考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 1
机事件概率
1概率定义性质
（1）概率公理化定义
设 Ω 样空间 A 事件事件 A
实数 P(A)满足列三条件：
1° 0≤P(A)≤1
2° P(Ω) 1
3° 两两互相容事件 1A 2A…
∑
∞

∞

⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
11
)(
i
i
i
i APAPΥ

常称列（完全）加性
称 P(A)事件 A 概率

（2）古典概型（等概型）
1° {}nωωω Λ21Ω
2°
nPPP n
1)()()( 21 ωωω Λ
设事件 A mωωω Λ21 组成
P(A){})()()( 21 mωωω ΥΛΥΥ
)()()( 21 mPPP ωωω +++Λ
n
m 基事件总数
包含基事件数A
2五公式（加法减法法全概
贝叶斯）
（1）加法公式
P(A+B)P(A)+P(B)P(AB)
P(AB)＝0 时P(A+B)P(A)+P(B)

（2）减法公式
P(AB)P(A)P(AB)
B⊂ A 时P(AB)P(A)P(B)
AΩ时P( B)1 P(B)

（3）条件概率法公式
定义 设 AB 两事件 P(A)>0称
)(
)(
AP
ABP 事件
A 发生条件事件 B 发生条件概率记
)(ABP)(
)(
AP
ABP
条件概率概率种概率性质适合条件概
率

（4）全概公式
设事件 nBBB 21 Λ 满足
1° nBBB 21 Λ 两两互相容
)21(0)( niBP i Λ>
2°
Υ
n
i
iBA
1
⊂


)|()()|()()|()()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBPAP +++ Λ

公式全概率公式

（5）贝叶斯公式
设事件 1B 2B… nB A 满足
1° 1B 2B… nB 两两互相容 )(BiP >0 i 1
2… n
2°
Υ
n
i
iBA
1
⊂
0)( >AP

∑

n
j
jj
ii
i
BAPBP
BAPBPABP
1
)()(
)()()(i12…n
公式贝叶斯公式
)( iBP（ 1i 2 …n ）通常先验概率 )(ABP i
（ 1i 2 … n ）通常称验概率果
A 作观察结果 1B 2B… nB 理解原
贝叶斯公式反映果概率规律作出
果朔推断

3事件独立性伯努利试验
（1）两事件独立性
设事件 AB 满足 )()()(BPAPABP 称事件
AB 相互独立（性质想然成立）
事件 AB 相互独立 0)( >AP
)()(
)()(
)(
)()|(BPAP
BPAP
AP
ABPABP

理解独立性致
事件 AB 相互独立 A BA B
A B 相互独立（证明）
定义知必然事件 Ω 事件 Ø
事件相互独立（证明）
时Ø 事件互斥

（2）事件独立性
设 ABC 三事件果满足两两独立条件 考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 2
P(AB)P(A)P(B)P(BC)P(B)P(C)P(CA)P(C)P(A)
时满足 P(ABC)P(A)P(B)P(C)
ABC 相互独立
n 事件类似
两两互斥→互相互斥
两两独立→互相独立？

（3）伯努利试验
定义 作 n 次试验满足
次试验两种结果 A 发生 A 发生
n 次试验重复进行 A 发生概率次均
样
次试验独立次试验 A 发生否
次试验 A 发生否互影响
种试验称伯努利概型称 n 重伯努利试验
p 表示次试验 A 发生概率 A 发生概率
qp −1 )(kPn 表示 n 重伯努利试验中 A 出现
)0( nkk ≤≤ 次概率
二 机变量分布
1机变量分布函数
（1）离散型机变量分布率
设离散型机变量 X 取值 Xk(k12…)取
值概率事件(XXk)概率
P(Xxk)pkk12…
称式离散型机变量 X 概率分布分布律
时分布列形式出：
ΛΛ
ΛΛ

|)( 21
21
k
k
k ppp
xxx
xXP
X

显然分布律应满足列条件：
（1） 0≥kp Λ21k
（2）
∑
∞


1
1
k
kp


（2）分布函数
非离散型机变量通常 0)( xXP
分布率表达例日光灯寿命 X 0)( 0 xXP
考虑 X 落某区间 ]( ba 概率表示
定义 设 X 机变量 x 意实数函数
)()( xXPxF ≤
称机变量 X 分布函数
)()()( aFbFbXaP −≤< X 落入区
间 ]( ba 概率说分布函数完整描述机
变量 X 机取值统计规律性
分布函数 )(xF 普通函数表示机变量
落入区间（– ∞x]概率
)(xF 图形阶梯图形 Λ 21 xx 第类间断
点机变量 X kx 处概率 )(xF kx 处跃
度
分布函数具性质：
1° 1)(0 ≤≤ xF +∞<<∞− x
2° )(xF 单调减函数 21 xx < 时
≤)( 1xF)( 2xF
3° 0)(lim)( −∞
−∞→
xFF
x

1)(lim)( +∞
+∞→
xFF
x

4° )()0( xFxF + )(xF 右连续
5° )0()()( −− xFxFxXP

（3）连续型机变量密度函数
定义 设 )(xF 机变量 X 分布函数存非负函
数 )(xf 意实数 x
∫ ∞−
x
dxxfxF)()(
称 X 连续型机变量 )(xf 称 X 概率密度函
数密度函数简称概率密度 )(xf 图形条曲线
称密度（分布）曲线
式知连续型机变量分布函数 )(xF 连续函
数

)()()()()()( 1221212121 xFxFxXxPxXxPxXxPxXxP −<<<≤≤<≤≤

密度函数具面 4 性质：
1° 0)( ≥xf
2° ∫+∞
∞−
1)( dxxf 考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 3
1)()( +∞ ∫+∞
∞−
dxxfF 意义横轴面密度
曲线面全部面积等 1
果函数 )(xf 满足 1°2°定某机变量
密度函数
3° )( 21 xXxP ≤< ＝ )()( 12 xFxF − ＝ ∫
2
1
)(
x
x
dxxf
4° )(xf x 处连续 )()( xfxF ′
dxxfdxxXxP)()( ≈+≤<
连续型机变量理中起作 kk pxXP )(
离散型机变量理中起作相类似
)()( 独立性古典概型五公式APAE →→Ω→ ω
)()()()( xXPxFxXX ≤→≤→ ωω
连续型机变量 X然 0)( xXP事件
)( xX 非事件 Ø
∫
+
+≤<≤
hx
x
dxxfhxXxPxXP)()()(
令 0→h 右端零概率 0)( ≥ xXP
0)( xXP
事件（Ø）概率零概率零事件定
事件理必然事件（Ω）概率 1概率
1 事件定必然事件

2常见分布
①0－1 分布
P(X1)p P(X0)q

②二项分布
n 重贝努里试验中设事件 A 发生概率 p 事件 A 发
生次数机变量设 X X 取值
n210 Λ
knkk
nn qpkPkXPC − )()( 中
nkppq 210101 Λ<<−
称机变量 X 服参数 n p 二项分布记
)(~ pnBX
nknkk
n
n
n
nn pqpqpnpqqkXP
X
CC
|)( 2221 ΛΛ −−−

容易验证满足离散型分布率条件
1n 时 kk qpkXP − 1)( 10k （01）
分布（01）分布二项分布特例

③泊松分布
设机变量 X 分布律
λλ − ekkXP
k
)( 0>λ Λ210k
称机变量 X 服参数 λ 泊松分布记
)(~ λπX 者 P( λ )
泊松分布二项分布极限分布（npλn→∞）

④超分布
)min(
210)( nMl
lk
C
CCkXP n
N
kn
MN
k
M

•
−
− Λ
机变量 X 服参数 nNM 超分布

⑤分布
Λ321)( 1 − kpqkXP k 中 p≥0q1p
机变量 X 服参数 p 分布

⑥均匀分布
设机变量 X 值落[ab]密度函数 )(xf
[ab]常数 k

⎩
⎨
⎧ 0
)( kxf
中 k
ab −
1
称机变量 X [ab]服均匀分布记 X~U(a
b)
分布函数




0 xab
ax
−
−
a≤x≤b
a≤x≤b 考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 4
∫ ∞−
x
dxxfxF)()(

a≤x1P( ∫∫−<< 2
1
2
1
1)()21
x
x
x
x abdxxfxXx ab
xxdx −
− 12


⑦指数分布
设机变量 X 密度函数




中 0>λ 称机变量 X 服参数 λ 指数分布
X 分布函数





记住积分：
1
0
∫
+∞
− dxxe x 2
0
2 ∫
+∞
− dxex x
)1(
0
1 −∫
+∞
−− ndxex xn
∫
+∞
−−Γ
0
1 )( dxex xαα )()1( ααα Γ+Γ

⑧正态分布
设机变量 X 密度函数
2
2
2
)(
2
1)( σ
µ
σπ
−−

x
exf +∞<<∞− x
中 µ 0>σ 常数称机变量 X 服参数
µ σ 正态分布高斯（Gauss）分布记
)(~ 2σµNX
)(xf 具性质：
1° )(xf 图形关 µx 称
2° µx 时
σπ
µ
2
1)( f 值
3° )(xf ox 轴渐线
特σ 固定改变 µ 时 )(xf 图形形状变集
体 ox 轴行移动 µ 称位置参数 µ 固定
改变σ 时 )(xf 图形形状发生变化σ 变 )(xf
图形形状变坦称σ 形状参数

)(~ 2σµNX X 分布函数
dtexF x
t
∫ ∞−
−−
2
2
2
)(
2
1)( σ
µ
πσ

参数 0µ 1σ 时正态分布称标准正态分布记
)10(~ NX密度函数记
2
2
2
1)(
x
ex −

π
ϕ
+∞<<∞− x
分布函数
dtex x t
∫ ∞−
−
Φ 2
2
2
1)(
π )(xΦ 求积函数函数值
已编制成表供查
φ(x) Φ(x)性质：
1° φ(x)偶函数φ(x)＝φ(x)
2° x0 时φ(x)＝
π2
1 值
3° Φ(x)＝1Φ(x) Φ(0)＝
2
1
果 X ~ )( 2σµN
σ
µ−X ~ )10(N
通变换 )(xF 计算转化 )(xΦ 计
算 )(xΦ 值通查表
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −Φ−⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −Φ≤< σ
µ
σ
µ 12
21 )( xxxXxP
分位数定义

3机变量函数分布
机变量Y 机变量 X 函数 )(XgY X 分
布函数 )(xFX 密度函数 )(xf X 知道求出
)(XgY 分布函数 )(yFY 密度函数 )(yfY
（1） X 离散型机变量
已知 X 分布列


ΛΛ
ΛΛ


)( 21
21
n
n
i ppp
xxx
xXP
X



显然 )(XgY 取值
ΛΛ)()()( 21 nxgxgxg )( ixg 互相等Y
分布列：
ΛΛ
ΛΛ

)()()(
)( 21
21
n
n
i ppp
xgxgxg
yYP
Y


1 x>b
)(xf
xe λλ −
0≥x
0 0)(xF
1 xe λ−− 0≥x
0 x<0 考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 5
某 )( ixg 相等应应 iP 相加作 )( ixg 概
率

（2） X 连续型机变量
先利 X 概率密度 fX(x)写出 Y 分布函数 FY(y)利
变限积分求导公式求出 fY(y)

三二维机变量分布
1二维机变量基概念
（1）二维连续型机量联合分布密度边缘分布
二维机量 )(YXξ 果存非负函数
))(( +∞<<−∞+∞<<−∞ yxyxf 意邻
边分行坐标轴矩形区域 D
D{(XY)|a∫∫∈
D
dxdyyxfDYXP)(}){(
称ξ 连续型机量称 f(xy)ξ （XY）分
布密度称 X Y 联合分布密度
分布密度 f(xy)具面两性质：
（1） f(xy)≥0
（2） ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
1)( dxdyyxf
般说（XY）连续型机量联合分布
密度 f(xy) X Y 边缘分布密度
)()()()( ∫∫ +∞
∞−
+∞
∞−
dxyxfyfdyyxfxf YX
注意：联合概率分布→边缘分布

（2）条件分布
（XY）离散型联合分布律
)21()}(){( Λ jipyxYXP ijji
已知 Xxi 条件Y 取值条件分布
)|(
•

i
ij
ij p
p
xXyYP
中 pi• p•j 分 XY 边缘分布
（XY）连续型机量联合分布密度 f(xy)
已知 Yy 条件X 条件分布密度
)(
)()|( yf
yxfyxf
Y

已知 Xx 条件Y 条件分布密度
)(
)()|( xf
yxfxyf
X

中 0)(0)( >> yfxf YX 分 XY边缘分布密度

（3）常见二维分布

①均匀分布
设机量（XY）分布密度函数
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧ ∈

0
)(1
)(
DyxS
yxf
D

中 SD 区域 D 面积称（XY）服 D 均匀
分布记（XY）～U（D）

②正态分布

设机量（XY）分布密度函数

12
1)(
2
2
2
21
21
2
1
1
2
21
))((2
)1(2
1
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+−−−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−
−
−
σ
µ
σσ
µµρ
σ
µ
ρ
ρσπσ
yyxx
eyxf

中 1||00 2121 <>> ρσσµµ 5 参数称
（XY）服二维正态分布
记（XY）～N（ ) 2
2
2
121 ρσσµµ
边缘密度计算公式推出二维正态分布两
边缘分布正态分布反推错
X～N（ )(~) 2
22
2
11 σµσµ NY

（5）二维机量联合分布函数性质
设（XY）二维机变量意实数 xy二元函
数
}{)( yYxXPyxF ≤≤
称二维机量（XY）分布函数称机变
量 X Y 联合分布函数
分布函数全面定义域事件
})()(|){( 2121 yYxX ≤<−∞≤<−∞ ωωωω 概率
函数值实值函数分布函数 F(xy)具基
性质：
（1） 1)(0 ≤≤ yxF 考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 6
（2）F（xy）分 x y 非减
x2>x1 时F（x2y）≥F(x1y) y2>y1 时 F(xy2) ≥
F(xy1)
（3）F（xy）分 x y 右连续
)0()()0()( ++ yxFyxFyxFyxF
（4）
1)(0)()()( +∞+∞−∞−∞−∞−∞ FxFyFF
2机变量独立性
（1）连续型机变量
f(xy)fX(x)fY(y)
联合分布→边缘分布→f(xy)fX(x)fY(y)

直接判断充条件：
①分离变量
②正概率密度区间矩形

（2）二维正态分布

12
1)(
2
2
2
21
21
2
1
1
2
21
))((2
)1(2
1
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+−−−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−
−
−
σ
µ
σσ
µµρ
σ
µ
ρ
ρσπσ
yyxx
eyxf

ρ0

（3）机变量函数独立性
X Y 独立hg 连续函数：h（X） g（Y）独立

四 机变量数字特征
（1）维机变量函数期
①设 X 离散型机变量分布律 P( kxX )＝pk
k12…n
∑


n
k
kk pxXE
1
)(
期均值
②设 X 连续型机变量概率密度 f(x)
∫
+∞
∞−
dxxxfXE)()(
③数学期性质
（1） E(C)C
（2） E(CX)CE(X)
（3） E(X+Y)E(X)+E(Y) ∑∑


n
i
n
i
iiii XECXCE
11
)()(
（4） E(XY)E(X) E(Y)充分条件：X Y 独立
充条件：X Y 相关
（5） Yg(X)
离散： ∑


n
i
kk pxgYE
1
)()(
连续： ∫
+∞
∞−
dxxxfXE)()(
∫
+∞
∞−
dxxfxgYE)()()(
（2）方差
D(X)E[XE(X)]2方差
)()(XDX σ 标准差
①离散型机变量
∑ −
k
kk pXExXD 2)]([)(
②连续型机变量
∫
+∞
∞−
− dxxfXExXD)()]([)( 2
③方差性质
（1） D(C)0E(C)C
（2） D(aX)a2D(X) E(aX)aE(X)
（3） D(aX+b) a2D(X) E(aX+b)aE(X)+b
（4） D(X)E(X2)E2(X)
（5） D(X+Y)D(X)+D(Y)充分条件：X Y 独立
充条件：X Y 相
关
D(X ± Y)D(X)+D(Y) ±
2E[(XE(X))(YE(Y))]条件成立
E(X+Y)E(X)+E(Y)条件成立
（3）常见分布数学期方差

分布
名称 符号 均值 方差
01
分布 )1( pB p )1( pp −
二项
分布 )( pnB np )1( pnp −
泊松
分布 )(λP λ λ

分布 )( pG p
1 2
1
p
p− 考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 7
超
分
布
)(NMnH
N
nM ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
−
−⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ − 11 N
nN
N
M
N
nM
均匀
分布
)( baU
2
ba +
12
)( 2ab −
指数
分布
)(λe
λ
1 2
1
λ

正态
分布 )( 2σµN µ 2σ
①0－1 分布
X 0 1
q p
E(X)pD(X)pq

②二项分布 X~B(np) knkk
nn qpCkP −)(（k012…n）
E(X)npD(X)npq

③泊松分布 P(λ) P(Xk)
k
e xk −λ k012…
E(X) λ D(X) λ

④超分布 n
N
kn
MN
k
M
C
CCkXP
−
− )(
E(X)
N
nM

⑤分布 1)( − kpqkXPk012…
E(X)
p
1 D(X) 2p
q

⑥均匀分布 X~U[ab]f(x)
ab −
1 [a b ]
E(X)
2
ba + D(X)
12
)( 2ab −

⑦指数分布 f(x) xe λλ − (x>0)
E(X)
λ
1 D(X) 2
1
λ


⑧正态分布 X~N(μσ2) 2
2
2
)(
2
1)( σ
µ
σπ
−−

x
exf
E(X) μ D(X) σ2
2二维机变量数字特征
（1）协方差相关系数
机变量 X Y称二阶混合中心矩 11µ X
Y 协方差相关矩记 )cov( YXXY σ
))]())(([(11 YEYXEXEXY −− µσ
记号 XYσ 相应X Y 方差 D（X） D（Y）
分记 XXσ YYσ
协方差面性质：
(i) cov (X Y)cov (Y X)
(ii) cov(aXbY)ab cov(XY)
(iii) cov(X1+X2 Y)cov(X1Y)+cov(X2Y)
(iv) cov(XY)E(XY)(E(X))(E(Y))
机变量 X Y果 D（X）>0 D(Y)>0称
)()(YDXD
XYσ
X Y 相关系数记作 XYρ （时简记 ρ ）
|ρ |≤1| ρ |1 时称 X Y 安全相关：

完全相关
⎩
⎨
⎧
−

时负相关
时正相关
1
1
ρ
ρ
0ρ 时称 X Y 相关
相关系数关重结
（i） 机变量 X Y 相互独立 0XYρ
反真
（ii） （XY）～N（ ρσσµµ 2
2
2
121 ） X
Y 相互独立充条件 0ρ XY
相关
（iii） 五命题等价：
① 0XYρ
②cov(XY)0 考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 8
③E(XY)E(X)E(Y)
④D(X+Y)D(X)+D(Y)
⑤D(XY)D(X)+D(Y)
（2）二维机变量函数期
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧

∫∫
∑∑
∞+
∞
∞+
∞－－
连续型
离散型
)()()(
)()(
)]([
YXdxdyyxfyxG
YXpyxG
YXGE
ij
ijji


（3）原点矩中心矩

①正整数 k称机变量 X k 次幂数学期 X
k 阶原点矩记 vk
ukE(Xk) k12 …

⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧

∫
∑
∞+
∞−
)( 续型时连
离散型时
Xdxxpx
Xpx
u
k
i
i
k
i
k
②正整数 k称机变量 X E（X）差 k 次幂数学
期 X k 阶中心矩记 kµ
21))((Λ− kXEXE k
kµ

⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
−

∫
∑
∞+
∞−
)())((
))((
续型时连
离散型时
XdxxpXEx
XpXEx
u
k
i
i
k
i
k
③机变量 X Y果 )( lkYXE 存称 X
Yk+l 阶混合原点矩记 klu
))](())([( YEYXEXEu k
kl −−
五 数定律中心极限定理
1切雪夫等式
设机变量 X 具数学期 E（X）μ方差 D（X）σ2
意正数ε列切雪夫等式
2
2
)(
ε
σεµ ≤≥−XP
切雪夫等式出未知 X 分布情况概
率
)( εµ ≥−XP
种估计理重意义
2数定律
（1）切雪夫数定律
（求方差界）
设机变量 X1X2…相互独立均具限方差
常数 C 界：D（Xi）数ε
1)(11lim
11
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ <− ∑∑
∞→
ε
n
i
i
n
i
in
XEnXnP
特殊情形： X1X2…具相数学期 E（XI）
μ式成
11lim
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ <−∑
∞→
εµ
n
i
in
XnP
者简写成：
()1lim <−
∞→
εµXP
n

切雪夫数定律指出n 相互独立具限
相数学期方差机变量 n 时
算术均概率接数学期
（2）伯努利数定律
设μ n 次独立试验中事件 A 发生次数p 事件
A 次试验中发生概率意正数ε
1lim ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ <−
∞→
εµ pnP
n

伯努利数定律说明试验次数 n 时事件 A
发生频率概率较判性
0lim ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ≥−
∞→
εµ pnP
n

严格数学形式描述频率稳定性

（3）辛钦数定律
（求存方差）
设X1X2…Xn…相互独立分布机变量
序列 E（Xn）μ意正数ε
11lim
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ <−∑
∞→
εµ
n
i
in
XnP
考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 9
3中心极限定理
（1）列维－林德伯格定理
设机变量 X1X2…相互独立服分布具
相数学期方差：
)21(0)()( 2 Λ≠ kXDXE kk σµ 机变量
σ
µ
n
nX
Y
n
k
k
n
∑

−
1
分布函数 Fn(x)意实数 x
∫
∑
∞−
−
∞→∞→

⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤
−
x t
n
k
k
nnn
dtex
n
nX
PxF
2
1lim)(lim 21
2
πσ
µ

者简写成： )10(

N
n
X
n ⎯⎯→⎯−
∞→σ
µ
定理称独立分布中心极限定理

（2）棣莫弗－拉普拉斯定理
设机变量 X1…Xn 均具参数 n p(0分布意实数 x
∫ ∞−
−
∞→

⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
−
− x t
n
n
dtex
pnp
npXP
2
1
)1(
lim 2
2
π

4二项定理泊松定理
（1）二项定理
)( 变时 knpN
MN →∞→
knkk
nN
N
kn
MN
K
M pPC
C
CC −
−
− −→ )1( )( ∞→N
见超分布极限分布二项分布
（2）泊松定理
0 >→∞→ λnpn 时
λλ −− →− ekpPC
k
knkk
n )1( )( ∞→n
中 k012…n…

六 数理统计基概念
1总体体样
（1）总体样
总体 数理统计中常考察象某
（）指标全体称总体（母体）总
体中单元称样品（体）讨中
总总体成具分布机变量（机
量）
（2）样函数统计量
设 nxxx 21 Λ 总体样称
ϕϕ （ nxxx 21 Λ）
样函数中ϕ 连续函数果ϕ 中包含
未知参数称ϕ （ nxxx 21 Λ）统计量

2统计量
（1）常统计量
样均值 1
1
∑


n
i
ixnx
样方差
∑

−−
n
i
i xxnS
1
22 )(1
1

（概率中方差定义）

样标准差 )(1
1
1
2∑

−−
n
i
i xxnS
样 k 阶原点矩 ∑


n
i
k
ik kxnM
1
211 Λ
样 k 阶中心矩
∑

−′
n
i
k
ik kxxnM
1
32)(1 Λ
（二阶中心矩
∑

−
n
i
i XXnS
1
22 )(1* 概率中方差定义相）

（2）统计量期方差
µ)(XE
nXD
2
)( σ 考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 10
22 )( σSE 22 1)*( σn
nSE −
中 ∑

−
n
i
i XXnS
1
22 )(1*二阶中心矩

3三抽样分布（χ2tF 分布）
（1）χ2 分布
设 n 机变量 nXXX 21 Λ 相互独立服标准正态
分布证明：方
∑


n
i
iXW
1
2
分布密度
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
≥
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛Γ
−−
00
0
22
1
)(
2
1
2
2
u
ueu
nuf
un
n

称机变量 W 服度 n 2κ 分布记 W～
2κ (n)中
2 0
1
2 dxexn x
n
−∞+ −
∫⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛Γ
谓度指独立正态机变量数机变量分
布中重参数

2κ 分布满足加性：设
)(2
ii nY κ−

)(~ 21
1
2
k
k
i
i nnnYZ +++ ∑

Λκ
注意两结果：E(χ2)nD(χ2)2n
（2）t 分布
设 XY 两相互独立机变量
)(~)10(~ 2 nYNX κ
证明：函数
nY
XT


概率密度
2
1
2
1
2
2
1
)(
+−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛Γ
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +Γ

n
n
t
nn
n
tf
π
)( +∞<<−∞ t
称机变量 T 服度 n t 分布记 T～
t(n)
注意两结果：E(T)0D(T)
2−n
n (n>2)

（3）F 分布
设 )(~)(~ 2
2
1
2 nYnX κκ X Y 独立证明：
2
1


nY
nXF 概率密度函数
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛Γ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛Γ
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +Γ

+−
−
0
1
22
2
)(
2
2
11
2
2
2
1
21
21 21
1
1
y
yyn
nyn
n
nn
nn
yf
nn
n
n

称机变量 F 服第度 n1第二
度 n2 F 分布记 F～f(n1 n2)

正态分布 αα µµ −−1
)()(1 ntnt αα −−
)(
1)(
12
211 nnFnnF
α
α −
4正态总体统计量分布性质
注意定理： X 2S 独立

（1）正态分布 设 nxxx 21 Λ 正态
总体 )( 2σµN 样样函数
)10(~

N
n
xu
def
σ
µ−

（2）t分布 设 nxxx 21 Λ 正态总体考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 11
)( 2σµN 样样函数
)1(~

−− nt
nS
xt
def µ
中 t(n1)表示度 n1 t 分布

（3） 2κ 分 布 设 nxxx 21 Λ 正态总
体 )( 2σµN 样样函数
)1(~)1( 2
2
2
−− nSnw
def
κ
σ

中 )1(2 −nκ 表示度 n1 2κ 分布

（4）F 分布 设 nxxx 21 Λ 正态总体
)( 2σµN 样 nyyy 21 Λ 正态总体
)( 2
2σµN 样样函数
)11(~


212
2
2
2
2
1
2
1 −− nnF
S
SF
def
σ
σ
中
)(1
1 2
11
2
1
1
∑

−−
n
i
i xxnS )(1
1 2
12
2
2
2
∑

−−
n
i
i yynS
)11( 21 −− nnF 表示第度 11 −n 第二度
12 −n F 分布

七 参数估计
1点估计两种方法
（1）矩法
谓矩法利样阶原点矩相应总体矩
建立估计量应满足方程求未知参数估计量方
法
设总体 X 分布中包含未知数 mθθθ 21 Λ分
布函数表成 )( 21 mxF θθθ Λ 显示 k 阶原点矩
)21)(( mkXEv k
k Λ 中包含未知参数
mθθθ 21 Λ )( 21 mkk vv θθθ Λ 设
nxxx 21 Λ 总体 X n 样值样 k 阶原
点矩
∑

∧

n
i
k
ik xnv
1
1 )21( mk Λ
样参数等估计量时总体矩等
相应样矩原建立方程
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧



∑
∑
∑

∧∧∧

∧∧∧

∧∧∧
n
i
m
imm
n
i
im
n
i
im
xnv
xnv
xnv
1
21
1
2
212
1
211
1)(
1)(
1)(
θθθ
θθθ
θθθ
Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
Λ
Λ

面 m 方程中解出 m 未知参数
)( 21
∧∧∧
mθθθ Λ 参数（ mθθθ 21 Λ）矩估计量
（2）似然法
谓似然法样函数值估计总
体参数时应参数取值时观测样
出现概率
总体 X 连续型机变量时设分布密度
)( 21 mxf θθθ Λ中 mθθθ 21 Λ 未知参数
设 nxxx 21 Λ 总体样称
)()(
1
11 22 ∏


n
i
mimn xfL θθθθθθ ΛΛ
样似然函数简记 Ln
总体 X 离型机变量时设分布律
)(}{ 21 mxpxXP θθθ Λ 称
)()(
1
111 222 ∏


n
i
mimn xpxxxL θθθθθθ ΛΛΛ
样似然函数
似然函数 )( 22 11 mnxxxL θθθ ΛΛ
m
∧∧∧
θθθ 21 Λ 处取值称 m
∧∧∧
θθθ 21 Λ 分考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 12
mθθθ 21 Λ 似然估计值相应统计量称似
然估计量 Ln 达 m
∧∧∧
θθθ 21 Λ 分作
mθθθ 21 Λ 估计量方法称似然估计法
lnx 递增函数 Ln lnLn 时达
值称
miL
iii
n 210ln Λ∂
∂
∧
θθθ
似然方程元微分学知似然方程求出
)21)(( 21 mixxx nii ΛΛ
∧∧
θθ iθ 似然估计
量
容易出 Ln 达 i
∧
θ 组样值
出现性

2估计量评选标准
（1）偏性
设 )( 21 nxxx Λ
∧∧
θθ 求知参数θ 估计量 E
（
∧
θ ）θ 称
∧
θ θ 偏估计量
总体 X 均值 E（X）方差 D（X）存样
均值 x 样方差 S2 分 E（X） D（X）偏估计

E（ x ）E（X） E（S2）D（X）
（2）效性
设 )( 2111 nxxx Λ
∧∧
θθ )( 2122 nxxx Λ
∧∧
θθ
未知参数θ 两偏估计量 21 )(
∧∧
< θθ DD称
21
∧∧
θθ 效
（3）致性（相合性）
设n
∧
θ θ 串估计量果意正数ε
0)|(|lim >−
∧
∞→
εθθ n
n
P
称 n
∧
θ θ 致估计量（相合估计量）


3区间估计
（1）置信区间置信度
设总体 X 含估未知参数θ 果样
nxxx 21 Λ 出发找出两统计量
)( 2111 nxxx Λθθ
)( 2122 nxxx Λθθ )( 21 θθ < 区间 ][ 21 θθ
)10(1 <<− αα 概率包含估参数θ
1}{ 21 αθθθ −≤≤P
称区间 ][ 21 θθ θ 置信区间 α−1 该区间
置信度（置信水）

（2）单正态总体期方差区间估计
设 nxxx 21 Λ 总体 )(~ 2σµNX 样
置信度 α−1 确定 2σµ 置信区
间 ][ 21 θθ 具体步骤：
（i）选择样函数
（ii）置信度 α−1 查表找分位数
（iii）导出置信区间 ][ 21 θθ
面分三种情况讨
① 已知方差估计均值
（i）选择样函数
设方差 2
0
2 σσ 中 2
0σ 已知数知道
µ∑


n
i
ixnx
1
1 点估计知道包含未知参数
µ 样函数
)10(~
0
N
n
xu
σ
µ−
(ii) 查表找分位数
定置信度 α−1 查正态分布分位数表找出分
位数 λ
≤ )|(| λuP α−1
考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 13
1
2
αλ
σ
µλ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≤−≤−
n
xP
（iii）导出置信区间
等式
λσ
µλ ≤−≤−
2
)( nx
推
00
n
x
n
x σλµσλ +≤≤−
说机区间
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +−
n
x
n
x 00 σλσλ
α−1 概率包含 µ
② 未知方差估计均值
（i）选择样函数
设 nxxx 21 Λ 总体 )( 2σµN 样
2σ 未知选取样函数 u时样方差
∑

−−
n
i
i xxnS
1
22 )(1
1
代 2σ 选取样函数
)1(~

−− nt
nS
xt µ
(ii)查表找分位数
定置信度 α−1 查 t 分位数表找出分位数 λ

≤ )|(| λuP α−1

1

αλµλ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ≤−≤−
nS
xP
（iii）导出置信区间
等式
λσ
µλ ≤−≤−
2
)( nx
推

n
Sx
n
Sx λµλ +≤≤−
说机区间
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +−
n
Sx
n
Sx λλ
α−1 概率包含 µ
③ 方差区间估计
（i）选择样函数
设 nxxx 21 Λ 总体 )( 2σµN 样
知道 ∑

−−
n
i
i xxnS
1
22 )(1
1
2σ 点估计知道包含未知参数 2σ 样
函数
)1(~)1( 2
2
2
−− nSn κ
σ
ω
（ii）查表找分位数
定置信度 α−1 查 2κ 分布分位数表找
出两分位数 21 λλ 2κ 分布具称性
通常采取概率称区间
1)( 21 αλωλ −≤≤P

1)1(
22
2
1 αλ
σ
λ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ≤−≤ SnP
（iii）导出置信区间
22
2
1
)1( λ
σ
λ ≤−≤ Sn
等式
1
2
2
2
2 )1()1(
λσλ
SnSn −≤≤−
α−1 概率包含 2σ 机区间
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −− SnSn
12
11
λλ
α−1 概率包含σ
考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 1
函数概念
1．变限积分表示函数
（1）()dttfy x
∫ 0
中 ()tf 连续 ()xfdx
dy
（2）()()
()
dttfy x
x∫ 2
1
ϕ
ϕ
中 ()x1ϕ ()x2ϕ 导 ()tf
连续
()[]() ()[]()xxfxxfdx
dy
1122 ϕϕϕϕ ′−′
2．两穷较
设 () 0lim xf () 0lim xg ()
() lxg
xf lim
（1） 0l 称 ()xf ()xg 高阶穷记
() ()[]xgxf 0 称 ()xg ()xf 低阶穷

（2） 0≠l 称 ()xf ()xg 阶穷
（3） 1l 称 ()xf ()xg 等价穷记
() ()xgxf ~
3．常见等价穷
0→x 时
xx ~sin xx ~tan xx ~arcsin xx ~arctan
2
2
1~cos1 xx− xe x ~1− ()xx ~1ln +
() xx αα ~11 −+
二．求极限方法
1．利极限四运算幂指数运算法
2．两准
准 1．单调界数列极限定存
（1） nn xx ≤+1 （ n 正整数） mxn ≥ （ n 正
整数） Axnn

∞→
lim 存 mA ≥
（2） nn xx ≥+1 （ n 正整数） Mxn ≤ （ n 正
整数） Axnn

∞→
lim 存 MA ≤
准 2．（夹逼定理）设 () () ()xhxfxg ≤≤
() Axg lim () Axh lim () Axf lim
3．两重公式
公式 1． 1sinlim
0

→ x
x
x

公式 2 ． en
n
n
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +
∞→
11lim eu
u
u
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +
∞→
11lim
()ev v
v
+
→
1
0
1lim
4．穷重性质等价穷代换
5．泰勒公式（等价穷更深刻） （数学
数学二）
0→x 时 ()n
n
x xn
xxxe 021
2
+++++Λ
()()()12
1253
012153sin +
+
++−+++− n
n
n xn
xxxxx Λ
()() ()n
n
n xn
xxxx 2
242
021421cos +−+−+−Λ
() () ()n
n
n xn
xxxxx 01321ln 1
32
+−+−+−+ +Λ
() ()12
12
1
53
012153arctan +
+
+ ++−+−+− n
n
n xn
xxxxx Λ
() ()() ()[]()nn xxn
nxxx 0
11
2
111 2 +−−−++−+++ ααααααα ΛΛ

6．洛必达法
法 1．（
0
0 型）设（1）() 0lim xf () 0lim xg
（2） x 变化程中 ()xf ′()xg′ 皆存
（3）()
() Axg
xf ′
′lim （ ∞ ）
()
() Axg
xf lim （ ∞ ）
（注：果 ()
()xg
xf
′
′lim 存穷量情形
出 ()
()xg
xflim 存穷量情形）
法 2．（
∞
∞ 型 ）设（ 1）() ∞xflim () ∞xglim
（2） x 变化程中 ()xf ′()xg′ 皆存 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 2
（3）()
() Axg
xf ′
′lim （ ∞ ）
()
() Axg
xf lim （ ∞ ）
7．利导数定义求极限
基公式： ()()()0
00
0
lim xfx
xfxxf
x
′∆
−∆+
→∆
[果
存]
8．利定积分定义求极限
基公式 ()∫∑ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∞→
1
01
1lim dxxfn
kfn
n
kn
[果存 ]
三．函数间断点分类
函数间断点分两类：
（1）第类间断点
设 0x 函数 ()xfy 间断点果 ()xf 间断点
0x 处左右极限存称 0x ()xf 第类间断
点
第类间断点包括间断点跳跃间断点


（2）第二类间断点
第类间断点外间断点统称第二类间断
点
常见第二类间断点穷间断点振荡间断点


四．闭区间连续函数性质
闭区间 []ba 连续函数 ()xf 基
性质性质
定理 1．（界定理）果函数 ()xf 闭区间[]ba
连续 ()xf 必[]ba 界
定理 2．（值值定理）果函数 ()xf 闭
区间[]ba 连续区间定存值 M
值 m
中值 M 值 m 定义：
定义 设 ()Mxf 0 区间[]ba 某点 0x 处函数
值果区间[]ba 点 x 总 ()Mxf ≤
称 M 函数 ()xf []ba 值样定义
值 m
定理 3．（介值定理）果函数 ()xf 闭区间[]ba
连续值值分 M m 介 m
M 间实数 c []ba 少存ξ

() cf ξ
推：果函数 ()xf 闭区间[]ba 连续 ()af
()bf 异号 ()ba 少存点ξ
() 0ξf
推称零点定理
五．导数微分计算
1．导数微分表
() 0′c () 0cd
() 1 −′ αα α xx （α 实常数） () dxxxd 1 − αα α （α 实常数）
() xx cossin ′ xdxxd cossin
() xx sincos −′ xdxxd sincos −
() xx 2sectan ′ xdxxd 2sectan
() xx 2csccot −′ xdxxd 2csccot −
() xxx tansecsec ′ xdxxxd tansecsec
() xxx cotcsccsc −′ xdxxxd cotcsccsc −
() axxa ln
1log ′()10 ≠> aa
ax
dxxd a lnlog ()10 ≠> aa
()xx 1ln ′ dxxxd 1ln
() aaa xx ln′()10 ≠> aa
adxada xx ln ()10 ≠> aa 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 3
() xx ee ′ dxede xx
() 21
1arcsin
x
x
−
′ dx
x
xd 21
1arcsin
−

() 21
1arccos
x
x
−
−′ dx
x
xd 21
1arccos
−
−
() 21
1arctan xx
+′ dxxxd 21
1arctan
+
() 21
1cot xxarc
+−′ dxxxdarc 21
1cot
+−
()[]22
22 1ln
ax
axx
+

′
++
() dx
ax
axxd 22
22 1ln
+
++
()[]22
22 1ln
ax
axx
−

′
−+
() dx
ax
axxd 22
22 1ln
−
−+
2．四运算法
() ()[]() ()xgxfxgxf ′±′′±
() ()[]()() () ()xgxfxgxfxgxf ′+′′⋅
()
()
()() () ()
()xg
xgxfxgxf
xg
xf
2
′−′
′
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ()()0≠xg
3．复合函数运算法
设 ()ufy ()xu ϕ 果 ()xϕ x 处导 ()uf
应点u 处导复合函数 ()[]xfy ϕ x 处导

()[]()xxfdx
du
du
dy
dx
dy ϕϕ ′′
应 () ()[]()dxxxfduufdy ϕϕ ′′′
公式 ()duufdy ′ u 变量中间变量
成立称阶微分形式变性

4．参数方程确定函数运算法
设 ()tx ϕ ()ty ψ 确定函数 ()xyy 中 ()tϕ′
()tψ ′ 存 () 0≠′ tϕ
()
()t
t
dx
dy
ϕ
ψ
′
′ ()()0≠′ tϕ
二阶导数
() () () ()
()[]32
2 1
t
tttt
dt
dxdt
dx
dyd
dx
dx
dyd
dx
yd
ϕ
ϕψϕψ
′
′′′−′′′⋅
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡

⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡


5．反函数求导法
设 ()xfy 反函数 ()ygx 两者皆导
() 0≠′ xf
() () ()[]ygfxfyg ′′′ 11 ()()0≠′ xf
二阶导数 () ()[] ()
dx
dydx
xfd
dy
ygdyg 1
1
⋅
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
′′′′

()
()[]
()[]
()[]{}33 ygf
ygf
xf
xf
′
′′−
′
′′− ()()0≠′ xf

6．隐函数运算法
设 ()xyy 方程 ()0 yxF 确定求 y′ 方
法：
() 0 yxF 两边项 x 求导 y 作中间变
量复合函数求导公式计算 然解出 y′ 表达式（允
许出现 y 变量）

7．数求导法
先函数式两边取数然隐函数求导
方法出导数 y′
数求导法：
①幂指函数求导数
②函数连开方求导数
关幂指函数 ()[]()xgxfy 常种方法考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 4
() ()xfxgey ln 样直接复合函数运算法进行
8．微导关系
()xf 0x 处微 ()xf⇔ 0x 处导
9．求 n 阶导数（ 2≥n 正整数）
先求出 Λyy ′′′ 总结出规律性然写出 ()ny
纳法证明
常初等函数 n 阶导数公式
（1） xey () xn ey
（2）()10 ≠> aaay x () ()nxn aay ln
（3） xy sin () ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ + 2sin πnxy n
（4） xy cos () ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ + 2cos πnxy n
(5) xy ln ()()( ) nnn xny −− −− 11 1
两函数积 n 阶导数莱布尼兹公式
()()[]() ()()()()∑

−
n
k
knkk
n
n xvxuCxvxu
0

中 ()

knk
nC k
n − ()() ()xuxu 0
()() ()xvxv 0
假设 ()xu ()xv n 阶导
微分中值定理
．罗尔定理
设函数 ()xf 满足
（1）闭区间 []ba 连续
（2）开区间 ()ba 导
（3）() ()bfaf
存 ()ba∈ξ () 0′ ξf
二．拉格朗日中值定理
设函数 ()xf 满足
（1）闭区间 []ba 连续
（2）开区间 ()ba 导
存 ()ba∈ξ
()()()ξfab
afbf ′−
−
写成 ()()()()abfafbf −′− ξ ()ba << ξ
时写成 ()() () xxxfxfxxf ∆⋅∆+′−∆+ θ000
()10 << θ
里 0x 相 a b x∆ 正负
推 1． ()xf ()ba 导 () 0≡′ xf ()xf
()ba 常数
推 2 ． ()xf ()xg ()ba 皆导
()()xgxf ′≡′ ()ba () () cxgxf + 中 c
常数
三．柯西中值定理（数学四）
设函数 ()xf ()xg 满足：
（1）闭区间 ][ ba 皆连续
（2）开区间 ()ba 皆导 () 0≠′ xg
存 ()ba∈ξ
()()
() ()
()
()ξ
ξ
g
f
agbg
afbf
′
′−
− ()ba << ξ
（注：柯西中值定理拉格朗日中值定理推广特
殊情形 () xxg 时柯西中值定理拉格朗日中值定
理）
四．泰勒定理（泰勒公式） （数学数学二）

定理 1．（皮亚诺余项 n 阶泰勒公式）
设 ()xf 0x 处 n 阶导数公式

() ( ) ()()()()
()()()()xRxxn
xfxxxfxxxfxfxf n
n
n
+−++−′′+−′+ 0
02
0
0
0
0
0 21 Λ 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 5
()0xx →
中 () ( )[]n
n xxxR 00 − ()0xx → 称皮亚诺
余项
()
()⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−→
0lim
00
n
n
xx xx
xR
前面求极限方法中泰勒公式种情形根
情形取适 n 常初等函数
()xxxe x +1lncossin ()αx+1 （α 实常数）等 n
阶泰勒公式熟记
定理 2（拉格朗日余项 n 阶泰勒公式）
设 ()xf 包含 0x 区间 ()ba 1+n 阶导数
[]ba n 阶连续导数 []bax ∈ 公式
() ( ) ()()()()
()()()()xRxxn
xfxxxfxxxfxfxf n
n
n
+−++−′′+−′+ 0
02
0
0
0
0
0 21 Λ
中 ()
()()
()()1
0
1
1
+
+
−+ n
n
n xxn
fxR ξ （ ξ 0x x
间）
称拉格朗日余项
面展开式称 0x 中心 n 阶泰勒公式
00 x 时称 n 阶麦克劳林公式
果 () 0lim
∞→
xRnn
泰勒公式转化泰勒级
数面穷级数中讨
导数应：
．基知识
1．定义
设函数 ()xf ()ba 定义 0x ()ba 某
点
果点 0x 存邻域邻域点
()0xxx ≠ 总 () ( )0xfxf < 称 ()0xf 函数 ()xf
极值称 0x 函数 ()xf 极值点
果点 0x 存邻域邻域点
()0xxx ≠ 总 () ( )0xfxf > 称 ()0xf 函数 ()xf
极值称 0x 函数 ()xf 极值点
函数极值极值统称极值极值点极值
点统称极值点

2．必条件（导情形）

设函数 ()xf 0x 处导 0x ()xf 极值
点 () 00 ′ xf
称 x 满足 () 00 ′ xf 0x ()xf 驻点导函
数极值点定驻点反然
极值点驻点导点两种点
中进步判断

3．第充分条件
设 ()xf 0x 处连续 δ<−< 00 xx 导
()0xf ′ 存 () 00 ′ xf
°1 果()00 xx δ− 点 x 处
() 0>′ xf ()δ+00 xx 点 x 处
() 0<′ xf ()0xf 极值 0x 极值点
°2 果()00 xx δ− 点 x 处
() 0<′ xf ()δ+00 xx 点 x 处
() 0>′ xf ()0xf 极值 0x 极值点
°3 果()00 xx δ− ()δ+00 xx 点
x 处 ()xf ′ 符号相 ()0xf 极值 0x
极值点

4．第二充分条件
设函数 ()xf 0x 处二阶导数 () 00 ′ xf
() 00 ≠′′ xf
() 00 <′′ xf 时 ()0xf 极值 0x 极值点
() 00 >′′ xf 时 ()0xf 极值 0x 极值点 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 6

二．函数值值
1．求函数 ()xf []ba 值值方法
首先求出 ()xf ()ba 驻点导点
kxx 1 Λ次计算 () ()()()bfafxfxf k 1 Λ
较 () ( )()()bfafxfxf k 1 Λ
中者 ()xf []ba 值 M中
者 ()xf []ba 值 m
2．（）值应问题
首先列出应问题中目标函数考虑区间
然求出目标函数区间（）值

三．凹凸性拐点
1．凹凸定义
设 ()xf 区间 I 连续意两点 21 xx
恒

() ()[] () ()[]⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +<⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ++>⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +
21
21
21
21
2
1
22
1
2 xfxfxxfxfxfxxf
称 ()xf I 凸（凹）
曲线 ()xfy 意两点割线曲线
（）面 ()xfy 凸（凹）
果曲线 ()xfy 切线话点切线曲
线（） ()xfy 凸（凹）
2．拐点定义
曲线凹凸分界点称曲线拐点
3．凹凸性判拐点求法
设函数 ()xf ()ba 具二阶导数 ()xf ′′
果()ba 点 x 恒 () 0>′′ xf 曲线
()xfy ()ba 凹
果 ()ba 点 x 恒 () 0<′′ xf 曲线
()xfy ()ba 凸
求曲线 ()xfy 拐点方法步骤：
第步：求出二阶导数 ()xf ′′
第二步：求出二阶导数等零二阶导数存
点 1x 2x … kx
第三步：连续点检验点两边二阶导数
符号果符号该点拐点横坐标
第四步：求出拐点坐标

四．渐线求法
1．垂直渐线
() ∞+→
xf
ax
lim () ∞−→
xf
ax
lim
ax 曲线 ()xfy 条垂直渐线
2．水渐线
() bxf
x

+∞→
lim () bxf
x

−∞→
lim
by 曲线 ()xfy 条水渐线
3．斜渐线
() 0lim ≠
+∞→
ax
xf
x
()[]baxxf
x
−
+∞→
lim
() 0lim ≠
−∞→
ax
xf
x
()[]baxxf
x
−
−∞→
lim
baxy + 曲线 ()xfy 条斜渐线
五．曲率（数学数学二）
设曲线 ()xfy 点 ()yxM 处曲率
()[]2321 y
yk
′+
′′ 0≠k 称
kR 1 点 ()yxM 处
曲率半径 M 点法线凹边取点 D
RMD 称 D 曲率中心 D 圆心 R 半
径圆周称曲率圆

定积分
．基积分公式
1．Cxdxx ++∫
+
1
1
α
α
α ()实常数1−≠α 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 7
2． ∫ + Cxdxx ln1
3． ∫ + Caadxa xx
ln
1 ()10 ≠> aa
Cedxe xx +∫
4． ∫ + Cxxdx sincos
5． ∫ +− Cxxdx cossin
6．Cxdxxxdx + ∫∫ tancos
1sec 2
2
7．Cxdxxxdx +−∫∫ cotsin
1csc 2
2
8．Cxxdxx +∫ secsectan
9．Cxxdxx +−∫ csccsccot
10．Cxxdx +−∫ coslntan
11．Cxxdx +∫ sinlncot
12．Cxxxdx ++∫ tanseclnsec
13．Cxxxdx +−∫ cotcsclncsc
14． ∫ +
−
Ca
x
xa
dx arcsin22
()0>a
15．Ca
x
axa
dx ++∫ arctan1
22 ()0>a
16．Cxa
xa
axa
dx +−
+
−∫ ln2
1
22 ()0>a
17．Caxx
ax
dx +±+
±∫ 22
22
ln ()0>a

二．换元积分法分部积分法
1．第换元积分法（凑微分法）
设 () () CuFduuf +∫ ()xϕ 导

()[]() ()[]() () ()duuf
xu
xdxfdxxxf ∫∫∫

′
ϕ
ϕϕϕϕ
令

() ()[]CxFCuF ++ ϕ
里求读者常微分公式倒背流
非常熟练凑出微分
常种凑微分形式：
（1）() ()()∫∫ +++ baxdbaxfadxbaxf 1
()0≠a
（2）()()()∫∫ +++ − baxdbaxfnadxxbaxf nnnn 11
()00 ≠≠ na
（3）() ()()xdxfx
dxxf lnlnln ∫∫
（4） ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ∫∫ xdxfx
dx
xf 111
2
（5）()()()∫∫ xdxf
x
dxxf 2
（6）()()()∫∫ xxxx adafadxaaf ln
1
()10 ≠> aa
()()()∫∫ xxxx edefdxeef
（7）()()()∫∫ xdxfxdxxf sinsincossin
（8）()()()∫∫ − xdxfxdxxf coscossincos
（9）()()()∫∫ xdxfxdxxf tantansectan 2
（10）()()()∫∫ − xdxfxdxxf cotcotcsccot 2
（11）()()()∫∫ xdxfxdxxxf secsectansecsec
（12）()()()∫∫ − xdxfxdxxxf csccsccotcsccsc
（13）()()()∫∫
−
xdxfdx
x
xf arcsinarcsin
1
arcsin
2

（14）()()()∫∫ −
−
xdxfdx
x
xf arccosarccos
1
arccos
2

（15）()()()∫∫ +
xdxfdxx
xf arctanarctan
1
arctan
2
（16）()()()∫∫ −+
xarcdxarcfdxx
xarcf cotcot1
cot
2 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 8
（17） ∫∫ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−+
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
xdxfdxx
xf 1arctan1arctan1
1arctan
2
（ 18 ）
()[]()[]()()∫∫ ++++
+
++ 2222
22
22
lnlnln axxdaxxfdx
ax
axxf
()0>a
（ 19 ）
()[]()[]()()∫∫ −+−+
−
−+ 2222
22
22
lnlnln axxdaxxfdx
ax
axxf
()0>a
（20）()
() () Cxfdxxf
xf +′∫ ln ()()0≠xf

2．第二换元积分法
设 ()tx ϕ 导 () 0≠′ tϕ
()[]() () CtGdtttf +′∫ ϕϕ

() () ()[]() () ( )[]CxGCtGdtttftxdxxf ++′∫∫ −1ϕϕϕϕ令

中 ()xt 1− ϕ ()tx ϕ 反函数
第二换元积分法绝数根式积函数通
换元根式掉常见变量换分两类：
第类：积函数 x n bax + x n
dcx
bax
+
+
xe 构成代数式根式例 bae x + 等
令根式 () txgn 解出 ()tx ϕ 已根
式作种变量换 ()tx ϕ
第二类：积函数含 ()0 2 ≠++ ACBxAx
果令 tCBxAx ++2 解出 ()tx ϕ 根号
样变量换行作特殊处理 0>A 时先化
()[]22
0 lxxA ±− 0() ( )[]2
0
2 xxlA −−− 然作列三种三角换：

根式形式 作换
三角形示意图（求反函数
）
22 xa − tax sin

22 xa + tax tan

22 ax − tax sec

3．分部积分法

设 ()xu ()xv 均连续导数
()()()( ) ( ) ()∫∫ − xduxvxvxuxdvxu
()()()()()()∫ ∫ ′−′ dxxvxuxvxudxxvxu
分部积分法时积函数中谁作 ()xu 谁作
()xv′ 定规律
（1）() ax
n exP() axxPn sin () axxPn cos 情形
()xPn n 次项式 a 常数进行 n 次分部积分法
次均取 axe axsin axcos ()xv′项式部分
()xu
（2）() xxPn ln () xxPn arcsin () xxPn arctan 情
形 ()xPn n 次项式取 ()xPn ()xv′ xln
xarcsin xarctan ()xu 分部积分法次积函
数形式发生变化考虑方法
（3） bxeax sin bxeax cos 情形进行二次分部积分
法移项合
（4）较复杂积函数分部积分法凑微考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 9
分法量子 dx 凑成

．定积分概念性质
1．定积分性质
（1）() ()∫∫ − b
a
a
b
dxxfdxxf
（2）() 0∫a
a
dxxf
（ 3 ）
() ()[]() ()∫∫∫ ++ b
a
b
a
b
a
dxxfkdxxfkdxxfkxfk 22112211
（4）() () ()∫∫∫ + b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf （ c []ba
外）
（5）设 ba ≤ () ()xgxf ≤ ()bxa ≤≤
() ()∫∫ ≤ b
a
b
a
dxxgdxxf
（6）设 ba < () Mxfm ≤≤ ()bxa ≤≤
() ()()abMdxxfabm b
a
−≤≤− ∫
（7）设 ba < () ()∫∫ ≤ b
a
b
a
dxxfdxxf
（8）定积分中值定理 设 ()xf []ba 连续存
[]ba∈ξ
() ()( )abfdxxfb
a
−∫ ξ
定义：称 ()∫−
b
a
dxxfab
1 ()xf []ba 积
分均值
（9）奇偶函数积分性质
() 0∫−
a
a
dxxf （ f 奇函数）
() ()∫∫ −
aa
a
dxxfdxxf 0
2 （ f 偶函数）
（10）周期函数积分性质
设 ()xf T 周期 a 常数
() ()∫∫ + TTa
a
dxxfdxxf 0


二．基定理
1．变限积分函数
定义：设 ()xf []ba 积 () ()∫ x
a
dttfxF
[]bax ∈ 称变限积分函数
定理：（1） ()xf []ba 积 () ()∫ x
a
dttfxF
[]ba 连续
（2） ()xf []ba 连续 () ()∫ x
a
dttfxF
[]ba 导 ()()xfxF ′
推广形式： 设 () ()()
()
∫ x
x
dttfxF 2
1
ϕ
ϕ
()()xx 21 ϕϕ 导
()xf 连续
()()[]() ()[]()xxfxxfxF 1122 ϕϕϕϕ ′−′′

2．牛顿莱布尼兹公式
设 ()xf []ba 积 ()xF ()xf []ba 意
原函数
() () () ()aFbFa
bxFdxxfb
a
−∫
（注： ()xf []ba 连续容易面
变限积分方法证明 ()xf []ba 积牛顿
莱布尼兹公式成立证明方法复杂）

三．定积分换元积分法分部积分法
1．定积分换元积分法
设 ()xf []ba 连续变量换 ()tx ϕ 满足
（1）()tϕ′ []βα（[]αβ）连续
（2）() aαϕ () bβϕ βα ≤≤ t 时
() bta ≤≤ ϕ () ()[]()∫∫′b
a
dtttfdxxf β
α
ϕϕ

2．定积分分部积分法
设 ()()xvxu ′′ []ba 连续
()() ()() ()()dxxvxuxvxudxxvxu b
a
b
a
b
a ∫∫ ′−′
() () ()() () ()∫∫−b
a
b
a
b
a xduxvxvxuxdvxu 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 10
定积分应
．面图形面积
1．直角坐标系
模型 I () ()[]dxxyxyS b
a∫ − 121
中 () ()xyxy 12 ≥ []bax ∈
模型 II () ()[]dyyxyxS d
c∫ − 122
中 () ()yxyx 12 ≥ []dcy ∈

2．构坐标系

模型 I ()θθβ
α
drS ∫ 2
1 2
1
模型 II () ()[]θθθβ
α
drrS ∫ − 2
1
2
22 2
1


3．参数形式表出曲线围成面积

设曲线C 参数方程 ()
()⎩
⎨
⎧


ty
tx
ψ
ϕ
()βα ≤≤ t () aαϕ () bβψ ()tϕ []βα（
[]αβ）连续导数 ()tϕ′ 变号 () 0≥tψ 连续
曲边梯形面积（曲线C 直线 bxax x 轴围
成）
() ()∫∫ ′ β
α
ϕψ dtttydxS b
a


二．面曲线弧长（数学数学二）

1．直角坐标系
设光滑曲线 ()xyy ()bxa ≤≤ [ ()xy
连续导数]
弧长 ()[]dxxyS b
a∫ ′+ 21
()[]dxxydS 21 ′+ 称弧微分
2．构坐标系
设光滑曲线 ()θrr ()βθα ≤≤ [()θr []βα
连续导数]
弧长 ()[] ()[]θθθβ
α
drrS ∫ ′+′ 22
3．参数方程表曲线弧长
设光滑曲线 ()
()⎩
⎨
⎧


tyy
txxC()βα ≤≤ t [()tx ()ty
[]βα 连续导数]
曲线C 弧长 ()[] ()[]dttytxS ∫ ′+′ β
α
22
三．特殊空间图形体积（般体积二重积分）
1．已知行截面面积立体体积
设空间立体曲面垂直 z 轴两面
cz dz 围成z 轴点 ()dzcz ≤≤ 垂直
z 轴立体截面面积 ()zS 已知连续函数立体体
积
()∫ d
c
dzzSV

2．绕坐标轴旋转旋转体体积

（1）面图形曲线 ()xyy ()0≥ 直线 ax
bx x 轴围成
绕 x 轴旋转周体积 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 11
()dxxyV b
ax ∫ 2π
绕 y 轴旋转周体积
()∫ b
ay dxxxyV π2

（2）面图形曲线 ()yxx ()0≥ 直线 cy
dy y 轴围成
绕 y 轴旋转周体积
()dyyxV d
cy ∫ 2π
绕 x 轴旋转周体积
()∫ d
cx dyyyxV π2


四．绕坐标轴旋转旋转曲面面积（数学数学
二）

设面曲线 ABC ∩ 位 x 轴方绕 x 轴周
旋转曲面面积 S

1．设 AB
∩ 方程 ()xyy ()bxa ≤≤
() ()[]dxxyxyS b
a∫ ′+ 212π
2．设 AB
∩ 极坐标方程 ()θrr ()βθα ≤≤
() ()[] ()[]θθθθθπ β
α
drrrS 22sin2 ′+′ ∫
3．设 AB
∩ 参数方程 ()txx ()tyy
()βα ≤≤ t
() ()[] ()[]dttytxtyS 222 ′+′ ∫β
α
π

常微分方程
二．变量分离方程推广
1．变量分离方程
（1）方程形式： ()() ()()0≠ yQyQxPdx
dy
通解 () ()∫∫+ CdxxPyQ
dy
（注：微分方程求解中惯定积分求出
原函数意常数外加）
（ 2 ）方程形式：
()()()() 02211 + dyyNxMdxyNxM
通解 ()
()
()
() CdyyN
yNdxxM
xM + ∫∫
1
2
2
1
()()()00 12 ≠≠ yNxM
2．变量分离方程推广形式
（1）齐次方程 ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ x
yfdx
dy
令 ux
y
()ufdx
duxudx
dy +
() cxcx
dx
uuf
du ++− ∫∫ ||ln 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 12
（2）()()00 ≠≠++ bacbyaxfdx
dy
令 ucbyax ++
()ubfadx
du +
() cxdxubfa
du ++ ∫∫
（3） ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++
222
111
cybxa
cybxafdx
dy
① 0
22
11 ≠∆ ba
ba 情形先求出
⎩
⎨
⎧
++
++
0
0
222
111
cybxa
cybxa 解 ()βα
令 α− xu β− yv

⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
u
vba
u
vba
fvbua
vbuafdu
dv
22
11
22
11 属齐次
方程情形
② 0
22
11 ∆ ba
ba 情形
令 λ
1
2
1
2
b
b
a
a
()⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++
211
111
cybxa
cybxafdx
dy
λ
令 ybxau 11 +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+++
2
1
1111 cu
cufbadx
dybadx
du
λ
属变量分离方程情形

三．阶线性方程推广
1．阶线性齐次方程
() 0+ yxPdx
dy
变量分离方程通解公式 ()∫− dxxPCey
（ c 意常数）
2．阶线性非齐次方程
() ()xQyxPdx
dy +
常数变易法求出通解公式
令 ()()∫− dxxPexCy
代入方程求出 ()xC
()() ()[]∫ + ∫∫− CdxexQey dxxPdxxP
3．贝努利方程
() () ( )10≠+ ααyxQyxPdx
dy
令 α− 1yz
原方程化 ( )() ( ) ()xQzxPdx
dz αα −−+ 11
阶线性非齐次方程求解
4．方程： () ()xyPyQdx
dy
− 1
化 () ()yQxyPdy
dx +
y 变量 x 未知函数
阶线性非齐次方程求解

四．全微分方程推广（数学）
1．全微分方程
()() 0 + dyyxQdxyxP满足
y
P
x
Q
∂
∂∂
∂
通解： ()Cyxu
中 ()yxu 满足 () () ()dyyxQdxyxPyxdu +
求 ()yxu 常方法
第种：凑全微分法
()()()yxdudyyxQdxyxP + Λ
常见二元函数全微分公式倒背流
帮助
（1） ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ++ 2
22 yxdydyxdx
（2） ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −− 2
22 yxdydyxdx 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 13
（3）()xydxdyydx +
（4）()xydxy
xdyydx ln+
（5）()⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ++
+ 22
22 ln2
1 yxdyx
ydyxdx
（6）()⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−
− 22
22 ln2
1 yxdyx
ydyxdx
（7） ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−
x
yd
x
ydxxdy
2
（8） ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
y
xdy
xdyydx
2
（9） ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
−
y
xdyx
xdyydx arctan22
（10） ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
+
−
x
yd
yx
ydxxdy arctan22
（11） ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−−
−
yx
yxdyx
xdyydx ln2
1
22
（12） ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
++
−
yx
yxdyx
ydxxdy ln2
1
22
（13）() ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
+
22222
1
2
1
yx
d
yx
ydyxdx
（14）() ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
−
22222
1
2
1
yxd
yx
ydyxdx
（15）() ()⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +
++
+ 22
222
arctan2
1
1
yxd
yx
ydyxdx
（16）() ()⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −
−+
− 22
222
arctan2
1
1
yxd
yx
ydyxdx
第二种：特殊路径积分法（积分路径关）

()( ) () ()()
()
∫ ++ yx
yx
dyyxQdxyxPyxuyxu
00
00

() () ()∫∫ ++ y
y
x
x
dyyxQdxyxPyxu
00
000
第三种：定积分法
()yxPx
u ∂
∂
()()()∫ + yCdxyxPyxu
y 求导
() ()[]()yCdxyxPyy
uyxQ′+∂
∂∂
∂ ∫
求出 ()yC′ 积分求出 ()yC

2．全微分方程推广（约子法）

设 ()() 0 + dyyxQdxyxP 全微分方程
满足
y
P
x
Q
∂
∂∂
∂
存 ()yxR
()()()() 0 + dyyxQyxRdxyxPyxR 全
微分方程
满足 [][]
y
RP
x
RQ
∂
∂∂
∂
()yxR 称约子
全微分方程解法求出
()()()( ) ()yxdudyyxQyxRdxyxPyxR +
通解 ()Cyxu
种情形求约子关键
特殊高阶微分方程 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 14
．降阶高阶微分方程

方程类型 解法解表达式
() ()xfy n
通解
()( ) nn
n
xCxCdxxfy ++ −∫∫ 2
1
1321 Λ
次

()yxfy ′′′
令 py ′ py ′′′原方程⇒
()pxfp ′——阶方程设解
()1Cxgp
()1Cxgy ′原方程通解
()∫ + 21CdxCxgy
()yyfy ′′′
令 py ′ p 作 y 函数
dy
dppdx
dy
dy
dp
dx
dpy ⋅′′
y′ y ′′ 表达式代入原方程
()pyfpdy
dp 1 ——阶方程
设解 () 1Cygp
()1Cygdx
dy 原方程通解
()∫ + 2
1CxCyg
dy

二．线性微分方程解性质结构
讨二阶线性微分方程解性质结构结
容易推广更高阶线性微分方程
二阶齐次线性方程
() () 0+′+′′ yxqyxpy （1）
二阶非齐次线性方程
() () ()xfyxqyxpy +′+′′ （2）
1． ()xy1 ()xy2 二阶齐次线性方程两特
解线性组合 () ()xyCxyC 2211 + （ 1C 2C
意常数）方程解特 ()()xyxy 21 λ≠
（ λ 常数） ()xy1 ()xy2 线性关时方程
通解 ()()xyCxyCy 2211 +
2． ()xy1 ()xy2 二阶非齐次线性方程两特
解 ()()xyxy 21 − 应二阶齐次线性方程
特解
3． ()xy 二阶非齐次线性方程特解
()xy 应二阶齐次线性方程意特解
()()xyxy + 二阶非齐次线性方程特解
4． y 二阶非齐次线性方程特解
()()xyCxyC 2211 + 应二阶齐次线性方程通解
（ 1C 2C 独立意常数）
()()()xyCxyCxyy 2211 ++ 二阶非齐次线性方程
通解
5．设 ()xy1 ()xy2 分
()()()xfyxqyxpy 1+′+′′
()()()xfyxqyxpy 2+′+′′ 特解
()()xyxy 21 +
()()()()xfxfyxqyxpy 21 ++′+′′ 特解

三．二阶某高阶常系数齐次线性方程
1．二阶常系数齐次线性方程
0+′+′′ qyypy
中 p q 常数
特征方程 02 ++ qpλλ
特征方程根三种情形应方程通解三种形
式
（1） 042 >−∆ qp 特征方程两
实根 1λ 2λ 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 15
方程通解 xx eCeCy 21
21
λλ +
（2） 042 −∆ qp 特征方程二重根
21 λλ
方程通解 ()xexCCy 1
21
λ+
（3） 042 <−∆ qp 特征方程轭复根
βα i±
方程通解 ()xCxCey x sin cos 21 ββα +
2． n 阶常系数齐次线性方程

() ( ) ( ) 01
2
2
1
1 +′++++ −
−− ypypypypy nn
nnn Λ
中 ()nipi 21 Λ 常数
相应特征方程
0 1
2
2
1
1 +++++ −
−−
nn
nnn pppp λλλλ Λ
特征根方程通解关系二阶情形类似
（1）特征方程 n 实根 nλλλ 21 Λ
方程通解 x
n
xx neCeCeCy λλλ +++Λ21
21
（2） 0λ 特征方程 k 重实根 ()nk ≤
方程通解中含 () xk
k exCxCC 01
21
λ−+++Λ
（ 3 ） βα i± 特征方程 k 重轭复根
()nk ≤2
方程通解中含

()()[]xxDxDDxxCxCCe k
k
k
k
x sin cos 1
21
1
21 ββα −− +++++++ΛΛ

见常系数齐次线性方程通解完全特
征方程根决定三次三次代数方程根
定容易求讨某容易求特征方程
根应高阶常系数齐次线性方程通解

四．二阶常系数非齐次线性方程
方程： ()xfqyypy +′+′′ 中 qp 常数
通解： () ()xyCxyCyy 2211 ++
中 ()()xyCxyC 2211 + 应二阶常系数齐次线性
方程通解面已讨关键讨二阶常系数非
齐次线性方程特解 y 求？
根 ()xf 形式先确定特解 y 形式中
包含定系数然代入方程确定系数
特解 y 常见 ()xf 形式相应 y 形式：
1．()()xPxf n 中 ()xPn n 次项式
（ 1 ） 0 特征根令
() nn
nn
n axaxaxaxRy ++++ −
−
1
1
10 Λ
中 ()niai 210 Λ 定系数
（2）0 特征方程单根令 ()xxRy n
（3）0 特征方程重根令 ()xRxy n
2
2．()() x
n exPxf α 中 ()xPn n 次项式α
实常数
（1）α 特征根令 () x
n exRy α
（2）α 特征方程单根令 () x
n exxRy α
（3） α 特征方程重根令 () x
n exRxy α2
3 ．()() xexPxf x
n sin βα
()() xexPxf x
n cos βα
中 ()xPn n 次项式 βα 皆实常数
（ 1 ） βα i± 特征根令
()()[]xxTxxRey nn
x sin cos ββα +
中 () nn
nn
n axaxaxaxR ++++ −
−
1
1
10 Λ
()niai 10 Λ 定系数
() nn
nn
n bxbxbxbxT ++++ −
−
1
1
10 Λ
()nibi 10 Λ 定系数 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 16
（2） βα i± 特征根令
() ()[]xxTxxRxey nn
x sin cos ββα +

五．欧拉方程（数学）
() ( ) 01
11
1 +′+++ −
−− ypyxpyxpyx nn
nnnn Λ
中 ()nipi 21 Λ 常数称 n 阶欧拉方程令
tex 代入方程变 t 变量 y 未知函数微
分方程定常系数齐次线性微分方程
注意面变换公式：

dt
dy
xdt
dyedx
dt
dt
dy
dx
dy t 1⋅ −
dt
dy
dx
dyx

dt
dyedt
ydedt
dyedt
dedx
dy
dt
d
dx
dt
dx
yd tttt 2
2
2
2
2
2
−−−− −⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ − dt
dy
dt
yd
x 2
2
2
1
dt
dy
dt
yd
dx
ydx − 2
2
2
2
2
量代数空间解析
三．量运算
{}321321 aaakajaiaa ++
{}321321 bbbkbjbibb ++
{}321321 ccckcjcicc ++

1．加法 {}332211 babababa ++++
减法 {}332211 babababa −−−−
2．数 {}321 aaa λλλλα （ λ 常数）
量加减数运算统称线性运算
3．数量积 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ∩⋅⋅ bababa cos
332211 bababa ++
中 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ∩
ba 量 ba 间夹角
ba ⋅ 数量称点
0ba ⋅ 表示量 a 量b 投影
ajba bPr0 ⋅
4．量积 ba × 称叉
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ∩× bababa sin
ba × 方右手法垂直 ba 面

321
321
bbb
aaa
kji
ba ×
ba × 量 abba ×−× ba × 等 ba
邻边行四边形面积
5．混合积：定义 ()()cbacba ⋅×坐标公式
()
321
321
321

ccc
bbb
aaa
cba
意义 ()cba 表示 cba 棱行面体
体积

四．两量间关系
设 {}{ }321321 bbbbaaaa



关系 量表示 量坐标表示
ba 间夹
角 ()ϕ ba
ba ⋅ϕcos 2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211cos
bbbaaa
bababa
++⋅++
++ϕ

a b 垂
直 0⋅ba 0332211 ++ bbbaba考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 17

a b
行 0×ba
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a

二．面方程

1．法（线）量法（线）方数
面π 垂直非零量称面π 法量
通常记成 n 法量{}pnm 坐标称法（线）方
数定面 π 法量穷
指方两
2．点法式方程 已知面π ()000 zyxM 点
法量 {}CBAn 面π 方程
()()() 0000 −+−+− zzCyyBxxA
()00 −⋅ rrn
中 {}{}zyxrzyxr 0000
3．般式方程
0+++ DCzByAx
中 CBA 全零 zyx 前系数表示 π
法线方数 {}CBAn π 法量
特情形：
0++ CzByAx 表示通原点面
0++ DByAx 行 z 轴面
0+ DAx 行 yOz 面面
0x 表示 yOz 面
4．三点式方程
设 ()111 zyxA()222 zyxB()333 zyxC 三
点条直线通 CBA 面方程
0
131313
121212
111

−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx

5．面束
设直线 L 般式方程
⎩
⎨
⎧
+++
+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA通 L 面方程

()( )02222211111 +++++++ DzCyBxAkDzCyBxAk
中 ()()00 21 ≠kk
6．关面问题
两面
0 11111 +++ DzCyBxAπ
0 22222 +++ DzCyBxAπ
1π 2π 间
夹角 ()ϕ
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121cos
CBACBA
CCBBAA
++⋅++
++ϕ
垂直条件 0212121 ++ CCBBAA
行条件 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛≠
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
重合条件
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
设面 π 方程 0+++ DCzByAx 点
()111 zyxM 面π 外点 M 面π 距离
d ：

222
111
CBA
DCzByAxd
++
+++

三．直线方程
1．方量方数
直线行非零量 S称直线 L 方量
方量坐标称方数
2．直线标准方程（称式方程）

n
zz
m
yy
l
xx 000 −−−
中 ()000 zyx 直线点 nml 直线方
数
3．参数式方程 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 18

⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
+
+
ntzz
mtyy
ltxx
0
0
0

{}tnmls 参变量
4．两点式
设 ()111 zyxA()222 zyxB 两点
通 A B 直线方程

12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
−
−−
−−
−
5．般式方程（作两面交线） ：

⎩
⎨
⎧
+++
+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA方量
{}{}222111 CBACBAS ×
6．关直线问题
两直线

1
1
1
1
1
1
1 n
zz
m
yy
l
xxL −−−

2
2
2
2
2
2
2 n
zz
m
yy
l
xxL −−−
1L 2L 间夹
角 ()θ
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121cos
nmlnml
nnmmll
++⋅++
++θ
垂直条件 0212121 ++ nnmmll
行条件
2
1
2
1
2
1
n
n
m
m
l
l


四．面直线相互关系


面π 方程：
0+++ DCzByAx
直线 L 方程：
n
zz
m
yy
l
xx 000 −−−
L π 间夹角
（α ） 222222
sin
nmlCBA
CnBmAl
++⋅++
++α
L π 垂直条件 C
n
B
m
A
l
L π 行条件 0++ CnBmAl
L π 重合条件 0++ CnBmAl
L 点π

元函数微分学
元函数偏导数全微分
四．方导数梯度（数学）

1．面情形

()yxz 面点 ()000 yxP 方
()βα coscosl 方导数

()
()()
t
yxftytxf
yxl
f
t
0000
000
coscoslim
−++∂
∂
→
βα

()yxfz 点 ()000 yxP 处梯度
() ()()
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ y
yxf
x
yxfyxgradf 0000
00

方导数梯度关系
() ()[]lyxgradfyxl
f ⋅∂
∂
00
00

()()()lyxgradflyxgradf cos 0000
元函数微分法
．复合函数微分法——锁链公式

模型 1．()vufz ()yxuu ()yxvv 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 19

x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
∂
∂⋅∂
∂+∂
∂⋅∂
∂∂
∂
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
∂
∂
∂
∂+∂
∂
∂
∂∂
∂

模型 2．()zyxfu ()yxzz

⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∂
∂⋅′+′∂
∂
∂
∂⋅′+′∂
∂
y
zffy
u
x
zffx
u
zy
zx


模型 3．()zyxfu ()xyy ()xzz
() ()xzfxyffdx
du
zyx ′⋅′+′⋅′+′

模型 4．()vufw ()zyxuu ()zyxvv

⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂′+∂
∂′∂
∂
∂
∂′+∂
∂′∂
∂
∂
∂⋅′+∂
∂⋅′∂
∂
z
vfz
ufz
w
y
vfy
ufy
w
x
vfx
ufx
w
vu
vu
vu


模型类似处理

二．隐函数微分法

设 ()0 zyxF
（1）确定 ()yxzz
z
x
F
F
x
z
′
′−∂
∂
z
y
F
F
y
z
′
′
−∂
∂
（2）确定 ()zyxx
x
y
F
F
y
x
′
′
−∂
∂
x
z
F
F
z
x
′
′−∂
∂
（3）确定
()xzyy
y
z
F
F
z
y
′
′−∂
∂
y
x
F
F
x
y
′
′−∂
∂
元函数极值值
．求 ()yxfz 极值
第步
()
()⎩
⎨
⎧
′
′
0
0
yxf
yxf
y
x 求出驻点
()kk yx ()lk 21 Λ
第二步 令
()()()[]2 kkxykkyykkxxk yxfyxfyxf ′′−′′′′∆
0<∆ k ()kk yxf 极值
0∆ k 确定（需极值定义出发
讨）
0>∆ k ()kk yxf 极值
进步 () 0 >′′ kkxx yxf ()kk yxf 极值
() 0 <′′ kkxx yxf ()kk yxf 极值

二．求元 ()2≥n 函数条件极值拉格朗日子法
求 ()nxxfu 1 Λ 极值
约束条件
()
()⎪⎩
⎪⎨
⎧


0

0
1
11
nm
n
xx
xx
Λ
Μ
Λ
ϕ
ϕ
()nm <
作
()()()n
m
i
iinmn xxxxfxxFF 1
1
111 ΛΛΛΛ ∑

+ ϕλλλ
考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 20
()
()⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
′
′
′
′
0

0
0

0
1
111
1
nm
n
x
x
xxF
xxF
F
F
m
n
Λ
Μ
Λ
Μ
ϕ
ϕ
λ
λ

求出 () ()()()lkxx k
n
k 211 ΛΛ 条件
极值点般实际问题含义确定充分性种
方法关键解方程组关技巧
元函数积分学
二．直角坐标系中化二重积分累次积分交换积
分序问题
模型 I：设界闭区域
( ) () (){}xyxbxayxD 21 ϕϕ ≤≤≤≤

中 ()x1ϕ ()x2ϕ []ba 连续 ()yxf D
连续
() ()∫∫∫∫
DD
dxdyyxfdyxf σ
()()
()
∫∫ b
a
x
x
dyyxfdx 2
1
ϕ
ϕ

模型 II ：设界闭区域
() () (){}yxydycyxD 21 ψψ ≤≤≤≤

中 ()y1ψ ()y2ψ []dc 连续 ()yxf D
连续
() ()∫∫ ∫∫
DD
dxdyyxfdyxf σ
()()
()
∫∫ d
c
y
y
dxyxfdy 2
1
ψ
ψ

关二重积分计算根模型 I 模型 II 二
重积分化累次积分进行计算较复杂区域
D果符合模型 I 中关 D 求符合模
型 II 中关 D 求需 D 分解成区
域区域够符合模型 I 模型 II 中关
区域求利二重积分性质区域二重积分等
区域二重积分区域二重积
分化累次积分进行计算
直角坐标系中 两种序累次积分互相转
化种重手段具体做法先定累次积分
反化二重积分求出积分区域 D然根 D
二重积分化外种序累次积分

三．极坐标系中化二重积分累次积分
极坐标系中般考虑种序累次积分
先固定θ γ 进行积分然 θ 进行积分区域
D 类型种常模型
模型：设界闭区域
()() (){}θϕγθϕβθαθγ 21 ≤≤≤≤D

中 ()θϕ1 ()θϕ 2 []βα 连续
()()θγθγ sincos fyxf D 连续
()( )∫∫ ∫∫
DD
ddfdyxf θγγθγθγσ sincos
()()
()
∫∫ β
α
θϕ
θϕ
γγθγθγθ 2
1
sincos dfd
模型 I：设界闭区域
()() (){}θϕγθϕπθθγ 2120 ≤≤≤≤D

中 ()()θϕθϕ 21 []π20 连续考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 21
() ( )θγθγ sincos fyxf D 连续
() ( )∫∫∫∫
DD
ddfdyxf θγγθγθγσ sincos

()()
()
∫∫ πθϕ
θϕ
γγθγθγθ2
0
sincos2
1
dfd
模型 II ：设界闭区域
() (){}θϕγβθαθγ ≤≤≤≤ 0D

中 ()θϕ []βα 连续
() ( )θγθγ sincos fyxf D 连续
() ( )∫∫∫∫
DD
ddfdyxf θγγθγθγσ sincos
()()
∫∫ β
α
θϕ
γγθγθγθ 0
sincos dfd
模型 III：设界闭区域
() (){}θϕγπθθγ ≤≤≤≤ 020D

中 ()θϕ []π20 连续
() ( )θγθγ sincos fyxf D 连续
() ( ) θγγθγθγσ ddfdyxf
DD
sincos∫∫ ∫∫

()()
∫∫ πθϕ
γγθγθγθ2
00
sincos dfd

四．二重积分应

1．空间物体体积

()()[] σdyxfyxfV
D
∫∫ − 12
中 D 闭曲面 S xy 面投影区域
()yxfz 2 半曲面 ()yxfz 1 半曲面

2．空间曲面面积

∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂+
D
dy
z
x
zA σ
22
1
中 D 曲面 S xy 面投影曲面 S 方程
()yxzz
三重积分
二．三重积分计算方法

1．直角坐标系中三重积分化累次积分

（1）设Ω 空间界闭区域
()()()(){}Dyxyxzzyxzzyx ∈≤≤Ω 21
中 D xy 面界闭区域
()()yxzyxz 21 D 连续函数 ()zyxf Ω 连
续
() ()()
()
∫∫∫∫∫∫
Ω
yxz
yxz
D
dzzyxfdxdydvzyxf

2
1

（2）设 ()() (){}zDyxzzyx ∈≤≤Ω βα
中 ()zD 竖坐标 z 面界闭区域
() ()
()
∫∫∫∫∫∫
Ω zD
dxdyzyxfdzdvzyxf β
α


2．柱坐标系中三重积分计算


()( )∫∫∫∫∫∫
ΩΩ
dzddzfdxdydzzyxf sincos θγγθγθγ

相 ()yx 化极坐标 ()θγ z 保持变
考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 22
3．球坐标系中三重积分计算


⎪⎩
⎪⎨
⎧



θρ
ϕθρ
ϕθρ
cos
sinsin
cossin
z
y
x
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
≤≤
≤≤
≥
πϕ
πθ
ρ
20
0
0


()∫∫∫
Ω
dxdydzzyxf

()∫∫∫
Ω
ϕθρθρθρϕθρϕθρ dddf sincossinsincossin 2

然根 Ω 三重积分化关 ϕθρ 累次
积分
曲线积分
．第类曲线积分（弧长曲线积分）
空间情形：空间条逐段光滑曲线 L 定义函数
()zyxf 曲线 L 意分割 n 段
nSSS ∆∆∆ 21 Λ ()nkSk ≤≤∆ 1 取 点
()kkk sηξ 果意分割意取点列极限皆
存相等
()∑
→
∆
n
k
kkkk Ssf
10
lim ηξ
λ

（里 kS∆ 表示第 k 段曲线弧长
knk
S∆
≤≤1
maxλ ）
称极限值 ()zyxf 曲线 L 第类曲
线积分称弧长曲线积分记
()∫L
dSzyxf
果曲线 L 封闭曲线记 ()∫L
dSzyxf

2．参数计算公式

讨空间情形（面情形类似）
设空间曲线 L 参数方程 ()txx ()tyy
()tzz ()βα ≤≤ t

( ) () () ()[]()[] ()[] ()[]∫∫ ∂
′+′+′ β
dttztytxtztytxfdSzyxfL
222

（假设 ()zyxf ()tx′()ty′()tz′ 皆连续）
样曲线积分化定积分进行计算
二．第二类曲线积分（坐标曲线积分）
空间情形：设空间条逐段光滑定曲线 ABL ∩
函数 ()zyxP()zyxQ()zyxR L 皆定义
L 意分成 n 段 nSSS ∆∆∆ 21 Λ
()nkSk ≤≤∆ 1 起点坐标 ()111 −−− kkk zyx 终点坐标
()kkk zyx （ L 定决定起点终点）令
1−−∆ kkk xxx 1−−∆ kkk yyy 1−−∆ kkk zzz
()nk ≤≤1 kS∆ 意点 ()kkk sηξ 考虑极限

()()()[]∑
→
∆+∆+∆
n
k
kkkkkkkkkkkk zsRysQxsP
10
lim ηξηξηξ
λ

中λ n 段弧长中值果意分割
意取点述极限皆存相等称极限值
()zyxP()zyxQ ()zyxR 空间曲线 L 第二
类曲线积分称坐标曲线积分记
()()()∫ ++L
dzzyxRdyzyxQdxzyxP
量形式 ∫ ⋅L
dSF
中 ()()(){}zyxRzyxQzyxPF
{}dzdydxdS
果 L 空间封闭曲线说明 L 定空间
简单说逆时针方时针方针必须方式考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 23
加说明

2．参数计算公式

讨空间情形（面情形类似）
设空间曲线 L 参数方程 ()txx ()tyy
()tzz 起点 A 应参数α 终点 B 应参数 β
（注意：现 α β 定 βα < ）果
()zyxP()zyxQ()zyxR 皆连续 ()tx′
()ty′()tz′ 连续
() () ()∫ ∩
++
ABL
dzzyxRdyzyxQdxzyxP
() () ()[]() () () ()[]() () () ()[](){}∫ ′+′+′ β
α
dttztztytxRtytztytxQtxtztytxP
样曲线积分化定积分计算值注意：
果曲线积分定相反第二类曲线积分值差
负号第类曲线积分值定关曲线考
虑定

三．两类曲线积分间关系

1．面情形
设 ABL ∩ 面逐段光滑定曲线
()yxP()yxQ L 连续

() () () ()[]∫∫ ∩∩
++
ABAB
dsyxQyxPdyyxQdxyxP βα coscos
中 αcos βcos 曲线弧点 ()yx 处定
A B 方切线方余弦

2．空间情形

设 ABL ∩ 空间条逐段光滑定曲线
()zyxP()zyxQ()zyxR L 连续
() () ()∫∩ ++
AB
dzzyxRdyzyxQdxzyxP

()()()[]dszyxRzyxQzyxP
AB∫∩ ++ γβα coscoscos
中 αcos βcos γcos 曲线弧 AB∩ 点
()zyx 处定 A B 方切线方余弦
四．格林公式

关面区域二重积分边界曲线曲
线积分间关系十分重定理结
格林公式
定理 1．（单连通区域情形）
设 xy 面界闭区域 D 条逐段光滑闭曲线
L 围成单连通区域 L 正定移动时区域 D
L 左边函数 ()yxP()yxQ D 连续阶
偏导数
∫∫∫ +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
L
D
QdyPdxdxdyy
P
x
Q

定理 2．（连通区域情形）
设 xy 面界闭区域 D ()1+n 连通区域（
n 洞）边界 nCCCLΥΛΥΥ 10 中 0C
定逆时针方 nCC1 Λ 定皆时针方
符合 L 正定移动时区域 D 左边原


函数 ()yxP()yxQ D 连续阶偏导数
考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 24
∫∫∫ +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
LD
QdyPdxdxdyy
P
x
Q
∫ ∑∫
+++
0 1C
n
k Ck
QdyPdxQdyPdx

五．面第二类曲线积分路径关等价
条件

设 ()(){}yxQyxPF 分量 ()yxP()yxQ
单连通区域 D 阶连续偏导数面条彼等
价
1． D 意条逐段光滑闭曲线 L
0+∫L
QdyPdx
2．意 ABL ∩ D ∫∩ +
AB
QdyPdx 赖
起点 A 终点 B曲线 ABL ∩ 取法关称
曲线积分路径关
3．() () ()yxdudyyxQdxyxP + 成立
4．D 处处
y
P
x
Q
∂
∂∂
∂ 成立
5．量场 ()(){}yxQyxPF 势场存二
元函数 ()yxV具 gradVF − ()yxV 称势函
数具
x
VP ∂
∂−
y
VQ ∂
∂−
曲面积分
．第类曲面积分（面积曲面积分）

1．定义

设 S 分块光滑曲面 ()zyxf S 定义
曲面 S 意分成 n 块曲面 nSSS ∆∆∆ 21 Λ
)1( nkSk ≤≤∆ 取点 ()kkk sηξ 曲面 kS∆
面积记 kS∆ λ 表示块曲面直径
值果意分割意取点列极限皆存相等

()k
n
k
kkk Ssf ∆∑
→ 10
lim ηξ
λ

称极限值 ()zyxf 曲面 S 第类曲
面积分称面积曲面积分记
()∫∫
′S
dSzyxf

2．基计算公式

设曲面 S 方程 ()()Dyxyxzz ∈ ()yxz
D 连续偏导数
()zyxf S 连续

() ()[]∫∫∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂+
DS
dxdyy
z
x
zyxzyxfdSzyxf
22
1

样第类曲面积分化二重积分进行计算

二．第二类曲面积分（坐标曲面积分）
1．定义
设 S 分块光滑曲面（已指定侧定 )
()zyxP()zyxQ()zyxR 皆 S 定义
曲面 S 意分成 n 曲面 nSSS ∆∆∆ 21 Λ
()nkSk ≤≤∆ 1 yz 面投影面积记 ()yzkS∆
zx 面投影面积记 ()zxkS∆ xy 面投影
面积记 ()xykS∆ ()nkSk ≤≤∆ 1 取点
()kkk sηξ 令 λ 块曲面直径值考虑极
限

( )()( )()( )()[]∑
→
∆+∆+∆
n
k
xykkkkzxkkkkyzkkkk SsRSsQSsP
10
lim ηξηξηξ
λ

果意分割 意取点极限值存相等
极限限称 ()zyxP()zyxQ()zyxR
曲面 S 第二类曲面积分称面积曲面考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 25
积分记

() () ()∫∫ ++
S
dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP
果令 {}RQPF {}dxdydzdxdydzdS
量形式
∫∫ ⋅
S
dSF

2．基计算公式

果曲面 S 方程 ()yxzz () xyDyx ∈
()yxz xyD 连续 ()zyxR S 连续
() ()[]∫∫∫∫ ±
xyDS
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
曲面 S 指定侧法量 z 轴正成锐角取
正号成钝角取负号样部分曲面积分化 xy
面二重积分
类似曲面 S 方程表示 ()zyxx
() yzDzy ∈
() ()[]∫∫∫∫ ±
YZDS
dydzzyzyxPdydzzyxP
曲面 S 指定侧法量 x 轴正成锐角取正
号成钝角取负号果曲面 S 方程表示
()xzyy () zxDxz ∈
() ()[]∫∫∫∫ ±
ZXDS
dzdxzxzyxQdzdxzyxQ
曲面 S 指定侧法量 y 轴成锐角取正号成
钝角取负号见第二类曲面积分基公式进
行计算麻烦绝数情形面定理进行
计算 RQP 0 剩项二项时
基公式进行计算

三．两类曲面积分间关系

[]∫∫∫∫ ++++
SS
dSRQPRdxdyQdzdxPdydz γβα coscoscos
中 γβα coscoscos 曲面 S 点()zyx 处根
定指定侧法量三方余弦
令 {}RQPF {}γβα coscoscos0 n
∫∫∫∫ ⋅++
SS
dSnFRdxdyQdzdxPdydz 0

四．高斯公式

定理 1．（单连通区域）
设 Ω 分块光滑曲面 S 围成单连通界闭区
域 ()()( )zyxRzyxQzyxP Ω 连续阶
偏导数

∫∫∫∫∫ ++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂
ΩS
RdxdyQdzdxPdydzdvz
R
y
Q
x
P
（外侧）

[]∫∫ ++
S
dSRQP γβα coscoscos
中 γβα coscoscos S 点 ()zyx 处法
量方余弦
定理 2．（连通区域）
设Ω ()1+n 连通区域外面边界曲面 0S 外侧
洞边界曲面 ()nkSk ≤≤′ 1 侧彼
重叠 0S 部曲面分块光滑 Ω
界闭区域 ()( )( )zyxRzyxQzyxP Ω 连
续阶偏导数

∫∫∫∫∫ ++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂
Ω 0S
RdxdyQdzdxPdydzdvz
R
y
Q
x
P
（外侧）
∑∫∫
+++
n
k SK
RdxdyQdzdxPdydz
1

（侧）

五．斯托克斯公式
定理：设 L 逐段光滑闭曲线 S L 边
界分块光滑曲面 L 正 S 侧（法量
指）符合右手法函数
()()()zyxRzyxQzyxP 包含 S 空间区域考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 26
连续阶偏导数
∫∫∫ ∂
∂
∂
∂
∂
∂++
S
L
RQP
zyx
dxdydzdxdydz
RdzQdyPdx

∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
S
dxdyy
P
x
Qdzdxx
R
z
Pdydzz
Q
y
R

第类曲面积分

∫∫∫ ∂
∂
∂
∂
∂
∂++
S
L
dS
RQP
zyxRdzQdyPdx
γβα coscoscos

六．散度旋度

讨中三概念重 梯度散度旋度
前面已讨梯度：
设 ()zyxuu 算 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∇ zyx
uz
u
y
u
x
ugradu ∇⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂ 称u 梯度

1．散度

设 ()()()()zyxRzyxQzyxPF
散度 Fz
R
y
Q
x
PdivF ⋅∇∂
∂+∂
∂+∂
∂ 称 F 散
度
高斯公式写成 ∫∫∫∫∫ ⋅
ΩS
dSnFdivFdv 0
（外侧）
()γβα coscoscos0 n

2．旋度

设 ()()()()zyxRzyxQzyxPF
旋度
RQP
zyx
kji
FrotF ∂
∂
∂
∂
∂
∂×∇

ky
P
x
Qjx
R
z
Piz
Q
y
R
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
称 F 旋度
斯托克斯公式写成 ()∫∫∫ ⋅⋅
S
L
dSnrotFdrF 0
中 ()dzdydxdr ()γβα coscoscos0 n

穷级数
常数项级数

1．基性质
（1）果 ∑
∞
1n
nu ∑
∞
1n
nv 皆收敛 ba 常数
()∑
∞

+
1n
nn bvau 收敛等 ∑∑
∞

∞

+
11 n
n
n
n vbua
（2）级数中增加减少变更限项级数收
敛性变
（3）收敛级数具结合律级数项意加
括号新级数收敛变
发散级数具结合律引言中级数见发散
加括号级数情形
（4）级数 ∑
∞
1n
nu 收敛必条件 0lim
∞→ nn
u
（注：引言中提级数 ()∑
∞

+−
1
11
n
n 具
1)1(lim +
∞→
− n
n
存收敛级数必条件满足
()∑
∞

+−
1
11
n
n 发散调级数 ∑
∞
1
1
n n
满足 01lim
∞→ nn
∑
∞
1
1
n n
分散满足收敛级数必条件 0lim
∞→ nn
u
∑
∞
1n
nu 收敛性尚确定）

2．两类重级数 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 27

（1）等级数（级数）
∑
∞
0n
nar ()0≠a
1r
aar
n
n
−∑
∞
10
收敛
1≥r 时 ∑
∞
0n
nar 发散
（2） p —级数
∑
∞
1
1
n
pn

1>p 时 ∑
∞
1
1
n
pn
收敛
1≤p 时 ∑
∞
1
1
n
pn
发散
（注： 1>p 时 ∑
∞
1
1
n
pn
般作求
面特殊方法知
6
1 2
1
2
π∑
∞
n n
）

二．正项级数敛散性判法
)321(0 Λ≥ nun ∑
∞
1n
nu 称正项级数
时
()Λ3211 ≥+ nSS nn
{}nS 单调增加数列否收敛取决
nS 否界
∑
∞
1n
nu 收敛 nS⇔ 界正项级数较
判法基础正项级数判法基础

1．较判法

设 0>c Nn ≥ 时 0>≥ nn ucv 皆成立
果 ∑
∞
1n
nv 收敛 ∑
∞
1n
nu 收敛
果 ∑
∞
1n
nu 发散 ∑
∞
1n
nv 发散

2．较判法极限形式

设 0≥nu 0≥nv ()Λ321n
Av
u
n
n
n

∞→
lim
（1） +∞<< A0 时∑
∞
1n
nu ∑
∞
1n
nv 时收敛
时发散
（2） 0A 时 ∑
∞
1n
nv 收敛 ∑
∞
1n
nu 收敛
（3） +∞A 时 ∑
∞
1n
nu 收敛 ∑
∞
1n
nv 收敛

3．值判法（达朗倍尔）

设 0>nu ρ+
∞→ n
n
n u
u 1lim
（1） 1<ρ 时 ∑
∞
1n
nu 收敛
（2） 1>ρ （包括 +∞ρ ）时 ∑
∞
1n
nu 发散
（3） 1ρ 时判法效
（注：果
n
n
n u
u 1lim +
∞→
存时判法法）

4．根值判法（柯西）

设 0≥nu ρ
∞→
n
nn
ulim
（1） 1<ρ 时 ∑
∞
1n
nu 收敛 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 28
（2） 1>ρ （包括 +∞ρ ）时 ∑
∞
1n
nu 发散
（3） 1ρ 时判法效
事实值判法根值判法等级数
较出相应结应时根级数形状
选择 1ρ 情形力数学
更精细判法较复杂考研说作
求

三．交错级数莱布尼兹判法
1．交错级数概念
0>nu ()∑
∞

+−
1
11
n
n
n u 称交错级数

2．莱布尼兹判法
设交错级数 ()∑
∞

+−
1
11
n
n
n u 满足：
（1）()Λ3211 ≤+ nuu nn
（2） 0lim
∞→ nn
u
()∑
∞

+−
1
11
n
n
n u 收敛 () 1
1
110 uu
n
n
n <−< ∑
∞

+

四．绝收敛条件收敛
1．定理
∑
∞
1n
nu 收敛 ∑
∞
1n
nu 定收敛反然

2．定义
∑
∞
1n
nu 收敛称 ∑
∞
1n
nu 绝收敛
∑
∞
1n
nu 收敛 ∑
∞
1n
nu 发散称 ∑
∞
1n
nu 条件
收敛

3．关性质
（1）绝收敛级数具交换律级数中穷
项意交换序级数绝收敛
变
（2）条件收敛级数正项负项构成级数
()∑
∞

+
1 2
1
n
nn uu ()∑
∞

−
1 2
1
n
nn uu 定发散

4．类重级数
设 ()∑
∞

+−
1
11
n
p
n
n

（1） 1>p 时 ()∑
∞

+−
1
11
n
p
n
n
绝收敛
（2） 10 ≤< p 时 ()∑
∞

+−
1
11
n
p
n
n
条件收敛
（3） 0≤p 时 ()∑
∞

+−
1
11
n
p
n
n
发散
幂级数
．函数项级数收敛域函数（数学）

1．函数项级数概念
设 ()xun ()Λ321n 皆定义区间 I
()xu
n
n∑
∞
1
称区间 I 函数项级数

2．收敛域
设 I 0 ∈x 果常数项级数 ()0
1
xu
n
n∑
∞

收敛称 0x
函数项级数 ()∑
∞
1n
n xu 收敛点
果 ()∑
∞
1
0
n
n xu 发散称 0x ()∑
∞
1n
n xu 发散点
函数项级数 ()∑
∞
1n
n xu 收敛点构成集合称
收敛域
发散点构成集合称发散域

3．函数

()∑
∞
1n
n xu 收敛域点 x 关考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 29

() ()∑
∞


1n
n xuxS ∈ x 收敛域
称 )(xS 函数项级数 ()∑
∞
1n
n xu 函数定
义域函数项级数收敛域

二．幂级数收敛域

1．幂级数概念

()∑
∞

−
1
0
n
n
n xxa 称 )( 0xx − 幂级数
)210(Λnan 称幂级数系数常数
00 x 时 ∑
∞
0n
n
n xa 称 x 幂级数
般讨 ∑
∞
0n
n
n xa 关问题作移换
出关 ()∑
∞

−
0
0
n
n
n xxa 关结

2．幂级数收敛域

幂级数 ∑
∞
0n
n
n xa 收敛域分三种情形
（1）收敛域 )( +∞−∞ ∑
∞
0n
n
n xa x
皆收敛称收敛半径 +∞R
（2）收敛域仅原点原点外幂级数 ∑
∞
0n
n
n xa 皆
发散称收敛半径 0R
（3）收敛域 )(RR− ]RR(− [)RR−
[]RR− 中种称收敛半径
R)0( +∞<< R
求幂级数收敛半径 R 非常重（1）（2）
两种情形收敛域确定 )3( 情形需讨
R± 两点敛散性
果 la
a
n
n
n
+
∞→
1lim （包括 ∞+ ） lan
nn

∞→
lim （包
括 ∞+ ）
收敛半径
lR 1 （ +∞l 0R 0l
+∞R）
果述两极限成立 方法求收敛
半径面讨


三．幂级数性质

1．四运算

设 )(
0
xfxa
n
n
n ∑
∞

1Rx < ()∑
∞


0n
n
n xgxb
2Rx <
()()()∑
∞

±±
0n
n
nn xgxfxba ()21min RRx <

()()∑∑∑
∞

−
∞

∞

⋅++++⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
0
00
00
)(
n
n
nknkn
n
n
n
n
n
n xgxfxbababaxbxa ΛΛ

()21min RRx <

2．分析性质

设幂级数 ∑
∞
0n
n
n xa 收敛半径 0>R
() ∑
∞


0n
n
n xaxS 函数列重性质
（1）()xS ()RR− 导逐项求导公式
() ()∑∑∑
∞

∞

−
∞

′
′
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛′
01
1
0 nn
n
n
n
n
n
n
n xnaxaxaxS
求导幂级数收敛半径变出 ()xS 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 30
()RR− 意阶导数公式
()() ( ) ( ) kn
kn
k xknnnxS −
∞

+−− ∑ 11 Λ
Rx < ()Λ321k
（2）()xS ()RR− 逐项积分公式
() ∑∑∫∫
∞

+
∞
+
0
1
0 00 1n
nn
n
x n
n
x
xn
adttadttS
幂级数收敛半径变
（3） ()∑
∞


0n
n
n xSxa ()RRx − 成立
列性质：
（i）() ∑
∞
→
−
0
lim
n
n
nRx
RaxS 成立
()
() ( ) ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ − ∑
∞
−→ +
成立
0
lim
n
n
nRx
RaxS
（ii）() ∑∫
∞

+
+
0
1
0 1n
nnR
Rn
adxxS 成立
() () ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −+
−∫ ∑−
∞

+ 成立0
0
1
1R n
nn Rn
adxxS
（iii） ∑
∞

−
1
1
n
n
n xna ()RRx − 定收敛
()RSRna
n
n
n −
∞

− ′∑
1
1 定成立 ()()RS −′+
果 ∑
∞
0n
n
n xa ()RRx − 发散逐项求导
级数 ∑
∞

−
1
1
n
n
n xna ()RRx − 定发散逐项积分
级数 ∑
∞

+
+0
1
1n
nn xn
a ()RRx − 收敛

四．幂级数求函数基方法
1．已知函数幂级数展开式（§ 83 讨）反


列基公式应熟背
（1）
xx
n
n
−∑
∞
1
1
0
1 （2） x
n
n
en
x ∑
∞
0
+∞ （3）()() xn
x n
n
n sin 121
12
0
+−
+∞

∑ +∞ （4）()() xn
x n
n
n cos 21
2
0
−∑
∞

+∞ （5）() ()xn
x n
n
n ++−
+∞

∑ 1ln11
1
0
()11 ≤<− x
（ 6 ）()( ) ()αααα xxn
n n
n
++−−+ ∑
∞

1
111
1
Λ
()11 <<− x （α 实常数）

2．逐项求导逐项积分方法等级数求
公式

3．逐项求导逐项积分方法化函数微分方
程求微分方程解

五．利幂级数求函数出关常数项级数
（强化班讨）

函数展开成幂级数
．泰勒级数麦克劳林级数概念
1．基概念

设函数 ()xf 点 0x 某领域 δ<− 0xx 具
意阶导数级数
()()()∑
∞

−
0
0
0
n
n
n
xxn
xf 称函数
()xf 0x 处泰勒级数
（注：里泰勒级数否收敛？否收敛 ()xf
知道）特 00 x 级数

()() n
n
n
xn
f∑
∞
0
0 称 ()xf 麦克劳林级数 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 31

2．函数展成幂级数条件

设 ()xf Rxx <− 0 意阶导数泰勒
公式

() () ()( ) ()()
()()()()xRxxn
xfxxxfxxxfxfxf n
n
n
+−++−′′+−′+ 0
02
0
0
000 2 Λ

中 ()xRn n 阶余项拉格朗日型
()
() ()[]
() () ( ) 10 1
1
0
00
1
<<−+
−+ +
+
θθ n
n
n xxn
xxxfxR

()
()()()∑
∞

−
0
0
0
n
n
n
xxn
xfxf Rxx <− 0
充条件 () 0lim
∞→
xRnn
Rxx <− 0
()xf 0x 处幂级数展开式唯
特 00 x 时函数展成麦克劳林级数充
分必条件

二．函数展成幂级数方法
1．套公式
() ( )∑
∞

−
0
0
n
n
n xxaxf Rxx <− 0

()()

0
n
xfa
n
n ()Λ210n
例 ∑
∞


0
1
n
nx xne +∞ ()()∑
∞

+
+−
0
12
121sin
n
n
n
n
xx +∞ () ()( )∑
∞

+−−++
1
1111
n
nxn
nx αααα Λ
1 （α 实常数）

2．逐项求导

例： () ()()∑
∞

−′
0
2
21sincos
n
n
n
n
xxx +∞ () ∑∑
∞

−
∞


′
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
′
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
−
− 1
1
0
2 1
1
1
1
n
n
n
n nxxxx
1
3．变量换法

例： ∑∑
∞

∞


00
2

1

12
nn
nntx xntnee +∞ () () ()∑∑
∞

∞

−−−−+ 00
22
22 11
1
1
1
nn
nnn xxxx

1
4．逐项积分法

例： () ()∫ ∑∫
∞

−++ x
n
nx
dttdttx 0 00 1
11ln
()∑
∞

+
+
−
0
1
1
1
n
nn
n
x ()11 ≤<− x
()∑
∞
+
−
0 1
12ln
n
n
n

() ()∫ ∑∑∫
∞

∞

+
+
−−+ x
nn
nn
nx
n
xdttdttx 0 00
12
2
0 2 12
1
1
1arctan
()11 ≤≤− x

()
41arctan12
1
0
π+
−∑
∞
n
n
n
考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 1
第讲 基知识
二．矩阵量
1．线性运算转置
① ABBA ++
②() ()CBACBA ++++
③ () cBcABAc ++ () dAcAAdc ++
④ ()()AcddAc
⑤ 00 ⇔ ccA 0A
量组线性组合
sααα 21 Λ
ssccc ααα +++Λ2211
转置
A 转置 TA（ A′）
() AATT
() TTTBABA ±±
() ()TTAccA

3． n 阶矩阵

n 行 n 列矩阵
角线元素行标列标相等 Λ 2211 aa
角矩阵
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
*00
0*0
00*

数量矩阵 E3
300
030
003

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

单位矩阵 IE
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
100
010
001

（）三角矩阵
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
*00
**0
***

称矩阵 AAT
反称矩阵 AAT −

三．矩阵初等变换阶梯形矩阵

初等变换分
⎩
⎨
⎧
初等列变换
初等行变换

三类初等行变换
①交换两行位置
BA →
②非零常数 c 某行
③行倍数加行（倍加变换）
阶梯形矩阵

34
12
01
00000
32000
15210
02014
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−

①果零行面
②非零行第非 0 元素列号严格
单调升
行左边连续出现 0 数严格单调
升直全 0
台角：非零行第非 0 元素位置
简单阶梯形矩阵：

3．台角位置元素 1

4．台角正方元素 0

矩阵初等行变换化阶梯形矩阵简单
阶梯形矩阵
果 A n 阶矩阵
A 阶梯形矩阵⇒ A 三角矩阵反定


⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
100
010
100
三角非阶梯形

四．线性方程组矩阵消元法
解变换化简方程求解
三种解变换：
①交换两方程位置
②非 0 数 c 某方程
③某方程倍数加方程反映
增广矩阵三种初等行变换 考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 2

矩阵消元法：
①写出增广矩阵 ()βA初等行变换化 ()βA 阶梯
形矩阵 ()γB
②()γB 判解情况
i）果()γB 面非零行 ()d00 Λ解
否解
ii）果解记γ ()γB 非零行数
n γ 时唯解
n<γ 时穷解
iii）唯解求解方法（初等变换法）
掉()γB 零行 ()00 γB ()cnn +× 矩阵
0B n 阶梯形矩阵三角矩阵

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

−−
nn
nn
b
b
b
b
B

11
22
11
0
0000
*000
**00
***0
****
Ο
0 ≠nnb iinn bb Λ⇒≠⇒ −− 01 1 0
()00 γB 化出简单阶梯形矩阵应
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
nc
c
c
ΜΟ
2
1
1000
000
0010
0001

方程
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧







22
11
nn cx
cx
cx
Μ ()nccc 21 Λ 解

第二讲 行列式

．形式意义


nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
21
22221
11211

A n 阶矩阵 A 表示相应行列式

二．定义（完全展开式）

bcaddc
ba −


n 阶行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
21
22221
11211
值：
① n 项代数
②项 n 元素积 n 项
nnjjj aaa Λ21 21
中 njjj Λ21 n21 Λ 全排列
③
nnjj aa Λ11 前面应
()()njjj Λ211 τ−
()njjj Λ21τ 逆序数
n21 Λ
()()∑ −
n
n
n
jjj
njjj
jjj aaa
Λ
ΛΛ
21
21
21
211 τ
考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 3
()()()
n
nn
n
bbb
b
b
b
ΛΝ
Λ
21
2112
1
1
***
**0
*00
000
−− τ
()()()
2
1211 2 −− nnCnn nΛτ

三．计算（化零降阶法）

余子式代数余子式

称 ijM ija 余子式
() ij
ji
ij MA +− 1
定理：行列式值 D 等某行（列）元
素代数余子式积
nn AaAaAaD 2222222121 +++Λ

四．行列式性质
1．转置值变 AAT
2．数 c 某行（列）元素值 c
AccA n
3．行列式求某行（列）分解
γβαγβαγββα 2121 ++
()321 αααA3 阶矩阵
()321 βββB
BABA +≠+
()332211 βαβαβα ++++ BA
332211 βαβαβα ++++ BA

3322133221 βαβαββαβαα +++++


4．第类初等变换值变号
5．果行列式某行（列）元素全 0 者
两行（列）元素成例关系行列式值 0
6．行（列）元素行（列）相应元素
代数余子式 0
7．BAB
A
B
A ∗∗ 0
0
8．范德蒙行列
∏
<
−
ji
ij
n aaaaa )(
111
11 Λ
Λ
2
nC

五．元素规律行列式计算

六．克莱姆法

克莱姆法：设线性方程组系数矩阵 A n 阶矩阵
（方程数 m 未知数数 n ）
0≠A 时方程组唯解解
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
A
D
A
D
A
D n 21 Λ
iD A 第i 列
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
nb
b
b
Μ
2
1
代 n 阶行列式：
0A 时解？
唯解 ⇒ 0≠A？
改进： ⇔≠ 0A 唯解
证明：()()rBA ⎯→⎯行β
00 ≠⇔≠ BA 考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 4
()
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
r
b
b
b
rB
nn000
*00
**0
***
22
11
Ο
0≠B 0≠iib i∀ 唯解
唯解 ()rB | n 非零行面非零
行 ()d|00 Λ 0≠nnb 0≠iib
∏

≠
n
i
iibB
1
0
求解方法：
() () ()ηβ ErBA ⎯→⎯⎯→⎯ 行行
η 解
齐次方程组 ⇔≠ 0A 零解

第三讲 矩阵

．矩阵法

1．定义规律

定义：设 A B 两矩阵
果 A 列数等 B 行数 A B积
矩阵记作 AB
A nm× 矩阵B sn× 矩阵时AB sm× 矩
阵
AB ()ji 位元素 A 第i 行 B 第 j 列应元
素积
njinjijiij bababaC +++Λ2211
遵循规律
①线性性质
() BABABAA 2121 ++
() 2121 ABABBBA ++
() ( ) ()cBAABcBcA
②结合律 () ()BCACAB
③() TTTABAB
数法处
交换律消律
0AB 时 0⇒A 0B
0≠A 00 ⇒ BAB
0≠A 时 CBACAB ⇒ （左消律）

2． n 阶矩阵方幂项式

两 n 阶矩阵 A B AB n 阶矩
阵
行列式性质： BAAB
A n 阶矩阵

48476
Λ
k
k AAAA EA 0
lklk AAA +
() kllk AA
() kkk BAAB 定成立
设 () 01
1
1 axaxaxaxf k
k
k
k ++++ −
− Λ
A n 阶矩阵规定
()EaAaAaAaAf k
k
k
k 01
1
1 ++++ −
− Λ
问题：数法公式式分解等矩阵否成
立？
() 222 2 BABABA +++ ？
()()BABABA +−− 22 ？
‖
22 BBAABA +++
障碍交换性
BAAB 时 ()∑

−+
k
i
iiki
k
k BACBA
0

矩阵 A 项式式分解例
()( )EAEAEAA +−−− 3322

3．积矩阵列量行量

（1）设 nm× 矩阵 ()nA ααα 21 Λ n 维列量
()T
nbbb 21 Λβ
nnbbbA αααβ +++ Λ2211 考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 5

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++
++
++

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
333322311
233222211
133122111
3
2
1
333231
232221
131211
321
ababab
ababab
ababab
b
b
b
aaa
aaa
aaa
ααα

332211
33
23
13
3
32
22
12
2
31
21
11
1 ααα bbb
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
b ++
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

应方程组

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+++
+++
+++
mnmnm
m
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
ΛΛ
Λ
Λ
22
11
22222121
11212111

记 A 系数矩阵 ()nA ααα 21 Λ 设
()T
nxxx 1 Λ

⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+++
+++

nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
Ax
Λ
Λ
Λ
Λ
2211
2222121
1212111

方程组矩阵形式
βAx ()()T
mbbb 21 Λβ
方程组量形式
βααα +++ nnxxx Λ2211
（2）设 CAB
记 ()sB βββ 21 Λ ()srrrC 21 Λ
siAr ii 21Λ β
()sAAAAB βββ 21 Λ

⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
Λ
ΛΛ
Λ
Λ
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ




1
21
11
22
22221
11211
21
22221
11211
mnsnn
s
s
mnmm
n
n
c
c
c
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa

nniiiii bbbAr αααβ +++Λ2211
AB 第i 列量 ir A 列量组
nααα 21 Λ 线性组合组合系数 B 第i 列量
分量
类似： AB 第i 行量 B 行量组线性
组合组合系数 A 第i 行量分量
TTTCAB
角矩阵右侧矩阵 A角线元素
次 A 列量
角矩阵左侧矩阵 A角线元素
次 A 行量
AAE AEA
() kAkEA () kAAkE
两角矩阵相须角线应元素相
角矩阵 k 次方幂须角线元素作 k 次
方幂

4．初等矩阵法中作
单位矩阵作次初等变换矩阵称初等
矩阵
3 种初等矩阵
（1）()jiE：交 换 E 第 ji 两行交换 E 第 ji
两列
5n ()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

10000
00010
00100
01000
00001
42E
（2）())(ciE：数 ()0≠c E 第i 行第i 列
5n ()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

10000
01000
00100
0000
00001
)(2
c
cE
（3）())( cjiE： E 第 j 行 c 倍加第i 行
E 第i 列 c 倍加第 j 列 考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 6
5n ()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

10000
01000
00100
00010
0001
)(41
c
cE
命题：初等矩阵左（右）侧矩阵 A 等 A
作次相初等行（列）变换
()())(41 54321 cEααααα
()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

10000
01000
00100
00010
0001
54321
c
ααααα
()541321 αααααα + c

5．矩阵分解

6．法分块法

般法：计算两矩阵 A B 积时先
A B 横线分割成干矩阵进行求 A
分割 B 横分割致

两种常情况
（1）BA 分成 4 块
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2221
1211
AA
AAA ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2221
1211
BB
BBB
中 1iA 列数 jB1 行数相等 2iA 列数 jB2
行数相关
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++
2222122121221121
2212121121121111
BABABAAA
BABABABAAB
（2）准角矩阵

⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
kkA
A
A
Λ
Ο
Λ
Λ
00
00
00
22
11


⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
kkkkkkkk BA
BA
BA
B
B
B
A
A
A
00
00
00
00
00
00
00
00
00
2222
1111
22
11
22
11
Ο
Λ
Λ
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
Λ
ΟΜ
Λ
Λ


n 阶矩阵 A规定 ()Atr A 角线元素
称 A 迹数
()()TkTkT αβαβαβ 1−
()[]TkTtr αβαβ 1−

二．矩阵方程逆矩阵

1．两类基矩阵方程

CAB 知道C AB 中求
法逆运算
两类基矩阵方程
()BAxI () BxAII
需求 A 方阵 0≠A
（I）解法：
()()xEBA ⎯→⎯行
（II）解法先化 TTTBxA
()()TTT xEBA →

2．逆矩阵逆矩阵

0≠a 时
aa 11 −
acab 两边 1−a cb
①定义意义
设 A n 阶矩阵果存 n 阶矩阵 H
EAH EHA 称 A 逆矩阵称 H A
逆矩阵证作 1−A 考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 7
设 A 逆 A 消律
左消律： CBACAB ⇒
右消律： CBCABA ⇒
②逆性判逆矩阵计算
定理： n 阶矩阵 A 逆 0≠⇔ A
证明：⇒ EAA −1
11 − EAA
A∴ 0（
AA 11 − ）
⇐ 找 H EAx 解 ExA
解
0≠AEAx 唯解记作 BExA 唯
解记作C EAB ECA
() ()CABCBCAB
A 逆 1−A EAx 解
求 1−A 方程（初等变换法）
() ()1−⎯→⎯ AEEA 行
推 设 AB 两 n 阶矩阵
EBAEAB ⇔
③逆矩阵性质
i） A 逆时
TA 逆 () ( )TTAA 11 −−
kA 逆 () ( )kk AA 11 −−
数 0≠c cA 逆 () 11 1 −− AccA
0≠ AccA n
() EAAccAccA ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ⋅⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −− 11 11
ii）设 AB 两 n 阶逆矩阵 AB 逆
() 111 −−− ABAB
AB n 阶矩阵时
AB 逆 AB⇔ 逆
命题：初等矩阵逆
()()()jiEjiE 1 −
()()() ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−
ciEciE 11
()()()()()cjiEcjiE −− 1
()() 1 cjiE
命题：准角矩阵
kkA
A
A
A
000
000
000
000
22
11
Ο 逆
⇔
iiA 逆记

1
1
22
1
11
1
000
000
000
000
−
−
−
−
kkA
A
A
A
Ο


3．伴矩阵

n 阶矩阵 A 伴矩阵证作 *A
()T
ij
nnnn
n
n
A
AAA
AAA
AAA
A
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
21
22212
12111
*
伴矩阵基性质：
EAAAAA **
考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 8
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
A
A
A
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
nnnn
n
n
nnnn
n
n
000
000
000
000
21
22212
12111
21
22221
11211
Ο
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ

A 逆时
EA
AA *

A
AA*1 −
求逆矩阵伴矩阵法
2n 时： ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ dc
baA
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
− ac
bdA*

bcad
ac
bd
A −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−1
证 1* − AAA
EAA
A *
() ()∗ −− 11*AA
AA
() () ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −−−−
A
AAAA 1111 *
伴矩阵性质
① 1* − nAA
② ()()**TTAA
③() ** 1 AccA n−
④() ***ABAB
⑤ () ()kk AA**
⑥() AAA n 2** −
2n 时 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ dc
baA
() Adc
ba
dc
baA ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
− ***
关矩阵右肩记号： T k 1− *
i) 两次序交换
()()TTAA**
()()** 11 −− AA 等
ii) ()()111 −−− ABABABAB TTT
()***ABAB
（() kkk ABAB 定成立）

结：
1．法定义数法区
2．特殊情形快捷求积矩阵
3．矩阵分解概念
4．矩阵方程初等变换法
5．逆矩阵
BAx BAx 1−
第四讲 量组线性关系秩

．线性表示

1． β sααα 21 Λ 线性表示 β 表示
sααα 21 Λ 线性组合存 sccc 21 Λ

βααα +++ ssccc Λ2211
记号： sαααβ 21 Λ→
例 sααα 0 21 Λ→ si αααα 21 Λ→

βααααααβ +++⇔→ sss xxx ΛΛ 221121
解
()βααα ⇔ xs 21 Λ 解考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 9
()()T
sxxx 1 Λ
βAx 解 β A 列量组表示
2 ． st αααβββ 2121 ΛΛ→
si αααβ 21 Λ→
果 ()srrrCAB 21 Λ ()nA ααα 21 Λ
nsrrr ααα 2121 ΛΛ→
果 st αααβββ 2121 ΛΛ→ 存矩阵C

()()Cst αααβββ 2121 ΛΛ
例 3211 αααβ ++ 322 2 ααβ +
323 32 ααβ +
()()
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

311
221
001
321321 αααβββ
线性表示关系传递性
pst rrr 212121 ΛΛΛ→→ αααβββ
pt rrr 2121 ΛΛ→βββ
3．等价关系：果 sααα 21 Λ tβββ 21 Λ 互相
表示
ts βββααα 2121 ΛΛ ←→
称等价记作 ts βββααα 2121 ΛΛ≅

二．线性相关性
1．定义意义

考察 sααα 21 Λ 线性表示关系

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

0
0
1
1α
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

0
1
0
2α
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

1
0
0
3α
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

0
1
1
4α
线性相关：存量 iα 量
sii αααα 111 ΛΛ +− 线性表示
线性关：量 iα 量线性表示
定义：果存全 0 sccc 21 Λ
02211 +++ ssccc ααα Λ
称 sααα 21 Λ 线性相关否称 sααα 21 Λ 线
性关
例 01 ≠c ssccc ααα −−−Λ2211
s
s
c
c
c
c ααα
1
2
1
2
1 −−−Λ
sααα 21 Λ 线性关 011 ++ sscc αα Λ
时必存 01 scc Λ
sααα 21 Λ 线性相（）关
011 ++⇔ ssxx αα Λ （）非零解
() 0 21 ⇔ xsααα Λ （）非零解
1s 单量α 0αx
α 相关 0⇔ α
2s 21αα 相关 ⇔ 应分量成例
()naaa 211 Λα ()nbbb 212 Λα
21αα 相关 nn bababa 2211 ⇔ Λ
2．性质
①果量数 s 二维数 n n1 αα Λ 线性相（）
关 ()01 ≠⇔ nαα Λ 考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 10
()nA ααα 21 Λ 0Ax 非零解 0⇔ A
果 ns > sααα 21 Λ 定相关
0Ax 方程数 ②果 sααα 21 Λ 关部分组
关
例 54321 ααααα 关 421 ααα 定关
③果 sααα 21 Λ 关 βααα 21 sΛ 相关

sαααβ 21 Λ→
设 ccc s 1 Λ 全 0
011 +++ βαα ccc ssΛ
中 0≠c 否 scc 1 Λ 全 0
011 ++ sscc αα Λ条件 sαα 1 Λ 关矛盾
s
s
c
c
c
c ααβ −−−Λ1
1
④ sααβ 1 Λ→ 时表示方式唯 sαα Λ1⇔
关
（表示方式唯
sαα Λ1⇔ 相关）
⑤ st ααββ 11 ΛΛ→ st > tββ 1 Λ
定线性相关
记 ()sA αα 1 Λ ()tB ββ 1 Λ 存 ts × 矩
阵C
ACB
0Cx s 方程t 未知数 ts < 非零解η
0ηC
0 ηη ACBη 0Bx 非零解
tββ 1 Λ 线性相关
性质逆否形式
①果 sααα 21 Λ 关 ns ≤
②果 sααα 21 Λ 相关部分组定
相关
③果 sαα Λ1 关 sααβ 1 Λ→
βαα s1 Λ 关
⑤果 st ααββ ΛΛ 11 → tββ Λ1 关 st ≤
推：两关量组 sαα Λ1 tββ Λ1 等价
ts

三．极关组秩

sααα 21 Λ 线性关部分组？

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

0
0
1
1α
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

0
0
0
2α
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−

0
0
1
3α

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

0
0
1
1β
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

0
0
2
2β
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
0
1
0
3β
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

0
1
1
4β

1．定义

sααα 21 Λ 部分组 ()I 称极考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 11
关组果满足：
i）()I 线性关
ii）()I 扩相关
()I sααα 21 Λ←→ () ()III s ≅≅ αα Λ1
规定 sααα 21 Λ 秩 ()()Is # 21 αααγ Λ
果 sααα 21 Λ 元素零量规定秩
0
(){}sns min 0 1 ≤≤ ααγ Λ
讨： 设 ()3 1 sααγ Λ
① 6421 αααα 相关关？
② 21αα 相关关？
结：线性关部分组()I ()I# 等秩
()I→6421 αααα ()I 定极关组

2．性质（应）

① sααα 21 Λ 关 ⇔ ()ss αααγ 21 Λ
②
()()sss ααγβαααγαααβ 12121 ΛΛΛ⇔→

取 sααα 21 Λ 极关组 ()I
()I βααα 21 sΛ 极关组 ⇔ () βI 相
关
() ()ββααβ 1 IIs ⇔→⇔→Λ 相关

()()
()⎩
⎨
⎧
→+
→
ss
ss
s ααβααγ
ααβααγβααγ 1

11
11
1 ΛΛ
ΛΛΛ
③ β sαα 1 Λ 唯表示
()()sss ⇔ ααγβααγ 11 ΛΛ
④
()()stsst ααγββααγααββ 11111 ΛΛΛΛΛ ⇔→

()( )st ααγββγ 11 ΛΛ ≤⇒
⑤ ⇔≅ ts ββαα 11 ΛΛ

()()()ttss ββγββααγααγ 1111 ΛΛΛΛ
量组 sααα 21 Λ 秩计算方法：
()→
行
sααα 21 Λ 阶梯形矩阵 B
()Bs ααγ 1 Λ 非零行数
3．相线性关系量组
两量相数量：
ss βββααα 2121 ΛΛ量方程
0 2211 +++ ssxxx ααα Λ
02211 +++ ssxxx βββ Λ 解称相线
性关系
①应部分组致相关性
421 ααα 应部分组 421 βββ
421 ααα 相关全 0 421 ccc
0442211 ++ ααα ccc
()000 421 Λccc
02211 +++ ssxxx ααα Λ 解
02211 +++ ssxxx βββ Λ 解
0442211 ++ βββ ccc
321 βββ 相关
②极关组相应秩相等
③致线表示关系
42134213 2323 ββββαααα −+⇔−+ 考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 12
设： ()sA ααα 21 Λ ()sB βββ 21 Λ
02211 +++ ssxxx ααα Λ 0Ax
02211 +++ ssxxx βββ Λ 0Bx
sααα 21 Λ sβββ 21 Λ 相线性关系
0Ax 0Bx 解
反 0Ax 0Bx 解时 A B 列量
组相线性关系

四．矩阵秩

1．定义

A nm× 矩阵
定理：矩阵 A 行量组秩列量组秩
规定 ()Ar 行（列）量组秩

CA
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎯→⎯
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
00000
01000
10110
20301
1001424
52712
12031
21301
行

A 行秩C 行秩
||
A 列秩C 列秩
()Ar 计算：初等变换化 A 阶梯形矩阵 B B
非零行数 ()Ar
命题： () AAr 非零子式阶数值


2．矩阵秩简单性质

() { }nmAr min0 ≤≤
() 00 ⇔ AAr
A 行满秩： () mAr
A 列满秩： () nAr
n 阶矩阵 A 满秩： () nAr
A 满秩 A⇔ 行（列）量组线性关
0≠⇔ A
A⇔ 逆
0⇔ Ax 零解 βAx 唯解

3．矩阵运算中秩变化

初等变换保持矩阵秩
① ()()ArAr T
② 0≠c 时 ()()ArcAr
③ ()()()BrArBAr +≤±
④ ()()(){}BrArABr min≤

⑤ A 逆时 ()()BrABr
B 逆时 ()()ArABr
()()BrABr ≤
()ABAB 1− () ( )ABrBr ≤
⑥ 0AB ()()nBrAr ≤+ （A 列数 B
行数）
⑦ A 列满秩时 ()()BrABr
B 行满秩时 ()()ArABr
⑧ ()()()BrArnABr +≥+ 考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 13

第五讲 线性方程组

．方程组表达形式

1．
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+++
+++
+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Λ
Λ
Λ
Λ
2211
22222121
11212111

2． βAx
η 解 βη ⇔ A
3． βααα +++ nnxxx Λ2211
解 nαααβ 21 Λ→⇔

二．解性质

1． 0Ax 解性质
果 eηηη 21 Λ 组解意线性组合
eeccc ηηη +++Λ2211 定解
()00 2211 +++⇒∀ eeii cccAA ηηηη Λ
2．()0≠ ββAx
①果 eξξξ 21 Λ βAx 组解
eeccc ξξξ +++Λ2211 βAx 解
121 +++⇔ eccc Λ
eeccc ξξξ +++Λ2211 0Ax 解
021 +++⇔ eccc Λ
iA i ∀⋅ βξ

() eeee AcAcAccccA ξξξξξξ ++++++ΛΛ 22112211

()βeccc +++Λ21
21ξξ βAx 两解时 21 ξξ − 0Ax
解
② 果 0ξ βAx 解 n 维量ξ
βAx 解 0ξξ −⇔ 0Ax 解
三．解情况判

βAx βααα +++ nnxxx Λ2211
解 nαααβ 21 Λ→⇔
()( )nn αααγβαααγ 2121 ΛΛ ⇔
()()AA γβγ ⇔ |
解 ()()AA γβγ >⇔ |
唯解 ()()nAA ⇔ γβγ |
穷解 ()()nAA <⇔ γβγ |
方程数 m ：
()() mAmA ≤≤ γβγ |
① () mA γ 时 ()mA βγ | 解
② nm < 时 () nA <γ 会唯解
齐次线性方程组 0Ax
零解 () nA ⇔ γ （ A 列满秩）
（非零解 () nA <⇔ γ ）
推 1 果 A 列满秩 A 左消律
① 00 ⇒ BAB
② CBACAB ⇒
证：①记 ()sB βββ 21 Λ
()sAAAB ββ 1 Λ 0AB i 0iAβ
iβ 0Ax 解 0Ax 零解 0iβ
② () 0− CBA 0− CB
推 2 果 A 列满秩 () ()BAB γγ 考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 14
证：面证 0ABx 0Bx 解
η 0ABx 解 0⇔ ηAB
ηη ⇔⇔ 0B 0Bx 解

四．基础解系通解

1． 0Ax 非零解时基础解系

记 J 0Ax 全部解集合
称 J 极关组 0Ax 基础解系
eηηη 21 Λ 0Ax 基础解系条件：
① iη 0Ax 解
② eηηη 21 Λ 线性关
③ 0Ax 解 eηηηη 21 Λ→
定理： () ()AnJ γγ −
() () nAJ + γγ
⎯→⎯行A 阶梯形矩阵 B
() BA γ 非零行数
0Bx ()Aγ 方程（ 00 J）
()An γ− 未知量
eηηη 21 Λ 0Ax 基础解系条件③换

③ ()Anl γ−
证明： 0AB 时 () () nBA ≤+ γγ
证：记 ()sB βββ 21 Λ
⇔ 0AB iβ 0Ax 解
() ( ) ()()AnJB s γγβββγγ −≤ 21 Λ
() () nBA ≤+ γγ

2．通解

①果 eηηη 21 Λ 0Ax 基础解系
0Ax 通解
eeccc ηηη +++ Λ2211 ic 意
②果 0ξ ()0≠ ββAx 解 eηηη 21 Λ
0Ax 基础解系 βAx 通解
eeccc ηηηξ ++++ Λ22110 ic 意

第六讲 特征量特征值相似角化

．特征量特征值

设 A n 阶矩阵η n 维非零列量 ηA η
否相关？
例： ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ 20
11A ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
1 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
0 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
1 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
2

⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
1
0
1A ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2
1
1
0A ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2
2
1
1A
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2
3
1
2A
1．定义：果 0≠η ηA η 线性相关称
η A 特征量时数λ ληη A
称 λ η 特征值
设 A 数量矩阵 Eλ n 维列量η
ληη A非零列量 Eλ 特征量
特征值 λ

①特征值限
特征量穷
ληη A()()ηλληηη cccAcA
考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 15
() ()221122112211
22
11 ηηληηηηληη
ληη ccAcAcccAA
A +++⇒
⎭
⎬
⎫



②特征量唯特征值许特征量
相特征值
③计算时先求特征值求特征量

2．计算

A n 阶矩阵求 A 特征量特征值
0 ≠ ηληηA
() 00 ≠−⇔ ηηλ AE
η⇔ ()0− xAEλ 非零解
命题：① λ A 特征值 0 −⇔ AEλ
②η 属 λ 特征量 η⇔ ()0 − xAEλ 非
零解
称项式 AxE − A 特征项式
λ A 特征值 λ⇔ A 特征项式 AxE −
根
λ 重数： λ 作 AxE − 根重数
n 阶矩阵 A 特征值 n ： n 21 λλλ Λ
中实数重
计算步骤：
①求出特征项式 AxE −
②求 AxE − 根特征值
③特征值 i λ 求 ()0 − xAEiλ 非零解
属 i λ 特征量
复杂困难作般求
两种特殊情形：
（1）A （）三角矩阵角矩阵时特征值
角线元素

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∗
3
2
1
00
0
**
λ
λ
λ
A

()()()321
3
2
1

00
0
**
λλλ
λ
λ
λ
−−−
−
∗−−
−−−
− xxx
x
x
x
AxE

（2）() 1Ar 时： A 特征值 ()Atr000 Λ

3．特征值性质

命题： n 阶矩阵 A 特征值 λ 重数
()AErn −−≥ λ
命题：设 A 特征值 n 21 λλλ Λ
① An 21 λλλ Λ
② ()Atrn +++ 21 λλλ Λ
()()()()4321
44434241
34333231
24232221
14131211
λλλλ −−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
xxxx
axaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax

较两边常数项部分①
较两边 3x 系数②：右边
()4321 λλλλ +++− 左边会 3x 项
()()()( )44332211 axaxaxax −−−− 系数
()()Atraaaa −+++− 44332211

4． A 相关矩阵特征量特征值

命题：设η A 特征量特征值 λ
ληη A
① A 项式 ()Af () ()ηη xfAf
例： ηληη 3 AAAA 考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 16
() ()ηληηη 1222 +++ AEA
()()ηλλλη 1 2 4 24 235235 −+−−+− EAAA
② A 逆时 ηλη 11 −A ηλη ||*AA
ηληηληληη 111 ⇒⇒ −− AAA
ηληηλη ||**|| AAAA ⇒⇒
命题：设 A 特征值 n 2 1 λλλ Λ
① ()Af 特征值 ()()()nfff 2 1 λλλ Λ
② A 逆时 1−A 特征值
n
11
1
2 1 λλλ Λ
*A 特征值
n
AAA
2 1
||||
||
λλλ Λ
③ TA 特征值 n 21 λλλ Λ
() AxEAxEAxE TT −−− ||
5．特征值应

①求行列式 nA || 2 1 λλλ Λ
②判逆性
λ A 特征值 EAAE 0 λλ −⇔−⇔ 逆
EA λ− 逆 λ⇔ A 特征值
() 0Af 时果 () 0≠cf cEA − 逆
λ A 特征值 ()λf ()Af 特征值
() 0⇒ λf
() ccf ⇒≠ 0 A 特征值 AcE⇔ 逆

二．n 阶矩阵相似关系
设 AB 两 n 阶矩阵果存 n 阶逆矩阵U
BAUU −1 称 A B 相似记作 BA ~
UAAU 时 AB UAAU ≠ 时 AB ≠
相似关系 i）称性： ABBA ~~ ⇔
BAUU −1 1− UBUA
ii）传递性： BA ~ CB ~ CA ~
BAUU −1 CBVV −1
()()CBVVAUVUVUVAUV −−−− 1111
命题 BA ~ 时 A B 许相性质
① BA
AUAUAUUB −− 11
② ()()BA γγ
③ AB 特征项式相特征值完全致

() AxEUAxEUAUUxEBxE −−−− −− 11
A B 特征量关系：η A 属 λ 特征
量 η1−⇔ U B 属 λ 特征量

()( )
()ηληηλη
ηληληη
11111
11

−−−−−
−−
⇔
⇔
UAUUUUAU
UUBA
χχ

三．n 阶矩阵角化
A 否相似角矩阵？
矩阵相似角矩阵例
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ 10
11A ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
2
11
0
0
λ
λAUU 1 21 λλ
EA
基问题
①判 n 阶矩阵 A 否相似角矩阵（角化）
②实现问题构造逆矩阵U AUU 1− 角矩
阵
基定理 A 角化 ⇔ A n 线性关特征
量
设逆矩阵 ()nU ηηη 21 Λ

⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
n
AUU
λ
λ
λ
000
000
000
000
2
1
1
Ο
考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 17
() ( )nn
n
n UA ηληληλ
λ
λ
λ
ηηη
000
000
000
000
2211
2
1
21 ΛΟΛ
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⇔

iiiA ηλη ⇔ ni 21 Λ
判法
A 角化 ⇔ A 特征值λ λ 重数
()AEn −− λγ
iλ 重特征值时重数 ()AErn i −− 1 λ 定成
立须重数 1> 特征值检查
推：果 A n 特征值 A 定角
化角化实现（逆矩阵U 构造）：
特征值 iλ 求出 ()0− xAEiλ 基础解
系合起 n 线性关特征量
nηη 1 Λ令 ()nU ηηη 21 Λ

⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
n
AUU
λ
λ
λ
000
000
000
000
2
1
1
Ο
中 iλ iη 特征
值

第七讲 二次型（实二次型）
．基概念

1．二次型矩阵
二次型变量二次齐次项式函数

() 323121
2
3
2
2
2
1321 56423 xxxxxxxxxxxxf +−++−
三元二次型项二次变量
方称方项两变量积称交叉
项
n 元二次型般形式
() ji
ji
ij
n
i
iiin xxaxaxxxf ∑∑
<
+ 2
1
2
21 Λ
方项二次型称标准二次型
形： 22
1
22
2
2
1 qppp xxxxx ++ −−−+++ΛΛ n 元二
次型称规范二次型
n 阶实矩阵 A记 ()T
nxxxx 21 Λ
AxxT 二次型
例 3n 时
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
()
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

3
2
1
333231
232221
131211
321
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxxAxxT
()
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++
++
++

333232131
323222121
313212111
321
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
xxx
∑


3
1 ji
jiij xxa
中方项系数 A 角线元素交叉
项 ji xx 系数 jiij aa +
利矩阵形式写出二次型

() 323121
2
3
2
2
2
1321 56423 xxxxxxxxxxxxf +−++−
写成 AxxT 形式 A 角线元素确定
次 311 a 222 −a 133 a 角线外元素
唯确定满足
42112 + aa 63113 −+ aa 53223 + aa

求 A 称矩阵唯确定

称实称矩阵 A 该二次型矩阵
() Axxxxxf T
n 21 Λ
称 A 秩 ()Aγ 二次型秩 标准二次型矩
阵角矩阵

2．逆线性变量换
椭圆方程 12
2
2
2
+ b
y
a
x
设 n 元二次型 ()nxxxf 21 Λ引进新组考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 18
变量 nyyy 21 Λ nxxx 21 Λ 表示

⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+++
+++
+++
nnnnnn
nn
nn
ycycycx
ycycycx
ycycycx
Λ
Λ
Λ
Λ
2211
22221212
12121111

（求矩阵
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
21
22221
11211
逆矩阵）
代入 ()nxxxf 21 Λ nyy 1 Λ 二次型
()nyyg 1 Λ 样操作称 ()nxxf Λ1 作次逆
线性变量换
设 ()T
nyyyY 21 Λ 面变换式写成
CYx
() ( )n
TTT
n yygACYCYAxxxxf 11 ΛΛ
()nyyg Λ1 矩阵 ACCT
() ACCCACACCTTTTTT

3．实称矩阵合
两 n 阶实称矩阵 A B果存 n 阶实逆矩
阵C值 BACCT 称 A B 合记作 BA−~
命题：二次型 ()Axxxxf T
n Λ1 逆线性变换
换化
() BABYYyyg T
n −⇔ ~1 Λ

二．二次型标准化规范化

1．二次型逆线性变量换化标准二
次型规范二次型
实称矩阵会角矩阵规范角
矩阵
设 A 实称矩阵存正交矩阵Q
AQQD 1− 角矩阵
DAQQAQQT −1
DA ~ DA−~
2．标准化规范化方法
①正交变换法
② 配方法

3．惯性定理惯性指数
定理 二次型逆线性变换换化出标准
形方项系数中 0 数 0 数
原二次型决定分称原二次型正负惯性
指数
二次型化出规范二次型形式唯
相应规范角矩阵唯
矩阵语言说：实称矩阵 A 会唯规
范角矩阵
二次型正负惯性指数逆线性变量换
变两二次型互相转化充条件正负惯
性指数相等
实称矩阵正（负）惯性指数等正（负）特征
值数

三．正定二次型正定矩阵

1．定义
二次型 ()nxxxf 21 Λ 称正定二次型果
nxx 1 Λ 全 0 时 ()0 21 >nxxxf Λ
例标准二次型
() 22
22
2
1121 nnn xdxdxdxxxf +++ΛΛ 正定
0>⇔ id ni 1 Λ
（必性⇒ 取 11 x 02 xxx Λ
时 () 0001 1 > df Λ 样证 0>id ）
实称矩阵正定二次型 AxxT 正定：
0≠x 时 0>AxxT 考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 19
例实角矩阵
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
n 000
000
00 0
000
2
1
λ
λ
λ
Ο
正定
0 >⇔ iλ ni 1 Λ

2．性质判
逆线性变换换保持正定性
()nxxxf 21 Λ 变 ()nyyyg 21 Λ时正
定时正定
BA−~ AB 时正定时正定
例 ACCBT 果 A 正定 0≠x
() 0> ACxCxACxCxBxx TTTT
（C 逆 0≠x 0≠∴Cx ）
出关正定性质
A 正定 EA−⇔ ~
⇔ 存实逆矩阵CCCAT
A⇔ 正惯性指数 n
A⇔ 特征值全 0
A⇔ 序子式全 0
设 A n 阶矩阵记 rA A 西北角 r 阶方
阵称 rA A 第 r 序子式（ r 阶序子式）
判断 A 正定三种方法：
①序子式法
②特征值法
③定义法

附录 积正交矩阵实称矩阵角化

谈量矩阵实数范围中心
量分量实数矩阵元素实数

．量积
1．定义
两 n 维实量 βα 积数记作 ()βα
规定应分量积
设
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

nn b
b
b
a
a
a
ΜΜ
2
1
2
1
βα
() nnbababa +++ Λ2211 βα
βα T

2．性质
①称性： ()( )αββα
②双线性性质： ()( )()βαβαβαα 2121 ++
()( )()2121 βαβαββα ++
()( )()βαβαβα ccc
③正交性： () 0 ≥αα () 00 ⇔ ααα
()∑


n
i
ia
1
2αα

3．长度正交
量α 长度 ()∑


n
i
ia
1
2ααα
00 ⇔ αα
αα cc
单位量：长度1量

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
1

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
1
0

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− 2
2
0
2
2

0≠α
α
α 单位量称α 单位化
11 ααα
α
两量 βα 果积 0： ()0 βα 称考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 20
正交
果 n 维量组 sααα 21 Λ 两两正交
单位量称单位正交量组

二．正交矩阵

实 n 阶矩阵 A 果满足 EAAT 称正交矩
阵
1− AAT
定理 A 正交矩阵 A⇔ 行量组单位正交
量组
A⇔ 列量组单位正交量组
证：设 ()naA αα 21 Λ

() ()
()
() ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

2
1
2
212
121
2
1



nn
n
TAA
ααα
ααα
ααααα
Λ
ΜΟΜ
ΛΛ
Λ

n
TEAA ααα 21 Λ⇔ 单位正交量组

三．施密特正交化方法
线性关量组改造等价单位
正交量组方法

αββββ c−− 12
设 321 ααα 线性关
①正交化：令 11 αβ
()
()1
11
21
22
βββ
αβαβ −
（设 122 βαβ k− ()()()111212 βββαββ k−
()
()11
12


ββ
βαk 时 12 ββ 正交）
()
()
()
()2
22
32
1
11
31
33


βββ
αββββ
αβαβ −−
②单位化：令
1
1
1 β
βη
2
2
2 β
βη
3
3
3 β
βη
321 ηηη 321 ααα 等价单位正交量组

四．实称矩阵角化

设 A 实称矩阵
① A 特征值实数
②特征值 λ 重数 ()AErn −− λ A
角化
③属特征值特征量互相正交
：存正交矩阵Q AQQ 1− 角矩阵
特征值 λ 找 ()0− xAEλ 单位正交
基础解合起构造正交矩阵

附录二 量空间

1． n 维量空间子空间
记 nR 全部 n 维实量构成集合
规定加法数两种线性运算集合称
n 维量空间
设V nR 子集果满足
（1） 21αα 属V 时 21 αα + 属V
（2）V 元素α 实数 c αc V 中
称V nR 子空间
例 n 元齐次方程组 0AX 全部解构成 nR
子空间称 0AX 解空间
非齐次方程组 βAX 全部解构成 nR
子空间
nR 中组元素 sααα 21 Λ记全部
线性组合集合

(){}意isss ccccL αααααα +++ΛΛ 221121 考研数学知识点－线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 21
nR 子空间
2．基维数坐标
设V nR 非 0 子空间（含非 0 元素）
称V 秩维数记作 Vdim
称V 排次序极关组V 基
例 0AX 解空间维数 ()Arn −
序基础解系构成基
()[]()ss rL αααααα dim 2121 ΛΛ
sααα 21 Λ 序极关组构成基
设 kηηη 21 Λ V 基V 元素α
kηηη 21 Λ 唯线性表示：
kkccc ηηηα +++Λ2211
称中系数 ()kccc 21 Λ α 关基 kηηη 21 Λ
坐标 k 维量
坐标线性性质：
（1）两量坐标等坐标：
果量α β 关基 kηηη 21 Λ 坐标分
()kccc 21 Λ ()kddd 21 Λ βα + 关基
kηηη 21 Λ 坐标

()()()kkkk dddcccdcdcdc 21212211 ΛΛΛ++++
（2）量数坐标等坐标数：
果量α 关基 kηηη 21 Λ 坐标
()kccc 21 Λ αc 关基 kηηη 21 Λ 坐标
()()kk cccccccccc 2121 ΛΛ
坐标意义：设V 中量组 tααα 21 Λ 关
基 kηηη 21 Λ 坐标次 tγγγ 21 Λ
tααα 21 Λ tγγγ 21 Λ 相线性关系
坐标判断量组相关性计算
秩极关组等等
3．渡矩阵坐标变换公式
设 kηηη 21 Λ kξξξ 21 Λ V 基
设 1ξ kηηη 21 Λ 中坐标 ()kiii ccc 21 Λ构造矩
阵

⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

kkkk
k
k
ccc
ccc
ccc
C
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
21
22221
11211

称C kηηη 21 Λ kξξξ 21 Λ 渡矩阵
()()Ckk ηηηξξξ 2121 ΛΛ
果V 中量α kηηη 21 Λ
kξξξ 21 Λ 中坐标分
()T
kxxxx 21 Λ ()T
kyyyy 21 Λ
()xkηηηα 21 Λ
()kξξξα 21 Λ ()Cyy kηηη 21 Λ
关系式：
Cyx
称坐标变换公式
4．规范正交基
果V 基 kηηη 21 Λ 单位正交量组称
规范正交基
两量积等规范正交基坐标
积
设 α 坐标()kccc 21 Λ β 坐标
()kddd 21 Λ
() kk dcdcdc +++ Λ2211 βα
两规范正交基间渡矩阵正交矩阵

考研数学知识点合集（概率高数线代）杨凯钧

《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档