三维非定常NS方程计算公式备忘
2012
． 直角坐标系方程
11直角坐标系中守恒形式原始NS方程：
中：
分密度三方速度压强单位体积温度单位质量总分层流粘性系数湍流粘性系数层流热传导系数湍流热传导系数
12量纲化
分物性参数分量纲化中流气体常数量纲化方程变：
中定义雷诺数湍流普朗特数般取09
注意：然现守恒变量（）形式没变化里面元素等量纲量
13物理空间变换计算空间
定义变换雅克矩阵行列式：
根链式法关系：
微分关系：
理：
计算中需计算空间坐标物理空间坐标偏导数通关系式：
注意：(1)般计算空间取等距网格令网格间距
网格单元体积(2)网格运动速度非动网格情况三项均0(3)计算空间等面法量单位法量(4)计算空间等面面积三方投影面积
面推导量纲守恒形式NS方程物理空间变换计算空间：
物理空间量纲方程两边时考查非定常项：
：非定常项加式整理：
根面已微分关系证明式面方括号等0：
粘项粘性项通类似整理变换计算空间微分形式守恒方程：
中：
具体：
中逆变速度：
描述计算空间流体垂直等面相网格速度
粘性项原物理空间坐标导数相应变换计算空间坐标导数
采限体积法单元体进行体积分通高斯定理体积分转换成面积分微分形式守恒方程：
中：
二． 时间推进
21双时间步法
引入虚拟时间方程变：
时间步推进程中时方程原积分形式NS方程非变形网格单元体积变（重叠动网格时间推进程中单元体积变）体积提微分前式时间项离散应双时间步写成：
中空间项整体隐式处理移右边式中分控制虚拟时间离散真实时间离散精度子分虚拟时间步长真实时间步长单元体积真实时间步里(实际执行程中需子迭代收敛)式整理变
般说子迭代收敛取样虚拟时间层阶精度真实时间层具二阶精度式方程简化：
式中虚拟时间步长
22子迭代初值启动时间步选取
子迭代初值确定值两种方法供选择：第选具二阶精度第二选具阶精度第种方法需时间层数值稍复杂子迭代需收敛般选第二种方法
启动问题刚开始计算时定初始流场(定例应t0)果双时间步求(例应)需知道(例应t0)(例应)利双时间步述公式计算获般两种解决途径：第种低精度格式（阶格式）算出双时间步公式时间推进第二直接简单没特精度求时般第二种方法
子迭代虚拟时间步真实时间步选取目前没统严格公式Jameson建议子迭代时间步取：
中单元体积三方雅克矩阵谱半径子迭代库朗数真实时间步长
根赵慧勇博士文中分析子迭代采隐式子迭代时间步长没限制真实时间步长限制子迭代CFL数1时：
时应CFL075般根计算验真实时间步长取量级
三． 粘通量
通时间推进讨空间离散隐式处理增强格式健壮性面讨中粘项线化离散通量计算
31线化处理
粘通量写成
采StegerWarming分裂线化处理方例(注意省略标jk)：
分裂：
线化：
理两方线化：
中粘通量雅克矩阵正负特征值分裂矩阵具体方例：
式中：U逆变速度热方需式中换成
矩阵A五特征值分：
中声速A谱半径定义
求法般两种：第严格特征值特征矩阵求解中分左右特征矩阵具体值参见谢昱飞博士文附录1第二增强角占优谱半径求正负雅克矩阵：
中增强角占优作常数子般取采粘性隐式时取第种方法表达式太复杂般第二种方法求正负雅克矩阵满足计算求
32离散
离散粘项部分：
33通量计算
粘通量计算特心CFD中发展许格式针粘通量提出里基MUSCL插值重构推进方法分两步进行：第步单元中心流场变量通MUSCL插值单元界面第二步单元界面插值流场变量值通种格式StegerWarming Van Leer AUSM RoeLDFSS等求通量面分叙述
第步：
防止激波附振荡采带VanAlbada限制器MUSCL插值：
式中控制插值精度常数子般取MUSCL插值具3阶精度VanAlbada限制器具体形式：
量般取注意处插值守恒变量原始变量特征变量里原始变量插值第步完成：
第二步：
里介绍StegerWarming格式第步求插值中左极限(L)应(+)右极限(R)应()
式中：单位法量声速热防止声速点连续微引起振荡采
修正中取量
四． 粘性通量
粘性通量隐式处理增强算法稳定性三方线化处理：
计算方便保留粘性雅克矩阵特征值赵慧勇博士文附录1中出特征值(i方例)：
中S等i面面积vol单元体积定容热粘性雅克矩阵表达成：
中单位矩阵
粘性通量计算没特处理般中心差分
粘性项离散结果：
空间离散合：
五． LUSGS
面处理粘项粘性项雅克矩阵
根面分析粘项雅克矩阵：
粘性项雅克矩阵：
：
重新定义记号(记号部分)：
中分粘通量方雅克矩阵应谱半径分粘性通量方雅克矩阵特征值单位阵
新记号表示成：
离散NS方程变成：
注意式等号左边标m表示m时间层量计算谱半径特征值
方便说明LUSGS方法离散NS方程项简记：
方程变：
述方程左似分解：
分两步求解第步：
求出
第二步：
求出
六． 边界条件
采两层虚拟网格图示：
中点网格单元虚拟单元
61流
超声速流固定流条件
亚声速流根情况区
62 Euler固壁称边界
密度压强镜相等速度称处理具体：
假设述图示网格方速度处理：
中：单位法量网格运动速度
63 NS固壁
密度镜相等压强镜相等（法零压力梯度）壁面速度网格速度开拓点速度通壁面点外插具体：
固壁速度：虚拟单元速度：
64等温壁绝热壁
绝热壁：
等温壁设壁温：
65出口边界
超声速出口虚拟单元原始变量通点阶外推亚声速出口定压力出口原始变量通点阶外推
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2012
． 直角坐标系方程
11直角坐标系中守恒形式原始NS方程：
中：
分密度三方速度压强单位体积温度单位质量总分层流粘性系数湍流粘性系数层流热传导系数湍流热传导系数
12量纲化
分物性参数分量纲化中流气体常数量纲化方程变：
中定义雷诺数湍流普朗特数般取09
注意：然现守恒变量（）形式没变化里面元素等量纲量
13物理空间变换计算空间
定义变换雅克矩阵行列式：
根链式法关系：
微分关系：
理：
计算中需计算空间坐标物理空间坐标偏导数通关系式：
注意：(1)般计算空间取等距网格令网格间距
网格单元体积(2)网格运动速度非动网格情况三项均0(3)计算空间等面法量单位法量(4)计算空间等面面积三方投影面积
面推导量纲守恒形式NS方程物理空间变换计算空间：
物理空间量纲方程两边时考查非定常项：
：非定常项加式整理：
根面已微分关系证明式面方括号等0：
粘项粘性项通类似整理变换计算空间微分形式守恒方程：
中：
具体：
中逆变速度：
描述计算空间流体垂直等面相网格速度
粘性项原物理空间坐标导数相应变换计算空间坐标导数
采限体积法单元体进行体积分通高斯定理体积分转换成面积分微分形式守恒方程：
中：
二． 时间推进
21双时间步法
引入虚拟时间方程变：
时间步推进程中时方程原积分形式NS方程非变形网格单元体积变（重叠动网格时间推进程中单元体积变）体积提微分前式时间项离散应双时间步写成：
中空间项整体隐式处理移右边式中分控制虚拟时间离散真实时间离散精度子分虚拟时间步长真实时间步长单元体积真实时间步里(实际执行程中需子迭代收敛)式整理变
般说子迭代收敛取样虚拟时间层阶精度真实时间层具二阶精度式方程简化：
式中虚拟时间步长
22子迭代初值启动时间步选取
子迭代初值确定值两种方法供选择：第选具二阶精度第二选具阶精度第种方法需时间层数值稍复杂子迭代需收敛般选第二种方法
启动问题刚开始计算时定初始流场(定例应t0)果双时间步求(例应)需知道(例应t0)(例应)利双时间步述公式计算获般两种解决途径：第种低精度格式（阶格式）算出双时间步公式时间推进第二直接简单没特精度求时般第二种方法
子迭代虚拟时间步真实时间步选取目前没统严格公式Jameson建议子迭代时间步取：
中单元体积三方雅克矩阵谱半径子迭代库朗数真实时间步长
根赵慧勇博士文中分析子迭代采隐式子迭代时间步长没限制真实时间步长限制子迭代CFL数1时：
时应CFL075般根计算验真实时间步长取量级
三． 粘通量
通时间推进讨空间离散隐式处理增强格式健壮性面讨中粘项线化离散通量计算
31线化处理
粘通量写成
采StegerWarming分裂线化处理方例(注意省略标jk)：
分裂：
线化：
理两方线化：
中粘通量雅克矩阵正负特征值分裂矩阵具体方例：
式中：U逆变速度热方需式中换成
矩阵A五特征值分：
中声速A谱半径定义
求法般两种：第严格特征值特征矩阵求解中分左右特征矩阵具体值参见谢昱飞博士文附录1第二增强角占优谱半径求正负雅克矩阵：
中增强角占优作常数子般取采粘性隐式时取第种方法表达式太复杂般第二种方法求正负雅克矩阵满足计算求
32离散
离散粘项部分：
33通量计算
粘通量计算特心CFD中发展许格式针粘通量提出里基MUSCL插值重构推进方法分两步进行：第步单元中心流场变量通MUSCL插值单元界面第二步单元界面插值流场变量值通种格式StegerWarming Van Leer AUSM RoeLDFSS等求通量面分叙述
第步：
防止激波附振荡采带VanAlbada限制器MUSCL插值：
式中控制插值精度常数子般取MUSCL插值具3阶精度VanAlbada限制器具体形式：
量般取注意处插值守恒变量原始变量特征变量里原始变量插值第步完成：
第二步：
里介绍StegerWarming格式第步求插值中左极限(L)应(+)右极限(R)应()
式中：单位法量声速热防止声速点连续微引起振荡采
修正中取量
四． 粘性通量
粘性通量隐式处理增强算法稳定性三方线化处理：
计算方便保留粘性雅克矩阵特征值赵慧勇博士文附录1中出特征值(i方例)：
中S等i面面积vol单元体积定容热粘性雅克矩阵表达成：
中单位矩阵
粘性通量计算没特处理般中心差分
粘性项离散结果：
空间离散合：
五． LUSGS
面处理粘项粘性项雅克矩阵
根面分析粘项雅克矩阵：
粘性项雅克矩阵：
：
重新定义记号(记号部分)：
中分粘通量方雅克矩阵应谱半径分粘性通量方雅克矩阵特征值单位阵
新记号表示成：
离散NS方程变成：
注意式等号左边标m表示m时间层量计算谱半径特征值
方便说明LUSGS方法离散NS方程项简记：
方程变：
述方程左似分解：
分两步求解第步：
求出
第二步：
求出
六． 边界条件
采两层虚拟网格图示：
中点网格单元虚拟单元
61流
超声速流固定流条件
亚声速流根情况区
62 Euler固壁称边界
密度压强镜相等速度称处理具体：
假设述图示网格方速度处理：
中：单位法量网格运动速度
63 NS固壁
密度镜相等压强镜相等（法零压力梯度）壁面速度网格速度开拓点速度通壁面点外插具体：
固壁速度：虚拟单元速度：
64等温壁绝热壁
绝热壁：
等温壁设壁温：
65出口边界
超声速出口虚拟单元原始变量通点阶外推亚声速出口定压力出口原始变量通点阶外推
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