段化型型
2）型：常取倒数手段化型型：
取数化
基形式
1）型：取数中
2）型：取数
中
3）型：取数
中
课题全解
题31
★1列函数定区间否满足罗尔定理条件？满足请求出满足定理数值
（1） （2）
知识点：罗尔中值定理
思路：根罗尔定理条件结求解方程根便求
解：（1）∵连续导
∴满足罗尔定理条件令求
（2）∵连续导
∴满足罗尔定理条件令
求
★2验证拉格朗日中值定理函数区间正确性
知识点：拉格朗日中值定理
思路：根拉格朗日中值定理条件结求解方程根验证定理正确性
解：∵连续导∴区间满足拉格朗日中值定理条件
∴：
∴验证完毕
★3已知函数区间满足拉格朗日中值定理条件试求满足定理
解：满足定理
★★4试证明函数应拉格朗日中值定理时求点总位区间正中间
证明：妨设讨区间函数连续导
解结成立
★5函数区间否满足柯西定理条件？满足请求出满足定理数值
知识点：柯西中值定理
思路：根柯西中值定理条件结求解方程根便求
解：∵连续导点处满足柯西中值定理条件解 满足定理数值
★★★6设连续导求证：
存
知识点：罗尔中值定理应
思路：结出发变形构造辅助函数导函数 然利罗尔中值定理便结构造辅助函数利中值定理解决问题时常方法
证明：构造辅助函数
根题意连续导
罗尔中值定理：存
注：辅助函数构造方法般通结倒推：
∴设辅助函数
★★7函数具二阶导函数
证明：少点
知识点：罗尔中值定理应
思路：连续两次罗尔中值定理
证明：∵ 具二阶导函数∴连续
导
∴罗尔定理少点
连续导
罗尔中值定理少点
★★84次方程4实根证明：
根皆实根
知识点：罗尔中值定理应
思路：讨方程根情况考虑罗尔中值定理
证明：令
题意4实数零点分设
∵连续导
∴罗尔中值定理少点
方程少3实根三次方程3实根结成立
★★★9证明：方程正根
知识点：零点定理罗尔定理应
思路：讨某方程根唯性利反证法结合零点定理罗尔定理出结零点定理讨函数零点情况罗尔定理讨导函数零点情况
解：令∵连续
∴零点定理少点
假设两正根分设（）
连续导
罗尔定理少点
∴方程正根
★★10求出函数导数说明方程实根指出区间
知识点：罗尔中值定理应
思路：讨导函数零点考虑利罗尔中值定理
解： ∵连续
导
∴罗尔中值定理少点
方程少三实根
方程三次方程三实根
∴3实根分
★★★11证明列等式：
（1） （2） 时
（3） 设 证明 （4） 时
知识点：利拉格朗日中值定理
思路：拉格朗日中值定理证明等式程：寻找函数通式子（）证明等式
证明：（1）令 ∵连续导
∴拉格朗日中值定理
（2）令∵连续导
∴拉格朗日中值定理
∵∴ 时
（3）令∵连续导
∴拉格朗日中值定理
∵∴
（4）令∵连续导
∴拉格朗日中值定理
∵∴时
★★12证明等式：
知识点：（常数）
思路：证明函数表达式恒等常数证
证明：令
时时
∴
∴成立
★★★13证明：函数满足关系式
知识点：
思路： 设时证
证明：构造辅助函数
∴
∴
★★★14设函数连续二阶导数
试证少存点
知识点：拉格朗日中值定理应
思路：关导函数点处符号判断根已知条件拉格朗日中值定理结逐层分析层导函数改变量变量改变量符号出结
证明：∵ 连续导
∴拉格朗日中值定理少点
连续导少点
★★★15设微试证明少两零点
知识点：极限保号性介值定理微分中值定理
思路：证明某区间导函数少存两零点证该函数三零点利罗尔中值定理出结
证明：∵极限保号性知
（妨设）均
特∴
理（）
∵连续∴介值定理知少点
∵连续导
∴罗尔中值定理知少点结成立
★★★16设闭区间满足试证明存唯
知识点：微分中值定理函数单调性应
思路：证明唯性题目考虑利反证法正面述题反证法罗尔中值定理利函数单调性出结
证明：存性
∵连续导∴拉格朗日中值定理知少点
唯性证明：
方法：利反证法假设外存点
∵（）连续（）导
∴罗尔中值定理知少存点（）闭区间满足矛盾结成立
方法二：∵闭区间满足∴单调递增
存存唯结成立
★★★17设函数某邻域具阶导数
试柯西中值定理证明：
知识点：柯西中值定理
思路：连续次柯西中值定理便结
证明：∵阶导数连续导
点处
∴连续次柯西中值定理
结成立
题32
★★1洛必达法求列极限：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
（9） （10） （11） （12）（13） （14） （15） （16）
（17） （18） （19） （20）
知识点：洛必达法
思路：注意洛必达法适范围该法解决未定型极限问题基形式：型型未定式种形式连续洛必达法型型未定式通通分者取倒数形式化基形式型型型未定式通取数等手段化未定式外结合等价穷换两重极限换元等手段问题简化
解： （1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（解：）
（10）
（解：∵时∴）
（11）
（12）
（解：
）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）令
∴
★★2验证极限存洛必达法求出
知识点：洛必达法
思路：求导极限果存说明原式极限存说洛必达法失效洛必达法解决未定型极限问题
解：∵ ∴极限存
洛必达法
存洛必达法求出
★★★3二阶导数证明
知识点：导数定义洛必达法
思路：洛必达法极限中函数求关导数然利导数定义结
证明：∵
∴结成立
★★★4讨函数点处连续性
知识点：函数点连续概念
思路：讨分段函数分段点处连续性利函数点处左右连续概念
解：∵
∴处右连续
∵∴处左连续
知点处连续
★★★5设处二阶导试确定值处导求中
知识点：连续导关系洛必达法
思路：讨分段函数分段点处连续性导性般考虑利定义
解：处导必处连续
∵处∴
导数定义
容概
名称
容（33）
33 泰勒公式
泰勒中值定理：果含某开区间具阶导数
公式称阶泰勒公式
中（介间）称拉格朗日型余项称皮亚诺型余项
阶麦克劳林公式：
中（）
常初等函数麦克劳林公式：1）
2）
3）
4）
5）
6）
题33
★1幂展开项式
知识点：泰勒公式
思路：直接展开法求幂展开阶泰勒公式次求直阶导数处值然带代入公式
解：
结果代入泰勒公式
★★2求函数幂展开带拉格朗日型余项三阶泰勒公式
知识点：泰勒公式
思路：1
解：
结果代入泰勒公式
（介4间）
★★★3点展开含项求
知识点：麦克劳林公式
思路：间接展开法理分式时通常利已知结
解：
泰勒公式知前系数
★★4求函数幂展开带皮亚诺型余项阶泰勒公式
知识点：泰勒公式
思路：直接展开法解法1者间接展开法数函数时通常利已知结
方法：（直接展开）
结果代入泰勒公式
方法二：
★★5求函数幂展开带拉格朗日型余项阶泰勒公式
知识点：泰勒公式
思路：直接展开法解法1者间接展开法理分式时通常利已知结
方法：
结果代入泰勒公式
（介间）
方法二：
（介间）
★★6求函数带皮亚诺型余项阶麦克劳林展开式
知识点：麦克劳林公式
思路：直接展开法解法1间接展开法中含时通常利已知结
方法：
结果代入麦克劳林公式
方法二：
★★7验证时公式计算似值时产生误差求似值误差
知识点：泰勒公式应
思路：利泰勒公式估计误差估计拉格朗日余项范围
解：
★★8泰勒公式取求似值估计误差
知识点：泰勒公式应
解：设
误差：
★★★9利函数泰勒展开式求列极限：
（1） （2）
知识点：泰勒展开式应
思路：间接展开法利已知结函数展开适形式然利极限运算性质结果
解：（1）
（2）
★★10设证明：
知识点：泰勒公式
思路：泰勒公式证明等式常种方法特等式边某函数边幂级数展开部分时考虑泰勒公式
解：（介间）∵ ∴
结成立
（§34函数单调性判定定理证明）
★★11证明函数次项式充条件
知识点：麦克劳林公式
思路：麦克劳林公式形式展开根已知条件结
解：必性易知次项式
充分性∵∴阶麦克劳林公式：
次项式结成立
★★★12阶导数
证明少存点
知识点：泰勒中值定理拉格朗日中值定理
思路：证明连续拉格朗日中值定理验证满足罗尔中值定理者利泰勒中值定理根处泰勒展开式已知条件结
方法：∵ 导
∴罗尔中值定理知少存点
∵ 导
∴罗尔中值定理知少存点
次类推知 导
∴罗尔中值定理知少存点
方法二：根已知条件处泰勒展开式：
∴结成立
容概
名称
容（34）
34 函数单调性曲线凹凸性
函数单调性判法：设连续导
（1）单调增加
（2）单调减少
1） 曲线凹凸性概念：设区间连续果意两点恒
称图形凹果恒
称图形凸
2）拐点概念：连续曲线凹弧凸弧分界点成曲线拐点
曲线凹凸性判法：设连续具阶二阶导数
（1）图形凹
（2）图形凸
题34
★1证明函数单调增加
知识点：导数应
思路：利阶导数符号判断函数单调性常方法某区间（）单调增加（减少）
证明：∵（仅处）
∴单调增加
★2判定函数单调性
解：∵（仅处）
∴单调增加
★★3求列函数单调区间：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
知识点：导数应
思路：利阶导数符号判断函数单调性求函数单调区间导数零点导点定义域划分成干区间然区间判断函数单调性果划分定义域点两列表讨思路更清晰
解：（1） 定义域令
列表讨：
－
↗
↘
↗
表知严格单增严格单减
（2） 令
时 时
∴严格单增严格单减
（3）定义域令
导点列表讨：
－
↗
↘
↗
表知严格单增严格单减
（4）定义域
∴严格单增
（5）定义域∵
∴严格单增
（6）定义域令
时时
∴严格单增严格单减
★★4证明列等式：
（1） 时 （2）时
（3）时 （4）时
知识点：导数应者泰勒公式应
思路：利泰勒公式证明等式（见题33第10题）利函数单调性证明等式常方法
解：（1）方法：令
时
∴严格单增
结成立
方法二：泰勒公式
（）
∴结成立
（2）方法：令时
∴严格单增
∴严格单增
∴结成立
注：利符号判断单调性利单调性判断某区间符号出某区间单调性常种方法
方法二：令
时
∴严格单增
∴
∴结成立
（3）令
时（仅时）
∴严格单增
结成立
（4）令时
严格单增∴
令
时
严格单增∴
结成立
★★★5试证方程实根
知识点：导数应
思路：利导数符号判断函数单调性进讨方程根常方法
解：易知方程根
令（仅处）
∴严格单增零点
方程实根
★★6单调函数导函数否必单调函数？研究例子：
知识点：导数应
思路：利阶导数符号判断单调性证明结
解：单调函数导函数定单调函数
∵（仅处）
∴严格单增
严格单减严格单增单调
★★7求列函数图形拐点凹凸区间：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
知识点：导数应
思路：利二阶导数符号判断函数凹凸性求拐点凹凸区间二阶导数零点导点定义域划分成干区间然区间判断函数凹凸性果划分定义域点两列表讨思路更清晰
解：（1）∵时
∴凹函数没拐点
（2）定义域
令
时时
∴凹区间凸区间∴拐点
（3） 定义域
∴整定义域凹函数没拐点
（4）定义域
∴整定义域凹函数没拐点
（5） 定义域
令列表讨：
－
－
表知凸区间凹区间拐点
（6）定义域
令时时
∴凹区间凸区间拐点
★★★8利函数图形凹凸性证明等式：
（1） （2）
知识点：函数凹凸性概念
思路：利函数凹凸性概念证明等式特等式中含变量线性组合函数值线性组合时考虑利函数凹凸性
证明：（1）令∵∴凹
利凹函数定义结成立
（2）令∵∴凸利凸函数定义结成立
★★★9求曲线拐点
知识点：导数应
思路：7
解：定义域
令现列表讨：
－
－
表知拐点
★★10问值时点曲线拐点？
知识点：导数应
思路：拐点通常二阶导数零点者导点高阶导函数拐点定二阶导数零点
解：定义域
代入中：①
代入中：②
①②
★★★11试确定曲线中处曲线水切线拐点点曲线
知识点：导数意义导数应
思路：利导函数拐点定二阶导数零点某点处导数值等该点处切线斜率已知条件建立方程组确定函数中定参数
解： 代入
①
分代入中
② ③
代入中 ④
①②③④
★★★12试确定中值曲线拐点处法线通原点
知识点：导数应
思路：导拐点必二阶导数零点求出拐点坐标写出法线方程根已知条件求出值
解：定义域
令易知取值通两侧时会变号
∴均拐点∵
∴两拐点处法线方程分：
两法线原点代入法线方程解
★★★★13设函数某邻域具三阶导数果
试问否拐点什？
知识点：导数应
思路：根极限保号性拐点定义结
方法：妨设
极限保号性知必存均
时时
∴拐点
容概
名称
容（35）
35
函数极值值值
极值概念：设函数点某邻域定义该邻域意点（）恒（）称点处取极值（极值）成函数极值点（极值点）
函数极值
判法
第充分条件：设函数点某邻域连续导（存）
（1）左邻域右邻域
处取极值
（2）左邻域右邻域处取极值
（3）左邻域变号处没极值
注：第充分条件利阶导数符号判断函数单调性
第二充分条件：设处具二阶导数
（1）时函数处取极值
（2）时函数处取极值
注：利驻点处二阶导数符号判断驻点否极值点
函数值值：注意函数极值值区联系
题35
★★1求列函数极值：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
知识点：极值充分条件
思路：求点者存点然利极值第者第二充分条件进行判断极值疑点两时利第充分条件列表讨第二充分条件仅驻点否极值点进行判断
解：（1）方法： 定义域
令现列表讨：
－
↗
极值点
↘
极值点
↗
表知处取极值处取极值
方法二：令
∴极值第二充分条件知处取极值
处取极值
（2）方法：定义域令
时时
∴极值第充分条件知处取极值
方法二：定义域令
∴极值第二充分条件知处取极值
（3） 方法：定义域令现列表讨：
－
－
↘
极值点
↗
极值点
↘
表知处取极值处取极值
方法二：定义域令
∴极值第二充分条件知处取极值处取极值
（4） 定义域令
时时
∴极值第充分条件知处取极值
注：题中表达式较繁琐优先考虑第充分条件
（5） 定义域
令
∴极值第二充分条件知
处取极值
处取极值
注：题单调区间穷优先考虑第二充分条件
（6）定义域令
导点现列表讨：
－
↗
极值点
↘
极值点
↗
表知处取极值处取极值
注：题中函数具导点第充分条件
★★★2试证：时取极值
知识点：函数取极值条件
思路：定义区间求点然利极值充分条件进行判断
证明：定义域令
∵方程根判式：
∴时驻点
∴处取极值处取极值
★★3试问值时函数处取极值求出极值
知识点：取极值条件
思路：利极值必条件确定值然利充分条件判断极值极值
解：根题意
∴处取极值
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档
