高数学集合知识点总结
知识纳：
1集合关概念
1)集合(集)：某指定象集起成集合(集)中象元素
注意：①集合集合元素两概念教科书中通描述出面中点直线概念类似
②集合中元素具确定性(aaaa二者必居)互异性(aabaa≠b)序性({ab}{ba}表示集合)
③集合具两方面意义：符合条件象元素元素必须符号条件
2)集合表示方法：常列举法描述法图文法
3)集合分类：限集限集空集
4)常数集：nzqrn*
2子集交集集补集空集全集等概念
1)子集：x∈ax∈ba b(a b)
2)真子集：a b存x0∈bx0 a记a b( )
3)交集：a∩b{x| x∈ax∈b}
4)集：a∪b{x| x∈ax∈b}
5)补集：cua{x| x ax∈u}
注意：① aa≠ a
②
③ ab(等集)
3弄清集合元素集合集合关系掌握关术语符号特注意符号：(1) 区(2) 区(3) 区
4关子集等价关系
①a∩ba a b②a∪bb a b③a b c ua c ub
④a∩cub 空集 cua b⑤cua∪bi a b
5交集运算性质
①a∩aaa∩ a∩bb∩a②a∪aaa∪ aa∪bb∪a
③cu (a∪b) cua∩cubcu (a∩b) cua∪cub
6限子集数：设集合a元素数na2n子集2n1非空子集2n2非空真子集
二例题讲解：
例1已知集合m{x|xm+ m∈z}n{x|x n∈z}p{x|x p∈z}mnp满足关系
a) mn p b) m np c) m n p d) n p m
分析：判断元素性区入手
解答：集合m：{x|x m∈z}集合n：{x|x n∈z}
集合p：{x|x p∈z}3(n1)+13p+1表示3余1数6m+1表示6余1数m np选b
分析二：简单列举集合中元素
解答二：m{… …}n{… …}p{… …}时急判断三集合间关系应分析集合中元素
∈n ∈n∴m n m∴m n
p∴n p ∈n∴p npn选b
点评：思路二停留初纳假设没理解决问题提倡思路思路二易手
变式：设集合 ( b )
amn bm n cn m d
解：
时2k+1奇数k+2整数选b
例2定义集合a*b{x|x∈ax b}a{1357}b{235}a*b子集数
a)1 b)2 c)3 d)4
分析：确定集合a*b子集数首先确定元素数然利公式：集合a{a1a2…an}子集2n求解
解答：∵a*b{x|x∈ax b} ∴a*b{17}两元素a*b子集22选d
变式1：已知非空集合m {12345}a∈m6a∈m集合m数
a)5 b)6 c)7 d)8
变式2：已知{ab} a {abcde}求集合a
解：已知集合中必须含元素ab
集合a{ab}{abc}{abd}{abe}{abcd}{abce}{abde}
评析 题集合a数实集合{cde}真子集数
例3已知集合a{x|x2+px+q0}b{x|x24x+r0}a∩b{1}a∪b{213}求实数pqr值
解答：∵a∩b{1} ∴1∈b ∴124×1+r0r3
∴b{x|x24x+r0}{13} ∵a∪b{213}2 b ∴2∈a
∵a∩b{1} ∴1∈a ∴方程x2+px+q0两根21
∴ ∴
变式：已知集合a{x|x2+bx+c0}b{x|x2+mx+60}a∩b{2}a∪bb求实数bcm值
解：∵a∩b{2} ∴1∈b ∴22+m2+60m5
∴b{x|x25x+60}{23} ∵a∪bb ∴
∵a∩b{2} ∴a{2} ∴b(2+2)4c2×24
∴b4c4m5
例4已知集合a{x|(x1)(x+1)(x+2)>0}集合b满足：a∪b{x|x>2}a∩b{x|1
分析：先化简集合a然a∪ba∩b分确定数轴元素属b元素属b
解答：a{x|21}a∩b{x|12}知[11] b(∞2)∩bф
综合式b{x|1≤x≤5}
变式1：a{x|x3+2x28x>0}b{x|x2+ax+b≤0}已知a∪b{x|x>4}a∩bφ求ab(答案：a2b0)
点评：解关等式解集类集合问题应注意数形结合方法作出数轴解
变式2：设m{x|x22x30}n{x|ax10}m∩nn求满足条件a集合
解答：m{13} ∵m∩nn ∴n m
① 时ax10解∴a0 ②
综①②：求集合{10 }
例5已知集合 函数ylog2(ax22x+2)定义域qp∩q≠φ求实数a取值范围
分析：先原问题转化等式ax22x+2>0 解利参数分离求解
解答：(1) 解
令 时
a>4a取值范围
变式：关x方程 实根求实数a取值范围
解答：
点评：解决含参数问题题目般进行分类讨问题讨样避免讨思考类问题关键
三堂演练
选择题
1 列八关系式①{0} ② 0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }中正确数
(a)4 (b)5 (c)6 (d)7
2集合{123}真子集
(a)5 (b)6 (c)7 (d)8
3集合a{x } b{ } c{ }
(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) abc
4设ab全集u两子集a b列式子成立
(a)cua cub (b)cua cubu
(c)a cub (d)cua b
5已知集合a{ } b{ }a
(a)r (b){ }
(c){ } (d){ }
6列语句：(1)0{0}表示集合 (2)123组成集合表示
{123}{321} (3)方程(x1)2(x2)20解集合表示 {112} (4)集合{ }限集正确
(a)(1)(4) (b)(2)(3)
(c)(2) (d)语句
7设st两非空集合s tt s令xs s∪x
(a)x (b)t (c)φ (d)s
8设元二次方程ax2+bx+c0(a<0)根判式 等式ax2+bx+c 0解集
(a)r (b) (c){ } (d){ }
填空题
9直角坐标系中坐标轴点集合表示
10a{14x}b{1x2}a bbx
11a{x } b{x }全集ura
12方程8x2+(k+1)x+k70两负根k取值范围
13设集合a{ }b{x }a b实数k取值范围
14设全集u{x 20非负奇数}a (cub){3715}(cua) b{131719}(cua) (cub) a b
解答题
15(8分)已知集合a{a2a+13}b{a32a1a2+1} a b{3}求实数a
16(12分)设a b
中x r果a bb求实数a取值范围
四题答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
c c b c b c d d
填空题
9{(xy) } 100 11{x x 3} 12{ } 13{ } 14{15911}
解答题
15a1
16提示：a{04}a bbb a
()b 时 4(a+1)24(a21)<0a<1
()b{0}b{4}时 0 a1
()b{04} 解a1
综述实数a1 a 1
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知识纳：
1集合关概念
1)集合(集)：某指定象集起成集合(集)中象元素
注意：①集合集合元素两概念教科书中通描述出面中点直线概念类似
②集合中元素具确定性(aaaa二者必居)互异性(aabaa≠b)序性({ab}{ba}表示集合)
③集合具两方面意义：符合条件象元素元素必须符号条件
2)集合表示方法：常列举法描述法图文法
3)集合分类：限集限集空集
4)常数集：nzqrn*
2子集交集集补集空集全集等概念
1)子集：x∈ax∈ba b(a b)
2)真子集：a b存x0∈bx0 a记a b( )
3)交集：a∩b{x| x∈ax∈b}
4)集：a∪b{x| x∈ax∈b}
5)补集：cua{x| x ax∈u}
注意：① aa≠ a
②
③ ab(等集)
3弄清集合元素集合集合关系掌握关术语符号特注意符号：(1) 区(2) 区(3) 区
4关子集等价关系
①a∩ba a b②a∪bb a b③a b c ua c ub
④a∩cub 空集 cua b⑤cua∪bi a b
5交集运算性质
①a∩aaa∩ a∩bb∩a②a∪aaa∪ aa∪bb∪a
③cu (a∪b) cua∩cubcu (a∩b) cua∪cub
6限子集数：设集合a元素数na2n子集2n1非空子集2n2非空真子集
二例题讲解：
例1已知集合m{x|xm+ m∈z}n{x|x n∈z}p{x|x p∈z}mnp满足关系
a) mn p b) m np c) m n p d) n p m
分析：判断元素性区入手
解答：集合m：{x|x m∈z}集合n：{x|x n∈z}
集合p：{x|x p∈z}3(n1)+13p+1表示3余1数6m+1表示6余1数m np选b
分析二：简单列举集合中元素
解答二：m{… …}n{… …}p{… …}时急判断三集合间关系应分析集合中元素
∈n ∈n∴m n m∴m n
p∴n p ∈n∴p npn选b
点评：思路二停留初纳假设没理解决问题提倡思路思路二易手
变式：设集合 ( b )
amn bm n cn m d
解：
时2k+1奇数k+2整数选b
例2定义集合a*b{x|x∈ax b}a{1357}b{235}a*b子集数
a)1 b)2 c)3 d)4
分析：确定集合a*b子集数首先确定元素数然利公式：集合a{a1a2…an}子集2n求解
解答：∵a*b{x|x∈ax b} ∴a*b{17}两元素a*b子集22选d
变式1：已知非空集合m {12345}a∈m6a∈m集合m数
a)5 b)6 c)7 d)8
变式2：已知{ab} a {abcde}求集合a
解：已知集合中必须含元素ab
集合a{ab}{abc}{abd}{abe}{abcd}{abce}{abde}
评析 题集合a数实集合{cde}真子集数
例3已知集合a{x|x2+px+q0}b{x|x24x+r0}a∩b{1}a∪b{213}求实数pqr值
解答：∵a∩b{1} ∴1∈b ∴124×1+r0r3
∴b{x|x24x+r0}{13} ∵a∪b{213}2 b ∴2∈a
∵a∩b{1} ∴1∈a ∴方程x2+px+q0两根21
∴ ∴
变式：已知集合a{x|x2+bx+c0}b{x|x2+mx+60}a∩b{2}a∪bb求实数bcm值
解：∵a∩b{2} ∴1∈b ∴22+m2+60m5
∴b{x|x25x+60}{23} ∵a∪bb ∴
∵a∩b{2} ∴a{2} ∴b(2+2)4c2×24
∴b4c4m5
例4已知集合a{x|(x1)(x+1)(x+2)>0}集合b满足：a∪b{x|x>2}a∩b{x|1
分析：先化简集合a然a∪ba∩b分确定数轴元素属b元素属b
解答：a{x|21}a∩b{x|12}知[11] b(∞2)∩bф
综合式b{x|1≤x≤5}
变式1：a{x|x3+2x28x>0}b{x|x2+ax+b≤0}已知a∪b{x|x>4}a∩bφ求ab(答案：a2b0)
点评：解关等式解集类集合问题应注意数形结合方法作出数轴解
变式2：设m{x|x22x30}n{x|ax10}m∩nn求满足条件a集合
解答：m{13} ∵m∩nn ∴n m
① 时ax10解∴a0 ②
综①②：求集合{10 }
例5已知集合 函数ylog2(ax22x+2)定义域qp∩q≠φ求实数a取值范围
分析：先原问题转化等式ax22x+2>0 解利参数分离求解
解答：(1) 解
令 时
a>4a取值范围
变式：关x方程 实根求实数a取值范围
解答：
点评：解决含参数问题题目般进行分类讨问题讨样避免讨思考类问题关键
三堂演练
选择题
1 列八关系式①{0} ② 0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }中正确数
(a)4 (b)5 (c)6 (d)7
2集合{123}真子集
(a)5 (b)6 (c)7 (d)8
3集合a{x } b{ } c{ }
(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) abc
4设ab全集u两子集a b列式子成立
(a)cua cub (b)cua cubu
(c)a cub (d)cua b
5已知集合a{ } b{ }a
(a)r (b){ }
(c){ } (d){ }
6列语句：(1)0{0}表示集合 (2)123组成集合表示
{123}{321} (3)方程(x1)2(x2)20解集合表示 {112} (4)集合{ }限集正确
(a)(1)(4) (b)(2)(3)
(c)(2) (d)语句
7设st两非空集合s tt s令xs s∪x
(a)x (b)t (c)φ (d)s
8设元二次方程ax2+bx+c0(a<0)根判式 等式ax2+bx+c 0解集
(a)r (b) (c){ } (d){ }
填空题
9直角坐标系中坐标轴点集合表示
10a{14x}b{1x2}a bbx
11a{x } b{x }全集ura
12方程8x2+(k+1)x+k70两负根k取值范围
13设集合a{ }b{x }a b实数k取值范围
14设全集u{x 20非负奇数}a (cub){3715}(cua) b{131719}(cua) (cub) a b
解答题
15(8分)已知集合a{a2a+13}b{a32a1a2+1} a b{3}求实数a
16(12分)设a b
中x r果a bb求实数a取值范围
四题答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
c c b c b c d d
填空题
9{(xy) } 100 11{x x 3} 12{ } 13{ } 14{15911}
解答题
15a1
16提示：a{04}a bbb a
()b 时 4(a+1)24(a21)<0a<1
()b{0}b{4}时 0 a1
()b{04} 解a1
综述实数a1 a 1
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