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等腰三角形中的半角模型
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1. 等腰三角形中的“半角模型”
2. 模型名称由来 所谓“半角模型”指的是题目中出现了两个角,小角等于大角的一半,故称为“半角模型”,有最普通的半角问题,但多数“半角模型”问题都是特殊角之间的“半角模型”。 常见的有“30°与60°”、“45°与90°”、“60°与120°”
3. 模型1问题一:如图所示,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边BC上,∠MAN=45°,求证:BM2+CN2=MN2.内含“半角”,合二为一将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ACE的位置,使AB与AC重合
4. 模型1问题一:如图所示,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边BC上,∠MAN=45°,求证:BM2+CN2=MN2.内含“半角”,合二为一将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ACE的位置,使AB与AC重合连接EN
5. 模型1问题一:如图所示,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边BC上,∠MAN=45°,求证:BM2+CN2=MN2.内含“半角”,合二为一将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ACE的位置,使AB与AC重合连接EN证△AMN≌△AEN, 得MN=EN
6. 模型1问题一:如图所示,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边BC上,∠MAN=45°,求证:BM2+CN2=MN2.内含“半角”,合二为一将△ACD绕点C逆时针旋转90°至△BCF的位置,使AC与BC重合证△AMN≌△AEN, 得MN=EN连接ENRt△CEN中,由勾股定理得CE2+NC2=EN2,等量代换得BM2+CN2=MN2
7. 模型1问题一:如图所示,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边BC上,∠MAN=45°,求证:BM2+CN2=MN2.内含“半角”,合二为一
8. 模型1问题一:如图所示,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边CB的延长线上,∠MAN=45°,BM2+CN2=MN2是否成立?内含“半角”,合二为一
9. 模型2问题二:如图所示,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边CB的延长线上,∠MAN=45°,BM2+CN2=MN2是否成立?外露“半角”,一分为二将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ACE的位置,使AB与AC重合
10. 模型2问题二:如图所示,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边CB的延长线上,∠MAN=45°,BM2+CN2=MN2是否成立?外露“半角”,一分为二将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ACE的位置,使AB与AC重合连接EN
11. 模型2问题二:如图所示,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边CB的延长线上,∠MAN=45°,BM2+CN2=MN2是否成立?外露“半角”,一分为二将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ACE的位置,使AB与AC重合连接EN证△AMN≌△AEN, 得MN=EN
12. 模型2问题二:如图所示,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边CB的延长线上,∠MAN=45°,BM2+CN2=MN2是否成立?外露“半角”,一分为二将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ACE的位置,使AB与AC重合连接EN证△AMN≌△AEN, 得MN=ENRt△CEN中,由勾股定理得CE2+NC2=EN2,等量代换得BM2+CN2=MN2
13. 练习1.如图所示,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边BC上,BM2+CN2=MN2,求证:∠MAN=45°.将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ACE的位置,使AB与AC重合连接ENRt△CEN中,由勾股定理得CE2+NC2=EN2,而BM2+CN2=MN2,得MN=EN△AMN≌△AEN
14. 练习2.如图,△ABD是等边三角形,点C是△ABD外一点,CA=CB且∠ACB=120°,点E、F分别在边AD,BD上,且∠ECF=60°,连接EF.求证:EF=AE+BF. 将△ACE绕点C逆时针旋转120°至△BCM的位置,使AC与BC重合△FCE≌△FCMEF=MFEF=MB+BF =AE+BF
15. 半角模型,必旋转半角模型“破解”策略旋转的目的:将分散的条件集中起来,将隐蔽的关系显现出来;旋转的条件:具有公共端点的等线段;旋转的方法:①将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形; ②证明与半角形成的三角形全等; ③通过全等的性质得出线段之间的数量关系 ,从而解决问题。
16. 回顾半角模型,必旋转等腰三角形中的“半角模型” 解决策略
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