XX 学
综 合 设 计 报 告
综合设计五
方法求解数值积分
学生姓名：
学 号：
年级专业：
指导老师：
学 院：
评阅成绩：
评阅意见：
成绩评定教师签名： 时间：
提交日期：2014年X月
方法求解数值积分
具体题目求：数值方法计算积分
(1) 取步长分复合梯形复合辛普森公式计算积分出误差中关函数积分精确值较两公式精度否存精度改善？
(2) 龙贝格求积计算完成问题(1)
(3) 适应辛普森积分精度达
1设计目求
积分学基理定积分公式计算法找原函数函数（等）通牛顿—莱布尼兹公式计算必须寻法需够熟练应常数值积分计算方法（机械求积 公式等）掌握结合数值计算软件（ 等）计算机高级语言进行应算法实现技
熟练数学软件求解数学问题掌握种数学问题求解方法设计通种复合求积公式求解积分包括复化梯度法复化辛普森法龙贝格适应辛普森法等求解方法利软件编写相应算法进行求解提高解题速度
2设计原理
积分中值定理知道积分区间存点式子
成立式子点具体位置般知道难准确算出值算法求均高度应种数值求积方法更般区间适选取某节点然加权均均高度似值样构造出求积公式具列形式：
称机械求积公式
复合梯形公式复合辛普森公式龙贝格求积公式适应辛普森公式公式基础积分区间进行变步长划分求似均高度值积分函数似值牛顿—柯特斯公式时具稳定性通提高阶方法提高求积精度提高精度通常积分区间等分成干子区间子区间低价求积公式复合求积方法样积分求解方法存容忽视误差需设计算法时考虑算法存误差（舍入误差截断误差等）误差作出分析
3采软件设备
软件
4设计容
第步：复合梯形公式复合辛普森公式算法
（）复合梯形公式计算积分
复化梯形公式思想利干梯形面积代原方程积分利微元法求出坐标面函数坐标轴围城图面积似值符合计算机计算存储思想面探讨复化梯形公式计算规律
设求积区间分成等份分点梯形公式
计算积分值需提供函数值
里代表步长分点中
（二）复合辛普森公式计算积分
算法基思想：积分区间等分成干子区间子区间辛普森
求积公式：
复合辛普森求积公式：
软件求解
第二步：龙贝格算法
考虑积分欲求似值通常复化梯形公式公式公式定精度公式达求速度缓慢提高收敛速度然极关心课题记区间进行等分复化梯形公式计算结果记区间进行等分复化公式计算结果记区间进行等分复化公式计算结果根外推加速方法收敛速度较快积分法具体计算公式：
1准备初值计算
2梯形公式递推关系计算
3Romberg积分公式计算加速值
4精度控制定精度
终止计算取求结果否返回2重复计算直满足求精度止
第三步：适应辛普森算法
复合求积方法通常适积函数变化太积分果积分区间积函数变化部分函数值变化剧烈部分变化缓果时积分区间等分复合求积公式话计算量采针积函数区间情形采步长满足精度前提积分计算量减少适应积分方法动积函数变化剧烈区域增节点积函数变化缓方减少节点种均匀区间积分方法题目求相邻两区间误差达定求适应辛普森公式求积分先算出积分区间左右端点函数值求出区间中点函数值左右端点函数差值求精度较满足区间二等分接着算出子区间端点函数值判断时否符合精度求直积分子区间满足精度求区间端点函数值积分似值
第四步：误差余项精度分析：
插值型求积公式求积公式误差余项表达式：
中表示求积公式代数精度赖定系数结果表明次数等项式时时前面求积公式精确成立时 求：
梯形公式代数精度1值
梯形公式余项：
复合梯形公式满足
综述复合梯形公式余项表达式：
理复合辛普森公式余项表达式：
结果分析：余项表达式出复合辛普森公式代数精度3复合梯形公式代数精度1复合辛普森复合梯形精确度更高算法精度通设计值准确值间误差值评判变步长复合求积方法次求计算结果准确值进行较求出误差值通画出误差值变化趋势图较复合梯形公式复合辛普森公式两种算法精度实验中验证表明初步推理正确复合梯形公式复合辛普森公式终结果会着步长 值减更加精确复合梯形公式复合辛普森公式计算出结果进行较发现复合辛普森公式计算出结果更加精确
5原始程序数
文件：fm
function yf(x)
ysqrt(x)*log(x)
1复合梯形公式求解算法：
文件：trapezoidm
clc
a0 积分限
b1 积分限
T[] 装n值计算出结果
R[]
G[]
m120 等分数
true(49)
for n2m
h(ba)n 步长
xzeros(1n+1) 节点定初值
yzeros(1n+1)
for i1n+1
x(i)a+(i1)*h
end
x(11)0000000001
for i1n+1
y(i)x(i)^(12)*log(x(i))
g((ba)12*h^ 2)*(log(x(i))(4*x(i)*x(i)^(12))) 准确积分余项（计算误差）
end
G[Gg]
t0
r0
for i1n
format long
tt+h2*(y(i)+y(i+1)) 利复化梯形公式求值
errtfloor(t)
digits(7) 处需数位+1
tfloor(t)+vpa(err6) 处控制显示数点位数更改显示数位数
rttrue 计算值真实值差（实际误差）
end
T[Tt] n值计算出结果装入 T中
R[Rr]
end
xlinspace(01m1)
plot(xR＇*＇) 计算误差实际误差图画出
2复合辛普森积分求解算法：
simponm
clc
clear
a0 积分限
b1 积分限
T[] 装n值计算出结果
R[]
true(49)
m20 等分数
for n2m
h(ba)(2*n) 步长
xzeros(12*n+1) 节点定初值
yzeros(12*n+1)
for i12*n+1
x(i)a+(i1)*h 节点赋值
end
x(11)0000000001
for i12*n+1
y(i)x(i)^(12)*log(x(i)) 相应节点处函数值赋值
end
t0
r0
for i1n
format long
tt+h3*(y(2*i1)+4*y(2*i)+y(2*i+1)) 利复化simpson公式求值
errtfloor(t)
digits(7) 处需数位+1
tfloor(t)+vpa(err6)
rttrue
end
T[Tt] n值计算出结果装入 T中
R[Tr]
end
R((ba)180*((ba)2)^4*24) 积分余项（计算误差）
truequad(@fx101) 积分真实值
xlinspace(012*m1)
plot(xR＇*＇)
3龙贝格算法
rebegm
龙贝格
clear
clc
a0
b1 确定积分限
eps10^(4)
err1
k1
a00000001
T(11)(ba)2*(f(a)+f(b))
while(err>eps)
h(ba)2^(k1)
S0
for xahbh
SS+f(x+h2)
end
T(k+11)12*T(k1)+h2*S
kk+1
for i2k
T(ki)(4^(k1)*T(ki1)+T(k1i1))(4^(k1)1)
end
errabs(T(ii)+49)
end
fprintf(＇龙贝格求积算法积分值10f＼n＇T(kk))
disp(T)
T
龙贝格求积算法积分值04443820753
4适应辛普森算法：
适应辛普森算法
Self_Adaptive_integralm
function sSelf_Adaptive_integral(abtol)
k0 w0 xa yb t0 h(ba)2 s0 i0
toabs(simpson_integral(xy2)simpson_integral(xy1))
while to>tol
ii+1
while to>tol
tx
if k0
xt yt+h
to(abs(simpson_integral(xy2)simpson_integral(xy1)))*2^i
k1 w0
end
if w0
xt+h yt+2*h
to(abs(simpson_integral(xy2)simpson_integral(xy1)))*2^i
k0 w1
end
end
ss+simpson_integral(xy2)
if k0
xt yt+h hh2
to(abs(simpson_integral(xy2)simpson_integral(xy1)))*2^i
end
if w0
xt+h yt+2*h hh2
to(abs(simpson_integral(xy2)simpson_integral(xy1)))*2^i
end
if to ss+simpson_integral(xy2) totol10
end
end
适应辛普森算法
simpson_integralm
function ssimpson_integral(abm)
h(ba)(2*m) s10 s20 s0
if m>1
for i1(m1)
xa+2*i*h s1s1+f(x)
end
for i1m
xa+(2*i1)*h s2s2+f(x)
end
sh3*(f(a)+f(b)+2*s1+4*s2)
else
ss+h3*(f(a)+f(b)++4*f((a+b)2))
end
6结果分析设计总结
结果分析：
初步分析：通步长h值改变h值越（等分数n值越）等分区间越结果应该更加精确精确度越高实验结果分析：
1 复合梯度算法
通算法运行结果：等分数n2开始变化50时实验计算结果准确值间误差达044109680003347665
等分数更改80时实验计算结果准确值间误差达044265810001786344
结果分析：复合梯形求积公式着区间数断增加积分误差断减运算结果图示：
2 复合辛普森算法：
等分区间数目达50时实验计算出结果准确值（49）间误差值分：044379600006484617
n80时实验结果分0444105500003389765
结果分析：复合辛普森求积公式着等分数断增加积分误差断减算法计算结果图示：
两种插值形积分算法结果准确值较出两种方法产生误差趋势图：
算法设计验证表明初步推理正确复合梯形公式复合辛普森公式计算终结果会着步长值减更加精确更加趋准确值复合梯形公式复合辛普森公式计算出结果进行较发现复合辛普森公式计算出结果更加精确
3 龙贝格算法：
通龙贝格算法求积分计算结果达精度时：实验结果0444397853439930求计算精度达时计算结果0444444031558047
计算结果：
k
h
……
0
……
0
0
1
……
……
0
……
……
0444182012826374
0
……
……
0444328150849971
0444331540260192
0
0444396158327176
0444397005881533
0444397853439930
4 适应辛普森算法：
输入s1Self_Adaptive_integral(000000011001)时 运算结果0444429266226068
输入s2Self_Adaptive_integral(00000001100001)时运算结果0444438106512192
设计总结：
然次课程设计时间长学会少仅运筹学知识应数值分析中种数值计算方法回顾专业知识进步加深理解课程设计更加熟练掌握应MATLAB编写相应算法求解相应数学问题理知识实际应想结合提高身算法设计力编程程序技程利老师学组员帮助期完成务次课程设计更学会问题分析思考查找算法中足作出改进
参考文献
［1］ 李庆扬王超易义数值分析第四版[M]北京：清华学出版社2001
［2］ 董霖MATLAB详解第版[M]科学出版社2008
［3］ 龚纯王正林MATLAB语言常算法程序集[M]电子工业出版社2008
［4］ 李庆杨科学计算方法基础[M]北京：清华学出版社2006
［5］ 白峰杉数值计算引[M]北京高等教育出版社2004
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综 合 设 计 报 告
综合设计五
方法求解数值积分
学生姓名：
学 号：
年级专业：
指导老师：
学 院：
评阅成绩：
评阅意见：
成绩评定教师签名： 时间：
提交日期：2014年X月
方法求解数值积分
具体题目求：数值方法计算积分
(1) 取步长分复合梯形复合辛普森公式计算积分出误差中关函数积分精确值较两公式精度否存精度改善？
(2) 龙贝格求积计算完成问题(1)
(3) 适应辛普森积分精度达
1设计目求
积分学基理定积分公式计算法找原函数函数（等）通牛顿—莱布尼兹公式计算必须寻法需够熟练应常数值积分计算方法（机械求积 公式等）掌握结合数值计算软件（ 等）计算机高级语言进行应算法实现技
熟练数学软件求解数学问题掌握种数学问题求解方法设计通种复合求积公式求解积分包括复化梯度法复化辛普森法龙贝格适应辛普森法等求解方法利软件编写相应算法进行求解提高解题速度
2设计原理
积分中值定理知道积分区间存点式子
成立式子点具体位置般知道难准确算出值算法求均高度应种数值求积方法更般区间适选取某节点然加权均均高度似值样构造出求积公式具列形式：
称机械求积公式
复合梯形公式复合辛普森公式龙贝格求积公式适应辛普森公式公式基础积分区间进行变步长划分求似均高度值积分函数似值牛顿—柯特斯公式时具稳定性通提高阶方法提高求积精度提高精度通常积分区间等分成干子区间子区间低价求积公式复合求积方法样积分求解方法存容忽视误差需设计算法时考虑算法存误差（舍入误差截断误差等）误差作出分析
3采软件设备
软件
4设计容
第步：复合梯形公式复合辛普森公式算法
（）复合梯形公式计算积分
复化梯形公式思想利干梯形面积代原方程积分利微元法求出坐标面函数坐标轴围城图面积似值符合计算机计算存储思想面探讨复化梯形公式计算规律
设求积区间分成等份分点梯形公式
计算积分值需提供函数值
里代表步长分点中
（二）复合辛普森公式计算积分
算法基思想：积分区间等分成干子区间子区间辛普森
求积公式：
复合辛普森求积公式：
软件求解
第二步：龙贝格算法
考虑积分欲求似值通常复化梯形公式公式公式定精度公式达求速度缓慢提高收敛速度然极关心课题记区间进行等分复化梯形公式计算结果记区间进行等分复化公式计算结果记区间进行等分复化公式计算结果根外推加速方法收敛速度较快积分法具体计算公式：
1准备初值计算
2梯形公式递推关系计算
3Romberg积分公式计算加速值
4精度控制定精度
终止计算取求结果否返回2重复计算直满足求精度止
第三步：适应辛普森算法
复合求积方法通常适积函数变化太积分果积分区间积函数变化部分函数值变化剧烈部分变化缓果时积分区间等分复合求积公式话计算量采针积函数区间情形采步长满足精度前提积分计算量减少适应积分方法动积函数变化剧烈区域增节点积函数变化缓方减少节点种均匀区间积分方法题目求相邻两区间误差达定求适应辛普森公式求积分先算出积分区间左右端点函数值求出区间中点函数值左右端点函数差值求精度较满足区间二等分接着算出子区间端点函数值判断时否符合精度求直积分子区间满足精度求区间端点函数值积分似值
第四步：误差余项精度分析：
插值型求积公式求积公式误差余项表达式：
中表示求积公式代数精度赖定系数结果表明次数等项式时时前面求积公式精确成立时 求：
梯形公式代数精度1值
梯形公式余项：
复合梯形公式满足
综述复合梯形公式余项表达式：
理复合辛普森公式余项表达式：
结果分析：余项表达式出复合辛普森公式代数精度3复合梯形公式代数精度1复合辛普森复合梯形精确度更高算法精度通设计值准确值间误差值评判变步长复合求积方法次求计算结果准确值进行较求出误差值通画出误差值变化趋势图较复合梯形公式复合辛普森公式两种算法精度实验中验证表明初步推理正确复合梯形公式复合辛普森公式终结果会着步长 值减更加精确复合梯形公式复合辛普森公式计算出结果进行较发现复合辛普森公式计算出结果更加精确
5原始程序数
文件：fm
function yf(x)
ysqrt(x)*log(x)
1复合梯形公式求解算法：
文件：trapezoidm
clc
a0 积分限
b1 积分限
T[] 装n值计算出结果
R[]
G[]
m120 等分数
true(49)
for n2m
h(ba)n 步长
xzeros(1n+1) 节点定初值
yzeros(1n+1)
for i1n+1
x(i)a+(i1)*h
end
x(11)0000000001
for i1n+1
y(i)x(i)^(12)*log(x(i))
g((ba)12*h^ 2)*(log(x(i))(4*x(i)*x(i)^(12))) 准确积分余项（计算误差）
end
G[Gg]
t0
r0
for i1n
format long
tt+h2*(y(i)+y(i+1)) 利复化梯形公式求值
errtfloor(t)
digits(7) 处需数位+1
tfloor(t)+vpa(err6) 处控制显示数点位数更改显示数位数
rttrue 计算值真实值差（实际误差）
end
T[Tt] n值计算出结果装入 T中
R[Rr]
end
xlinspace(01m1)
plot(xR＇*＇) 计算误差实际误差图画出
2复合辛普森积分求解算法：
simponm
clc
clear
a0 积分限
b1 积分限
T[] 装n值计算出结果
R[]
true(49)
m20 等分数
for n2m
h(ba)(2*n) 步长
xzeros(12*n+1) 节点定初值
yzeros(12*n+1)
for i12*n+1
x(i)a+(i1)*h 节点赋值
end
x(11)0000000001
for i12*n+1
y(i)x(i)^(12)*log(x(i)) 相应节点处函数值赋值
end
t0
r0
for i1n
format long
tt+h3*(y(2*i1)+4*y(2*i)+y(2*i+1)) 利复化simpson公式求值
errtfloor(t)
digits(7) 处需数位+1
tfloor(t)+vpa(err6)
rttrue
end
T[Tt] n值计算出结果装入 T中
R[Tr]
end
R((ba)180*((ba)2)^4*24) 积分余项（计算误差）
truequad(@fx101) 积分真实值
xlinspace(012*m1)
plot(xR＇*＇)
3龙贝格算法
rebegm
龙贝格
clear
clc
a0
b1 确定积分限
eps10^(4)
err1
k1
a00000001
T(11)(ba)2*(f(a)+f(b))
while(err>eps)
h(ba)2^(k1)
S0
for xahbh
SS+f(x+h2)
end
T(k+11)12*T(k1)+h2*S
kk+1
for i2k
T(ki)(4^(k1)*T(ki1)+T(k1i1))(4^(k1)1)
end
errabs(T(ii)+49)
end
fprintf(＇龙贝格求积算法积分值10f＼n＇T(kk))
disp(T)
T
龙贝格求积算法积分值04443820753
4适应辛普森算法：
适应辛普森算法
Self_Adaptive_integralm
function sSelf_Adaptive_integral(abtol)
k0 w0 xa yb t0 h(ba)2 s0 i0
toabs(simpson_integral(xy2)simpson_integral(xy1))
while to>tol
ii+1
while to>tol
tx
if k0
xt yt+h
to(abs(simpson_integral(xy2)simpson_integral(xy1)))*2^i
k1 w0
end
if w0
xt+h yt+2*h
to(abs(simpson_integral(xy2)simpson_integral(xy1)))*2^i
k0 w1
end
end
ss+simpson_integral(xy2)
if k0
xt yt+h hh2
to(abs(simpson_integral(xy2)simpson_integral(xy1)))*2^i
end
if w0
xt+h yt+2*h hh2
to(abs(simpson_integral(xy2)simpson_integral(xy1)))*2^i
end
if to
end
end
适应辛普森算法
simpson_integralm
function ssimpson_integral(abm)
h(ba)(2*m) s10 s20 s0
if m>1
for i1(m1)
xa+2*i*h s1s1+f(x)
end
for i1m
xa+(2*i1)*h s2s2+f(x)
end
sh3*(f(a)+f(b)+2*s1+4*s2)
else
ss+h3*(f(a)+f(b)++4*f((a+b)2))
end
6结果分析设计总结
结果分析：
初步分析：通步长h值改变h值越（等分数n值越）等分区间越结果应该更加精确精确度越高实验结果分析：
1 复合梯度算法
通算法运行结果：等分数n2开始变化50时实验计算结果准确值间误差达044109680003347665
等分数更改80时实验计算结果准确值间误差达044265810001786344
结果分析：复合梯形求积公式着区间数断增加积分误差断减运算结果图示：
2 复合辛普森算法：
等分区间数目达50时实验计算出结果准确值（49）间误差值分：044379600006484617
n80时实验结果分0444105500003389765
结果分析：复合辛普森求积公式着等分数断增加积分误差断减算法计算结果图示：
两种插值形积分算法结果准确值较出两种方法产生误差趋势图：
算法设计验证表明初步推理正确复合梯形公式复合辛普森公式计算终结果会着步长值减更加精确更加趋准确值复合梯形公式复合辛普森公式计算出结果进行较发现复合辛普森公式计算出结果更加精确
3 龙贝格算法：
通龙贝格算法求积分计算结果达精度时：实验结果0444397853439930求计算精度达时计算结果0444444031558047
计算结果：
k
h
……
0
……
0
0
1
……
……
0
……
……
0444182012826374
0
……
……
0444328150849971
0444331540260192
0
0444396158327176
0444397005881533
0444397853439930
4 适应辛普森算法：
输入s1Self_Adaptive_integral(000000011001)时 运算结果0444429266226068
输入s2Self_Adaptive_integral(00000001100001)时运算结果0444438106512192
设计总结：
然次课程设计时间长学会少仅运筹学知识应数值分析中种数值计算方法回顾专业知识进步加深理解课程设计更加熟练掌握应MATLAB编写相应算法求解相应数学问题理知识实际应想结合提高身算法设计力编程程序技程利老师学组员帮助期完成务次课程设计更学会问题分析思考查找算法中足作出改进
参考文献
［1］ 李庆扬王超易义数值分析第四版[M]北京：清华学出版社2001
［2］ 董霖MATLAB详解第版[M]科学出版社2008
［3］ 龚纯王正林MATLAB语言常算法程序集[M]电子工业出版社2008
［4］ 李庆杨科学计算方法基础[M]北京：清华学出版社2006
［5］ 白峰杉数值计算引[M]北京高等教育出版社2004
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