金融数学读书笔记（）：
金融数学综述研究前景展
狭义金融学指金融市场济学现代意义金融市场少已300年历史开始济学研究象通常认现代金融学50年历史50年金融学成数学公理化方法架构历史瓦尔拉斯阿罗德布**般济均衡体系观点现代金融学第篇文献阿罗1953年发表文证券风险承担优配置中作篇文中阿罗证券理解确定状态价值商品思想德布**发展原般济均衡模型通拓广商品空间维数处理金融市场中证券非时间情况价值商品家发现金融市场种方式混普通商品市场合适原掩盖金融市场确定性质尤中隐含着种发生状态相应证券相应种金融风险保险样现实相差太远
样济学家金融学寻求数学架构新数学架构现代金融学认两次华尔街革命产物第次华尔街革命指1952年马科维茨证券组合选择理问世第二次华尔街革命指1973年布莱克肖尔斯期权定价公式问世两次革命特点避开般济均衡理框架致长时期传统济学家认异端邪说确实华尔街代表金融市场引起革命终金融学发生根改观马科维茨荣获1990年诺贝尔济学奖肖尔斯(MScholes1941—)期权定价理作出系统研究默顿起荣获1997年诺贝尔济学奖布莱克(FBlack1938—1995)幸早逝没起领奖
马科维茨证券组合选择理开始金融济学变革：
马科维茨研究样问题投资者时许种证券投资应该选择
种证券投资例投资收益风险马科维茨观念贡献收益风险两原点含糊概念明确具体数学概念证券投资收益确定马科维茨首先证券收益率作机变量收益定义机变量均值(数学期)风险定义机变量标准差(通常风险作损失思想相差甚远)果证券投资例作变量问题结样证券组合收益风险数学规划固定收益求出风险风险收益面画出条曲线称组合前马科维茨理基结：证券允许卖空条件组合前条双曲线支证券允许卖空条件组合前干段双曲线段拼接组合前半部称效前效前证券组合说存收益风险两方面优证券组合投资者决策说然重参考价值
马科维茨理种纯技术性证券组合选择理理芝加哥学作博士
文中提出文答辩时位时已享盛名货币义获1976年诺贝尔济学奖弗里德曼(MFriedman1912—)斥济学马科维茨引入收益风险变量效函数理纳入通常般济均衡框架马科维茨学生夏普(WSharpe1934—)济学家进步般济均衡框架假定投资者种效函数决策导出全市场证券组合收益率效
谓资资产定价模型(Capital Asset Pricing Model简称CAPM)夏普马科维茨起荣
获1990年诺贝尔济学奖位1981年诺贝尔济学奖获者托宾(JTobin1918—)卖空证券组合选择问题研究中导出种效证券组合种风险资产种特殊风险资产组合(称二基金分离定理)出宏观济方面结
1990年马科维茨夏普起分享诺贝尔奖位济学家新刚世米勒位1985年获诺贝尔奖莫迪利阿尼(FModigliani1918—)起1958年发表系列文探讨公司财务政策(分红债权股权等)否会影响公司价值题结理想市场条件公司价值财务政策关结称莫迪利阿尼米勒定理研究公司理财门新学科奠定基础首次文献中明确提出套利假设谓套利假设指完善金融市场中存套利机会(确定低买高卖类机会)果两公司(确定)价值样天价值应该样财务政策关否通买卖两公司股票获套利达般济均衡金融市场显然定满足套利假设样莫迪利阿尼米勒定理般济均衡框架相容直接套利假设出发金融产品定价证简化启发必非背沉重般济均衡十字架套利假设出发已金融产品定价许结果金融济学开始套利假设作出发点
布莱克肖尔斯期权定价理连续时间金融：
套利假设作出发点成布莱克肖尔斯期权定价理谓(股票买入)
期权指某固定执行价格定期限买入某种股票权利期权执行时价格清楚：果股票市价高期权规定执行价格期权价格市价执行价格差果股票市价低期权规定执行价格期权价格零现问：期权执行前应该样股票价格定价？解决问题布莱克肖尔斯先模型连续动态化假定模型中两种证券种债券风险证券证券价值计量基准收益率常数种股票风险证券马科维茨传统证券收益率期方差刻画动态化价格变化满足机微分方程含义时间变化机收益率期值方差时间间隔成正种机微分方程称布朗运动然利时刻通股票期权适组合风险该组合变成风险证券期权价格股票价格间偏微分方程
中参数时间期权执行价格债券利率股票价格波动率出意料方程居然显式解布莱克肖尔斯期权定价公式样问世
马科维茨遭遇类似布莱克肖尔斯公式发表困难重重年市场中投
资行关金融资产定价公式惯般济均衡框架商品定价济学家说难接受样布莱克肖尔斯直接市场中验证公式结果令非常满意关期权定价实证研究结果先1972年发表然理分析1973年正式发表时芝加哥期权交易1973年正式推出16种股票期权挂牌交易(前期权场外交易)衍生证券市场蓬蓬勃勃发展起布莱克肖尔斯公式数清机会充分验证成类史应频繁数学公式
布莱克肖尔斯公式成功默顿研究分开者甚理深化系统
化作出更贡献默顿研究总结1990年出版连续时间金融学书中金融问题建立连续时间模型30年中成金融学核心连续变量微分学瓦尔拉斯时代进入济学样现实济变量极少连续微分学强力处理济学中效问题连续变量金融模型样强力机分析更深刻揭示金融问题机性连续时间模型处理金融问题非布莱克肖尔斯默顿理开始1950年代萨缪尔森已发现位遗忘法国数学家巴施里叶(LBachelier1870—1946)早1900年已博士文投机理中布朗运动刻画股票价格变化历史第次出布朗运动数学定义熟知爱斯坦(AEinstein1879—1955)1905年关布朗运动研究早尤巴施里叶实质已开始研究期权定价理布莱克
肖尔斯默顿工作实萨缪尔森影响延续巴施里叶工作样数理金融学祖师爷成巴施里叶法国感豪专门成立国际性巴施里叶协会2000年6月协会巴黎召开第届盛国际巴施里叶会议纪念巴施里叶文问世100周年
CAPM AND APT
资资产定价模型(CAPM)体夏普(Sharpe1964)林特纳(Lintner1965)莫辛(Mossin1966)独立提出CAPM意义建立证券收益风险关系揭示证券风险报酬部结构风险报酬影响证券收益相关素风险贴水线性组合相关素风险贴水证券市场风险报酬影响素关单证券关CAPM建立单证券收益市场资产组合收益间数量关系系数反映种相关程度证券市场中证券具系数正反映种证券收益结构资资产定价模型直量实证研究基础总说实证研究表明资资产定价模型金融市场收益结构提供相初步似
布莱克肖尔斯公式成功套利假设金融资产定价成功成功促1976年罗斯(SARoss1944—)套利定价理(Arbitrage Pricing Theory简称APT)出现APT作CAPM代物问世CAPM验证涉市场组合否效验证实证行针CAPM单素模型罗斯提出目前统称APT素模型取代罗斯构造般均衡模型证明投资者持证券价值市场组合中份额越越时种证券收益干基济素致似线性表示发现果仅仅需种金融资产定价素模型作出解释需般均衡框架需线性模型假设似套利假设：果证券组合风险越越收益率会越越接风险收益率理说罗斯APT典文中更重贡献提出套利定价般原理结果称资产定价基定理条定理表述：套利假设等价存未确定状态某种等价概率测度种金融资产该等价概率测度期收益率等风险证券收益率1979年罗斯考克斯(JCCox)**宾斯坦(MRubinstein)起利样资产定价基定理布莱克肖尔斯公式出种简化证明中股票价格设想未干时间间隔中越越确定分叉变化两时间间隔间述未收益期值等风险收益率成立期权定价离散模型布莱克肖尔斯公式非离散模型时间间隔趋零时极限样金融济学程度离开般济均衡框架需等价套利假设资产定价基定理出发许金融资产定价具体模型公式
完全市场完全市场：
法玛成首先1960年代末开始市场效性方面研究谓市场效性问题指市场价格否充分反映市场信息问题金融商品定价已建立套利假设基础时市场否效实证检验金融理否市场现实相符成回事致样说果金融市场价格变化通布朗运动类市场效性假设检验市场会满足套利假设时理较符合实际投资者说没套利机会采取保守投资策略果市场效性假设检验通反映市场套利机会市场价格定程度预测性投资者应该采取积极投资策略业间流行股市技术分析类会起较作样市场效性研究金融济学金融实践说变关紧法玛市场效性理表述实证研究重贡献法玛方面影响极重研究年弗兰齐(KFrench)等CAPM批评认市场收益率刻画股票收益率足解释股票收益率种变化建议引入公司规模股票市值股票帐面值作新解释变量系列文引起金融界非常热烈争已开始广泛接受然研究基停留计量济学层次势必会数理金融学结构产生根影响法玛研究金融学中典型微观规范实证研究宏观规范研究应该提关完全市场般济均衡理研究套利假设出资产定价基定理原布莱克肖尔斯理实际完全市场中金融资产唯定价里完全市场指作定价出发点基资产(风险证券标资产等)种风险资产表达组合实际情况然会样关完全证券市场般济均衡模型拉德纳(RRadner)1972年首先建立时卖空限制条件证明均衡存性三年哈特(OHart)举出反例说明般情况完全证券市场均衡定存问题济学家困惑久直1985年达菲(DDuffie)夏弗尔(WSchafer)指出极数完全市场均衡存遗憾时证明完全市场极数均衡达资源优配置样研究结果济学含义值深思达菲夏弗尔数学证明数学家十分兴奋例格拉斯曼流形动点定理样
数学家说崭新研究十年着思想发展出系列完全市场相应种样反映金融市场完全市场般均衡理方面众贡献麦基尔(MMagill)奎恩兹(MQuinzii)已20世纪末题写出厚厚两卷专著高新技术推动金融市场进步全球化网络化网交易网支付网金融机构网清算系统等更金融市场日新月异
金融数学发展趋势问题：
利率结构问题：
B S模型 中利率定常数实际利率变化相复杂性质期日债劵利率变化规律相
利率期限结构问题通常收益率形式表示传统利率结构包括四种理偏预期理 市场分割理 优先置产理流动性偏理期利率期限结构模型套利模型 (Vasicek ( 1987) ) 般均衡模型 (Cov lngers oll Ross (1986) ) 二项式网状模型 (Ho Lee ( 1980) )鞍模型 (Heath Jarr ow Mort on (1992) )
市场波动性问题：
B S模型 推广模型中常常假设股票价格波动服某机程 (布朗运动 ) 然进行机分析金融市场数情况满足稳定假设时常出现异常波动 ( 192年 1987年股票市场崩溃)准确描述股票价格变化规律种素必须考虑股票价格波动率股票价格赖性波动率机变量赖性股票价格突然跳动机波动率模型够反映述某素较常见移动均法 GRCH模型推广 (回条件异方差模型 ) 隐含波动率模型 机波动率模型外机优控制机微分方程较晚发展起数学工具已数金融领域应
市场完全信息称问题：
现实证券市场完全市场 常常表现市场中证劵股票投资组合受限制达菲 (Duffie)等提出完全市场般均衡理 理证明金融创新合理性
提高社会资资源配置效率重意义Karatzas等引入鞅理够较解决金融市场完备时衍生证券定价问题 目前国外基鞅方法定价理金融理中占导位外 现实市场中 参济掌握信息称 (信息互通 掌握信息样 )信息称情况 问题涉济间相互策 称信息时刻困难 参济信息层次常常 问题困难想知 数学
处理更困难微分策 重复策 机策 策理金融研究中深入探索发展 着较发展前景
机优控制理：
金融学理重应领域解决连续时间机性问题解决问题重手段机优控制理默顿首次利贝尔曼优控制理解决连续时间消费投资问题机控制理金融学（特金融工程中）广泛研究运
2000年XYZhouDL连续时间均值—方差问题（具确定性参数）抽象成种机LQ控制优化问题运嵌套方法原问题转化LQ控制问题2002年XYZhou进步运LQ
方法研究机参数连续时间均值 方差问题求出该情形投资组合效边界时证明基金分离定理Xun Li（2003XYZhou学生）等考察具马尔科夫跳跃程限期限投资组合问题机LQ控制框架该框架求解投资组合问题效边界考察加入未定权益衍生产品构成投资组合套期保值问题Hong Liu更进步考察交易费（考虑交易费固定交易量成正两种情形）消费前提效函数CARA（constant absolute risk aversion）投资者优投资策略
助计算机手段首次优投资策略作出精确求解
鞅理：
1977年哈里森（HarrisonJM）柯瑞普斯（KrepsSR）提出期权定价理鞅方法鞅中鞅测度概念刻画套利市场完全市场等价鞅测度期权进行定价套期保值证明市场套利重条件等价鞅测度存市场完备重条件等价鞅测度存唯市场完备市场时意未定权益达市场基础证券套利复制时意未定权益唯套利定价未定权益定价未定权益期末收益折现值等价鞅测度数学期结果机分析中鞅测度概念金融市场套利概念联系起机分析中半鞅机积分理金融衍生证券定价理中武金融数学发展产生极深远
影响
格利斯特李（1984）研究基础证券交易成期权价值影响存交易成时连续时间套利定价会高昂交易成法实现默顿（1990） 运脉优控制理证券投资决策问题中部分研究假设交易速率界连续变化实际投资者交易速率界频繁改变连续时间机优控制理研究仅仅种似问题变更容易处理事实实际问题较距离脉优控制方法研究证券投资决策问题更合适离散时间模型提出交易成基础
证券价格成例单阶段欧式期权定价公式波耶勒斯沃尔斯特（1992）默顿方法推广时期情形20世纪80年代期货期权研究取进展柯达顿萨布拉曼·彦（1985 ）贝尔托罗斯（1986）指出美式期货期权利率正条件美式现货期权更容易执行Lieu（1990）应连续时间定价方法推出期货期权定价公式陈斯科特(1993)进步研究指出利率机期货期权价值会受利率影响Wei（1994）指出期货纯期权价值高美式期货期权价值
微分策理
现代金融理值注意研究动运微分策方法研究期权定价问题投资决策问题目前取定成果金融市场满足稳态假定出现异常波动时证券价格服布朗运动时机动态模型研究证券问题方法理实际存着较偏差微分策方法研究金融决策问题放松假设确定扰动假想成敌方针差情况加优化**棒性强投资策略运微分策方法研究金融问题具广阔应前景
优停时理
运优停时理研究具固定交易费证券投资决策问题出具两风险证券投资决策问题种简化算法优停时理概率体系中具强实性领域年少金融学家金融数学家理现代投资组合理相结合 取错成绩 领域研究文献然该领域处起步阶段 Pliska SR and Selby MJ首次运该理研究具固定交易费证券投资决策问题写出具两证券投资决策问题种简单算法 Bernard Dumas and Elisa Luclano（1998）基础进步运优停时理（Optimalstopping literature） 考察交易费时投资组合动态优策略求解出精确数值解国关优停时理金融数学金融学中应研究
文献暂时处空白
智优化
新金融衍生工具层出穷新模型断提出复杂衍生金融工具定价难度绝亚发射火星探测器非常少情况建立模型具象B S模型 样封闭式解析解数情况数值方法采更先进分析计算手段迅速获准确结果改善风险理控制系统已成金融机构瞬息万变竞争激烈金融市场中立败关键金融计算已成金融数学重组成部分
根风险中性定价原理 欧式证券价格估算转化成高微积分计算 维数标资产数目连续模型离散化时时间分步数标资产数目连续模型离散化时
时间分步数常常达数百甚数千传统数值方法难付 维数灾难 (Course of Di mensi onality指计算量维数增加呈指数增加 )缘计算机模拟方法 (称Monte Carl o方法 )效付维数灾难该方法估算欧式证券价
格基步骤第 风险中性测度模拟标资产价格运动路径第二 条路径 计算衍生券收益 风险利率进行折现第三 重复次模拟计算 结果算术均作衍生证券估价该方法收敛速度 O ( ) 中 N 模拟轨迹数收敛速度问题维数关计算机模拟方法简单性
灵活性普遍性获广泛应处理路径相关 ( Pathdependent)衍生证券方面具独特优势模型赖性
相较弱收敛速度慢类方法缺点 许谓方差缩减技巧提高该方法效率
拟蒙特卡罗方法 (Quasi MongCarl o)年获迅速发展种方法基思想确定性超均匀分布序列 (称 低偏差序列 — Low Dcrepancy Sequences )代计算机模拟方法中机数序列该方法收敛速度提高 O ( )实际速度般计算机模拟方法提高数百倍千倍提高计算精度拟蒙特卡罗方法核心优低偏差序列构造常低偏差序列 Halt on序列Sobol序列 Faure序列 Niederrei序列等该方法已高效计算维数高达数千情形前景令鼓舞
计算机模拟方法拟蒙特卡罗方法美式衍生证券进行定价计算风险值方面研究获重进展外二蒙特卡罗 (LS M)模拟方法美式期权定价中成功应
金融衍生产品价格常表示成某定解条件偏微分方程隐式解偏微分方程数值解法金融衍生产品定价中广泛应 (包括限差分法 限元法混合方法)类方法处理欧式衍生证券处理美式衍生证券处理路径相关衍生证券方便外类方法求解维数般限标变量时计算时间增加
Cox Ross Rubinstein二项树方法衍生证券定价重方法理种方法布莱克斯克斯方法更容易理解更直观该方法假设时间间隔Δt股价变化两种者例 u升者例 d降适选择参数 u d概率股价风险中性世界中具正确均值方差二项树末端开始倒推股权价格该方法具美式期权定价力时步必须较两值立执行价值继续持Δt时间贴现期值
外 工神网络 遗传算法等金融计算中具重意义现代高性计算机发展计算方法改进量快速复杂数值计算仿真提供基础时 估价方法重点严格封闭型模型转移高深计算量方法
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金融数学综述研究前景展
狭义金融学指金融市场济学现代意义金融市场少已300年历史开始济学研究象通常认现代金融学50年历史50年金融学成数学公理化方法架构历史瓦尔拉斯阿罗德布**般济均衡体系观点现代金融学第篇文献阿罗1953年发表文证券风险承担优配置中作篇文中阿罗证券理解确定状态价值商品思想德布**发展原般济均衡模型通拓广商品空间维数处理金融市场中证券非时间情况价值商品家发现金融市场种方式混普通商品市场合适原掩盖金融市场确定性质尤中隐含着种发生状态相应证券相应种金融风险保险样现实相差太远
样济学家金融学寻求数学架构新数学架构现代金融学认两次华尔街革命产物第次华尔街革命指1952年马科维茨证券组合选择理问世第二次华尔街革命指1973年布莱克肖尔斯期权定价公式问世两次革命特点避开般济均衡理框架致长时期传统济学家认异端邪说确实华尔街代表金融市场引起革命终金融学发生根改观马科维茨荣获1990年诺贝尔济学奖肖尔斯(MScholes1941—)期权定价理作出系统研究默顿起荣获1997年诺贝尔济学奖布莱克(FBlack1938—1995)幸早逝没起领奖
马科维茨证券组合选择理开始金融济学变革：
马科维茨研究样问题投资者时许种证券投资应该选择
种证券投资例投资收益风险马科维茨观念贡献收益风险两原点含糊概念明确具体数学概念证券投资收益确定马科维茨首先证券收益率作机变量收益定义机变量均值(数学期)风险定义机变量标准差(通常风险作损失思想相差甚远)果证券投资例作变量问题结样证券组合收益风险数学规划固定收益求出风险风险收益面画出条曲线称组合前马科维茨理基结：证券允许卖空条件组合前条双曲线支证券允许卖空条件组合前干段双曲线段拼接组合前半部称效前效前证券组合说存收益风险两方面优证券组合投资者决策说然重参考价值
马科维茨理种纯技术性证券组合选择理理芝加哥学作博士
文中提出文答辩时位时已享盛名货币义获1976年诺贝尔济学奖弗里德曼(MFriedman1912—)斥济学马科维茨引入收益风险变量效函数理纳入通常般济均衡框架马科维茨学生夏普(WSharpe1934—)济学家进步般济均衡框架假定投资者种效函数决策导出全市场证券组合收益率效
谓资资产定价模型(Capital Asset Pricing Model简称CAPM)夏普马科维茨起荣
获1990年诺贝尔济学奖位1981年诺贝尔济学奖获者托宾(JTobin1918—)卖空证券组合选择问题研究中导出种效证券组合种风险资产种特殊风险资产组合(称二基金分离定理)出宏观济方面结
1990年马科维茨夏普起分享诺贝尔奖位济学家新刚世米勒位1985年获诺贝尔奖莫迪利阿尼(FModigliani1918—)起1958年发表系列文探讨公司财务政策(分红债权股权等)否会影响公司价值题结理想市场条件公司价值财务政策关结称莫迪利阿尼米勒定理研究公司理财门新学科奠定基础首次文献中明确提出套利假设谓套利假设指完善金融市场中存套利机会(确定低买高卖类机会)果两公司(确定)价值样天价值应该样财务政策关否通买卖两公司股票获套利达般济均衡金融市场显然定满足套利假设样莫迪利阿尼米勒定理般济均衡框架相容直接套利假设出发金融产品定价证简化启发必非背沉重般济均衡十字架套利假设出发已金融产品定价许结果金融济学开始套利假设作出发点
布莱克肖尔斯期权定价理连续时间金融：
套利假设作出发点成布莱克肖尔斯期权定价理谓(股票买入)
期权指某固定执行价格定期限买入某种股票权利期权执行时价格清楚：果股票市价高期权规定执行价格期权价格市价执行价格差果股票市价低期权规定执行价格期权价格零现问：期权执行前应该样股票价格定价？解决问题布莱克肖尔斯先模型连续动态化假定模型中两种证券种债券风险证券证券价值计量基准收益率常数种股票风险证券马科维茨传统证券收益率期方差刻画动态化价格变化满足机微分方程含义时间变化机收益率期值方差时间间隔成正种机微分方程称布朗运动然利时刻通股票期权适组合风险该组合变成风险证券期权价格股票价格间偏微分方程
中参数时间期权执行价格债券利率股票价格波动率出意料方程居然显式解布莱克肖尔斯期权定价公式样问世
马科维茨遭遇类似布莱克肖尔斯公式发表困难重重年市场中投
资行关金融资产定价公式惯般济均衡框架商品定价济学家说难接受样布莱克肖尔斯直接市场中验证公式结果令非常满意关期权定价实证研究结果先1972年发表然理分析1973年正式发表时芝加哥期权交易1973年正式推出16种股票期权挂牌交易(前期权场外交易)衍生证券市场蓬蓬勃勃发展起布莱克肖尔斯公式数清机会充分验证成类史应频繁数学公式
布莱克肖尔斯公式成功默顿研究分开者甚理深化系统
化作出更贡献默顿研究总结1990年出版连续时间金融学书中金融问题建立连续时间模型30年中成金融学核心连续变量微分学瓦尔拉斯时代进入济学样现实济变量极少连续微分学强力处理济学中效问题连续变量金融模型样强力机分析更深刻揭示金融问题机性连续时间模型处理金融问题非布莱克肖尔斯默顿理开始1950年代萨缪尔森已发现位遗忘法国数学家巴施里叶(LBachelier1870—1946)早1900年已博士文投机理中布朗运动刻画股票价格变化历史第次出布朗运动数学定义熟知爱斯坦(AEinstein1879—1955)1905年关布朗运动研究早尤巴施里叶实质已开始研究期权定价理布莱克
肖尔斯默顿工作实萨缪尔森影响延续巴施里叶工作样数理金融学祖师爷成巴施里叶法国感豪专门成立国际性巴施里叶协会2000年6月协会巴黎召开第届盛国际巴施里叶会议纪念巴施里叶文问世100周年
CAPM AND APT
资资产定价模型(CAPM)体夏普(Sharpe1964)林特纳(Lintner1965)莫辛(Mossin1966)独立提出CAPM意义建立证券收益风险关系揭示证券风险报酬部结构风险报酬影响证券收益相关素风险贴水线性组合相关素风险贴水证券市场风险报酬影响素关单证券关CAPM建立单证券收益市场资产组合收益间数量关系系数反映种相关程度证券市场中证券具系数正反映种证券收益结构资资产定价模型直量实证研究基础总说实证研究表明资资产定价模型金融市场收益结构提供相初步似
布莱克肖尔斯公式成功套利假设金融资产定价成功成功促1976年罗斯(SARoss1944—)套利定价理(Arbitrage Pricing Theory简称APT)出现APT作CAPM代物问世CAPM验证涉市场组合否效验证实证行针CAPM单素模型罗斯提出目前统称APT素模型取代罗斯构造般均衡模型证明投资者持证券价值市场组合中份额越越时种证券收益干基济素致似线性表示发现果仅仅需种金融资产定价素模型作出解释需般均衡框架需线性模型假设似套利假设：果证券组合风险越越收益率会越越接风险收益率理说罗斯APT典文中更重贡献提出套利定价般原理结果称资产定价基定理条定理表述：套利假设等价存未确定状态某种等价概率测度种金融资产该等价概率测度期收益率等风险证券收益率1979年罗斯考克斯(JCCox)**宾斯坦(MRubinstein)起利样资产定价基定理布莱克肖尔斯公式出种简化证明中股票价格设想未干时间间隔中越越确定分叉变化两时间间隔间述未收益期值等风险收益率成立期权定价离散模型布莱克肖尔斯公式非离散模型时间间隔趋零时极限样金融济学程度离开般济均衡框架需等价套利假设资产定价基定理出发许金融资产定价具体模型公式
完全市场完全市场：
法玛成首先1960年代末开始市场效性方面研究谓市场效性问题指市场价格否充分反映市场信息问题金融商品定价已建立套利假设基础时市场否效实证检验金融理否市场现实相符成回事致样说果金融市场价格变化通布朗运动类市场效性假设检验市场会满足套利假设时理较符合实际投资者说没套利机会采取保守投资策略果市场效性假设检验通反映市场套利机会市场价格定程度预测性投资者应该采取积极投资策略业间流行股市技术分析类会起较作样市场效性研究金融济学金融实践说变关紧法玛市场效性理表述实证研究重贡献法玛方面影响极重研究年弗兰齐(KFrench)等CAPM批评认市场收益率刻画股票收益率足解释股票收益率种变化建议引入公司规模股票市值股票帐面值作新解释变量系列文引起金融界非常热烈争已开始广泛接受然研究基停留计量济学层次势必会数理金融学结构产生根影响法玛研究金融学中典型微观规范实证研究宏观规范研究应该提关完全市场般济均衡理研究套利假设出资产定价基定理原布莱克肖尔斯理实际完全市场中金融资产唯定价里完全市场指作定价出发点基资产(风险证券标资产等)种风险资产表达组合实际情况然会样关完全证券市场般济均衡模型拉德纳(RRadner)1972年首先建立时卖空限制条件证明均衡存性三年哈特(OHart)举出反例说明般情况完全证券市场均衡定存问题济学家困惑久直1985年达菲(DDuffie)夏弗尔(WSchafer)指出极数完全市场均衡存遗憾时证明完全市场极数均衡达资源优配置样研究结果济学含义值深思达菲夏弗尔数学证明数学家十分兴奋例格拉斯曼流形动点定理样
数学家说崭新研究十年着思想发展出系列完全市场相应种样反映金融市场完全市场般均衡理方面众贡献麦基尔(MMagill)奎恩兹(MQuinzii)已20世纪末题写出厚厚两卷专著高新技术推动金融市场进步全球化网络化网交易网支付网金融机构网清算系统等更金融市场日新月异
金融数学发展趋势问题：
利率结构问题：
B S模型 中利率定常数实际利率变化相复杂性质期日债劵利率变化规律相
利率期限结构问题通常收益率形式表示传统利率结构包括四种理偏预期理 市场分割理 优先置产理流动性偏理期利率期限结构模型套利模型 (Vasicek ( 1987) ) 般均衡模型 (Cov lngers oll Ross (1986) ) 二项式网状模型 (Ho Lee ( 1980) )鞍模型 (Heath Jarr ow Mort on (1992) )
市场波动性问题：
B S模型 推广模型中常常假设股票价格波动服某机程 (布朗运动 ) 然进行机分析金融市场数情况满足稳定假设时常出现异常波动 ( 192年 1987年股票市场崩溃)准确描述股票价格变化规律种素必须考虑股票价格波动率股票价格赖性波动率机变量赖性股票价格突然跳动机波动率模型够反映述某素较常见移动均法 GRCH模型推广 (回条件异方差模型 ) 隐含波动率模型 机波动率模型外机优控制机微分方程较晚发展起数学工具已数金融领域应
市场完全信息称问题：
现实证券市场完全市场 常常表现市场中证劵股票投资组合受限制达菲 (Duffie)等提出完全市场般均衡理 理证明金融创新合理性
提高社会资资源配置效率重意义Karatzas等引入鞅理够较解决金融市场完备时衍生证券定价问题 目前国外基鞅方法定价理金融理中占导位外 现实市场中 参济掌握信息称 (信息互通 掌握信息样 )信息称情况 问题涉济间相互策 称信息时刻困难 参济信息层次常常 问题困难想知 数学
处理更困难微分策 重复策 机策 策理金融研究中深入探索发展 着较发展前景
机优控制理：
金融学理重应领域解决连续时间机性问题解决问题重手段机优控制理默顿首次利贝尔曼优控制理解决连续时间消费投资问题机控制理金融学（特金融工程中）广泛研究运
2000年XYZhouDL连续时间均值—方差问题（具确定性参数）抽象成种机LQ控制优化问题运嵌套方法原问题转化LQ控制问题2002年XYZhou进步运LQ
方法研究机参数连续时间均值 方差问题求出该情形投资组合效边界时证明基金分离定理Xun Li（2003XYZhou学生）等考察具马尔科夫跳跃程限期限投资组合问题机LQ控制框架该框架求解投资组合问题效边界考察加入未定权益衍生产品构成投资组合套期保值问题Hong Liu更进步考察交易费（考虑交易费固定交易量成正两种情形）消费前提效函数CARA（constant absolute risk aversion）投资者优投资策略
助计算机手段首次优投资策略作出精确求解
鞅理：
1977年哈里森（HarrisonJM）柯瑞普斯（KrepsSR）提出期权定价理鞅方法鞅中鞅测度概念刻画套利市场完全市场等价鞅测度期权进行定价套期保值证明市场套利重条件等价鞅测度存市场完备重条件等价鞅测度存唯市场完备市场时意未定权益达市场基础证券套利复制时意未定权益唯套利定价未定权益定价未定权益期末收益折现值等价鞅测度数学期结果机分析中鞅测度概念金融市场套利概念联系起机分析中半鞅机积分理金融衍生证券定价理中武金融数学发展产生极深远
影响
格利斯特李（1984）研究基础证券交易成期权价值影响存交易成时连续时间套利定价会高昂交易成法实现默顿（1990） 运脉优控制理证券投资决策问题中部分研究假设交易速率界连续变化实际投资者交易速率界频繁改变连续时间机优控制理研究仅仅种似问题变更容易处理事实实际问题较距离脉优控制方法研究证券投资决策问题更合适离散时间模型提出交易成基础
证券价格成例单阶段欧式期权定价公式波耶勒斯沃尔斯特（1992）默顿方法推广时期情形20世纪80年代期货期权研究取进展柯达顿萨布拉曼·彦（1985 ）贝尔托罗斯（1986）指出美式期货期权利率正条件美式现货期权更容易执行Lieu（1990）应连续时间定价方法推出期货期权定价公式陈斯科特(1993)进步研究指出利率机期货期权价值会受利率影响Wei（1994）指出期货纯期权价值高美式期货期权价值
微分策理
现代金融理值注意研究动运微分策方法研究期权定价问题投资决策问题目前取定成果金融市场满足稳态假定出现异常波动时证券价格服布朗运动时机动态模型研究证券问题方法理实际存着较偏差微分策方法研究金融决策问题放松假设确定扰动假想成敌方针差情况加优化**棒性强投资策略运微分策方法研究金融问题具广阔应前景
优停时理
运优停时理研究具固定交易费证券投资决策问题出具两风险证券投资决策问题种简化算法优停时理概率体系中具强实性领域年少金融学家金融数学家理现代投资组合理相结合 取错成绩 领域研究文献然该领域处起步阶段 Pliska SR and Selby MJ首次运该理研究具固定交易费证券投资决策问题写出具两证券投资决策问题种简单算法 Bernard Dumas and Elisa Luclano（1998）基础进步运优停时理（Optimalstopping literature） 考察交易费时投资组合动态优策略求解出精确数值解国关优停时理金融数学金融学中应研究
文献暂时处空白
智优化
新金融衍生工具层出穷新模型断提出复杂衍生金融工具定价难度绝亚发射火星探测器非常少情况建立模型具象B S模型 样封闭式解析解数情况数值方法采更先进分析计算手段迅速获准确结果改善风险理控制系统已成金融机构瞬息万变竞争激烈金融市场中立败关键金融计算已成金融数学重组成部分
根风险中性定价原理 欧式证券价格估算转化成高微积分计算 维数标资产数目连续模型离散化时时间分步数标资产数目连续模型离散化时
时间分步数常常达数百甚数千传统数值方法难付 维数灾难 (Course of Di mensi onality指计算量维数增加呈指数增加 )缘计算机模拟方法 (称Monte Carl o方法 )效付维数灾难该方法估算欧式证券价
格基步骤第 风险中性测度模拟标资产价格运动路径第二 条路径 计算衍生券收益 风险利率进行折现第三 重复次模拟计算 结果算术均作衍生证券估价该方法收敛速度 O ( ) 中 N 模拟轨迹数收敛速度问题维数关计算机模拟方法简单性
灵活性普遍性获广泛应处理路径相关 ( Pathdependent)衍生证券方面具独特优势模型赖性
相较弱收敛速度慢类方法缺点 许谓方差缩减技巧提高该方法效率
拟蒙特卡罗方法 (Quasi MongCarl o)年获迅速发展种方法基思想确定性超均匀分布序列 (称 低偏差序列 — Low Dcrepancy Sequences )代计算机模拟方法中机数序列该方法收敛速度提高 O ( )实际速度般计算机模拟方法提高数百倍千倍提高计算精度拟蒙特卡罗方法核心优低偏差序列构造常低偏差序列 Halt on序列Sobol序列 Faure序列 Niederrei序列等该方法已高效计算维数高达数千情形前景令鼓舞
计算机模拟方法拟蒙特卡罗方法美式衍生证券进行定价计算风险值方面研究获重进展外二蒙特卡罗 (LS M)模拟方法美式期权定价中成功应
金融衍生产品价格常表示成某定解条件偏微分方程隐式解偏微分方程数值解法金融衍生产品定价中广泛应 (包括限差分法 限元法混合方法)类方法处理欧式衍生证券处理美式衍生证券处理路径相关衍生证券方便外类方法求解维数般限标变量时计算时间增加
Cox Ross Rubinstein二项树方法衍生证券定价重方法理种方法布莱克斯克斯方法更容易理解更直观该方法假设时间间隔Δt股价变化两种者例 u升者例 d降适选择参数 u d概率股价风险中性世界中具正确均值方差二项树末端开始倒推股权价格该方法具美式期权定价力时步必须较两值立执行价值继续持Δt时间贴现期值
外 工神网络 遗传算法等金融计算中具重意义现代高性计算机发展计算方法改进量快速复杂数值计算仿真提供基础时 估价方法重点严格封闭型模型转移高深计算量方法
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