2124 元二次方程根系数关系
1 αβ方程2x25x10两实数根2α2+3αβ+5β值( )
A 13 B 12 C 14 D 15
2 已知αβ方程x22x40两实数根α3+8β+6值( )
A 1 B 2 C 22 D 30
3 已知k≠1元二次方程(k1)x2+kx+10根k取值范围( )
A k≠2 B k>2
C k<2k≠1 D k切1实数
4 明华解元二次方程时明错次项系数解两根23华错常数项解错两根25原方程( )
A x23x+60 B x23x60
C x2+3x60 D x2+3x+60
5 已知αβ方程2x23x10两实数根(α2)(β2)值( )
A 12 B 132 C 3 D 32
6 方程x23x10两根x1x21x1+1x2值( )
A 3 B 3 C 13 D 13
7 已知三角形两条直角边长恰方程2x2+kx+70两根直角三角形斜边长3k值( )．
A 8 B 8 C 88 D 44
8 关x元二次方程x2+2(m1)x+m20两实数根分x1x2x1+x2>0x1x2>0m取值范围( )
A m≤12 B m≤12m≠0
C m<1 D m<1m≠0
9 关x方程x2+px+q0两根负数( )
A p>0q>0 B p>0q<0 C p<0q>0 D p<0q<0
10 元二次方程(k1)x2+2kx+k+30实数根k取值范围( )
A k≤32 B k<32 C k≤32k≠1 D k≥32
11 已知直角三角形两条直角边长恰方程2x28x+70两根直角三角形斜边长______ ．
12 已知x1x2关x元二次方程x25x+a0两实数根x12x2210a______．
13 设mn分元二次方程x2+2x20180两实数根m2+3m+n______．
14 已知元二次方程x24x+30两根x1x2x124x1+x1x2______．
15 方程x24x+10两根x1x2x1(1+x2)+x2值______．
16 已知关x方程(a2)x22(a1)x+(a+1)0a非负整数时
(1)方程实数根？
(2)方程两相等实数根？
(3)方程两相等实数根？
17 已知关x方程x2+2(a3)x+a27ab+120两相等实根满足2ab0．
(1)求ab值
(2)已知k实数求证：关x方程(a+b)x2+bkx+2k(a+b)0两等实根．
18 试较列两方程异x2+2x30x2+2x+30．
19 已知x1x2关x元二次方程x22(m+1)x+m2+50两实数根．
(1)(x11)(x21)28求m值
(2)已知等腰△ABC边长7x1x2恰△ABC外两边边长求三角形周长．
20 关x方程x22(k1)x+k20两实数根x1x2．
(1)求k取值范围
(2)x1+x21x1x2求k值．
21 已知关x方程(m21)x23(3m1)x+180两正整数根(m正整数)△ABC三边abc满足c23m2+a2m8a0m2+b2m8b0．
求：(1)m值(2)△ABC面积．
22 设方程4x27x30两根x1x2解方程求列式值．
(1)(x13)(x23)
(2)x2x1+1+x1x2+1
(3)x1x2．
23 已知：关x方程x24mx+4m210．
(1)解方程：判断方程根情况
(2)△ABC等腰三角形BC5外两条边方程根求三角形周长．
答案解析
1答案B
解析
分析
题考查根系数关系：x1x2元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)两根时x1+x2bax1x2ca考查元二次方程解定义．
根元二次方程解定义2α25α102α25α+12α2+3αβ+5β表示5(α+β)+3αβ+1根根系数关系α+β52αβ12然利整体代入方法计算．
解答
解：∵α2x25x10实数根
∴2α25α102α25α+1
∴2α2+3αβ+5β5α+1+3αβ+5β5(α+β)+3αβ+1
∵αβ方程2x25x10两实数根
∴α+β52αβ12
∴2α2+3αβ+5β5×52+3×(12)+112．
选B．
2答案D
解析
分析
题考查元二次方程解元二次方程根系数关系．先求值代数式进行适变形然根元二次方程根系数关系元二次方程解定义整体代入法进行计算．
解答
解：∵αβ方程x22x40两实数根
∴α+β2α22α40
∴α22α+4∴α3+8β+6α⋅α2+8β+6α⋅(2α+4)+8β+62α2+4α+8β+62(2α+4)+4α+8β+68α+8β+148(α+β)+148×2+14
30．
选D．
3答案D
解析解：∵ak1bkc1
∴△b24ack24×(k1)×1≥0
整理：△(k2)2≥0
∵k≠1
∴k切等1实数．
选：D．
元二次方程根△b24ac≥0建立关k等式求k取值范围．
总结：元二次方程根情况判式△关系：
(1)△>0⇔方程两相等实数根
(2)△0⇔方程两相等实数根
(3)△<0⇔方程没实数根．
4答案B
解析解：明错次项系数解两根23两根积正确华错常数项解错两根25两根正确
设元二次方程两根αβ：α⋅β6α+β3
αβ两根元二次方程x23x60
选：B．
利根系数关系求解．
题考查根系数关系x1x2方程ax2+bx+c0两根x1+x2bax1x2ca．
5答案A
解析解：αβ方程2x23x10两实数根
α+β32αβ12
(α2)(β2)
αβ2(α+β)+4122×32+4
12．
选A．
αβ方程2x23x10两实数根α+β32αβ12(α2)(β2)αβ2(α+β)+4前面值代入求解．
题考查元二次方程根系数关系解题关键根系数关系灵活运．
6答案B
解析解：根系数关系：x1+x2ba3x1⋅x2ca1．
∴1x1+1x2x1+x2x1x23选B．
已知方程x23x10根系数关系：x1+x2ba3x1⋅x2ca1求式子通分代值求解．
题考查元二次方程根系数关系．解类题目会代数式变形两根积两根形式．元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)根系数关系：x1+x2bax1⋅x2ca．
7答案B
解析
分析
题考查根系数关系根系数关系代数式变形相结合解题种常解题方法．
根根系数关系求出两根积两根值根勾股定理列出直角三角形三边间关系式然式化简两根积两根形式代入两根积两根值进行计算．
解答
解：设直角三角形斜边c两直角边分ab．
∵直角三角形两条直角边长恰方程2x2+kx+70两根
∴a+bk2ab35
根勾股定理：c2a2+b2(a+b)22abk2479
∴k±8
k8时2x2+8x+70两根负数合题意舍
k8时2x28x+70两根符合题意
选B
8答案B
解析
分析
题考查根判式根系数关系元二次方程根情况判式△关系：(1)△>0⇔方程两相等实数根(2)△0⇔方程两相等实数根(3)△<0⇔方程没实数根根系数关系x1+x2bax1x2ca先根判式方程两实数根△≥0根根系数关系出x1+x22(m1)x1x2m2x1+x2>0x1x2>0解出等式组．
解答
解：∵△[2(m1)]24m28m+4≥0
∴m≤12
∵x1+x22(m1)>0x1x2m2>0
∴m<1m≠0
∴m≤12m≠0．
选：B．
9答案A
解析解：设x1x2该方程两负数根
x1+x2<0x1x2>0
∵x1+x2px1x2q
∴p<0q>0
∴p>0q>0．
选：A．
方程△≥0两根积>零两根<零时方程x2+px+q0两根负数关pq等式然确定取值范围．
题考查元二次方程根符号确定应利元二次方程根系数关系根判式．
10答案C
解析解：题意知：k1≠0
∴△4k24(k1)(k+3)
128k≥0
∴k≤32k≠1
选：C．
根根判式求出答案．
题考查元二次方程解题关键熟练运根判式题属基础题型．
11答案3
解析
分析
根元二次方程根系数关系求出两根积两根值根勾股定理列出直角三角形三边间关系式然式化简两根积两根形式代入两根积两根值进行计算．题考查元二次方程根系数关系根系数关系代数式变形相结合解题种常解题方法．
解答
解：设直角三角形斜边c两直角边分ab．
∵直角三角形两条直角边长恰方程2x28x+70两根
∴a+b4ab35
根勾股定理：c2a2+b2(a+b)22ab1679c>0
∴c3
答案3．
12答案214
解析解：两根关系x1+x25x1⋅x2a
x12x2210(x1+x2)(x1x2)10
x1x22
∴(x1x2)2(x1+x2)24x1⋅x2254a4
∴a214
答案：214．
两根关系x1+x25x1⋅x2a解方程x1x22结．
题考查根系数关系：x1x2元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)两根时x1+x2bax1x2ca．
13答案2016
解析
分析
题考查根系数关系：x1x2元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)两根时x1+x2bax1x2ca考查元二次方程根定义．
先利元二次方程根定义m22m+2018m2+3m+n化简2018+m+n根根系数关系m+n2然利整体代入方法计算．
解答
解：∵m元二次方程x2+2x20180实数根
∴m2+2m20180m22m+2018
∴m2+3m+n2m+2018+3m+n2018+m+n
∵mn分元二次方程x2+2x20180两实数根
∴m+n2
∴m2+3m+n201822016．
答案2016．
14答案0
解析解：∵元二次方程x24x+30两根x1x2
∴x124x13x1x23
∴x124x1+x1x23+30
答案：0．
元二次方程x24x+30两根x1x2x124x13x1x23代入结果．
题考查元二次方程根系数关系关键熟练掌握x1x2元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)两根时x1+x2bax1x2ca．
15答案5
解析解：根题意x1+x24x1x21
x1(1+x2)+x2x1+x1x2+x2
x1+x2+x1x24+1
5．
答案5．
先根根系数关系x1+x24x1x21然x1(1+x2)+x2展开x1+x2+x1x2然利整体代入方法计算．
题考查根系数关系：x1x2元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)两根时x1+x2bax1x2ca．
16答案解：(1)∵方程实数根
∴a20
解：a2
(2)∵方程两相等实数根
∴△4(a1)24(a2)(a+1)0
解：a3
(3)∵方程两相等实数根
∴△4(a1)24(a2)(a+1)>0
解：a<3
∵a非负整数a≠2
∴a01
解析(1)方程实数根方程元次方程a值
(2)方程两相等实数根根判式0求a值
(3)方程两相等实数根根判式0a值．
题考查根系数关系解题关键解方程根判式方程根情况作．
17答案解：(1)∵△4(a3)24(a27ab+12)0
∴a+b30
∵2ab0
∴a1b2
(2)∵a1b2
∴原方程：x2+2kx+2k30
∵△(2k)24(2k3)4k28k+124(k1)2+8>0
∴关x方程(a+b)x2+bkx+2k(a+b)0两等实根．
解析(1)根判式等0联立已知条件2ab0ab值
(2)先计算出△(bk)24(a+b)[2k(a+b)]═4(k1)2+8>0证明．
题考查元二次方程根判式知道元二次方程根情况判式△关系：
(1)△>0⇔方程两相等实数根
(2)△0⇔方程两相等实数根
(3)△<0⇔方程没实数根．
18答案解：相点：
①元二次方程
②化成元二次方程般形式
③二次项系数均1
④次项系数均2
⑤常数项绝值相等
⑥整系数方程等．
点：
①常数项符号相反
②前者方程左边式分解者实数范围分解
③前者方程实数根者存x值方程左右两边相等．
解析元二次方程概念系数等进行较．
元二次方程般形式：ax2+bx+c0(abc常数a≠0)特注意a≠0条件．做题程中容易忽视知识点．般形式中ax2二次项bx次项中abc分二次项系数次项系数常数项．注意说明二次项系数次项系数常数项时定带前面符号．
19答案解：(1)根题意△4(m+1)24(m2+5)≥0解m≥2
x1+x22(m+1)x1x2m2+5
∵(x11)(x21)28x1x2(x1+x2)+128
∴m2+52(m+1)+128
整理m22m240解m16m24
m≥2
∴m值6
(2)x1≠x2
∵x1x2恰△ABC外两边边长等腰△ABC边长7
∴x7必元二次方程x22(m+1)x+m2+50解
x7代入方程4914(m+1)+m2+50
整理m214m+400解m110m24
m10时x1+x22(m+1)22解x2157+7<15舍
m4时x1+x22(m+1)10解x23三角形周长3+7+717
x1x2m2方程化x26x+90解x1x233+3<7舍
三角形周长17．
解析题考查根系数关系：x1x2元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)两根时x1+x2bax1x2ca考查根判式等腰三角形性质．
(1)根判式意义m≥2根根系数关系x1+x22(m+1)x1x2m2+5接着利(x11)(x21)28m2+52(m+1)+128解m16m24m值6
(2)分类讨：x17时x7代入方程4914(m+1)+m2+50解m110m24m10时根系数关系x1+x22(m+1)22解x215根三角形三边关系m10舍m4时x1+x22(m+1)10解x23三角形周长3+7+717x1x2m2方程化x26x+90解x1x23根三角形三边关系m2舍．
20答案解：
(1)∵关x方程x22(k1)x+k20两实数根x1x2
∴△≥0[2(k1)]24k2≥0解k≤12
(2)根系数关系x1+x22(k1)x1x2k2
∵x1+x21x1x2
∴2(k1)1k2解k1k3
∵k≤12
∴k3．
解析(1)方程根情况根根判式关k等式求k取值范围
(2)利根系数关系求两根两根积代入等式关k方程求k值．
题考查根判式根系数关系掌握根数根判式关系解题关键．
21答案解：(1)∵关x方程(m21)x23(3m1)x+180两正整数根(m整数)．
∵am21b9m+3c18
∴b24ac(9m3)272(m21)9(m3)2≥0
设x1x2方程两根
∴x1⋅x2ca18m21
∴18m21正整数m211236918
m正整数
∴m2
(2)m2代入两等式化简a24a+20b24b+20
ab时ab2±2
a≠b时ab方程x24x+20两根△>0韦达定理a+b4>0ab2>0a>0b>0．
①a≠bc23时a2+b2(a+b)22ab16412c2
△ABC直角三角形∠C90°S△ABC12ab1．
②ab22c23时2(22)<23构成三角形合题意舍．
③ab2+2c23时2(2+2)>23构成三角形．
S△ABC12×(23)×3+429+122
综△ABC面积19+122．
解析(1)题先求出方程(m21)x23(3m1)x+180两根然根两根正整数求出m值．
(2)(1)出m值然m2+a2m8a0m2+b2m8b0进行化简出ab值．然根三角形三边关系确定符合条件ab值进出三角形面积．
题考查元二次方程根系数关系勾股定理等知识点题中分类ab值进行讨通计算出三角形形状解题关键．
22答案解：根元二次方程根系数关系x1+x274x1x234．
(1)(x13)(x23)x1x23(x1+x2)+9343×74+93
(2)x2x1+1+x1x2+1x22+x2+x12+x1(x1+1)(x2+1)(x1+x2)22x1x2+x1+x2x1x2+x1+x2+1(74)22×(34)+7434+74+110132
(3)x1x2±(x1+x2)24x1x2±(74)24×34±1447．
解析先根根系数关系x1+x274x1x234利代数式变形(1)(x13)(x23)x1x23(x1+x2)+9(2)x2x1+1+x1x2+1(x1+x2)22x1x2+x1+x2x1x2+x1+x2+1(3)x1x2±(x1+x2)24x1x2然利整体代入方法计算．
题考查根系数关系．题难度适中注意二次项系数1常关系：x1x2元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)两根时x1+x2bax1⋅x2ca．
23答案解：(1)∵Δ(4m)24(4m21)4>0
∴m值该方程总两相等实数根．
(2)∵Δ>0△ABC等腰三角形外两条边方程根
∴5方程x24mx+4m210根．
x5代入原方程：2520m+4m210
解：m12m23．
m2时原方程x28x+150
解：x13x25
∵355够组成三角形
∴该三角形周长3+5+513
m3时原方程x212x+350
解：x15x27
∵557够组成三角形
∴该三角形周长5+5+717．
综述：三角形周长1317．
解析题考查根判式等腰三角形性质三角形三边关系解元二次方程解题关键：(1)牢记Δ>0时方程两相等实数根(2)代入x5求出m值．
(1)根方程系数结合根判式出Δ4>0出：m值该方程总两相等实数根
(2)根等腰三角形性质Δ>0出5方程x24mx+4m210根x5代入原方程求出m值通解方程出方程解利三角形周长公式求出结．
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1 αβ方程2x25x10两实数根2α2+3αβ+5β值( )
A 13 B 12 C 14 D 15
2 已知αβ方程x22x40两实数根α3+8β+6值( )
A 1 B 2 C 22 D 30
3 已知k≠1元二次方程(k1)x2+kx+10根k取值范围( )
A k≠2 B k>2
C k<2k≠1 D k切1实数
4 明华解元二次方程时明错次项系数解两根23华错常数项解错两根25原方程( )
A x23x+60 B x23x60
C x2+3x60 D x2+3x+60
5 已知αβ方程2x23x10两实数根(α2)(β2)值( )
A 12 B 132 C 3 D 32
6 方程x23x10两根x1x21x1+1x2值( )
A 3 B 3 C 13 D 13
7 已知三角形两条直角边长恰方程2x2+kx+70两根直角三角形斜边长3k值( )．
A 8 B 8 C 88 D 44
8 关x元二次方程x2+2(m1)x+m20两实数根分x1x2x1+x2>0x1x2>0m取值范围( )
A m≤12 B m≤12m≠0
C m<1 D m<1m≠0
9 关x方程x2+px+q0两根负数( )
A p>0q>0 B p>0q<0 C p<0q>0 D p<0q<0
10 元二次方程(k1)x2+2kx+k+30实数根k取值范围( )
A k≤32 B k<32 C k≤32k≠1 D k≥32
11 已知直角三角形两条直角边长恰方程2x28x+70两根直角三角形斜边长______ ．
12 已知x1x2关x元二次方程x25x+a0两实数根x12x2210a______．
13 设mn分元二次方程x2+2x20180两实数根m2+3m+n______．
14 已知元二次方程x24x+30两根x1x2x124x1+x1x2______．
15 方程x24x+10两根x1x2x1(1+x2)+x2值______．
16 已知关x方程(a2)x22(a1)x+(a+1)0a非负整数时
(1)方程实数根？
(2)方程两相等实数根？
(3)方程两相等实数根？
17 已知关x方程x2+2(a3)x+a27ab+120两相等实根满足2ab0．
(1)求ab值
(2)已知k实数求证：关x方程(a+b)x2+bkx+2k(a+b)0两等实根．
18 试较列两方程异x2+2x30x2+2x+30．
19 已知x1x2关x元二次方程x22(m+1)x+m2+50两实数根．
(1)(x11)(x21)28求m值
(2)已知等腰△ABC边长7x1x2恰△ABC外两边边长求三角形周长．
20 关x方程x22(k1)x+k20两实数根x1x2．
(1)求k取值范围
(2)x1+x21x1x2求k值．
21 已知关x方程(m21)x23(3m1)x+180两正整数根(m正整数)△ABC三边abc满足c23m2+a2m8a0m2+b2m8b0．
求：(1)m值(2)△ABC面积．
22 设方程4x27x30两根x1x2解方程求列式值．
(1)(x13)(x23)
(2)x2x1+1+x1x2+1
(3)x1x2．
23 已知：关x方程x24mx+4m210．
(1)解方程：判断方程根情况
(2)△ABC等腰三角形BC5外两条边方程根求三角形周长．
答案解析
1答案B
解析
分析
题考查根系数关系：x1x2元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)两根时x1+x2bax1x2ca考查元二次方程解定义．
根元二次方程解定义2α25α102α25α+12α2+3αβ+5β表示5(α+β)+3αβ+1根根系数关系α+β52αβ12然利整体代入方法计算．
解答
解：∵α2x25x10实数根
∴2α25α102α25α+1
∴2α2+3αβ+5β5α+1+3αβ+5β5(α+β)+3αβ+1
∵αβ方程2x25x10两实数根
∴α+β52αβ12
∴2α2+3αβ+5β5×52+3×(12)+112．
选B．
2答案D
解析
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题考查元二次方程解元二次方程根系数关系．先求值代数式进行适变形然根元二次方程根系数关系元二次方程解定义整体代入法进行计算．
解答
解：∵αβ方程x22x40两实数根
∴α+β2α22α40
∴α22α+4∴α3+8β+6α⋅α2+8β+6α⋅(2α+4)+8β+62α2+4α+8β+62(2α+4)+4α+8β+68α+8β+148(α+β)+148×2+14
30．
选D．
3答案D
解析解：∵ak1bkc1
∴△b24ack24×(k1)×1≥0
整理：△(k2)2≥0
∵k≠1
∴k切等1实数．
选：D．
元二次方程根△b24ac≥0建立关k等式求k取值范围．
总结：元二次方程根情况判式△关系：
(1)△>0⇔方程两相等实数根
(2)△0⇔方程两相等实数根
(3)△<0⇔方程没实数根．
4答案B
解析解：明错次项系数解两根23两根积正确华错常数项解错两根25两根正确
设元二次方程两根αβ：α⋅β6α+β3
αβ两根元二次方程x23x60
选：B．
利根系数关系求解．
题考查根系数关系x1x2方程ax2+bx+c0两根x1+x2bax1x2ca．
5答案A
解析解：αβ方程2x23x10两实数根
α+β32αβ12
(α2)(β2)
αβ2(α+β)+4122×32+4
12．
选A．
αβ方程2x23x10两实数根α+β32αβ12(α2)(β2)αβ2(α+β)+4前面值代入求解．
题考查元二次方程根系数关系解题关键根系数关系灵活运．
6答案B
解析解：根系数关系：x1+x2ba3x1⋅x2ca1．
∴1x1+1x2x1+x2x1x23选B．
已知方程x23x10根系数关系：x1+x2ba3x1⋅x2ca1求式子通分代值求解．
题考查元二次方程根系数关系．解类题目会代数式变形两根积两根形式．元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)根系数关系：x1+x2bax1⋅x2ca．
7答案B
解析
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题考查根系数关系根系数关系代数式变形相结合解题种常解题方法．
根根系数关系求出两根积两根值根勾股定理列出直角三角形三边间关系式然式化简两根积两根形式代入两根积两根值进行计算．
解答
解：设直角三角形斜边c两直角边分ab．
∵直角三角形两条直角边长恰方程2x2+kx+70两根
∴a+bk2ab35
根勾股定理：c2a2+b2(a+b)22abk2479
∴k±8
k8时2x2+8x+70两根负数合题意舍
k8时2x28x+70两根符合题意
选B
8答案B
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题考查根判式根系数关系元二次方程根情况判式△关系：(1)△>0⇔方程两相等实数根(2)△0⇔方程两相等实数根(3)△<0⇔方程没实数根根系数关系x1+x2bax1x2ca先根判式方程两实数根△≥0根根系数关系出x1+x22(m1)x1x2m2x1+x2>0x1x2>0解出等式组．
解答
解：∵△[2(m1)]24m28m+4≥0
∴m≤12
∵x1+x22(m1)>0x1x2m2>0
∴m<1m≠0
∴m≤12m≠0．
选：B．
9答案A
解析解：设x1x2该方程两负数根
x1+x2<0x1x2>0
∵x1+x2px1x2q
∴p<0q>0
∴p>0q>0．
选：A．
方程△≥0两根积>零两根<零时方程x2+px+q0两根负数关pq等式然确定取值范围．
题考查元二次方程根符号确定应利元二次方程根系数关系根判式．
10答案C
解析解：题意知：k1≠0
∴△4k24(k1)(k+3)
128k≥0
∴k≤32k≠1
选：C．
根根判式求出答案．
题考查元二次方程解题关键熟练运根判式题属基础题型．
11答案3
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根元二次方程根系数关系求出两根积两根值根勾股定理列出直角三角形三边间关系式然式化简两根积两根形式代入两根积两根值进行计算．题考查元二次方程根系数关系根系数关系代数式变形相结合解题种常解题方法．
解答
解：设直角三角形斜边c两直角边分ab．
∵直角三角形两条直角边长恰方程2x28x+70两根
∴a+b4ab35
根勾股定理：c2a2+b2(a+b)22ab1679c>0
∴c3
答案3．
12答案214
解析解：两根关系x1+x25x1⋅x2a
x12x2210(x1+x2)(x1x2)10
x1x22
∴(x1x2)2(x1+x2)24x1⋅x2254a4
∴a214
答案：214．
两根关系x1+x25x1⋅x2a解方程x1x22结．
题考查根系数关系：x1x2元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)两根时x1+x2bax1x2ca．
13答案2016
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题考查根系数关系：x1x2元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)两根时x1+x2bax1x2ca考查元二次方程根定义．
先利元二次方程根定义m22m+2018m2+3m+n化简2018+m+n根根系数关系m+n2然利整体代入方法计算．
解答
解：∵m元二次方程x2+2x20180实数根
∴m2+2m20180m22m+2018
∴m2+3m+n2m+2018+3m+n2018+m+n
∵mn分元二次方程x2+2x20180两实数根
∴m+n2
∴m2+3m+n201822016．
答案2016．
14答案0
解析解：∵元二次方程x24x+30两根x1x2
∴x124x13x1x23
∴x124x1+x1x23+30
答案：0．
元二次方程x24x+30两根x1x2x124x13x1x23代入结果．
题考查元二次方程根系数关系关键熟练掌握x1x2元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)两根时x1+x2bax1x2ca．
15答案5
解析解：根题意x1+x24x1x21
x1(1+x2)+x2x1+x1x2+x2
x1+x2+x1x24+1
5．
答案5．
先根根系数关系x1+x24x1x21然x1(1+x2)+x2展开x1+x2+x1x2然利整体代入方法计算．
题考查根系数关系：x1x2元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)两根时x1+x2bax1x2ca．
16答案解：(1)∵方程实数根
∴a20
解：a2
(2)∵方程两相等实数根
∴△4(a1)24(a2)(a+1)0
解：a3
(3)∵方程两相等实数根
∴△4(a1)24(a2)(a+1)>0
解：a<3
∵a非负整数a≠2
∴a01
解析(1)方程实数根方程元次方程a值
(2)方程两相等实数根根判式0求a值
(3)方程两相等实数根根判式0a值．
题考查根系数关系解题关键解方程根判式方程根情况作．
17答案解：(1)∵△4(a3)24(a27ab+12)0
∴a+b30
∵2ab0
∴a1b2
(2)∵a1b2
∴原方程：x2+2kx+2k30
∵△(2k)24(2k3)4k28k+124(k1)2+8>0
∴关x方程(a+b)x2+bkx+2k(a+b)0两等实根．
解析(1)根判式等0联立已知条件2ab0ab值
(2)先计算出△(bk)24(a+b)[2k(a+b)]═4(k1)2+8>0证明．
题考查元二次方程根判式知道元二次方程根情况判式△关系：
(1)△>0⇔方程两相等实数根
(2)△0⇔方程两相等实数根
(3)△<0⇔方程没实数根．
18答案解：相点：
①元二次方程
②化成元二次方程般形式
③二次项系数均1
④次项系数均2
⑤常数项绝值相等
⑥整系数方程等．
点：
①常数项符号相反
②前者方程左边式分解者实数范围分解
③前者方程实数根者存x值方程左右两边相等．
解析元二次方程概念系数等进行较．
元二次方程般形式：ax2+bx+c0(abc常数a≠0)特注意a≠0条件．做题程中容易忽视知识点．般形式中ax2二次项bx次项中abc分二次项系数次项系数常数项．注意说明二次项系数次项系数常数项时定带前面符号．
19答案解：(1)根题意△4(m+1)24(m2+5)≥0解m≥2
x1+x22(m+1)x1x2m2+5
∵(x11)(x21)28x1x2(x1+x2)+128
∴m2+52(m+1)+128
整理m22m240解m16m24
m≥2
∴m值6
(2)x1≠x2
∵x1x2恰△ABC外两边边长等腰△ABC边长7
∴x7必元二次方程x22(m+1)x+m2+50解
x7代入方程4914(m+1)+m2+50
整理m214m+400解m110m24
m10时x1+x22(m+1)22解x2157+7<15舍
m4时x1+x22(m+1)10解x23三角形周长3+7+717
x1x2m2方程化x26x+90解x1x233+3<7舍
三角形周长17．
解析题考查根系数关系：x1x2元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)两根时x1+x2bax1x2ca考查根判式等腰三角形性质．
(1)根判式意义m≥2根根系数关系x1+x22(m+1)x1x2m2+5接着利(x11)(x21)28m2+52(m+1)+128解m16m24m值6
(2)分类讨：x17时x7代入方程4914(m+1)+m2+50解m110m24m10时根系数关系x1+x22(m+1)22解x215根三角形三边关系m10舍m4时x1+x22(m+1)10解x23三角形周长3+7+717x1x2m2方程化x26x+90解x1x23根三角形三边关系m2舍．
20答案解：
(1)∵关x方程x22(k1)x+k20两实数根x1x2
∴△≥0[2(k1)]24k2≥0解k≤12
(2)根系数关系x1+x22(k1)x1x2k2
∵x1+x21x1x2
∴2(k1)1k2解k1k3
∵k≤12
∴k3．
解析(1)方程根情况根根判式关k等式求k取值范围
(2)利根系数关系求两根两根积代入等式关k方程求k值．
题考查根判式根系数关系掌握根数根判式关系解题关键．
21答案解：(1)∵关x方程(m21)x23(3m1)x+180两正整数根(m整数)．
∵am21b9m+3c18
∴b24ac(9m3)272(m21)9(m3)2≥0
设x1x2方程两根
∴x1⋅x2ca18m21
∴18m21正整数m211236918
m正整数
∴m2
(2)m2代入两等式化简a24a+20b24b+20
ab时ab2±2
a≠b时ab方程x24x+20两根△>0韦达定理a+b4>0ab2>0a>0b>0．
①a≠bc23时a2+b2(a+b)22ab16412c2
△ABC直角三角形∠C90°S△ABC12ab1．
②ab22c23时2(22)<23构成三角形合题意舍．
③ab2+2c23时2(2+2)>23构成三角形．
S△ABC12×(23)×3+429+122
综△ABC面积19+122．
解析(1)题先求出方程(m21)x23(3m1)x+180两根然根两根正整数求出m值．
(2)(1)出m值然m2+a2m8a0m2+b2m8b0进行化简出ab值．然根三角形三边关系确定符合条件ab值进出三角形面积．
题考查元二次方程根系数关系勾股定理等知识点题中分类ab值进行讨通计算出三角形形状解题关键．
22答案解：根元二次方程根系数关系x1+x274x1x234．
(1)(x13)(x23)x1x23(x1+x2)+9343×74+93
(2)x2x1+1+x1x2+1x22+x2+x12+x1(x1+1)(x2+1)(x1+x2)22x1x2+x1+x2x1x2+x1+x2+1(74)22×(34)+7434+74+110132
(3)x1x2±(x1+x2)24x1x2±(74)24×34±1447．
解析先根根系数关系x1+x274x1x234利代数式变形(1)(x13)(x23)x1x23(x1+x2)+9(2)x2x1+1+x1x2+1(x1+x2)22x1x2+x1+x2x1x2+x1+x2+1(3)x1x2±(x1+x2)24x1x2然利整体代入方法计算．
题考查根系数关系．题难度适中注意二次项系数1常关系：x1x2元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)两根时x1+x2bax1⋅x2ca．
23答案解：(1)∵Δ(4m)24(4m21)4>0
∴m值该方程总两相等实数根．
(2)∵Δ>0△ABC等腰三角形外两条边方程根
∴5方程x24mx+4m210根．
x5代入原方程：2520m+4m210
解：m12m23．
m2时原方程x28x+150
解：x13x25
∵355够组成三角形
∴该三角形周长3+5+513
m3时原方程x212x+350
解：x15x27
∵557够组成三角形
∴该三角形周长5+5+717．
综述：三角形周长1317．
解析题考查根判式等腰三角形性质三角形三边关系解元二次方程解题关键：(1)牢记Δ>0时方程两相等实数根(2)代入x5求出m值．
(1)根方程系数结合根判式出Δ4>0出：m值该方程总两相等实数根
(2)根等腰三角形性质Δ>0出5方程x24mx+4m210根x5代入原方程求出m值通解方程出方程解利三角形周长公式求出结．
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