23求极值值域专题
1求函数值域
2求函数值域
3求函数值域
4求函数值域
5已知函数（中）值域求实数
6已知：正实数求函数值
7已知：求：值
8设函数区间值值求区间
9已知：求函数值
10求函数：值
11求函数：值域
12已知实数满足求值
13求函数：值
14已知：求函数：值
15已知点椭圆求值
16求函数：值域
17求函数：值域
18求函数：值
19设：正实数满足
试求：值
20已知正实数满足
求：值
21设锐角求：值
22设锐角求证：
23已知正实数求证：
23求极值值域专题解析
1求函数值域
解析：函数定义域：
函数导函数：
⑴时
：函数区间单调递减函数：
：函数该区间值域
⑵时
：函数区间单调递增函数：
：函数该区间值域
综函数值域
2求函数值域
解析：函数定义域：
定系数法柯西等式解题
设：柯西等式：
：
令：： ①
柯西等式等号成立条件函数取极值时条件：
②
③
②：：： ④
①④代入③：
：
：
： ⑤
试解⑤：
代入④：时函数取极值
函数极值
⑴时函数区间单调递增函数 ：
：函数区间值域
⑵时函数区间单调递减函数 ：
：函数区间值域
综函数值域
3求函数值域
解析：函数定义域：
定系数法柯西等式解题
设：柯西等式：
：
令：： ①
柯西等式等号成立条件函数取极值时条件：
②
：：：
：：： ③
①式代入③式：
时函数达极值 极值：
函数导函数：
⑴区间时函数单调递增 ：
：函数区间值域
⑵区间时函数单调递减 ：
：函数区间值域
综函数值域
4求函数值域
解析：函数定义域： 函数：
（时取负号时取正号）
函数极值：
：
：：
⑴区间函数极值：
区间边界：
：函数该区间值域
⑵区间函数单调递减函数
：
：函数该区间值域
综函数值域
5已知函数（中）值域求实数
解析：函数定义域
函数变形：：
判式等式：
： ①
函数值域：
： ②
①②两式：：
：实数
6已知：正实数求函数值
解析：首先设代入：：：
⑴时均值等式：：
：
⑵时均值等式：：
：
⑶时均值等式：
代入已知条件 ：
：
：⑴⑵⑶值
7已知：求：值
解析：已知条件：：
代入：
：
令：方程变：
采判式法：：：
：值
8设函数区间值值求区间
解析：首先偶函数区间单调递增区间单调递减
⑴时单调递减函数：：
值值：
： （*）
（*）两式相减：
： ①
： ②
（*）两式相加：
①②式代入化简： ③
①③： 区间
⑵时值：
i值：
：解：
时区间
ii值：
：
： 符合题设时解
⑶时偶函数：：
值值：
：
：元二次方程两根
韦达定理：
：异号
符合题设时解
综区间
9已知：求函数值
解析：知函数定义域：
均值等式：
：
：
时取等式等号
：函数值
10求函数：值
解析：函数
定义域：
令：
：
：
时：
：：
取 值
正时函数取极值总结出类题解法解设代入：
： ：
：
：
两结果分应极值
极值
11求函数：值域
解析：先求函数定义域 定义域：
题采判式法解题
等价变形：
：
式面方程解判式：
：
：
：函数值域
题采换元法配方法做
令：
：
时：时达极值
12已知实数满足求值
解析：已知： ① ②
柯西等式： ③
①②代入③：
：：
： ④
判式：
：方程等号两根：
：
根柯西等式等号成立条件：
代入①式：： ⑤
代入②式：： ⑥
⑤⑥两式：：
：：
：：：
：⑴时：
⑵时：
值
13求函数：值
解析：定系数法柯西等式解题
设：柯西等式：
： ①
：
令：：
：设： ②
： ③
②③代入①： ④
柯西等式①中等号成立条件：
：：
： ：
：：
代入：
：：
：时柯西等式④中等号成立
：值
14已知：求函数：值
解析：函数定义域：
均值等式：
：
：：
时：时
：函数值
15已知点椭圆求值
解析：函数定义域：
柯西等式：
：：
柯西等式等号成立条件：：
代入：：：
：
⑴ 时
⑵时
函数值5
16求函数：值域
解析：函数定义域：
定系数法柯西等式解题
设：柯西等式：
： ①
令：： ②
柯西等式等号成立条件函数取极值时条件：
：：
： ③
②代入③：
函数极值：
⑴ 区间函数单调递增：
函数该区间值域
⑵ 区间函数单调递减：
函数该区间值域
综函数值域
17求函数：值域
解析：函数定义域：
题采判式法：
令： ①
： ②
：：
： ③
③判式：
：：：
：：
②式条件必须满足
时函数值域
18求函数：值
解析：均值等式：
时
值
19设：正实数满足
试求：值
解析：均值等式：
……
等式两边分相加：
：
值
20已知正实数满足
求：值
解析：
柯西等式：
：
：
值
21设锐角求：值
解析：
通分项合：
①
：
代入①式：
②
辅助角公式：
代入②式：
③
③式达值时达值
：时
时达值值
22设锐角求证：
解析：锐角函数定义域：
构造函数：
函数导函数：
：
：
：定义域区间函数单调递增函数
：： 证毕
23已知正实数求证：
解析：采定系数法解题：
令：（）：
： ①
令：代入：：：
代入①式： 证毕
种方法：参数法
令：代入：
证：证：
证：
证：
显然成立 证毕
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1求函数值域
2求函数值域
3求函数值域
4求函数值域
5已知函数（中）值域求实数
6已知：正实数求函数值
7已知：求：值
8设函数区间值值求区间
9已知：求函数值
10求函数：值
11求函数：值域
12已知实数满足求值
13求函数：值
14已知：求函数：值
15已知点椭圆求值
16求函数：值域
17求函数：值域
18求函数：值
19设：正实数满足
试求：值
20已知正实数满足
求：值
21设锐角求：值
22设锐角求证：
23已知正实数求证：
23求极值值域专题解析
1求函数值域
解析：函数定义域：
函数导函数：
⑴时
：函数区间单调递减函数：
：函数该区间值域
⑵时
：函数区间单调递增函数：
：函数该区间值域
综函数值域
2求函数值域
解析：函数定义域：
定系数法柯西等式解题
设：柯西等式：
：
令：： ①
柯西等式等号成立条件函数取极值时条件：
②
③
②：：： ④
①④代入③：
：
：
： ⑤
试解⑤：
代入④：时函数取极值
函数极值
⑴时函数区间单调递增函数 ：
：函数区间值域
⑵时函数区间单调递减函数 ：
：函数区间值域
综函数值域
3求函数值域
解析：函数定义域：
定系数法柯西等式解题
设：柯西等式：
：
令：： ①
柯西等式等号成立条件函数取极值时条件：
②
：：：
：：： ③
①式代入③式：
时函数达极值 极值：
函数导函数：
⑴区间时函数单调递增 ：
：函数区间值域
⑵区间时函数单调递减 ：
：函数区间值域
综函数值域
4求函数值域
解析：函数定义域： 函数：
（时取负号时取正号）
函数极值：
：
：：
⑴区间函数极值：
区间边界：
：函数该区间值域
⑵区间函数单调递减函数
：
：函数该区间值域
综函数值域
5已知函数（中）值域求实数
解析：函数定义域
函数变形：：
判式等式：
： ①
函数值域：
： ②
①②两式：：
：实数
6已知：正实数求函数值
解析：首先设代入：：：
⑴时均值等式：：
：
⑵时均值等式：：
：
⑶时均值等式：
代入已知条件 ：
：
：⑴⑵⑶值
7已知：求：值
解析：已知条件：：
代入：
：
令：方程变：
采判式法：：：
：值
8设函数区间值值求区间
解析：首先偶函数区间单调递增区间单调递减
⑴时单调递减函数：：
值值：
： （*）
（*）两式相减：
： ①
： ②
（*）两式相加：
①②式代入化简： ③
①③： 区间
⑵时值：
i值：
：解：
时区间
ii值：
：
： 符合题设时解
⑶时偶函数：：
值值：
：
：元二次方程两根
韦达定理：
：异号
符合题设时解
综区间
9已知：求函数值
解析：知函数定义域：
均值等式：
：
：
时取等式等号
：函数值
10求函数：值
解析：函数
定义域：
令：
：
：
时：
：：
取 值
正时函数取极值总结出类题解法解设代入：
： ：
：
：
两结果分应极值
极值
11求函数：值域
解析：先求函数定义域 定义域：
题采判式法解题
等价变形：
：
式面方程解判式：
：
：
：函数值域
题采换元法配方法做
令：
：
时：时达极值
12已知实数满足求值
解析：已知： ① ②
柯西等式： ③
①②代入③：
：：
： ④
判式：
：方程等号两根：
：
根柯西等式等号成立条件：
代入①式：： ⑤
代入②式：： ⑥
⑤⑥两式：：
：：
：：：
：⑴时：
⑵时：
值
13求函数：值
解析：定系数法柯西等式解题
设：柯西等式：
： ①
：
令：：
：设： ②
： ③
②③代入①： ④
柯西等式①中等号成立条件：
：：
： ：
：：
代入：
：：
：时柯西等式④中等号成立
：值
14已知：求函数：值
解析：函数定义域：
均值等式：
：
：：
时：时
：函数值
15已知点椭圆求值
解析：函数定义域：
柯西等式：
：：
柯西等式等号成立条件：：
代入：：：
：
⑴ 时
⑵时
函数值5
16求函数：值域
解析：函数定义域：
定系数法柯西等式解题
设：柯西等式：
： ①
令：： ②
柯西等式等号成立条件函数取极值时条件：
：：
： ③
②代入③：
函数极值：
⑴ 区间函数单调递增：
函数该区间值域
⑵ 区间函数单调递减：
函数该区间值域
综函数值域
17求函数：值域
解析：函数定义域：
题采判式法：
令： ①
： ②
：：
： ③
③判式：
：：：
：：
②式条件必须满足
时函数值域
18求函数：值
解析：均值等式：
时
值
19设：正实数满足
试求：值
解析：均值等式：
……
等式两边分相加：
：
值
20已知正实数满足
求：值
解析：
柯西等式：
：
：
值
21设锐角求：值
解析：
通分项合：
①
：
代入①式：
②
辅助角公式：
代入②式：
③
③式达值时达值
：时
时达值值
22设锐角求证：
解析：锐角函数定义域：
构造函数：
函数导函数：
：
：
：定义域区间函数单调递增函数
：： 证毕
23已知正实数求证：
解析：采定系数法解题：
令：（）：
： ①
令：代入：：：
代入①式： 证毕
种方法：参数法
令：代入：
证：证：
证：
证：
显然成立 证毕
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