观中学数学教材基题组成(部分概念介绍)高考试题部分源教
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教材例题题加工改造引申推广成仅试题表示方式语言表达
教材保持致考生种似相识感觉仔细琢磨教材题研究位结
合高考真题终独创题型
+
模型全新教学法篇中高考试题中常出现
教材体现部分二级结呈现家部分结学生解题指导作时演
算结果精准验证作学解答高考题时做准确快捷
结
子集数问题集合 A 含n(n∈N*)元素集合 A 子集
2
n 非空子集
2
n
1
真子集
2
n
1
非空真子集
2
n
2
理解A 子集
2
n 元素取舍理解例元素两种选择n 元素
2
n 种选择
例 1 设集合 A (xy)
x2
4 +
y2
161{}B (xy)|y3
x{} A∩B 子集数( )
A4 B3 C2 D1变式1
已知集合 A x|x2
3x+20x∈R{}B x|0
A1 B2 C3 D4
结二
子集关系问题A⊆B⇔A∩BA⇔A∪BB⇔A∩∁IB∅⇔∁IA∪BI中I 全集
(
1
) AB 时显然成立(
2
) A⫋B 时
Venn
图图
21
示结正确
图21
例 2 已知 MN 集合I 非空子集 MN 相等 N∩∁IM ∅ M ∪N( )
AMBNCID∅变式1
已知集合P x|x2
≤1
{}M {a}P∪M Pa 取值范围( )
A(∞1]B[1+∞)C[11]D(∞1]∪[1+∞)
变式2
设集合 A x|x2
6x+50
{}B x|ax10
{} A∩BB实数a 取值
组成集合C ( )
A11
5
{}B1
21
3
{}C011
5
{}D01
21
3
{}2
结三
交补(非)间关系(德·摩根定律)
(
1
)集合形式
∁I(A∩B)
∁IA()
∪ ∁IB()
∁I(A∪B)
∁IA()
∩ ∁IB()
(
2
)命题形式
(p∧q)
(
p)
∨
(
q)
(p∨q)
(
p)
∧
(
q)
例 3 设全集U{abcd}集合 A{ab}B{bcd}
∁UA()
∪ ∁UB()
变式1
全集U{123456}集合 M {23}N{14}集合{56}等( )
AM ∪NBM ∩N
C∁UM()
∪ ∁UN()
D∁UM()
∩ ∁UN()
变式2
已知全集UA∪B 中m 元素∁UA()
∪ ∁UB() 中n 元素A∩B 非空A∩B 元素
数( )
Amn Bm+n Cnm Dmn
结四
奇函数中值性质已知函数f(x)定义区间 D 奇函数意x∈D
f(x)
+f(
x)
0特
0∈Df f(
0
)
0奇函数f(x) Df 值f(x)
max+
f(x)
min0
证明f(x)奇函数
∀x∈D
x∈Df(
x)
f(x)f(x)
+f(
x)
0
0∈Df 令x0
f(
0
)
+f(
0
)
0
f(
0
)
0奇函数f(x) Df 值设
f(x)
maxf(x0
)f(x0
)
≥f(x)(x∈D)f(
x0
)
f(x0
)
≤f(x)
f(
x)(
x∈
D)f(x)
minf(
x0
)f(x0
)
+f(
x0
)
0
f(x)
max+f(x)
min0
例 4 设函数f(x)
(x+1)2
+sinx
x2
+1
值 M值 m M +m
变式1
设f(x)定义R奇函数x≥0
时f(x)2
x
+2x+b(b常数)f(1)( )
A3 B1 C1 D3
变式2
已知函数f(x)ln 1+9x2
3x() +1f(lg2)+f lg1
2
æ
è
ç ö
ø
÷
( )
A1 B0 C1 D2
结五
函数周期性问题已知定义 R函数f(x)意x∈R总存非零常数 T
f(x+T)
f(x)称f(x)周期函数T 周期周期函数定义外常见
周期函数关结
(
1
)果f(x+a)
f(x)(a≠0
)f(x)周期函数中周期T2|a|
(
2
)果f(x+a)
1f(x)(a≠0
)f(x)周期函数中周期T2|a|
(
3
)果f(x+a)
+f(x)
c(a≠0
)f(x)周期函数中周期T2|a|3
例 5 已知函数f(x)意实数x 满足f(x+2) 1f(x)f(3)5f(2017)
变式1
已知定义 R函数f(x)满足f x+3
2
æ
è
ç ö
ø
÷
f(x)f(2)f(1)1f(0)
2f(1)+f(2)+f(3)+…+f(10)+f(11)( )
A2 B1 C0 D1
结六
复合函数单调性问题已知函数yf g(x)[] 定义 D 函数f(x)g(x)单调性
相yf g(x)[] D 增函数f(x)g(x)单调性相反yf g(x)[] D
减函数增异减特f(x)定义域 D 单调函数方程f f(x)[]
x D
解x0
f(x0
)
x0
例 6 定义域[01]连续函数f(x)果时满足
3
条件
①
意x∈[01]总f(x)≥0
②f(1)1
③
x1≥0x2≥0x1+x2≤1f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立称函数f(x)理想函数
函数f(x)理想函数假定存x0∈[01]f(x0)∈[01]f f(x0)[]
x0
求证f(x0)x0
变式1
设函数f(x) e
x
+xa(a∈Re
然数底数)存b∈[01]f[f(b)]b
成立a 取值范围( )
A[1e]B[11+e]C[e1+e]D[01]
变式2
函数yloga (x2
ax+1)(a>0
a≠1)(12)增函数实数a 取值范围
34
结七
1二次函数解析式三种形式
二次函数f(x)
ax2
+bx+c(般式)
a x+
b
2a
æ
è
ç ö
ø
÷
2
+4acb2
4a
(顶点式)(a≠0
x∈R)
a(xx1
)(xx2
)(双根式)
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
2二次函数基性质
(
1
)a>0
时f(x)
∞
b
2a
æ
è
ç ù
û
úú 减函数
b
2a
+∞
é
ë
êê
ö
ø
÷ 增函数
f(x)x
b
2a
处取值f
b
2a
æ
è
ç ö
ø
÷
4acb2
4a
值
(
2
)a<0
时f(x)
∞
b
2a
æ
è
ç ù
û
úú 增函数
b
2a
+∞
é
ë
êê
ö
ø
÷ 减函数
f(x)x
b
2a
处取值f
b
2a
æ
è
ç ö
ø
÷
4acb2
4a
值
(
3
)称轴x
b
2a
f(x1
)
f(x2
)x1+x2
b
a
(
4
)抛物线yf(x)y 轴交点(
0
c)
例 7 已知a>0x0
满足关x 方程axb 充条件( )
A∃x∈R1
2
ax2
bx≥1
2
ax2
0bx0 B∃x∈R1
2
ax2
bx≤1
2
ax2
0bx0
C∀x∈R1
2
ax2
bx≥1
2
ax2
0bx0 D∀x∈R1
2
ax2
bx≤1
2
ax2
0bx0
变式1
已知函数f(x)x2
+ax+b(ab∈R)值域[0+∞)关x 等式f(x)
变式2
定义
min[f(x)g(x)]
f(x)f(x)≤g(x)
g(x)f(x)>g(x)
{函数f(x)x2
+tx+s 图两点
(x10)(x20)存整数 m m
Amin[f(m)f(m+1)]<1
4 Bmin[f(m)f(m+1)]>1
4
Cmin[f(m)f(m+1)]1
4 Dmin[f(m)f(m+1)]≥1
4
结八
典等式
(
1
)指数形式
e
x
≥x+1
(x∈R)仅x0
时取等号
(
2
)数形式
ln
(x+1
)
≤x(x>1
)仅x0
时取等号
证明(
1
)令g(x)
e
x
x1
(x∈R)g'(x)
e
x
1令g'(x)
0
解x0g'(x)g(x)x
变化表
21
示5
表21
x (∞0) 0 (0+∞)
g'(x) 0 +
g(x) ↘
极值
↗
g(x)(
∞
0
)减函数(
0
+ ∞
)增函数 x0
时g(x)值
0
∀x∈R
e
x
x1≥g(
0
)
0
e
x
≥x+1
(x∈R)恒成立仅x0
时取等号
(
2
)
e
x
≥x+1
两边取
e
底数
ln
(
e
x )
≥ln
(x+1
)
ln
(x+1
)
≤x(x>1
)
例 8 已知函数f(x) 1
ln(x+1)xyf(x)图致( )
A B C D
变式1
已知函数f(x)e
x
x∈R求证曲线yf(x)曲线y1
2
x2
+x+1
唯公点
变式2
设函数f(x)1e
x 求证x>1
时f(x)≥
x
x+1
56
结九
函数称性问题已知函数f(x)定义 R函数
(
1
)f(a+x)
f(bx)恒成立yf(x)图关直线x
a+b
2
轴称
特f(a+x)
f(ax)恒成立yf(x)图关直线xa 轴称
(
2
)f(a+x)
+f(bx)
cyf(x)图关点 a+b
2
c
2
æ
è
ç ö
ø
÷ 中心称
特f(a+x)
+f(ax)
2b 恒成立yf(x)图关点(ab)中心称
尤注意三角函数图称性问题
例 9 已知函数f(x)Asin(ωx+φ)图图
22
示f π
2
æ
è
ç ö
ø
÷
2
3f(0)( )
A2
3 B2
3 C1
2 D1
2
图22
图23
变式1
已知函数yg(x)图f(x)sin2x 图右移φ(0<φ<π)单位两
函数部分图图
23
示φ
结十
三点线结设面三点OAB 线面意点P AB 线充条件
存实数λ μOP→λOA→+μOB→λ+μ1特P 线段AB 中点时OP→
1
2
OA→+1
2
OB→
证明先证必性图
24
示PAB 三点线AP→∥AB→存t∈RAP→
tAB→OP→OA→t OB→OA→()OP→OA→+tOB→tOA→
(
1t)OA→+tOB→
设
1tλtμOP→λOA→+μOB→λ+μ1
证充分性OP→λOA→+μOB→λ+μ1
(λ+μ)OP→λOA→+μOB→
λOP→λOA→μOB→μOP→λAP→μPB→AP→∥PB→ APB 三点线7
综述PAB 三点线充条件存实数λ μOP→λOA→+μOB→λ+μ1
图24
例 10
△ABC 中AB→cAC→b点 D 满足BD→2DC→AD→( )
A2
3
b+1
3
c B5
3
c2
3
b C2
3
b1
3
c D1
3
b+2
3
c
变式1
直线l存三点ABC关实数x 方程x2 OA→+xOB→+BC→0解
(点O 直线l)方程解集( )
A∅ B{10}C{1}D1+ 5
2 1 5
2
{}
变式2
已知两单位量ab 夹角
60°cta+(1t)bb·c0t
结十
1
量OA→OB→线 P 线段 AB 中点OA→·OB→ OP→ 2
|PA→|
2
|OP→|
2
|PB→|
2
|OP→|
2
AB→
2
æ
è
ç ö
ø
÷
2
2
矩形 ABCD 面量
|OA→|
2
+|OC→|
2
|OB→|
2
+|OD→|
2(O 面点)
证明
1
图
25
示
△OAB 中点P 线段AB 中点PA→+PB→0
OA→·OB→ OP→+PA→()·OP→+PB→()
OP→+PA→()·OP→PA→()
|OP→|
2
|PA→|
2
|OP→|
2
|PB→|
2
|OP→|
2
AB→
2
æ
è
ç ö
ø
÷
2
2
图
26
示设矩形 ABCD 角线AC BD 交点PP AC BD 中点
OA→+OC→2OP→OA→OC→CA→(OA→+OC→)2
+
(OA→OC→)2
4|OP→|
2
+|CA→|
2
2
(
|OA→|
2
+|OC→|
2)
4|OP→|
2
+|CA→|
2
|OA→|
2
+|OC→|
2
2|OP→|
2
+|CA→|
2
2
理
|OB→|
2
+|OD→|
2
2|OP→|
2
+|BD→|
2
2
ABCD 矩形
|AC→||BD→|
|OA→|
2
+|OC→|
2
|OB→|
2
+|OD→|
2
图25 图26
78
例 11
△ABC 中M BC 中点AM 3BC10AB→·AC→
变式1
△ABC 中设 P0
边 AB 定点满足 P0B1
4
AB边 AB 点 P恒
PB→·PC→≥P0B→·P0C→( )
A∠ABC90° B∠BAC90° CABACDACBC
变式2
Rt△ABC 中点D 斜边AB 中点点P 线段CD 中点|PA|
2
+|PB|
2
|PC|
2 ( )
A2 B4 C5 D10变式3
已知圆 Mx2
+(y1)2
1圆 Nx2
+(y+1)2
1直线l1l2
分圆心 MNl1
圆 M 相交点ABl2
圆 N 相交点CD点P 椭圆y2
4+
x2
3 1
意动点
PA→·PB→+PC→·PD→值
结十二
数列{an}等差数列
⇔an an1d(n≥2
n∈N*)
⇔an+1an d(n∈N*)
⇔2an+1an +an+2
意n∈N* 恒成立
⇔
通项公式an kn+b(kb 常数n∈N*)次型
⇔
前n 项公式Sn An2
+Bn
(AB 常数n∈N*)二次型
⇔
数列 Sn
n{} 等差数列
已知等差数列{an }公差d前n 项Sn 求证Sn
n{} 等差数列
证明通项公式an a1+
(n1
)d 知前n 项Sn
(a1+an )·n
2 na1+
n(n1
)
2
·d
d
2
n2
+ a1
d
2
æ
è
ç ö
ø
÷n(n∈N*)Sn
n
d
2
n+a1
d
2 ①
n≥2
时Sn1
n1
d
2
(n1
)
+ a1
d
2
æ
è
ç ö
ø
÷
②
式
①
式
②
Sn
n
Sn1
n1
d
2
(n≥2
n∈N*)数列 Sn
n{} S1
1 a1
首项d
2
公差等
差数列
例 12 已知等差数列{an }前n 项Sn 满足S3
3
S2
2 1数列{an }公差( )
A1
2 B1 C2 D3
变式1
已知等差数列{an }前n 项Sn S10100S10010S110
结十三
已知等差数列{an }前n 项Sn 等数列{bn }前n 项积Tn mnst∈N*
(
1
) m+ns+tam +an as+atbm ·bn bs·bt
(
2
) m+n2tam +an 2atbm ·bn b2t
(
3
)S2n1
(
2n1
)·an T2n1b2n1n
(
4
)等差数列{an }{cn }前n 项分Sn Gn an
cn
S2n1
G2n1
9
例 13 等差数列{an }中已知a4+a816该数列前
11
项S11( )
A58 B88 C143 D176变式1
等差数列{an }中2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)24数列前
13
项S13( )
A13 B26 C52 D156
变式2
已知两等差数列{an}{bn}前n 项分AnBnAn
Bn 7n+45n+3 (n∈N*)a5
b5 ( )
A7 B8 C9 D10
结十四
已知等数列{an }前n 项Sn 公q
(
1
)q1
Sn na1
{an }时等差数列公差
0
(
2
)q≠1
Sn
a1
(
1qn )
1q
a1a1qn
1q
a1
1q
a1
1q
·qn
λλ·qn λ
a1
1q
æ
è
ç ö
ø
÷
(
3
)数列 1an
{} 等数列公1q
例 14 已知{an }首项
1
等数列Sn {an }前n 项
9S3S6数列 1an
{} 前
5
项
( )
A15
8
5 B31
16
5 C31
16 D15
8
变式1
等数列{an}中公q前n 项Sn 已知S531
16a31
41a1+1a2+1a3+1a4+1a5
变式2
等数列{an }前n 项Sn 已知意n∈N*点(nSn )均函数ybx
+r(b>0b≠1br 常数)图求r 值
变式3
设f(n)3+3
3
+3
5
+3
7
+…+3
2n+9 n∈Ν()f(n)
910
结十五
已知数列{an }前n 项Sn 前n 项积Tn
(
1
){an }等差数列公差dSn S2n Sn S3n S2n …等差数列公差n2d
(
2
){an } 等 数 列公 q Sn S2n Sn S3n S2n … 等 数 列 ( n 偶 数 时
q≠1
)公qn
(
3
){an }等数列公qTn T2n
Tn
T3n
T2n
…等数列公qn2
例 15 设等数列{an }前n 项Sn S6
S33S9
S6( )
A2 B7
3 C8
3 D3
变式1
设等差数列{an }前n 项Sn S39S636a7+a8+a9( )
A63 B45 C36 D27
结十六
1已知圆O 方程(xm)2
+
(yn)2
R2点P(ab)直线l(am)(xm)
+
(bn)·
(yn)
R2
(
1
)点P 圆O 直线l圆O 相切P 切点l切线
(
2
)点P 圆O 外直线l圆O 相交两交点分点P 作圆两切线切点l 切点弦
直线
(
3
)点P 圆O (圆心)直线l圆O 相离圆心直线l距离d 满足
R2
|OP|
·d
2圆圆锥曲线点P(x0
y0
)切线方程
(
1
)圆C(xa)2
+
(yb)2
R2 点P(x0
y0
)切线方程(x0a)(xa)
+
(y0b)·
(yb)
R2
(
2
)椭圆x2
a2 +
y2
b2 1
点P(x0
y0
)切线方程x0x
a2 +
y0y
b2 1
(
3
)抛物线Cy2
2px(p≠0
)点P(x0
y0
)切线方程y0yp(x+x0
)
3已知点 M(x0
y0
)抛物线Cy2
2px(p≠0
)直线ly0yp(x+x0
)
(
1
)点 M 抛物线C 时直线l抛物线C 相切中 M 切点l切线
(
2
)点 M 抛物线C 外时直线l抛物线C 相交中两交点点 M 连线分抛物线切
线直线l切点弦直线
(
3
)点 M 抛物线C 时直线l抛物线C 相离
理解
(
1
)求圆锥曲线(外)点切线方程时助直线圆锥曲线位置关系解题套路(联
立方程判式)
(
2
)求圆外点P(x0
y0
)圆切线方程时应注意理解两点
①
求切线定两条
②
设直线方程前应求直线斜率否存加讨11
例 16 点(31)作圆(x1)2
+y2
1
两条切线切点分AB直线AB 方程( )
A2x+y30 B2xy30
C4xy30 D4x+y30变式1
已知点 M(ab)圆Ox2
+y2
1
外直线ax+by1
圆O 位置关系( )
A相切
B相交
C相离
D确定
变式2
椭圆x2
a2 +
y2
b2 1
焦点x 轴点
11
2
æ
è
ç ö
ø
÷ 作圆x2
+y2
1
切线切点分 AB
直线 AB 恰椭圆右焦点顶点椭圆方程
结十七
中点弦相关结
(
1
)椭圆方程x2
a2 +
y2
b2 1
(a>b>0
)时P(x0
y0
)中点弦直线斜率k
b2x0
a2y0
(y0≠
0
)k·kOP
b2
a2
椭圆方程y2
a2 +
x2
b2 1
(a>b>0
)时相应结k
a2x0
b2y0
(y0≠0
)k·kOP
a2
b2
(
2
)P(x0
y0
)双曲线x2
a2
y2
b2 1
(a>0
b>0
)部点 P 中点弦直线斜率k
b2x0
a2y0
(y0≠0
)k·kOP
b2
a2
双曲线方程y2
a2
x2
b2 1
时相应结k
a2x0
b2y0
(y0≠0
)k·kOP
a2
b2
(
3
)P(x0
y0
)抛物线y2
2px(p≠0
)部点时P 中点弦直线斜率k
p
y0
(y0≠0
)
方程x2
2py 时相应结k
x0
p
例 17 直线 m 椭圆x2
2 +y2
1
分交点 P1P2线段 P1P2
中点 P设直线 m 斜率
k1(k1≠0)直线OP 斜率k2k1·k2
值( )
A2 B2 C1
2 D1
2变式1
抛物线y2
4x 焦点作直线抛物线相交PQ 两点线段PQ 中点轨迹方程
( )
Ay2
2x1 By2
2x2
Cy2
2x+1 Dy2
2x+2变式2
直线xy2
抛物线y2
4x 交AB 两点线段 AB 中点坐标
变式3
焦点
0±2 2
() 椭圆截直线
3xy30
弦中点横坐标1
2椭圆方程
1112
结十八
圆锥曲线(椭圆双曲线抛物线)中曲线定点 P(非顶点)曲线两动点 AB 满
足直线PA 直线PB 斜率互相反数(倾斜角互补)直线 AB 斜率定值
(
1
)图
27
(
a
)示已知椭圆x2
a2 +
y2
b2 1
(a>b>0
)定点 P(x0
y0
)(x0y0≠0
)椭圆设 AB
椭圆两动点直线PAPB 斜率分kPAkPB满足kPA +kPB 0
直线 AB
斜率kAB 定值b2x0
a2y0
(
2
)图
27
(
b
)示已知双曲线x2
a2
y2
b2 1
(ab>0
)定点 P(x0
y0
)(x0y0≠0
)双曲线设
AB 双曲线两动点直线PAPB 斜率分kPAkPB满足kPA +kPB 0
直线
AB 斜率kAB 定值
b2x0
a2y0
(
3
)图
27
(
c
)示已知抛物线y2
2px(p>0
)定点 P(x0
y0
)(x0y0≠0
)抛物线设 AB
抛物线两动点直线PAPB 斜率分kPAkPB满足kPA +kPB 0
直线 AB
斜率kAB 定值
p
y0
(a)
(b)
(c)
图27
面双曲线例出证明椭圆抛物线中相关证明方法参考结面例题变式
证明
设 A(x1
y1
)B(x2
y2
)设直线PA 方程yk(xx0
)
+y0
令 my0kx0
联立方程
ykx+m
x2
a2
y2
b2 1
ì
î
í
ïï
ïï
整理(b2
a2k2)x2
2a2kmxa2m2
a2b2
0
x1x0
a2m2
+a2b2
b2
a2k2
解x1
a2(y0kx0
)2
+a2b2
(b2
a2k2)x0
理x2
a2(y0+kx0
)2
+a2b2
(b2
a2k2)x0
直线 AB 斜率kAB
y2y1
x2x1
(
kx2+y0+kx0
)
(kx1+y0kx0
)
x2x1 2kx0k(x1+x2
)
x2x1
b2x0
a2y0
定值13
例 18 已知椭圆C
x2
4 +
y2
31A 椭圆定点坐标 A 13
2
æ
è
ç ö
ø
÷
EF 椭圆C 两动
点果直线 AE 斜率AF 斜率互相反数求证直线EF 斜率定值求出定值
变式1
已知抛物线Cy2
2x定点P(84)抛物线设AB 抛物线两动点直线PA
PB 斜率分kPAkPB满足kPA +kPB 0求证直线 AB 斜率kAB 定值求出该定值
结十九
圆锥曲线中接直角三角形直角顶点圆锥曲线顶点重合斜边直线定点
(
1
)椭圆x2
a2 +
y2
b2 1
(a>b>0
)异右顶点两动点 AB AB 直径圆右顶点(a
0
)直线lAB 定点 a2
b2
a2
+b2
æ
è
ç ö
ø
÷a
0
æ
è
ç ö
ø
÷ 理 AB 直径圆左顶点(
a
0
)时直线lAB
定点
a2
b2
a2
+b2
æ
è
ç ö
ø
÷a
0
æ
è
ç ö
ø
÷
(
2
)双曲线x2
a2
y2
b2 1
(a>0
b>0
)异右顶点两动点 ABAB 直径圆右顶点
(a
0
) 直 线 lAB 定 点 a2
+b2
a2
b2
æ
è
ç ö
ø
÷a
0
æ
è
ç ö
ø
÷ 理 左 顶 点 (
a
0
) 定 点
a2
+b2
a2
b2
æ
è
ç ö
ø
÷a
0
æ
è
ç ö
ø
÷
1314
A
A1 x
y
O
B
图28
(
3
)抛物线y2
2px(p>0
)异顶点两动点 ABOA→·OB→0
弦 AB 直线定
点(
2p
0
)理抛物线x2
2py(p>0
)异顶点两动点 ABOA→⊥OB→弦 AB 定
点(
0
2p)
面椭圆例出证明双曲线抛物线证明方法参考结面例题变式
证明图
28
示设 A(x1
y1
)B(x2
y2
)A1
(a
0
)设直线l方程xty+m(m≠a)
联立
x2
a2 +
y2
b2 1
xty+m
ì
î
í
ïï
ïï
消x (a2
+b2t2)y2
+2b2mty+b2m2
a2b2
0
Δ
(
2b2mt)2
4
(a2
+b2t2)(b2m2
a2b2)
>0
y1+y2 2b2mt
a2
+b2t2
y1y2
b2(m2
a2)
a2
+b2t2
(
*
)
AB 直径圆椭圆右顶点A1
A1A→·A1B→0
(x1ay1
)·(x2ay2
)
0
x1x2a(x1+x2
)
+a2
+y1y20
(ty1+m)(ty2+m)
a[t(y1+y2
)
+2m]
+a2
+y1y20
(t2
+1
)y1y2+
(ma)t(y1+y2
)
+
(ma)2
0
(
*
)式代入式(t2
+1
)b2(m2
a2)
a2
+b2t2 +
(ma)t·2b2mt
a2
+b2t2+
(ma)2
0
化简 m
(a2
b2)a
a2
+b2
直线l定点 (a2
b2)a
a2
+b2
0
æ
è
ç ö
ø
÷
理证 AB 直径圆左顶点(
a
0
)l定点 a(a2
b2)
a2
+b2
0
æ
è
ç ö
ø
÷
类椭圆双曲线x2
a2
y2
b2 1
(ab>0
)异右顶点两动点 AB AB 直径圆
右顶点 (a
0
)lAB 定点 a(a2
+b2)
a2
b2
0
æ
è
ç ö
ø
÷ 理 该 圆 左 顶 点 (
a
0
) lAB 定 点
a(a2
+b2)
a2
b2
0
æ
è
ç ö
ø
÷
例 19 已知椭圆x2
4 +
y2
31直线lykx+m 椭圆交AB 两点(AB 左右顶点)
AB 直径圆椭圆右顶点求证直线l定点求出该定点坐标15
变式1
已知抛物线y2
2px(p>0)异顶点两动点AB 满足AB 直径圆顶点求证
AB 直线定点求出该定点坐标
变式2
图
29
示O 坐标原点直线lx 轴截距a(a>0)交抛物线y2
2px(p>0)
M(x1y1)N(x2y2)两点a2p 时求证∠MONπ
2
图29
1516
结二十
AB 抛物线y2
2px(p>0
)焦点F 弦(焦点弦)点 AB 分作准线lx
p
2
垂
线垂足分 A1
B1
E A1B1
中点
(
1
)图
210
(
a
)示 AB 直径圆准线l相切点E
(
2
)图
210
(
b
)示 A1B1
直径圆弦 AB 相切点FEF2
A1A·BB1
(
3
)图
210
(
c
)示 AF 直径圆y 轴相切
(a)
(b)
(c)
图210
证明(
1
)图
210
(
a
)示抛物线定义知AA1AFBB1BF设点P 弦AB 中点
EP
AA1+BB1
2
AB
2
点E AB 直径圆EP∥AA1
EP⊥A1B1
准线圆P 相切切点点E
(
2
)图
210
(
b
)示联结 A1FB1F抛物线定义知AA1AF
∠AA1F∠AFA1
理
∠BB1F∠BFB1 AA1∥BB1
∠B1BF+∠A1AF180°
2∠AFA1+2∠BFB1180°
∠B1FA190°
A1F⊥B1F
点F A1B1
直径圆 EA1 EFEB1
∠BFE∠EFB1 +∠BFB1
∠EB1F+∠BB1F90°
EF⊥BFEF⊥ABA1B1
直径圆弦AB 相切点F
结合结二 十 (
1
) 知AE ⊥BE
Rt△AEB 中EF ⊥AB
Rt△BEF ∽Rt△EAF
BF
EF
EF
AF
EF2
AF·BFAA1
·BB1
(
3
)图
210
(
c
)示设准线x 轴交点点F1
AF 中点点P点 P 作PQ⊥y 轴垂足
点Q延长PQ 交准线l点P1
P AF 中点知PP1
AA1+FF1
2
AA1
2 +
p
2
PQ
AA1
2
AF
2
点Q AF 直径圆 PQ⊥y 轴 AF 直径圆y 轴相切
切点点Q
例 20 已知抛物线Cy2
8x 点 M(22)C 焦点斜率k 直线C 交AB 两点
MA→·MB→0k( )
A1
2 B2
2
C2 D217
变式1
抛物线y2
2px(p>0)称轴点 A(a0)(a>0)直线抛物线相交 MN 两
点点 MN 直线lxa 作垂线垂足分点 M1N1a
p
2
时求证AM1⊥AN1
结二十
图211
焦点三角形面积
(
1
)椭圆x2
a2 +
y2
b2 1
(a>b>0
)中F1
F2
分左右焦点P 椭圆点
△PF1F2
面积
S△PF1F2 b2·
tan
θ
2
中θ∠F1PF2
(
2
)双曲线x2
a2
y2
b2 1
(a>0
b>0
)中F1
F2
分左右焦点P 双曲线点
△PF1F2
面积S△PF1F2
b2
tan
θ
2
中θ∠F1PF2
证明(
1
)
△PF1F2
般 三 角 形 图
211
示 S△PF1F2 1
2|PF1||PF2|sinθ(θ 表 示
∠F1PF2
)余弦定理
|PF1|
2
+|PF2|
2
2|PF1||PF2|cosθ|F1F2|
2
|PF1|+|PF2|2a
|F1F2|2c
|PF1|+|PF2|
()2
2|PF1||PF2|
·(
1+cosθ)
4c2
2|PF1||PF2|
(
1+cosθ)
4a2
4c2
4b2
|PF1||PF2| 2b2
1+cosθ
S△PF1F2 1
2|PF1||PF2|sinθ
b2
sinθ
1+cosθ
2b2
sin
θ
2cos
θ
2
2cos
2
θ
2
b2
tan
θ
2
(
2
)双曲线中相关结请读者证明
1718
例 21 图
212
示F1F2
椭圆C1
x2
4 +y2
1
双曲线C2
公焦点AB 分C1C2
第二四象限公点四边形 AF1BF2
矩形C2
离心率( )
A2 B3 C3
2 D6
2
图212
变式1
已知F1F2
椭圆C
x2
a2 +
y2
b2 1(a>b>0)两焦点P 椭圆C 点PF1→⊥PF2→
△PF1F2
面积
9b
变式2 F1
F2
椭圆x2
4 +y2
1
两焦点P 椭圆点
△F1F2P 面积
1
时
PF1→·PF2→
变式3
已知双曲线x2
y2
21
焦点 F1F2点 M 双曲线MF1→·MF2→0点 M x
轴距离( )
A4
3 B5
3 C2 3
3 D3
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