难点2 充条件判定
充分条件必条件充条件重数学概念区分命题条件p结q间关系节通知识点剖析充分必条件意义考生准确判定定两命题充关系
●难点磁场
(★★★★★)已知关x实系数二次方程x2+ax+b0两实数根αβ证明：|α|<2|β|<22|a|<4+b|b|<4充条件
●案例探究
［例1］已知p：|1－|≤2qx2－2x+1－m2≤0(m>0)⌐p⌐q必充分条件求实数m取值范围
命题意图：题含绝值等式元二次等式解法考查象时考查充分必条件四种命题中等价命题应强调知识点灵活性
知识托：题解题闪光点利等价命题题目文字表述方式进行转化考生充条件难理解变简单明
错解分析：四种命题充条件定义实质理解清晰解题难点否命题学生身存着语言理解困难
技巧方法：利等价命题先进行命题等价转化搞清晰命题中条件结关系解等式找解集间包含关系进问题解决
解：题意知：
命题：⌐p⌐q必充分条件等价命题逆否命题：pq充分必条件
p|1－|≤2－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10
qx2－2x+1－m2≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0 *
∵pq充分必条件
∴等式|1－|≤2解集x2－2x+1－m2≤0(m>0)解集子集
∵m>0
∴等式*解集1－m≤x≤1+m
∴∴m≥9
∴实数m取值范围［9+∞
［例2］已知数列{an}前n项Snpn+q(p≠0p≠1)求数列{an}等数列充条件
命题意图：题重点考查充条件概念考生解答充条件命题时思维严谨性
知识托：等数列判定线题闪光点抓住数列前n项通项间递推关系严格利定义判定
错解分析：题目求充条件充分性必性两层含义考生容易忽视充分性证明
技巧方法：an关系式寻找anan+1值时注意充分性证明
解：a1S1p+q
n≥2时anSn－Sn－1pn－1(p－1)
∵p≠0p≠1∴p
{an}等数列p
∴p
∵p≠0∴p－1p+q∴q－1
{an}等数列必条件
面证明q－1{an}等数列充分条件
q－1时∴Snpn－1(p≠0p≠1)a1S1p－1
n≥2时anSn－Sn－1pn－pn－1pn－1(p－1)
∴an(p－1)pn－1 (p≠0p≠1)
p常数
∴q－1时数列{an}等数列数列{an}等数列充条件q－1
●锦囊妙计
难点涉问题解决方法：
(1)理解充分条件必条件概念：pq形式命题真时记作pq称pq充分条件时称qp必条件判断充分条件必条件结判断命题真假
(2)理解充条件概念符号熟悉种义词语：等价仅必须需……反真等
(3)数学概念定义具相称性数学概念定义成充条件概念判断概念具性质
(4)集合观点ABAB充分条件BA必条件ABAB互充条件
(5)证明命题条件充性时证明原命题成立(条件充分性)证明逆命题成立(条件必性)
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)函数f(x)x|x+a|+b奇函数充条件( )
Aab0 Ba+b0 Cab Da2+b20
2(★★★★)a1函数ycos2ax－sin2ax正周期π( )
A充分必条件 B必充分条件
C充条件 D非充分条件必条件
二填空题
3(★★★★)a3直线ax+2y+3a0直线3x+(a－1)ya－7行重合_________
4(★★★★)命题A：两曲线F(xy)0G(xy)0相交点P(x0y0)命题B：曲线F(xy)+λG(xy)0(λ常数)点P(x0y0)AB__________条件
三解答题
5(★★★★★)设αβ方程x2－ax+b0两实根试分析a>2b>1两根αβ均1什条件？
6(★★★★★)已知数列{an}{bn}满足：bn求证：数列{an}成等差数列充条件数列{bn}等差数列
7(★★★★★)已知抛物线C：y－x2+mx－1点A(30)B(03)求抛物线C线段AB两交点充条件
8(★★★★★)p－2
参考答案
难点磁场
证明：(1）充分性：韦达定理|b||α·β||α|·|β|＜2×24
设f(x)x2+ax+bf(x)图象开口抛物线
|α|＜2|β|＜2∴f(±2)>0
4+b>2a>－(4+b)
|b|＜44+b>02|a|＜4+b
(2)必性：
2|a|＜4+bf(±2)>0f(x)图象开口抛物线
∴方程f(x)0两根αβ(－22）实根
∵αβ方程f(x)0实根
∴αβ(－22）|α|＜2|β|＜2
歼灭难点训练
1解析：a2+b20ab0时f(－x)(－x)|x+0|+0－x·|x|－(x|x+0|+b)
－(x|x+a|+b)－f(x)
∴a2+b20f(x)奇函数充分条件f(x)x|x+a|+b奇函数f(－x)
(－x)|(－x)+a|+b－f(x)必ab0a2+b20
∴a2+b20f(x)奇函数必条件
答案：D
2解析：a1ycos2x－sin2xcos2x时y正周期πa1充分条件反ycos2ax－sin2axcos2ax函数y正周期πa±1a1必条件
答案：A
二3解析：a3时直线l13x+2y+90直线l23x+2y+40∵l1l2A1∶A2B1∶B21∶1C1∶C29∶4≠1C1≠C2∴a3l1∥l2
答案：充条件
4解析：P(x0y0)F(xy)0G(xy)0交点F(x0y0)+λG(x0y0)0F(xy)+λG(xy)0P(x0y0)反成立
答案：充分必
三5解：根韦达定理aα+βbαβ判定条件p结q(注意p中ab满足前提Δa2－4b≥0)
(1)aα+β>2bαβ>1∴qp
(2)证明pq举出反例：取α4β满足aα+β4+>2bαβ4×2>1q成立
综讨知a>2b>1α>1β>1必充分条件
6证明：①必性：
设{an}成等差数列公差d∵{an}成等差数列
bn+1－bna1+n·d－a1－(n－1) dd常数
{bn}等差数列公差d
②充分性
设{bn}等差数列公差d′bn(n－1)d′
∵bn(1+2+…+n)a1+2a2+…+nan ①
bn－1(1+2+…+n－1)a1+2a2+…+(n－1)an ②
①－②：nanbn－1
∴anan+1－and′常数{an}等差数列
综述数列{an}成等差数列充条件数列{bn}等差数列
7解：①必性：
已知线段AB方程y－x+3(0≤x≤3)
抛物线C线段AB两交点
方程组*两实数解
消元：x2－(m+1)x+40(0≤x≤3)
设f(x)x2－(m+1)x+4
②充分性：
3＜x≤时
x1>0
∴方程x2－(m+1)x+40两等实根x1x20＜x1＜x2≤3方程组*两组实数解
抛物线y－x2+mx－1线段AB两交点充条件3＜m≤
8解：关x方程x2+mx+n021正根设x1x2
0＜x1＜10＜x2＜10＜x1+x2＜20＜x1x2＜1
根韦达定理：
－2＜m＜00＜n＜1qp
反取m－＜0
方程x2+mx+n0实根pq
综述pq必充分条件
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充分条件必条件充条件重数学概念区分命题条件p结q间关系节通知识点剖析充分必条件意义考生准确判定定两命题充关系
●难点磁场
(★★★★★)已知关x实系数二次方程x2+ax+b0两实数根αβ证明：|α|<2|β|<22|a|<4+b|b|<4充条件
●案例探究
［例1］已知p：|1－|≤2qx2－2x+1－m2≤0(m>0)⌐p⌐q必充分条件求实数m取值范围
命题意图：题含绝值等式元二次等式解法考查象时考查充分必条件四种命题中等价命题应强调知识点灵活性
知识托：题解题闪光点利等价命题题目文字表述方式进行转化考生充条件难理解变简单明
错解分析：四种命题充条件定义实质理解清晰解题难点否命题学生身存着语言理解困难
技巧方法：利等价命题先进行命题等价转化搞清晰命题中条件结关系解等式找解集间包含关系进问题解决
解：题意知：
命题：⌐p⌐q必充分条件等价命题逆否命题：pq充分必条件
p|1－|≤2－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10
qx2－2x+1－m2≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0 *
∵pq充分必条件
∴等式|1－|≤2解集x2－2x+1－m2≤0(m>0)解集子集
∵m>0
∴等式*解集1－m≤x≤1+m
∴∴m≥9
∴实数m取值范围［9+∞
［例2］已知数列{an}前n项Snpn+q(p≠0p≠1)求数列{an}等数列充条件
命题意图：题重点考查充条件概念考生解答充条件命题时思维严谨性
知识托：等数列判定线题闪光点抓住数列前n项通项间递推关系严格利定义判定
错解分析：题目求充条件充分性必性两层含义考生容易忽视充分性证明
技巧方法：an关系式寻找anan+1值时注意充分性证明
解：a1S1p+q
n≥2时anSn－Sn－1pn－1(p－1)
∵p≠0p≠1∴p
{an}等数列p
∴p
∵p≠0∴p－1p+q∴q－1
{an}等数列必条件
面证明q－1{an}等数列充分条件
q－1时∴Snpn－1(p≠0p≠1)a1S1p－1
n≥2时anSn－Sn－1pn－pn－1pn－1(p－1)
∴an(p－1)pn－1 (p≠0p≠1)
p常数
∴q－1时数列{an}等数列数列{an}等数列充条件q－1
●锦囊妙计
难点涉问题解决方法：
(1)理解充分条件必条件概念：pq形式命题真时记作pq称pq充分条件时称qp必条件判断充分条件必条件结判断命题真假
(2)理解充条件概念符号熟悉种义词语：等价仅必须需……反真等
(3)数学概念定义具相称性数学概念定义成充条件概念判断概念具性质
(4)集合观点ABAB充分条件BA必条件ABAB互充条件
(5)证明命题条件充性时证明原命题成立(条件充分性)证明逆命题成立(条件必性)
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)函数f(x)x|x+a|+b奇函数充条件( )
Aab0 Ba+b0 Cab Da2+b20
2(★★★★)a1函数ycos2ax－sin2ax正周期π( )
A充分必条件 B必充分条件
C充条件 D非充分条件必条件
二填空题
3(★★★★)a3直线ax+2y+3a0直线3x+(a－1)ya－7行重合_________
4(★★★★)命题A：两曲线F(xy)0G(xy)0相交点P(x0y0)命题B：曲线F(xy)+λG(xy)0(λ常数)点P(x0y0)AB__________条件
三解答题
5(★★★★★)设αβ方程x2－ax+b0两实根试分析a>2b>1两根αβ均1什条件？
6(★★★★★)已知数列{an}{bn}满足：bn求证：数列{an}成等差数列充条件数列{bn}等差数列
7(★★★★★)已知抛物线C：y－x2+mx－1点A(30)B(03)求抛物线C线段AB两交点充条件
8(★★★★★)p－2
参考答案
难点磁场
证明：(1）充分性：韦达定理|b||α·β||α|·|β|＜2×24
设f(x)x2+ax+bf(x)图象开口抛物线
|α|＜2|β|＜2∴f(±2)>0
4+b>2a>－(4+b)
|b|＜44+b>02|a|＜4+b
(2)必性：
2|a|＜4+bf(±2)>0f(x)图象开口抛物线
∴方程f(x)0两根αβ(－22）实根
∵αβ方程f(x)0实根
∴αβ(－22）|α|＜2|β|＜2
歼灭难点训练
1解析：a2+b20ab0时f(－x)(－x)|x+0|+0－x·|x|－(x|x+0|+b)
－(x|x+a|+b)－f(x)
∴a2+b20f(x)奇函数充分条件f(x)x|x+a|+b奇函数f(－x)
(－x)|(－x)+a|+b－f(x)必ab0a2+b20
∴a2+b20f(x)奇函数必条件
答案：D
2解析：a1ycos2x－sin2xcos2x时y正周期πa1充分条件反ycos2ax－sin2axcos2ax函数y正周期πa±1a1必条件
答案：A
二3解析：a3时直线l13x+2y+90直线l23x+2y+40∵l1l2A1∶A2B1∶B21∶1C1∶C29∶4≠1C1≠C2∴a3l1∥l2
答案：充条件
4解析：P(x0y0)F(xy)0G(xy)0交点F(x0y0)+λG(x0y0)0F(xy)+λG(xy)0P(x0y0)反成立
答案：充分必
三5解：根韦达定理aα+βbαβ判定条件p结q(注意p中ab满足前提Δa2－4b≥0)
(1)aα+β>2bαβ>1∴qp
(2)证明pq举出反例：取α4β满足aα+β4+>2bαβ4×2>1q成立
综讨知a>2b>1α>1β>1必充分条件
6证明：①必性：
设{an}成等差数列公差d∵{an}成等差数列
bn+1－bna1+n·d－a1－(n－1) dd常数
{bn}等差数列公差d
②充分性
设{bn}等差数列公差d′bn(n－1)d′
∵bn(1+2+…+n)a1+2a2+…+nan ①
bn－1(1+2+…+n－1)a1+2a2+…+(n－1)an ②
①－②：nanbn－1
∴anan+1－and′常数{an}等差数列
综述数列{an}成等差数列充条件数列{bn}等差数列
7解：①必性：
已知线段AB方程y－x+3(0≤x≤3)
抛物线C线段AB两交点
方程组*两实数解
消元：x2－(m+1)x+40(0≤x≤3)
设f(x)x2－(m+1)x+4
②充分性：
3＜x≤时
x1>0
∴方程x2－(m+1)x+40两等实根x1x20＜x1＜x2≤3方程组*两组实数解
抛物线y－x2+mx－1线段AB两交点充条件3＜m≤
8解：关x方程x2+mx+n021正根设x1x2
0＜x1＜10＜x2＜10＜x1+x2＜20＜x1x2＜1
根韦达定理：
－2＜m＜00＜n＜1qp
反取m－＜0
方程x2+mx+n0实根pq
综述pq必充分条件
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