空间角距离
选择题〔题10题题5分50分．题出四选项中项项符合题目求〕
1．直线m面间距离dm距离等2d点集合 〔 〕
A．面 B．条直线 C．两条直线 D．空集
2．异面直线ab成角qab面a行b^面b直线a面b成角 〔 〕
A．q相等 B．q互余 C．q互补 D．q相等．
3．正方体ABCD—A¢B¢C¢D¢中BC¢截面BB¢D¢D成角 〔 〕
A． B． C． D．arctan2
4．正方形SG1G2G3中EF分G1G2G2G3中点DEF中点现SESFEF正方形折成四面体G1G2G3三点重合重合点记G四面体S－EFG中必 〔 〕
A．SG⊥△EFG面 B．SD⊥△EFG面
C．GF⊥△SEF面 D．GD⊥△SEF面
5．山坡倾斜角30°山坡条路斜坡底线成45°角某条路走200米升高 〔 〕
A．100米 B．50米 C．25米 D．50米
6．三棱锥D－ABC三侧面底面全等AB＝AC＝BC＝2BC棱面BCD面BCA面二面角 〔 〕
A．arccos B．arccos C． D．
7．正四面体A—BCD中EF分棱BCAD中点EFAB成角 〔 〕
A．45° B．60° C．90° D．30°
8．∠A60°边长a菱形ABCD角线BD折成60°二面角ACBD距离 〔 〕
A． a B． a C． a D． a
9．假设正三棱锥侧面均直角三角形侧面底面成角α等式中成立 〔 〕
A．0＜α＜ B．＜α＜ C．＜α＜ D．＜α＜
10．A〔111〕B〔－10 4〕C〔2 －23〕〈〉〔 〕
A． B． C． D．
二填空题〔题4题题6分24分〕
11．面a外点P引斜线段PAPBa分成45°30°角ÐAPB值______值_______
12．DABC中ÐACB90°PA^面ABCPA2AC2面PBC面PAC面ABC成二角分_______________．
13．三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中ＢＣ＝５ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝ＡＣ点Ｐ面ＡＢＣ距离 ．
14．球半径8球面点作面点半径成45°角面截球截面面积 ．
三解答题〔计76分〕
15．〔题总分值12分〕SA⊥面ABCSAABAB⊥BCSBBCESC中点
DE⊥SC交ACD．
（1） 求证：SC⊥面BDE
〔2〕求二面角E—BD—C．
16．〔题总分值12分〕图点斜三棱柱侧棱点交点 交点．
(1) 求证： (2) 意中余弦定理：
．拓展空间类三角形余弦定理写出斜三棱柱三侧面面积中两侧面成二面角间关系式予证明．
17．〔题总分值12分〕图四棱锥S—ABCD底面边长1正方形
SD垂直底面ABCDSB．
〔1〕求证BCSC
〔2〕求面ASD面BSC成二面角
〔3〕设棱SA中点M求异面直线DMSB成角
．
18．〔题总分值12分〕直角梯形ABCD中ÐDÐBAD90°ADDCABa(图)△ADC AC折起D．记面ACa面ABCb．面BCg．
〔1〕假设二面角aACb直二面角〔图二〕求二面角bBCg
〔2〕假设二面角aACb60°〔图三〕求三棱锥ABC体积．
19．〔题总分值14分〕图正方形ABCD矩形ACEF面互相垂直ABAF1M线段EF中点．
〔1〕求证AM面BDE
〔2〕求二面角ADFB
〔3〕试线段AC确定点PPFBC成角60°．
20．〔题总分值14分〕图正方形边长1面互相垂直．点移动点移动假设．
〔1〕求长
〔2〕值时长
〔3〕长时求面面成二面角．
参考答案
．选择题〔题10题题5分50分〕
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
A
B
C
A
A
D
D
二．填空题〔题4题题6分24分〕
11．750 150 12．900 300 13． 14．
三解答题〔题6题76分〕
15．(12分) 〔1〕证明：〔1〕∵SBBC ESC中点 ∴BE⊥SC ∵DE⊥SC∴SC⊥面BDE
〔2〕解：〔1〕SC⊥BD∵SA⊥面ABC∴SA⊥BD∴BD⊥面SAC∴∠EDC二面角EBDC面角
设SAABaSBBC．
．
16．(12分) (1) 证：
(2) 解：斜三棱柱中
中 面面组成二面角．
述二面角中
．
17．(12分) 〔1〕证法：∵底面ABCD正方形 ∴BC⊥DC．
∵SD⊥底面ABCD∴DCSC面ABCD射影
图1
三垂线定理BC⊥SC．
证法二：图1∵底面ABCD正方形 ∴BC⊥DC．∵SD⊥底面ABCD
∴SD⊥BCDC∩SDD∴BC⊥面SDC∴BC⊥SC．
〔2〕解：图2点S作直线面ASD
∵底面ABCD正方形面BSC
面ASD面BSC交线．
∴∠CSD面ASD面BSC成二面角面角．〔解法〕
图2
〔3〕解1：图2∵SDAD1∠SDA90°
∴△SDA等腰直角三角形．M斜边SA中点
∴DM⊥SA．∵BA⊥ADBA⊥SDAD∩SDD∴BA⊥面ASDSASB面ASD射影．三垂线定理DM⊥SB．
∴异面直线DMSB成角90°．
图3
解2：图3取AB中点P连结MPDP．△ABS中中位线定理 MPSB异面直线DMSB成角．
∴△DMP中DP2MP2+DM2
∴异面直线DMSB成角90°．
18．(12分) 解：〔1〕直角梯形ABCD中 DAC等腰直角三角形
∴ C作CH⊥ABAB2
推 ACBC ∴ AC⊥BC ．取 AC中点E连结
⊥AC ∵ 二面角直二面角
∴ ⊥ ∵ 面 ∴ BC⊥ ∴ BC⊥
∴ BC⊥ ∴ 二面角面角．
∴二面角．
〔2〕取AC中点E连结作垂足O连结OE．
∵ AC⊥ ∴ AC⊥ ∴ 二面角面角
∴ ． 中
∴
19．〔14分〕解法 (1)记ACBD交点O连接OE ∵OM分ACEF中点ACEF矩形∴四边形AOEM行四边形
∴AM∥OE．∵面BDE 面BDE∴AM∥面BDE．
(2)面AFD中A作AS⊥DFS连结BS∵AB⊥AF AB⊥AD ∴AB⊥面ADF∴ASBS面ADF射影
三垂线定理BS⊥DF．∴∠BSA二面角A—DF—B面角．
RtΔASB中
∴∴二面角A—DF—B60º．
〔3〕设CPt〔0≤t≤2〕作PQ⊥ABQPQ∥AD
∵PQ⊥ABPQ⊥AF∴PQ⊥面ABF面ABF∴PQ⊥QF．RtΔPQF中∠FPQ60ºPF2PQ．
∵ΔPAQ等腰直角三角形∴∵ΔPAF直角三
角形∴∴t1t3(舍)点PAC中点．
解法二： 〔1〕建立图空间直角坐标系．
设连接NE 点NE坐标分〔〔001〕
∴ 点AM坐标分〔
∴ 〔∴NEAM线∴NE∥AM．∵面BDE 面BDE∴AM∥面BDF．
〔2〕∵AF⊥ABAB⊥ADAF∴AB⊥面ADF．
∴面DAF法量．
∵〔·0
∴〔·0
∴NE面BDF法量．
∴cos<∴ABNE夹角60º．求二面角A—DF—B60º．
〔3〕设P(tt0)(0≤t≤)∴〔00〕
∵PFBC成角60º．∴
解〔舍〕点PAC中点．
20．(14分) 解：〔1〕作∥交点∥交点连结题意∥行四边形∴
∴
∴
〔2〕〔Ⅰ〕时
分移动中点时长值．
〔3〕取中点连结∵中点
∴⊥⊥∠ 二面角面角余弦定理 求二面角
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选择题〔题10题题5分50分．题出四选项中项项符合题目求〕
1．直线m面间距离dm距离等2d点集合 〔 〕
A．面 B．条直线 C．两条直线 D．空集
2．异面直线ab成角qab面a行b^面b直线a面b成角 〔 〕
A．q相等 B．q互余 C．q互补 D．q相等．
3．正方体ABCD—A¢B¢C¢D¢中BC¢截面BB¢D¢D成角 〔 〕
A． B． C． D．arctan2
4．正方形SG1G2G3中EF分G1G2G2G3中点DEF中点现SESFEF正方形折成四面体G1G2G3三点重合重合点记G四面体S－EFG中必 〔 〕
A．SG⊥△EFG面 B．SD⊥△EFG面
C．GF⊥△SEF面 D．GD⊥△SEF面
5．山坡倾斜角30°山坡条路斜坡底线成45°角某条路走200米升高 〔 〕
A．100米 B．50米 C．25米 D．50米
6．三棱锥D－ABC三侧面底面全等AB＝AC＝BC＝2BC棱面BCD面BCA面二面角 〔 〕
A．arccos B．arccos C． D．
7．正四面体A—BCD中EF分棱BCAD中点EFAB成角 〔 〕
A．45° B．60° C．90° D．30°
8．∠A60°边长a菱形ABCD角线BD折成60°二面角ACBD距离 〔 〕
A． a B． a C． a D． a
9．假设正三棱锥侧面均直角三角形侧面底面成角α等式中成立 〔 〕
A．0＜α＜ B．＜α＜ C．＜α＜ D．＜α＜
10．A〔111〕B〔－10 4〕C〔2 －23〕〈〉〔 〕
A． B． C． D．
二填空题〔题4题题6分24分〕
11．面a外点P引斜线段PAPBa分成45°30°角ÐAPB值______值_______
12．DABC中ÐACB90°PA^面ABCPA2AC2面PBC面PAC面ABC成二角分_______________．
13．三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中ＢＣ＝５ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝ＡＣ点Ｐ面ＡＢＣ距离 ．
14．球半径8球面点作面点半径成45°角面截球截面面积 ．
三解答题〔计76分〕
15．〔题总分值12分〕SA⊥面ABCSAABAB⊥BCSBBCESC中点
DE⊥SC交ACD．
（1） 求证：SC⊥面BDE
〔2〕求二面角E—BD—C．
16．〔题总分值12分〕图点斜三棱柱侧棱点交点 交点．
(1) 求证： (2) 意中余弦定理：
．拓展空间类三角形余弦定理写出斜三棱柱三侧面面积中两侧面成二面角间关系式予证明．
17．〔题总分值12分〕图四棱锥S—ABCD底面边长1正方形
SD垂直底面ABCDSB．
〔1〕求证BCSC
〔2〕求面ASD面BSC成二面角
〔3〕设棱SA中点M求异面直线DMSB成角
．
18．〔题总分值12分〕直角梯形ABCD中ÐDÐBAD90°ADDCABa(图)△ADC AC折起D．记面ACa面ABCb．面BCg．
〔1〕假设二面角aACb直二面角〔图二〕求二面角bBCg
〔2〕假设二面角aACb60°〔图三〕求三棱锥ABC体积．
19．〔题总分值14分〕图正方形ABCD矩形ACEF面互相垂直ABAF1M线段EF中点．
〔1〕求证AM面BDE
〔2〕求二面角ADFB
〔3〕试线段AC确定点PPFBC成角60°．
20．〔题总分值14分〕图正方形边长1面互相垂直．点移动点移动假设．
〔1〕求长
〔2〕值时长
〔3〕长时求面面成二面角．
参考答案
．选择题〔题10题题5分50分〕
题号
1
2
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4
5
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10
答案
C
B
C
A
B
C
A
A
D
D
二．填空题〔题4题题6分24分〕
11．750 150 12．900 300 13． 14．
三解答题〔题6题76分〕
15．(12分) 〔1〕证明：〔1〕∵SBBC ESC中点 ∴BE⊥SC ∵DE⊥SC∴SC⊥面BDE
〔2〕解：〔1〕SC⊥BD∵SA⊥面ABC∴SA⊥BD∴BD⊥面SAC∴∠EDC二面角EBDC面角
设SAABaSBBC．
．
16．(12分) (1) 证：
(2) 解：斜三棱柱中
中 面面组成二面角．
述二面角中
．
17．(12分) 〔1〕证法：∵底面ABCD正方形 ∴BC⊥DC．
∵SD⊥底面ABCD∴DCSC面ABCD射影
图1
三垂线定理BC⊥SC．
证法二：图1∵底面ABCD正方形 ∴BC⊥DC．∵SD⊥底面ABCD
∴SD⊥BCDC∩SDD∴BC⊥面SDC∴BC⊥SC．
〔2〕解：图2点S作直线面ASD
∵底面ABCD正方形面BSC
面ASD面BSC交线．
∴∠CSD面ASD面BSC成二面角面角．〔解法〕
图2
〔3〕解1：图2∵SDAD1∠SDA90°
∴△SDA等腰直角三角形．M斜边SA中点
∴DM⊥SA．∵BA⊥ADBA⊥SDAD∩SDD∴BA⊥面ASDSASB面ASD射影．三垂线定理DM⊥SB．
∴异面直线DMSB成角90°．
图3
解2：图3取AB中点P连结MPDP．△ABS中中位线定理 MPSB异面直线DMSB成角．
∴△DMP中DP2MP2+DM2
∴异面直线DMSB成角90°．
18．(12分) 解：〔1〕直角梯形ABCD中 DAC等腰直角三角形
∴ C作CH⊥ABAB2
推 ACBC ∴ AC⊥BC ．取 AC中点E连结
⊥AC ∵ 二面角直二面角
∴ ⊥ ∵ 面 ∴ BC⊥ ∴ BC⊥
∴ BC⊥ ∴ 二面角面角．
∴二面角．
〔2〕取AC中点E连结作垂足O连结OE．
∵ AC⊥ ∴ AC⊥ ∴ 二面角面角
∴ ． 中
∴
19．〔14分〕解法 (1)记ACBD交点O连接OE ∵OM分ACEF中点ACEF矩形∴四边形AOEM行四边形
∴AM∥OE．∵面BDE 面BDE∴AM∥面BDE．
(2)面AFD中A作AS⊥DFS连结BS∵AB⊥AF AB⊥AD ∴AB⊥面ADF∴ASBS面ADF射影
三垂线定理BS⊥DF．∴∠BSA二面角A—DF—B面角．
RtΔASB中
∴∴二面角A—DF—B60º．
〔3〕设CPt〔0≤t≤2〕作PQ⊥ABQPQ∥AD
∵PQ⊥ABPQ⊥AF∴PQ⊥面ABF面ABF∴PQ⊥QF．RtΔPQF中∠FPQ60ºPF2PQ．
∵ΔPAQ等腰直角三角形∴∵ΔPAF直角三
角形∴∴t1t3(舍)点PAC中点．
解法二： 〔1〕建立图空间直角坐标系．
设连接NE 点NE坐标分〔〔001〕
∴ 点AM坐标分〔
∴ 〔∴NEAM线∴NE∥AM．∵面BDE 面BDE∴AM∥面BDF．
〔2〕∵AF⊥ABAB⊥ADAF∴AB⊥面ADF．
∴面DAF法量．
∵〔·0
∴〔·0
∴NE面BDF法量．
∴cos<∴ABNE夹角60º．求二面角A—DF—B60º．
〔3〕设P(tt0)(0≤t≤)∴〔00〕
∵PFBC成角60º．∴
解〔舍〕点PAC中点．
20．(14分) 解：〔1〕作∥交点∥交点连结题意∥行四边形∴
∴
∴
〔2〕〔Ⅰ〕时
分移动中点时长值．
〔3〕取中点连结∵中点
∴⊥⊥∠ 二面角面角余弦定理 求二面角
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