难点34 导数运算法基公式应
导数中学限选容中较重知识节容导数定义常求等公式四运算求导法复合函数求导法等问题考生进行训练指导
●难点磁场
(★★★★★)已知曲线C：yx3－3x2+2x直线lykxlC切点(x0y0)(x0≠0)求直线l方程切点坐标
●案例探究
［例1］求函数导数：
命题意图：题3题分考查导数四运算法复合函数求导方法抽象函数求导思想方法导数中较典型求导类型属★★★★级题目
知识托：解答题闪光点分析函数结构特征挖掘量隐含条件问题转化基函数导数
错解分析：题难点求导程中符号判断清复合函数结构分解基函数出差错
技巧方法：先分析函数式结构找准复合函数式子特征求导法进行求导
(2)解：yμ3μax－bsin2ωxμav－by
vxysinγ γωx
y′(μ3)′3μ2·μ′3μ2(av－by)′
3μ2(av′－by′)3μ2(av′－by′γ′)
3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx)
(3)解法：设yf(μ)μvx2+1
y′xy′μμ′v·v′xf′(μ)·v－·2x
f′()··2x
解法二：y′［f()］′f′()·()′
f′()·(x2+1)·(x2+1)′
f′()·(x2+1) ·2x
f′()
［例2］利导数求
(1)Sn1+2x+3x2+…+nxn－1(x≠0n∈N*)
(2)SnC+2C+3C+…+nC(n∈N*)
命题意图：培养考生思维灵活性建立知识体系中知识点灵活融合力属
★★★★级题目
知识托：通数列通项进行联想合理运逆思维求导公式(xn)′nxn－1联想外式导数关键抓住数列通项形式结构
错解分析：题难点考生易犯思维定势错误受影响善联想
技巧方法：第(1)题分x1x≠1讨等式两边求导
解：(1)x1时
Sn1+2+3+…+nn(n+1)
x≠1时
∵x+x2+x3+…+xn
两边关x函数求导
(x+x2+x3+…+xn)′()′
Sn1+2x+3x2+…+nxn－1
(2)∵(1+x)n1+Cx+Cx2+…+Cxn
两边关x导函数求导
n(1+x)n－1C+2Cx+3Cx2+…+nCxn－1
令x1n·2n－1C+2C+3C+…+nC
SnC+2C+…+nCn·2n－1
●锦囊妙计
1深刻理解导数概念解定义求简单导数
表示函数均改变量Δx函数f′(x0)表示数值f′(x)知道导数等价形式：
2求导质求极限求极限程中力求求极限结构形式转化已知极限形式导数定义利求导关键
3函数求导般遵循先化简求导基原求导时重视求导法应特注意求导法求导制约作实施化简时首先必须注意变换等价性避免必运算失误
4复合函数求导法链条样必须环环套丢掉中环必须正确分析复合函数基函数样序复合成分清间复合关系
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)yesinxcos(sinx)y′(0)等( )
A0 B1 C－1 D2
2(★★★★)原点曲线y相切方程( )
Ax+y0+y0 Bx－y0+y0
Cx+y0－y0 Dx－y0－y0
二填空题
3(★★★★)f′(x0)2 _________
4(★★★★)设f(x)x(x+1)(x+2)…(x+n)f′(0)_________
三解答题
5(★★★★)已知曲线C1yx2C2y－(x－2)2直线lC1C2相切求直线l方程
6(★★★★)求函数导数
(1)y(x2－2x+3)e2x
(2)y
7(★★★★)长度5 m梯子贴笔直墙假设端板3 ms速度离开墙脚滑动求端离开墙脚14 m时梯子端滑速度
8(★★★★)求Sn12+22x+32x2+…+n2xn－1(x≠0n∈N*)
参考答案
难点磁场
解：l原点知k(x0≠0)点(x0y0)曲线Cy0x03－3x02+2x0
∴x02－3x0+2
y′3x2－6x+2k3x02－6x0+2
k∴3x02－6x0+2x02－3x0+2
2x02－3x00∴x00x0
x≠0知x0
∴y0()3－3()2+2·－
∴k－
∴l方程y－x 切点(－)
歼灭难点训练
1解析：y′esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］y′(0)e0(1－0)1
答案：B
2解析：设切点(x0y0)切线斜率k方面y′()′
y′(x0)kx02+18x0+450x0(1)－3y0(2)－15应y0(1)3y0(2)两切点A(－33)B(－15)y′(A) －1y′(B) 切线原点切线：lAy－xlBy－
答案：A
二3解析：根导数定义：f′(x0)(时)
答案：－1
4解析：设g(x)(x+1)(x+2)……(x+n)f(x)xg(x)f′(x)g(x)+xg′(x)f′(0)g(0)+0·g′(0)g(0)1·2·…nn
答案：n
三5解：设lC1相切点P(x1x12)C2相切Q(x2－(x2－2)2)
C1：y′2xC1相切点P切线方程
y－x122x1(x－x1)y2x1x－x12 ①
C2：y′－2(x－2)C2相切点Q切线方程y+(x2－2)2－2(x2－2)(x－x2)y－2(x2－2)x+x22－4 ②
∵两切线重合∴2x1－2(x2－2)－x12x22－4解x10x22x12x20
∴直线l方程y0y4x－4
6解：(1)注意y＞0两端取数
lnyln(x2－2x+3)+lne2xln(x2－2x+3)+2x
(2)两端取数
ln|y|(ln|x|－ln|1－x|)
两边解x求导
7解：设时间t秒梯子端滑s米s5－端移开14 m时t0s′－ (25－9t2)·(－9·2t)9ts′(t0)9×0875(ms)
8解：(1)x1时Sn12+22+32+…+n2n(n+1)(2n+1)x≠1时1+2x+3x2+…+nxn1两边x
x+2x2+3x2+…+nxn两边x求导
Sn12+22x2+32x2+…+n2xn1
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导数中学限选容中较重知识节容导数定义常求等公式四运算求导法复合函数求导法等问题考生进行训练指导
●难点磁场
(★★★★★)已知曲线C：yx3－3x2+2x直线lykxlC切点(x0y0)(x0≠0)求直线l方程切点坐标
●案例探究
［例1］求函数导数：
命题意图：题3题分考查导数四运算法复合函数求导方法抽象函数求导思想方法导数中较典型求导类型属★★★★级题目
知识托：解答题闪光点分析函数结构特征挖掘量隐含条件问题转化基函数导数
错解分析：题难点求导程中符号判断清复合函数结构分解基函数出差错
技巧方法：先分析函数式结构找准复合函数式子特征求导法进行求导
(2)解：yμ3μax－bsin2ωxμav－by
vxysinγ γωx
y′(μ3)′3μ2·μ′3μ2(av－by)′
3μ2(av′－by′)3μ2(av′－by′γ′)
3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx)
(3)解法：设yf(μ)μvx2+1
y′xy′μμ′v·v′xf′(μ)·v－·2x
f′()··2x
解法二：y′［f()］′f′()·()′
f′()·(x2+1)·(x2+1)′
f′()·(x2+1) ·2x
f′()
［例2］利导数求
(1)Sn1+2x+3x2+…+nxn－1(x≠0n∈N*)
(2)SnC+2C+3C+…+nC(n∈N*)
命题意图：培养考生思维灵活性建立知识体系中知识点灵活融合力属
★★★★级题目
知识托：通数列通项进行联想合理运逆思维求导公式(xn)′nxn－1联想外式导数关键抓住数列通项形式结构
错解分析：题难点考生易犯思维定势错误受影响善联想
技巧方法：第(1)题分x1x≠1讨等式两边求导
解：(1)x1时
Sn1+2+3+…+nn(n+1)
x≠1时
∵x+x2+x3+…+xn
两边关x函数求导
(x+x2+x3+…+xn)′()′
Sn1+2x+3x2+…+nxn－1
(2)∵(1+x)n1+Cx+Cx2+…+Cxn
两边关x导函数求导
n(1+x)n－1C+2Cx+3Cx2+…+nCxn－1
令x1n·2n－1C+2C+3C+…+nC
SnC+2C+…+nCn·2n－1
●锦囊妙计
1深刻理解导数概念解定义求简单导数
表示函数均改变量Δx函数f′(x0)表示数值f′(x)知道导数等价形式：
2求导质求极限求极限程中力求求极限结构形式转化已知极限形式导数定义利求导关键
3函数求导般遵循先化简求导基原求导时重视求导法应特注意求导法求导制约作实施化简时首先必须注意变换等价性避免必运算失误
4复合函数求导法链条样必须环环套丢掉中环必须正确分析复合函数基函数样序复合成分清间复合关系
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)yesinxcos(sinx)y′(0)等( )
A0 B1 C－1 D2
2(★★★★)原点曲线y相切方程( )
Ax+y0+y0 Bx－y0+y0
Cx+y0－y0 Dx－y0－y0
二填空题
3(★★★★)f′(x0)2 _________
4(★★★★)设f(x)x(x+1)(x+2)…(x+n)f′(0)_________
三解答题
5(★★★★)已知曲线C1yx2C2y－(x－2)2直线lC1C2相切求直线l方程
6(★★★★)求函数导数
(1)y(x2－2x+3)e2x
(2)y
7(★★★★)长度5 m梯子贴笔直墙假设端板3 ms速度离开墙脚滑动求端离开墙脚14 m时梯子端滑速度
8(★★★★)求Sn12+22x+32x2+…+n2xn－1(x≠0n∈N*)
参考答案
难点磁场
解：l原点知k(x0≠0)点(x0y0)曲线Cy0x03－3x02+2x0
∴x02－3x0+2
y′3x2－6x+2k3x02－6x0+2
k∴3x02－6x0+2x02－3x0+2
2x02－3x00∴x00x0
x≠0知x0
∴y0()3－3()2+2·－
∴k－
∴l方程y－x 切点(－)
歼灭难点训练
1解析：y′esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］y′(0)e0(1－0)1
答案：B
2解析：设切点(x0y0)切线斜率k方面y′()′
y′(x0)kx02+18x0+450x0(1)－3y0(2)－15应y0(1)3y0(2)两切点A(－33)B(－15)y′(A) －1y′(B) 切线原点切线：lAy－xlBy－
答案：A
二3解析：根导数定义：f′(x0)(时)
答案：－1
4解析：设g(x)(x+1)(x+2)……(x+n)f(x)xg(x)f′(x)g(x)+xg′(x)f′(0)g(0)+0·g′(0)g(0)1·2·…nn
答案：n
三5解：设lC1相切点P(x1x12)C2相切Q(x2－(x2－2)2)
C1：y′2xC1相切点P切线方程
y－x122x1(x－x1)y2x1x－x12 ①
C2：y′－2(x－2)C2相切点Q切线方程y+(x2－2)2－2(x2－2)(x－x2)y－2(x2－2)x+x22－4 ②
∵两切线重合∴2x1－2(x2－2)－x12x22－4解x10x22x12x20
∴直线l方程y0y4x－4
6解：(1)注意y＞0两端取数
lnyln(x2－2x+3)+lne2xln(x2－2x+3)+2x
(2)两端取数
ln|y|(ln|x|－ln|1－x|)
两边解x求导
7解：设时间t秒梯子端滑s米s5－端移开14 m时t0s′－ (25－9t2)·(－9·2t)9ts′(t0)9×0875(ms)
8解：(1)x1时Sn12+22+32+…+n2n(n+1)(2n+1)x≠1时1+2x+3x2+…+nxn1两边x
x+2x2+3x2+…+nxn两边x求导
Sn12+22x2+32x2+…+n2xn1
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