第22届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
O1
O2
O
A
B
P1
P2
q
q
1．图示设滑块出发点离开点题意求竖直方夹角相等设离开滑道时速度v滑块处脱离滑道条件
(1)
机械守恒
(2)
(1)(2)联立解
(3)
2．设滑块刚O点离开滑道条件
（4）
v0滑块达O点速度
（5）
设达O点速度v0滑块滑道OA出发点连线竖直夹角机械守恒
（6）
（5）（6）两式解
（7）
滑块达O点时速度OB滑道说O点提供心力mg滑块半径R圆周水切线方离开O点．滑块OA出发点位置应角必根机械守恒达O点速度
（8）
知O点离开滑道滑块速度v0间值说滑滑块O点离开滑道．速度v0O点水方滑出滑道滑块落水点距离
（9）
（10）
（5）（9）（10）式
（11）
滑块O点水方滑出滑道时落水点距离
（12）
（8）（10）（12）式
（13）
O点脱离滑道滑块落水点距离间值．
（14）
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二1．静电感应知空腔123表面分出现 电量面电荷电荷守恒定律知导体球外表面呈现出电量 ．静电屏蔽知点电荷q1感应电荷（）空腔外产生电场零点电荷q2感应电荷（ ）空腔外产生电场零点电荷q3感应电荷（ ）空腔外产生电场零．导体球外没电荷时球表面电量作球称分布．
球外P点处放置电荷Q静电感应球面总电量电荷球面均匀分布球外Q重新分布球面电荷导体球点产生合场强零．
O3处电势位P点处Q导体球表面电荷空腔3表面感应电荷（）产生．球面分布球面面电荷O点距离RO点产生电势 QO点产生电势两部分电荷O3点产生电势O点产生电势相等
（1）
q3放空腔3中心处感应电荷空腔3壁均匀分布．电荷O3点产生电势
(2)
根电势叠加定理O3点电势
(3)
q3电势
(4)
2． 静电屏蔽空腔1外电荷空腔1产生合电场零空腔1电荷q1仅受腔壁感应电荷静电力作q1空腔1中心O1点感应电荷空腔表面分布均匀q1相距较区域电荷面密度较q1吸力较空腔表面感应电荷静电力作q1达空腔1表面感应电荷中．理空腔2中q2空腔表面感应电荷静电力作达空腔2表面感应电荷中．达衡腔12表面电荷分布腔3表面导体球外表面电荷分布没变化．O3电势球外电荷Q导体球外表面电量空腔3壁电荷产生O3处电势Uq3电势W(3)式(4)式示．
三答案图示．
a
b
d
Q
T
T0
tanq2
q1
q2
附计算程：
电阻通电气体缓慢加热气体温度升高压强增活塞开始外运动趋势气体活塞作力尚未达外界气活塞作力器壁活塞静摩擦前活塞动该程等容程．气体外做功根热力学第定律知气体温度
T0升高T程中气体电阻丝吸收热量
(1)
程持续气体活塞作力等外界气活塞作力器壁活塞静摩擦．T1表示程达末态温度p表示末态压强Q1表示程中气体电阻丝吸收热量等容程方程
(2)
力衡知
(3)
（2）（3）两式
(4)
代入(1)式
(5)
讨知时TQ关系
(6)
图中直线图中示斜率
(7)
直线T轴截距等T0直线ab终点b坐标（T1Q1）．
电阻丝继续加热活塞开始外运动程缓慢外界气压摩擦力皆变气体压强变p气体历程等压程．气体体积初始体积V0增V温度T1升高T程中设气体电阻丝吸收热量活塞运动程中器壁摩擦生热半热量q热力学第定律知
(8)
q摩擦力做功求
(9)
代入（8）式
(10)
状态方程式知
(11)
（11）式（4）式代入（10）式
（12）
开始气体加热气体温度升高T( >T1)程中气体电阻丝吸收总热量
（13）
（13）式代入（12）式注意（4）式（5）
（14）
知时TQ关系直线直线起点坐标斜率
（15）
图中直线bd热量Q零开始逐渐增气体温度T 起始温度T0着斜率Kab直线升温度T1b点然着斜率Kbd直线升图示．
r
R
l
L
S
四1．相车厢参考系面连挡板速度v趋光源S运动．S发出光孔射出成锥形光束离开光源距离增横截面积逐渐扩．距S距离L处光束横截面正半径R圆面图示
(1)
设想车厢足够长设想车厢前端距SL处放置半径R环相车厢静止光束恰环射出．挡板运动环相遇时挡板会光束完全遮住．时车厢参考系中挡板离光源S距离L．车厢参考系中初始时根相挡板离光源距离
(2)
出现挡板完全遮住光束时刻
(3)
（1）（3）式
(4)
2．相面参考系光源车厢速度v挡板运动．光源孔间距离缩短
(5)
孔半径r变锥形光束顶角变环S距离挡板完全遮光时距离应
(6)
初始时挡板离S距离xA出现挡板完全遮住光束时刻
(7)
五半径分r1（>a1）r2…ri…rn–1（
式中已略高阶量．该细圆环带表面带电荷量
设时刻t细圆环转动角速度w
单位时间通横截面电荷量电流
环形电流产生磁场规律该细圆环电流环心产生磁感应强度
(1)
式中微量注意
(2)
细圆环产生磁场叠加（1）（2）式出环心O点处磁感应强度：
(3)
a0< (4)
变化述磁通量时间变化产生感应电动势
(5)
全电路欧姆定律知导线环感应电流
(6)
M
N
Q
q
Dq
Df
Dfx
Dfy
x
y
O
Dx
Dy
Dl
Df
Dfx
Dfy
Dl
U
V
设题图中薄圆环带正电作逆时针旋转穿导线圆环磁场方垂直纸面外薄圆环环作减角速转动穿导线圆环磁场逐渐减根楞次定律导线圆环中感应电流逆时针方导线圆环元段Dl受安培力环半径外．现取y轴两称点UV应二段电流元受安培力
(7)
方图示xy方分量分
(8)
(9)
根称性作半导线圆环QMN电流元安培力x分量相互抵消
(10)
（式中时正时负）
作半导线圆环QMN电流元安培力y分量
(11)
（式中q 0~p间正）
半导线圆环受总安培力方y正方半圆环处衡状态导线截面QN处受（外半圆环）拉力（张力）F应满足．（3）（6）两式
(12)
（12）式见张力F时间t线性减．
A(t1)
B(t)
qB(t)
A(t)
vB
vA
O
qA(t1)
六图示t时刻汽车B位处距O点距离vBt．时传播汽车B笛声t时刻较早时刻t1A车发出．汽车A发出笛声时位处距O点距离．笛声发出点接收点（t时刻B车点）传播路程u(t–t1)关系知
(1)
t1变量元二次方程解
t1< t式中取减号
(2)
(3)
令
(4)
(5)
时刻位处汽车A发出笛声直线（波线）t时刻传处分表示车速笛声传播方夹角
(6)
(7)
令n 表示B车司机接收笛声频率普勒效应知
(8)
（6）（7）（8）式
(9)
七解法：
A
B
k
x
O
l
C
球AB弹簧构成系统AB间距离l时已知mA mmB 2m质心定义知系统质心C离A距离
（1）
AB质心C距离分
（2）
质心C参考系（质心系）质心C固定动连接AB弹簧分成两弹簧CACB．设弹簧CA然长度lA0劲度系数kA端球A相连端固定C点弹簧CB然长度lB0劲度系数kB端球B相连端固定C点．连接AB然长度l0根题意
（3）
（2）式知弹簧CACB然长度分
（4）
A悬挂系统处静止时已知连接AB弹簧长度l（2）式知时弹簧CACB长度分
（5）
弹簧CACB作AB弹簧力分
fA fB连接AB弹簧拉伸产生弹力f
（6）
相面质心C运动t 0 时刻细线刚烧断时刻A位Ox轴原点O处B坐标．（1）式知时质心C坐标
（7）
细线烧断作系统外力重力．质心g加速度做匀加速直线运动意时刻t质心坐标
（8）
质心作加速运动质心系非惯性系．非惯性参考系中应牛顿第二定律研究物体运动时物体受真实力作外受惯性力作．质心系中取坐标轴原点质心C固连取竖直轴正方球B参考系中坐标时弹簧CB作B弹性力
时方竖直．外B受重力mg方竖直惯性力mg方竖直．作B合力
（3）（4）式
（9）
令
（10）
（11）
XB 0作B合力FB 0B处衡状态（10）式知质心系中B衡位置坐标
（12）
XBB离开衡位置位移（11）式表明作B合力具弹性力性质FB作 B衡位置附作简谐振动振动圆频率
（13）
离开衡位置位移
（14）
AB振幅初相位．t 0时刻细线刚烧断时刻B静止时B离开衡位置距离简谐振动振幅ABt 0时刻B离开质心距离（5）式出lBB离开衡位置距离振幅
（5）式（12）式
（15）
t 0XB ABXB正
（16）
（10）式t时刻B质心系中坐标
（17）
面参考系坐标
（18）
（19）
理球A质心系中坐标时注意负时弹簧CA伸长量
负时弹力正正时弹力负
作A合力
令
XA0作A合力FB 0A处衡状态A衡位置坐标
（20）
XAA离开衡位置位移合力FA作 A衡位置附作简谐振动振动圆频率
（21）
离开衡位置位置
AA振幅初相位．t 0时刻细线刚烧断时刻A静止A离开质心C距离lAA衡位置离开质心距离时A离开衡位置距离振幅AA
时
（22）
时刻tA面参考系中坐标
解法二：
球相面参考系坐标时弹簧伸长量受合力
加速度
相质心加速度
中表示球相衡位置位移相互动两参考系中相位移参考系关．
式表明相质心球加速度相衡位置位移成正反．说球相质心作简谐振动．
理证
相质心加速度
中表示球相衡位置位移相质心球加速度相衡位置位移成正反球相质心作简谐振动．振动圆频率相等
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x1
x2
k
x
O
A
B
解法三：
面参考系中列AB牛顿定律方程
2
x1x2AB坐标l0弹簧然长．
时
初始时细线刚烧断时刻弹簧长度关系
+
令恒定加速度结合初始条件应坐标运动方程
A参考系描写B物体运动动力学方程简谐直接写出解答
结合初条件
+
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O1
O2
O
A
B
P1
P2
q
q
1．图示设滑块出发点离开点题意求竖直方夹角相等设离开滑道时速度v滑块处脱离滑道条件
(1)
机械守恒
(2)
(1)(2)联立解
(3)
2．设滑块刚O点离开滑道条件
（4）
v0滑块达O点速度
（5）
设达O点速度v0滑块滑道OA出发点连线竖直夹角机械守恒
（6）
（5）（6）两式解
（7）
滑块达O点时速度OB滑道说O点提供心力mg滑块半径R圆周水切线方离开O点．滑块OA出发点位置应角必根机械守恒达O点速度
（8）
知O点离开滑道滑块速度v0间值说滑滑块O点离开滑道．速度v0O点水方滑出滑道滑块落水点距离
（9）
（10）
（5）（9）（10）式
（11）
滑块O点水方滑出滑道时落水点距离
（12）
（8）（10）（12）式
（13）
O点脱离滑道滑块落水点距离间值．
（14）
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二1．静电感应知空腔123表面分出现 电量面电荷电荷守恒定律知导体球外表面呈现出电量 ．静电屏蔽知点电荷q1感应电荷（）空腔外产生电场零点电荷q2感应电荷（ ）空腔外产生电场零点电荷q3感应电荷（ ）空腔外产生电场零．导体球外没电荷时球表面电量作球称分布．
球外P点处放置电荷Q静电感应球面总电量电荷球面均匀分布球外Q重新分布球面电荷导体球点产生合场强零．
O3处电势位P点处Q导体球表面电荷空腔3表面感应电荷（）产生．球面分布球面面电荷O点距离RO点产生电势 QO点产生电势两部分电荷O3点产生电势O点产生电势相等
（1）
q3放空腔3中心处感应电荷空腔3壁均匀分布．电荷O3点产生电势
(2)
根电势叠加定理O3点电势
(3)
q3电势
(4)
2． 静电屏蔽空腔1外电荷空腔1产生合电场零空腔1电荷q1仅受腔壁感应电荷静电力作q1空腔1中心O1点感应电荷空腔表面分布均匀q1相距较区域电荷面密度较q1吸力较空腔表面感应电荷静电力作q1达空腔1表面感应电荷中．理空腔2中q2空腔表面感应电荷静电力作达空腔2表面感应电荷中．达衡腔12表面电荷分布腔3表面导体球外表面电荷分布没变化．O3电势球外电荷Q导体球外表面电量空腔3壁电荷产生O3处电势Uq3电势W(3)式(4)式示．
三答案图示．
a
b
d
Q
T
T0
tanq2
q1
q2
附计算程：
电阻通电气体缓慢加热气体温度升高压强增活塞开始外运动趋势气体活塞作力尚未达外界气活塞作力器壁活塞静摩擦前活塞动该程等容程．气体外做功根热力学第定律知气体温度
T0升高T程中气体电阻丝吸收热量
(1)
程持续气体活塞作力等外界气活塞作力器壁活塞静摩擦．T1表示程达末态温度p表示末态压强Q1表示程中气体电阻丝吸收热量等容程方程
(2)
力衡知
(3)
（2）（3）两式
(4)
代入(1)式
(5)
讨知时TQ关系
(6)
图中直线图中示斜率
(7)
直线T轴截距等T0直线ab终点b坐标（T1Q1）．
电阻丝继续加热活塞开始外运动程缓慢外界气压摩擦力皆变气体压强变p气体历程等压程．气体体积初始体积V0增V温度T1升高T程中设气体电阻丝吸收热量活塞运动程中器壁摩擦生热半热量q热力学第定律知
(8)
q摩擦力做功求
(9)
代入（8）式
(10)
状态方程式知
(11)
（11）式（4）式代入（10）式
（12）
开始气体加热气体温度升高T( >T1)程中气体电阻丝吸收总热量
（13）
（13）式代入（12）式注意（4）式（5）
（14）
知时TQ关系直线直线起点坐标斜率
（15）
图中直线bd热量Q零开始逐渐增气体温度T 起始温度T0着斜率Kab直线升温度T1b点然着斜率Kbd直线升图示．
r
R
l
L
S
四1．相车厢参考系面连挡板速度v趋光源S运动．S发出光孔射出成锥形光束离开光源距离增横截面积逐渐扩．距S距离L处光束横截面正半径R圆面图示
(1)
设想车厢足够长设想车厢前端距SL处放置半径R环相车厢静止光束恰环射出．挡板运动环相遇时挡板会光束完全遮住．时车厢参考系中挡板离光源S距离L．车厢参考系中初始时根相挡板离光源距离
(2)
出现挡板完全遮住光束时刻
(3)
（1）（3）式
(4)
2．相面参考系光源车厢速度v挡板运动．光源孔间距离缩短
(5)
孔半径r变锥形光束顶角变环S距离挡板完全遮光时距离应
(6)
初始时挡板离S距离xA出现挡板完全遮住光束时刻
(7)
五半径分r1（>a1）r2…ri…rn–1（
式中已略高阶量．该细圆环带表面带电荷量
设时刻t细圆环转动角速度w
单位时间通横截面电荷量电流
环形电流产生磁场规律该细圆环电流环心产生磁感应强度
(1)
式中微量注意
(2)
细圆环产生磁场叠加（1）（2）式出环心O点处磁感应强度：
(3)
a0<
变化述磁通量时间变化产生感应电动势
(5)
全电路欧姆定律知导线环感应电流
(6)
M
N
Q
q
Dq
Df
Dfx
Dfy
x
y
O
Dx
Dy
Dl
Df
Dfx
Dfy
Dl
U
V
设题图中薄圆环带正电作逆时针旋转穿导线圆环磁场方垂直纸面外薄圆环环作减角速转动穿导线圆环磁场逐渐减根楞次定律导线圆环中感应电流逆时针方导线圆环元段Dl受安培力环半径外．现取y轴两称点UV应二段电流元受安培力
(7)
方图示xy方分量分
(8)
(9)
根称性作半导线圆环QMN电流元安培力x分量相互抵消
(10)
（式中时正时负）
作半导线圆环QMN电流元安培力y分量
(11)
（式中q 0~p间正）
半导线圆环受总安培力方y正方半圆环处衡状态导线截面QN处受（外半圆环）拉力（张力）F应满足．（3）（6）两式
(12)
（12）式见张力F时间t线性减．
A(t1)
B(t)
qB(t)
A(t)
vB
vA
O
qA(t1)
六图示t时刻汽车B位处距O点距离vBt．时传播汽车B笛声t时刻较早时刻t1A车发出．汽车A发出笛声时位处距O点距离．笛声发出点接收点（t时刻B车点）传播路程u(t–t1)关系知
(1)
t1变量元二次方程解
t1< t式中取减号
(2)
(3)
令
(4)
(5)
时刻位处汽车A发出笛声直线（波线）t时刻传处分表示车速笛声传播方夹角
(6)
(7)
令n 表示B车司机接收笛声频率普勒效应知
(8)
（6）（7）（8）式
(9)
七解法：
A
B
k
x
O
l
C
球AB弹簧构成系统AB间距离l时已知mA mmB 2m质心定义知系统质心C离A距离
（1）
AB质心C距离分
（2）
质心C参考系（质心系）质心C固定动连接AB弹簧分成两弹簧CACB．设弹簧CA然长度lA0劲度系数kA端球A相连端固定C点弹簧CB然长度lB0劲度系数kB端球B相连端固定C点．连接AB然长度l0根题意
（3）
（2）式知弹簧CACB然长度分
（4）
A悬挂系统处静止时已知连接AB弹簧长度l（2）式知时弹簧CACB长度分
（5）
弹簧CACB作AB弹簧力分
fA fB连接AB弹簧拉伸产生弹力f
（6）
相面质心C运动t 0 时刻细线刚烧断时刻A位Ox轴原点O处B坐标．（1）式知时质心C坐标
（7）
细线烧断作系统外力重力．质心g加速度做匀加速直线运动意时刻t质心坐标
（8）
质心作加速运动质心系非惯性系．非惯性参考系中应牛顿第二定律研究物体运动时物体受真实力作外受惯性力作．质心系中取坐标轴原点质心C固连取竖直轴正方球B参考系中坐标时弹簧CB作B弹性力
时方竖直．外B受重力mg方竖直惯性力mg方竖直．作B合力
（3）（4）式
（9）
令
（10）
（11）
XB 0作B合力FB 0B处衡状态（10）式知质心系中B衡位置坐标
（12）
XBB离开衡位置位移（11）式表明作B合力具弹性力性质FB作 B衡位置附作简谐振动振动圆频率
（13）
离开衡位置位移
（14）
AB振幅初相位．t 0时刻细线刚烧断时刻B静止时B离开衡位置距离简谐振动振幅ABt 0时刻B离开质心距离（5）式出lBB离开衡位置距离振幅
（5）式（12）式
（15）
t 0XB ABXB正
（16）
（10）式t时刻B质心系中坐标
（17）
面参考系坐标
（18）
（19）
理球A质心系中坐标时注意负时弹簧CA伸长量
负时弹力正正时弹力负
作A合力
令
XA0作A合力FB 0A处衡状态A衡位置坐标
（20）
XAA离开衡位置位移合力FA作 A衡位置附作简谐振动振动圆频率
（21）
离开衡位置位置
AA振幅初相位．t 0时刻细线刚烧断时刻A静止A离开质心C距离lAA衡位置离开质心距离时A离开衡位置距离振幅AA
时
（22）
时刻tA面参考系中坐标
解法二：
球相面参考系坐标时弹簧伸长量受合力
加速度
相质心加速度
中表示球相衡位置位移相互动两参考系中相位移参考系关．
式表明相质心球加速度相衡位置位移成正反．说球相质心作简谐振动．
理证
相质心加速度
中表示球相衡位置位移相质心球加速度相衡位置位移成正反球相质心作简谐振动．振动圆频率相等
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x1
x2
k
x
O
A
B
解法三：
面参考系中列AB牛顿定律方程
2
x1x2AB坐标l0弹簧然长．
时
初始时细线刚烧断时刻弹簧长度关系
+
令恒定加速度结合初始条件应坐标运动方程
A参考系描写B物体运动动力学方程简谐直接写出解答
结合初条件
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