专题十 概率统计
第三十五讲离散型机变量分布列期方差
2019 年
1（2019 天津理 16）设甲乙两位学学期间天 7：30 前校概率均 2
3 假定
甲乙两位学校情况互影响学天校情况相互独立
（Ⅰ） X 表示甲学学期间三天中 7：30 前校天数求机变量 X 分布列
数学期
（Ⅱ）设 M 事件学期间三天中甲学 7：30 前校天数乙学 7：30
前校天数恰 2求事件 M 发生概率
2．（2019 全国 I 理 21）治疗某种疾病研制甲乙两种新药希知道种新药更
效进行动物试验．试验方案：轮选取两白鼠药效进行试验．
两白鼠机选施甲药施乙药．轮治疗结果出安排轮
试验．中种药治愈白鼠种药治愈白鼠 4 时停止试验认治愈
数药更效．方便描述问题约定：轮试验施甲药白鼠治愈施
乙药白鼠未治愈甲药 1 分乙药 1 分施乙药白鼠治愈施甲药白
鼠未治愈乙药 1 分甲药 分治愈未治愈两种药均 0 分．甲乙两
种药治愈率分记 α β轮试验中甲药分记 X．
（1）求 X 分布列
（2）甲药乙药试验开始时赋予 4 分 ( 01 8)ipi 表示甲药累计分i 时
终认甲药乙药更效 概 率 0 0p  8 1p 
11i i i ip ap bp cp   ( 12 7)i  中 ( 1)a P X  ( 0)b P X
( 1)c P X．假设 05  08  ．
(i)证明： 1{}iipp  ( 012 7)i  等数列
(ii)求 4p 根 4p 值解释种试验方案合理性．
3（2019 北京理 17）
改革开放支付方式发生巨转变年移动支付已成支
付方式解某校学生月 AB 两种移动支付方式情况全校学生中机
抽取 100 发现样中 AB 两种支付方式 5 样仅 A 仅 B
学生支付金额分布情况：


支付金额
支付方式
 01000  10002000 2000
仅 A 18 9 3
仅 B 10 14 1
（Ⅰ）全校学生中机抽取 1 估计该学生月 AB 两支付方式概率
（Ⅱ）样仅 A 仅 B 学生中机抽取 1 X 表示 2 中月支
付金额 1000 元数求 X 分布列数学期
（Ⅲ）已知月样学生支付方式月没变化现样仅 A 学生中
机抽查 3 发现月支付金额 2000 元根抽查结果否认样仅
A 学生中月支付金额 2000 元数变化？说明理

20102018 年
选择题
1．(2018 全国卷Ⅲ)某群体中位成员移动支付概率 p 成员支付方式相
互独立设 X 该群体 10 位成员中移动支付数 24DX 
( 4) ( 6)PXPX   p
A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3
2．(2018 浙江)设01p机变量 分布列
0 1 2
P 1
2
p 1
2
2
p
p (01) 增时
A．()D  减 B． 增
C．()D  先减增 D． 先增减
3．（2017 浙江）已知机变量 i 满足 ( 1)iiPp ( 0) 1iiPp    i 12．
12
10 2pp  
A． 1()E  < 2()E  1()D  < 2()D  B． < >
C． > < D． > >
4．（ 2014 浙江）已知甲盒中仅 1 球红球乙盒中 m 红球 n 篮球
 3 3mn乙盒中机抽取  12ii 球放入甲盒中．
（a）放入i 球甲盒中含红球数记  12i i 
（b）放入i 球甲盒中取 1 球红球概率记  12ipi ．
A．    1 2 1 2p p E E B．    1 2 1 2p p E E
C．    1 2 1 2p p E E D．    1 2 1 2p p E E
二填空题
5．（ 2017 新课标Ⅱ）批产品二等品率002 批产品中次机取件放回
抽取100次 表示抽二等品件数 DX ．
6．(2016 年四川)时抛掷两枚质均匀硬币少枚硬币正面时说次
试验成功 2 次试验中成功次数 X 均值
7．（ 2014 浙江）机变量 取值 012   10 5P     1E    D   __．
三解答题
8．（2018 北京）电影公司机收集电影关数分类整理表：
电影类型 第类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
评率 04 02 015 025 02 01
评率指：类电影中获评部数该类电影部数值．
假设电影否获评相互独立．
(1)电影公司收集电影中机选取 1 部求部电影获评第四类电影概
率
(2)第四类电影第五类电影中机选取 1 部估计恰 1 部获评概率
(3)假设类电影喜欢概率表格中该类电影评率相等 1k  表
示第 k 类电影喜欢 0k  表示第 k 类电影没喜欢（ k 1
23456）．写出方差 1D 2D 3D 4D 5D 6D 关系．
9．（ 2018 全国卷Ⅰ）某工厂某种产品成箱包装箱 200 件箱产品交付户
前产品作检验检验出合格品更换合格品．检验时先箱产品中
取 20 件作检验根检验结果决定否余产品作检验设件产品
合格品概率 )10(  pp 件产品否合格品相互独立．
(1)记 20 件产品中恰 2 件合格品概率 )(pf 求 值点 0p ．
(2)现箱产品检验 20 件结果恰 2 件合格品(1)中确定 0p 作 p 值．已
知件产品检验费 2 元合格品进入户手中工厂件合格
品支付 25 元赔偿费．
（i）该箱余产品作检验箱产品检验费赔偿费记 X
求 EX
（ii）检验费赔偿费期值决策否该箱余产品作
检验？
10．(2018 天津)已知某单位甲乙丙三部门员工数分 241616．现采分
层抽样方法中抽取 7 进行睡眠时间调查．
(1)应甲乙丙三部门员工中分抽取少？
(2)抽出 7 中 4 睡眠足3 睡眠充足现 7 中机抽取 3 做进
步身体检查．
（i） X 表示抽取 3 中睡眠足．．员工数求机变量 X 分布列数学期
（ii）设 A 事件抽取 3 中睡眠充足员工睡眠足员工求
事件 A 发生概率．
11．（ 2017 新课标Ⅲ）某超市计划月订购种酸奶天进货量相进货成瓶 4 元
售价瓶 6 元未售出酸奶降价处理瓶 2 元价格天全部处理完．根
年销售验天需求量天高气温(单位：℃)关．果高气温低 25需
求量 500 瓶果高气温位区间[2025)需求量 300 瓶果高气温低
20需求量 200 瓶．确定六月份订购计划统计前三年六月份天高气
温数面频数分布表：
高气温 [1015) [1520) [2025) [2530) [3035) [3540)
天数 2 16 36 25 7 4
高气温位区间频率代高气温位该区间概率
(1)求六月份种酸奶天需求量 X(单位：瓶)分布列
(2)设六月份天销售种酸奶利润Y(单位：元)六月份种酸奶天进货量
n (单位：瓶)少时 数学期达值？
12．（ 2017 江苏）已知口袋 m 白球n 黑球（ m n  *N 2n≥ ）球
颜色外全部相．现口袋中球机逐取出放入图示编号 12
3„ mn 抽屉中第 k 次取球放入编号 k 抽屉（ k 123„ mn ）．
1 2 3 „ mn
（1）试求编号 2 抽屉放黑球概率 p
（2）机变量 X 表示取出黑球抽屉编号倒数 ()EX 数学
期证明 () ( )( 1)
nEX m n n 
．
13．（ 2017 天津）甲乙 3 十字路口设路口信号灯工作相互独立
路口遇红灯概率分 111234
．
（Ⅰ）设 X 表示辆车甲乙遇红灯数求机变量 分布列数学
期
（Ⅱ） 2 辆车独立甲乙求 2 辆车遇 1 红灯概率．
14．（2017 山东）心理学研究中常采试验方法评价心理暗示影响
具体方法：参加试验志愿者机分成两组组接受甲种心理暗示组接
受乙种心理暗示通两组志愿者接受心理暗示结果评价两种心理暗示
作现 6 名男志愿者 1A 2A 3A 4A 5A 6A 4 名女志愿者 1B 2B 3B
4B中机抽取 5 接受甲种心理暗示 5 接受乙种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示志愿者中包含 1A 包含 1B 频率
（Ⅱ） X 表示接受乙种心理暗示女志愿者数求 分布列数学期 EX ．
15．（2017 北京）研究种新药疗效选 100 名患者机分成两组组 50 名
组服药组服药．段时间记录两组患者生理指标 x y 数
制成图中*表示服药者+表示未服药者．

（Ⅰ）服药 50 名患者中机选出求指标 y 值 60 概率
（Ⅱ）图中 ABCD 四中机选出两记 选出两中指标 值
17 数求 分布列数学期 ()E 
（Ⅲ）试判断 100 名患者中服药者指标 数方差未服药者指标 数方差
．（需写出结）
16．(2016 年全国 I)某公司计划购买 2 台机器该种机器三年淘汰．机器易
损零件购进机器时额外购买种零件作备件 200 元．机器期
间果备件足购买 500 元．现需决策购买机器时应时购买易损
零件搜集整理 100 台种机器三年期更换易损零件数面柱
状图：

100 台机器更换易损零件数频率代 1 台机器更换易损零件数发生
概率记 X 表示 2 台机器三年需更换易损零件数n 表示购买 2 台机器时
购买易损零件数
（I）求 分布列
（II）求 ( ) 05P X n≤ ≥ 确定 值
（III）购买易损零件需费期值决策 19n  20n  中选
应选？
17．（ 2015 福建）某银行规定张银行卡天出现 3 次密码尝试错误该银行卡
锁定王银行取钱时发现忘记银行卡密码确定该银行卡
正确密码常 6 密码王决定中重复机选择 1 进行尝试．
密码正确结束尝试否继续尝试直该银行卡锁定．
（Ⅰ）求天王该银行卡锁定概率
（Ⅱ）设天王该银行卡尝试密码次数 X求 分布列数学期．
18．（ 2015 山东） n 三位正整数 位数字十位数字十位数字百
位数字称 三位递增数（ 137359567 等）．某次数学趣味活动中
位参加者需三位递增数中机抽取 1 数抽取次．分规
：抽取三位递增数三数字积 5 整参加者 0 分 5
整 10 整 1 分 10 整 1 分．
（Ⅰ）写出位数字 5 三位递增数
（Ⅱ）甲参加活动求甲分 X 分布列数学期 EX ．
19．（ 2015 四川）某市 AB两中学学生组队参加辩赛 A 中学推荐 3 名男生2
名女生B 中学推荐 3 名男生4 名女生两校推荐学生起参加集训集训
队员水相参加集训男生中机抽取 3 女生中机抽取 3 组成代表
队．
（1）求 中学少 1 名学生入选代表队概率
（2）某场赛前代表队 6 名队员中机抽取 4 参赛设 X 表示参赛男生
数求 分布列数学期．
20．(2014 新课标 1)某企业生产某种产品中抽取 500 件测量产品项质量指标
值测量结果频率分布直方图：

（Ⅰ）求 500 件产品质量指标值样均数 x 样方差 2s （组数该区
间中点值作代表）
（Ⅱ）频率分布直方图认种产品质量指标值 Z 服正态分布 2()N 
中  似样均数 2 似样方差 ．
（i）利该正态分布求 (1878 2122)PZ
（ii）某户该企业购买 100 件种产品记 X 表示 100 件产品中质量指标
值位区间（18782122）产品件数利（i）结果求 EX ．
附： 150 ≈122． Z ～ 2()N  ()PZ       06826
( 2 2 )PZ       09544．
21．（ 2014 山东）乒乓球台面球网分成甲乙两部分．图甲两相交区域 AB
乙划分两相交区域 CD．某次测试求队员接落点甲球乙
回球．规定：回球次落点C 记 3 分 D 记 1 分情况记 0 分．落
点 A 球队员明回球落点C 概率 1
2
D 概率 1
3
落
点 B 球明回球落点C 概率 1
5
D 概率 3
5
．假设
两次球落 次明两次回球互影响．求：
（Ⅰ）明两次回球落点中恰次落点乙概率
（Ⅱ）两次回球结束明分 分布列数学期．

22．（2014 辽宁）家面包房根某种面包销售记录绘制日销售量频率分布直
方图图示：
250200150100500
0006
0005
0004
0003
0002
频率
组距
月销售量

日销售量落入组频率视概率假设天销售量相互独立．
（Ⅰ）求未连续 3 天里连续 2 天日销售量低 100 天日销售
量低 50 概率
（Ⅱ） X 表示未 3 天里日销售量低 100 天数求机变量 X 分布列
期 ()EX 方差 ()DX ．
23．（ 2014 广东）机观测生产某种零件某工厂 25 名工日加工零件数（单位：件）
获数：30424136444037372545294331364934
334338423234463936根述数样频率分布表：
分组 频数 频率
[2530 ] 3 012
(3035 ] 5 020
(3540 ] 8 032
(4045 ] 1n 1f
(4550 ] 2n 2f
（1）确定样频率分布表中 1 2 1n n f 2f 值
（2）根述频率分布表画出样频率分布直方图
（3）根样频率分布直方图求该厂取 4 少 1 日加工零件数落
区间（3035］概率．
24．（ 2014 安徽）甲乙两进行围棋赛约定先连胜两局者直接赢赛赛完 5 局
未出现连胜判定获胜局数者赢赛假设局甲获胜概率 2
3
乙获胜
概率 1
3
局赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲 4 局（含 4 局）赢赛概率
（Ⅱ）记 X 赛决出胜负时总局数求 分布列均值（数学期）．
25．（2013 新课标 1）批产品需进行质量检验检验方案：先批产品中取 4 件
作检验 4 件产品中优质品件数记 n．果 n3批产品中取 4 件作检
验优质品批产品通检验果 n4批产品中取 1 件作检验
优质品批产品通检验情况批产品通检验．假设批
产品优质品率 50取出产品优质品概率 1
2
件产品否优
质品相互独立．
（1）求批产品通检验概率
（2）已知件产品检验费 100 元抽取件产品需检验批产品作
质量检验需费记 X（单位：元）求 X 分布列数学期．
26．(2013 北京)图某市 3 月 1 日 14 日空气质量指数趋势图空气质量指数 100
表示空气质量优良空气质量指数 200 表示空气重度污染某机选择 3 月 1
日 3 月 13 日中某天达该市停留 2 天

（Ⅰ）求达日空气重度污染概率
（Ⅱ）设 X 停留期间空气质量优良天数求 分布列数学期．
（Ⅲ）图判断天开始连续三天空气质量指数方差？（结求证明）
27．（ 2012 新课标）某花店天枝 5 元价格农场购进干枝玫瑰花然枝 10
元价格出售．果天卖完剩玫瑰花作垃圾处理．
（Ⅰ）花店天购进 16 朵玫瑰花求天利润 y（单位：元）关天需求量 n（单
位：枝 Nn ）函数解析式
（Ⅱ）花店记录 100 天玫瑰花日需求量（单位：枝）整理表：
日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
100 天记录需求量频率作需求量发生概率．
（ⅰ）花店天购进 16 枝玫瑰花X 表示天利润（单位：元）求 X 分布列
数学期方差
（ⅱ）花店计划天购进 16 枝 17 枝玫瑰花认应购进 16 枝 17 枝？请说
明理．
28．（ 2012 山东）现甲乙两靶某射手甲靶射击次命中概率
4
3 命中1分
没命中0 分乙靶射击两次次命中概率
3
2 命中次 2 分没命中
0 分．该射手次射击结果相互独立．假设该射手完成三次射击．
（Ⅰ）求该射手恰命中次概率
（Ⅱ）求该射手总分 X 分布列数学期 EX ．
29．（ 2012 福建）受轿车保修期维修费等素影响企业生产辆轿车利润该轿
车首次出现障时间关某轿车制造厂生产甲乙两种品牌轿车保修期均 2
年现该厂已售出两种品牌轿车中机抽取 50 辆统计数：
品牌 甲 乙
首次出现
障时间 x (年)
01x „ 12x „ 2x  02x „ 2x 
轿车数量(辆) 2 3 45 5 45
辆利润(万元) 1 2 3 18 29
频率视概率解答列问题：
（I）该厂生产甲品牌轿车中机抽取辆求首次出现障发生保修期
概率
（II）该厂生产轿车均售出记生产辆甲品牌轿车利润 1X生产辆乙
品牌轿车利润 2X分求 分布列
（III）该厂预计两种品牌轿车销量相资金限制生产中种品牌
轿车济效益角度考虑认应该生产种品牌轿车？说明理．
30．（ 2011 北京）茎叶图记录甲乙两组四名学植树棵树．乙组记录中
数模糊法确认图中 X 表示．
1 1 1 0
9 9 0 X 8 9
乙组甲组

（Ⅰ）果 X8求乙组学植树棵树均数方差
（Ⅱ）果 X9分甲乙两组中机选取名学求两名学植树总棵树
Y 分布列数学期．
（注：方差      2 2 22
12
1
ns x x x x x xn
      
中 x 1x 2x ……
nx 均数）
31．（ 2011 江西）某饮料公司招聘名员工现进行项测试确定工资级
公司准备两种饮料 8 杯颜色完全相中 4 杯 A 饮料外 4
杯 B 饮料公司求员工品尝 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料 4 杯
选月工资定 3500 元 4 杯选 3 杯月工资定 2800 元否月工资定
2100 元令 X 表示选 A 饮料杯数假设 A B 两种饮料没鉴
力．
（1）求 X 分布列
（2）求员工月工资期．

专题十 概率统计
第三十五讲离散型机变量分布列期方差
答案部分
2019 年
1 解析（Ⅰ）甲学学期间三天中校情况相互独立天 7：30 前校概
率均 2
3
2~ 3 3XB


3
3
21()012333
kk
kPXkC k
− 

机变量 X 分布列
0 1 2 3
P 1
27
2
9
4
9
8
27
机变量 数学期 2( ) 3 2 3EX 
（Ⅱ）设乙学学期间三天中 7：30 前校天数 Y 2~ 3 3YB


{ 3 1} { 2 0}MXYXY 题意知事件{ 3 1}XY{ 2 0}XY互斥
事件 3X  1Y 事件 2X  0Y 均相互独立（Ⅰ）知
( ) ({ 3 1} { 2 0}) ( 3 1) ( 2 0)PMPXYXYPXYPXY +
8 2 4 1 20( 3) ( 1) ( 2) ( 0) 27 9 9 27 243PXPYPXPY + +
2 解析 X 取值 101−
( 1) (1 )
( 0) (1 )(1 )
( 1) (1 )
PX
PX
PX

  

− −
+ − −
−




分布列
（2）（ i）（1） 04 05 01a b c
1104 +05 +01i i i ip p p p−+ ()()1101 04i i i ip p p p+−− −

()114iiiip p p p+−− −
101 0p p p−   1 (0127)iippi+ − 公 4首项 1p 等数
列．
（ii）（i）
()()()
8
887761008776101 3 4 1 ppppppppppppppp −−+−++−+−+−++−

8 1p 1 8
3
41p −

()()()()
4
4433221101
411 325 7 pppppppppp −−+−+−+ −
4p 表示终认甲药更效概率计算结果出甲药治愈率 05乙药治愈
率 08 时认甲药更效概率 4
1 00039257p  时出错误结概率非常
说明种试验方案合理
3 解析 （I）题意知样中仅 A 学生 18+9+330 仅 B 学生
10+14+125 AB 两种支付方式学生 5
样中 AB 两种支付方式学生 1003025540
全校学生中机抽取 1
该学生月 AB 两种支付方式概率估计值 40 04100
（II）X 值 012
记事件 C 样仅 A 学生中机抽取 1 该学生月支付金额 1000
元 事件 D 样仅 B 学生中机抽取 1 该学生月支付金额 1000
元
题设知事件 CD 相互独立 () 93 0430PC + () 14 1 0625PD +
()()()2 024PXPCPD 
()()()()()()1PXPCDCDPCPDPCPD +
()()04 1 06 06 1 04 052  − +  −

()()()()0024PXPCDPCPD
X 分布列
X 0 1 2
P 024 052 024
X 数学期 E(X) ()()0410606104052−+−
（III）记事件 E 样仅 A 学生中机抽取 3 月支付金额 2000
元
假设样仅 A 学生中月支付金额 2000 元数没变化月样
数 () 3
30
11
C 4060PE
认变化理：
()PE 较概率较事件般容易发生旦发生理认月支付金额
2000 元数发生变化认变化
认法确定没变化理：
事件 E 机事件 较般容易发生发生法确定
没变化

20102018 年

1．B解析题意知该群体 10 位成员移动支付概率分布符合二项分布
10 (1 ) 24DX p p − 06p 04p ．
( 4) ( 6)PXPX  4 4 6 6 6 4
10 10C (1 ) C (1 )p p p p−  − 22(1 )pp−
05p  ．选 B．
2．D解析题 1() 2Ep + 221 1 1()()4 2 2D p p p − + + − − +
p (01) 增时 ()D  先增减．选 D．

3．A解析题意
1 0 1 2 0 1
P 11 p− 1p 21 p− 2p
两点分布 11()Ep 22()Ep 111( ) ( 1 )D p p − 222( ) ( 1 )D p p −
∵ 22
2122112121()()(1)(1)()()DDpppppppp−−−−−−−
2121( ) ( 1 )p p p p − − −
∵ 12
10 2pp   ∴ 210pp− 2110pp− − 
∴ 1()E  < 2()E  1()D  < 2()D  选 A．
4．A解析解法（特值法）取 mn 3 进行计算较．
解法二 乙盒中取 1 球时取出红球数记  取值 01
1( 0) ( 1)nPPmn +
1( 1) ( 2)mPPmn +

1 1 1()1( 1)2( 2) 1mEPP mn    + ++

1
1
() 2
2 2( )
E mnp mn
 ++
乙盒中取 2 球时取出红球数记
取值 012

2
22
C( 0) ( 1)C
n
mn
PP
+

11
22
CC( 1) ( 2)C
nm
mn
PP
+


2
22
C( 2) ( 3)C
m
mn
PP
+

∴ 2 2 2 2
2()1 (1)2 (2)3 (3) 1mEPPP mn     +  +  ++

∴ 2
2
() 3
3 3( )
E mnp mn
 ++
12pp ()()12EE 选 A．
5．196解析题意抽二等品件数符合二项分布 ()~ 100002XB
二项分布期公式 ()1 100 002 098 196DX np p −   ．
6． 3
2
解析实验成功概率 3
4p 3(2 )4XB 33( ) 2 42EX  ．

7． 2
5
解析题意设 ( 1) Pp 分布列
 0 1 2
P 1
5 p 4
5 p−
( ) 1E  3
5p 2() 5D  ．
8．解析(1)题意知样中电影总部数 140+50+300+200+800+5102000
第四类电影中获评电影部数 200×02550．
求概率 50 00252000 ．
(2)设事件 A 第四类电影中机选出电影获评
事件 B 第五类电影中机选出电影获评．
求概率 ()()()PABABPABPAB++
()(1())(1())()PAPBPAPB−+− ．
题意知： ()PA估计 0．25 ()PB估计 0．2．
求概率估计 0．25×0．8+0．75×0．20．35．
(3) 1D > 4D > 2D 5D > 3D > 6D ．
9．解析(1)20 件产品中恰 2 件合格品概率 2 2 18
20( ) C (1 )f p p p−．
2 18 2 17 2 17
20 20() C[2(1 ) 18 (1 )] 2C (1 )(110)f p p p p p p p p − − − − − ．
令 ( ) 0fp 01p ． (001)p 时 ( ) 0fp 
(011)p 时 ( ) 0fp  ．
()fp值点 0 01p ．
(2)(1)知 ．
（i）令Y 表示余 180 件产品中合格品件数
题意知 (18001)YB 20 2 25XY  + 40 25XY+ ．
(40 25 ) 40 25 490EX E Y EY + + ．
（ii）果余产品作检验箱产品需检验费 400 元．

400EX  应该余产品作检验．
10．解析(1)已知甲乙丙三部门员工数 3∶2∶2采分层抽
样方法中抽取 7 应甲乙丙三部门员工中分抽取 3 2
2 ．
(2)（i）机变量 X 取值 0123．
3
43
3
7
CC()C
kk
P X k
− ( k 0123)．
机变量 分布列
0 1 2 3
P 1
35 12
35 18
35 4
35
机变量 数学期 11218412()0123 353535357EX +++ ．
（ii）设事件 B 抽取 3 中睡眠充足员工 1 睡眠足员工 2
事件C 抽取 3 中睡眠充足员工 2 睡眠足员工 1
ABC 互斥
（i）知 ( ) ( 2)P B p X ( ) ( 1)PCPX
6( ) ( ) ( 2) ( 1) 7PAPBCPXPX + ．
事件 A 发生概率 6
7
．
11．解析（1）题意知 X 取值 200300500表格数知
() 2 16200 0290PX + () 36300 0490PX
() 25 7 4500 0490PX ++ ．
分布列
200 300 500
P 0．2 0．4 0．4
（2）题意知种酸奶天需求量500少200
需考虑 200 500n≤ ≤
300 500n≤ ≤ 时
高气温低25 6 4 2Y n n n −

高气温位区间 [2 0 2 5 ) 63002(200)412002Ynnn+−−−
高气温低20 62002(200)48002Ynnn+−−−
204(12002)04(8002)0264004EYnnnn+−+−− ．
200 300n ≤ 时
高气温低20 6 4 2Y n n n −
高气温低20
2(0404)(8002)0216012EYnnn++−+ ．
300n 时 Y 数学期达值值520元．
12．解析(1)编号 2 抽屉放黑球概率 p
1
1C C
n
mn
n
mn
np mn
−
+−
+
+
(2)机变量 X 概率分布

1
n 1
1n + 1
2n + … 1
k … 1
mn+
P
1
1C
C
n
n
n
mn
−
−
+

1C
C
n
n
n
mn
−
+

1
1C
C
n
n
n
mn
−
+
+
…
1
1C
C
n
k
n
mn
−
−
+
…
1
1C
C
n
nm
n
mn
−
+−
+

机变量 期：
1
1C1 1 1 ( 1)() C C ( 1)( )
nm n m n
k
nn
k n k nm n m n
kEX k k n k n
−++
−
++
−   −−
1 ( 2) 1 ( 2)() C ( 1)( )( 1)C ( 2)( )
m n m n
nn
k n k nm n m n
kkEX n k n n n k n
++
++
−−− − − − −
2 2 2
12
1 (1 C C C )( 1)C
n n n
n n m nn
mnn
− − −
− + −
+
+ + + +−
1 2 2 2
1 1 2
1 (CCCC)( 1)C
n n n n
n n n m nn
mnn
− − − −
− − + −
+
+ + + +−
1 2 2
2
1 (CCC)( 1)C
n n n
n n m nn
mnn
− − −
+−
+
+ + +−
12
22
1 (CC)( 1)C
nn
m n m nn
mnn
−−
+ − + −
+
+−

1
1C
(1)C()(1)
n
mn
n
mn
n
nmnn
−
+−
+
−+−

() ( ) ( 1 )
nEX m n n +−
13．解析（Ⅰ）机变量 X 取值 0123
1111(0)(1)(1)(1) 2344PX−−−
11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424PX−−+−−+−−
1111111111(2)(1)(1)(1) 2342342344PX−+−+−
1 1 1 1( 3) 2 3 4 24PX  
机变量 分布列
0 1 2 3
P 1
4 11
24 1
24
机变量 数学期 1 11 1 1 13( ) 0 1 2 34 24 4 24 12EX  +  +  + 
（Ⅱ）设Y 表示第辆车遇红灯数 Z 表示第二辆车遇红灯数求
事件概率
( 1) ( 0 1) ( 1 0)PYZPYZPYZ+ +
( 0) ( 1) ( 1) ( 0)PYPZPYPZ +
1 11 11 1 11
4 24 24 4 48  + 
2 辆车遇 1 红灯概率 11
48
14．解析（Ⅰ）记接受甲种心理暗示志愿者中包含 1A 包含 1B 事件 M
4
8
5
10
5()18
CPM C
(Ⅱ)题意知 取值：01234 ．
5
6
5
10
1( 0) 42
CPX C
41
64
5
10
5( 1) 21
CCPX C
32
64
5
10
10( 2) 21
CCPX C

23
64
5
10
5(3) 21
CCPX C
14
64
5
10
1(4) 42
CCPX C
X 分布列
0 1 2 3 4
P 1
42
5
21
10
21

数学期
0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EXPXPXPXPXPX++++
510510 +1+ 2+3+ 421212142 2．
15．解析（Ⅰ）图知服药 50 名患者中指标 y 值 60 15
服药 50 名患者中机选出指标 值 60 概率 15 0 350 ．
（Ⅱ）图知ABCD 四中指标 x 值 17 2 ：A C．
 取值 012．
2 1 1 2
2 2 2 2
2 2 2
4 4 4
CCCC1 2 1(0) (1) (2)C 6 C 3 C 6PPP   ．
分布列
0 1 2
1
6 2
3
期 1 2 1( ) 0 1 2 16 3 6E   +  +  ．
（Ⅲ） 100 名患者中服药者指标 数方差未服药者指标 数方差．
16．解析（Ⅰ）柱状图频率代概率台机器三年需更换易损零件数
891011 概率分 02040202
0402020)16( XP
16040202)17( XP
240404020202)18( +XP
2402040220202)19( +XP

20202040202)20( +XP
08020202)21( XP
0402020)22( XP
X 分布列
16 17 18 19 20 21 22
P 040 160 240 20 080
（Ⅱ）（Ⅰ）知 440)18( XP 680)19( XP n 值 19
（Ⅲ）记 Y 表示 2 台机器购买易损零件需费（单位：元）
19n 时
080)500220019(20)50020019(68020019 ++++EY
4040040)500320019( ++
20n 时
040)500220020(080)50020020(88020020 ++++EY 4080
知 时需费期值 时需费期值应选
17．解析（Ⅰ）设天王该银行卡锁定事件 A
5 4 3 1( ) 6 5 4 2PA  
（Ⅱ）题意 取值 123
1 5 1 1 5 4 2( 1) ( 2) ( 3) 16 6 5 6 6 5 3PXPXPX    ．
分布列
1 2 3
1
6 2
3
1 1 2 5( ) 1 2 36 6 3 2EX  +  +  ．
18．解析（Ⅰ）位数 5 三位递增数 125135145235245345
（Ⅱ）题意知全部三位递增数数 843
9 C机变量 X 取值：01
1


3
2)0( 3
9
3
8 C
CXP
14
1)1( 3
9
2
4 − C
CXP
42
11
3
2
14
11)1( −−XP
X 分布列
0 1 1
P 3
2
14
1
42
11

21
4
42
11114
1)1(3
20 +−+EX ．
19．解析（1）题意参加集训男女生 6 名参赛学生全 B 中抽取（等价
A 中学没学生入选代表队）概率
33
34
33
66
1
100
CC
CC ．
中学少 1 名学生入选概率 1 9 91 1 0 0 1 0 0−．
（2）根题意 X 取值 123．
13
33
4
6
1( 1) 5
CCPX C
22
33
4
6
3( 2) 5
CCPX C
31
33
4
6
1( 3) 5
CCPX C
分布列：
1 2 3
P
1
5 3
5
期 ()()()1 ( 1) 2 2 3 3EXPXPXPX  +  + 
1 3 1( ) 1 2 3 25 5 5EX  +  +  ．
20．解析（I）抽取产品质量指标值样均数 x 样方差 2s 分
170 002 180 009 190 022 200 033x  +  +  + 
210 024 220 008 230 002+  +  +  200
2 2 2 2( 30) 002 ( 20) 009 ( 10) 022s −  + −  + − 
2 2 20 033 10 024 20 008 30 002 150+  +  +  + 
（II）（ i）（I）知 ~ (200150)ZN
(1878 2122 (200 122 200 122) 06826PZPZ  −   + ）
（ii）（i）知件产品质量指标值位区间（18782122）概率 0682 6

题意知 XB(1000682 6) 100068266826EX 
21．解析（Ⅰ）记 iA 事件明落点 A 球回球分 i 分（ 013i ）．
3
1() 2PA 1
1() 3PA 0
1 1 1( ) 1 2 3 6PA − −
记 iB 事件明落点 B 球回球分 分（ ）
3
1() 5PB 1
3() 5PB 0
1 3 1( ) 1 5 5 5PB − −
记 D 事件明两次回球落点中恰 1 次落点乙
题意 30100301DABABABAB+++
事件独立性互斥性
30100301()()PDPABA BABAB+++ 30100301()()()()PABPA BPABPAB+++
30100301()()()()()()()()PAPBPAPBPAPBPAPB+++
1 1 1 1 1 3 1 1 3
2 5 3 5 6 5 6 5 10 +  +  + 
明两次回球落点中恰次落点乙概率 3
10
．
（Ⅱ）题意机变量 取值012346
事件独立性互斥性
03
1 1 1( 0) ( ) 6 5 30PPAB 
1 0 0 1
1 1 1 3 1( 1) ( ) 3 5 6 5 6PPABAB +  + 
11
1 3 1( 2) ( ) 3 5 5PPAB 
3 0 0 3
1 1 1 1 2( 3) ( ) 2 5 6 5 15PPABAB +  + 
3 1 1 3
1 3 1 1 11( 4) ( ) 2 5 3 5 30PPABAB +  + 
33
1 1 1( 6) ( ) 2 5 10PPAB 
分布列
 0 1 2 3 4 6
P 30
1
6
1
5
1
15
2
30
11
10
1

30
91
10
1630
11415
235
126
1130
10)( +++++ E数学期
22．解析（Ⅰ） Y 表示日销量 (100)(000600040002)5006apY++≥
(50)000350015bpY
A 代表连续 2 日销量低 100 日销量低 50
2()20108pAaabbaaab+ 求时间概率 0 1 0 8 ．
（Ⅱ） X 取 0123．（Ⅰ）知日销量低 100 概率 0 6 ~ ( 3 0 6 )a X B ．
∴ 003
3(0)(1)0064pxCaa 112
3(1)(1)0288pxCaa
2 2 1
3( 2) (1 ) 0432p x C a a 3 3 0
3( 3) (1 ) 0216p x C a a
分布列
X 0 1 2 3
P 0064 0288 0432 0216
∴ 3 06 18EX na  (1 ) 072DX na a．
23．解析：（1） 127 2nn 12028 008ff
（2）样频率分布直方图

（3）根样频率分布直方图日加工零件数落区间（3035］概率 0．2
设取 4 中日加工零件数落区间（3035］数 ~ (4 02)B
4( 1) 1 ( 0) 1 (1 02) 1 04096 05904PP − − − −
4 中少 1 日加工零件数落区间（3050］概率约 0．5904．
24．解析： A 表示甲 4 局（含 4 局）赢赛 kA 表示第k 局甲获胜

kB 表示第 k 局乙获胜 21()()1234533kkPAPBk
（Ⅰ） 121231234()()()()PAPA APBAAPA BAA++
121231234()()()()()()(()()
22122212256
33333333381
PAPAPBPAPAPAPBAPA++
++

（Ⅱ） X 取值 2345
12121212
5(2)()()()()()() 9PXPA APB BPAPAPBPB++
123123123123
2(3)()()()()()()()() 9PXP B A APA B BP BPAPAPAP BP B++
12341234(4)()()PXPA BAAPBABB+
12341234
10()()()()()()()() 81PAPBPAPAPBPAPBPB+
8(5)1(2)(3)(4) 81PXPXPXPX−−−
分布列
2 3 4 5
P 5
9 2
9 10
81 8
81
∴ 5 2 10 8 2242 3 4 59 9 81 81 81EX  +  +  +  ．
25．解析解法（1）设第次取出 4 件产品中恰 3 件优质品事件 1A．第次取
出 4 件产品全优质品事件 2A第二次取出 4 件产品优质品事件 1B第
二次取出 1 件产品事件 2B批产品通检验事件题意 A ()1 1 2 2()ABAB
11AB 22AB互斥 ()()1 1 2 2()PAPABPAB+
1 1 1 2 2()()()PAPBAPBA+||4 1 1 1 3
16 16 16 2 64  +  ．
（2）X 取值 400500800
4 1 11( 400) 1 16 16 16PX − − 1( 500) 16PX 1( 800) 4PX X
分布列
X 400 500 800

P 11
16 1
16 1
4
11114005008005062516164EX ++
解法二 （1）设第次取出 4 件产品中恰 3 件优质品事件 A第次取出 4 件
产品中全优质品事件 B第二次取出 4 件产品优质品事件 C第二次取出
1 件产品优质品事件 D批产品通检验事件 E根题意 E(AB)∪(CD)
AB CD 互斥
∴P(E)P(AB)+P(CD)P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C) 324
4
1 1 1( ) ( )2 2 2C  + 411()22 3
64
（2）X 取值 400500800
P(X400)1 334
4
1 1 1( ) ( )2 2 2C − P(X500) P(X800) 33
4
11()22C 
∴X 分布列
X 400 500 800
P
EX400× +500× +800× 50625．
26．解析设 iA 表示事件 3 月i 日达该市()123 13i 
根题意 () 1
13iPA ()ijA A i j
（Ⅰ）设 B 事件达日空气重度污染 58BAA ．
()()()()5 8 5 8
2
13PBPAAPAPA + ．
（Ⅱ）题意知 X 取值012
()()3 6 7 111PXPAAAA
3 6 7 11
4()()()() 13PAPAPAPA
()()1 2 12 132PXPAAAA
1 2 12 13
4()()()() 13PAPAPAPA
()()() 50 1 1 2 13PXPXPX − −
分布列

X 0 1 2
P 5
13 4
13
期 5441201213131313EX ++ ．
（Ⅲ） 3 月 3 日开始连续三天空气质量指数方差．
27．解析（1） 16n 时 1 6 ( 1 0 5 ) 8 0y  −
15n 时 55(16)1080ynnn−−−
： 1080(15) ()80(16)
nnynN n
−


（2）（ i） X 取 60 70 80 (60)01(70)02(80)07PXPXPX
分布列

P 01 02 07
60 01 70 02 80 07 76EX  +  + 
2 2 216 01 6 02 4 07 44DX  +  + 
（ii）购进 17 枝时天利润
(14 5 3 5) 01 (15 5 2 5) 02y  −   +  −  
(16 5 1 5) 016 17 5 054 764+  −   +  
764 76 ：应购进 17 枝
28．解析：（Ⅰ）记：该射手恰命中次事件 A该射手射击甲靶命中事件
B 该射手第次射击乙靶命中事件 C该射手第二次射击乙靶命中事件 D
题意知 3() 4PB 2()() 3PCPD A BCD BCD BCD + +
()()PA PBCD BCD BCD + + 7
36

（Ⅱ） 543210X
9
1
3
2
3
1
4
1)2(12
1)3
1(4
3)1(36
1)3
1(4
1)0( 1
2
22  CXPXPXP
3
1)3
2(4
3)5(9
1)3
2(4
1)4(3
1
3
2
3
1
4
3)3( 221
2  XPXPCXP

X 0 1 2 3 4 5
P
36
1
12
1
9
1
3
1
EX0× +1× +2× +3× +4× +5×
12
5312
41
29．解析（I）设甲品牌轿车首次出现障发生保修期事件 A
2 3 1() 5 0 1 0PA +
（II）题意 1X 2X 分布列分：
1 2 3 18 29
P 1
25 3
50 9
10 1
10
（III）（II） 1
139()123286255010EX ++ （万元 ）
2
19()18292791010EX + （万元 ）
∵ 12()()EXEX
∴应生产甲品牌轿车．
30．解析（Ⅰ） X8 时茎叶图知乙组学植树棵数：88910
均数 8 8 9 10 3544x + + +
方差
16
11])4
3510()4
359()4
358()4
358[(4
1 22222 −+−+−+−s
（Ⅱ） X9 时茎叶图知甲组学植树棵树：991111乙组
学植树棵数：98910分甲乙两组中机选取名学 4×416
种结果两名学植树总棵数 Y 取值 1718192021 事件
Y17等价甲组选出学植树 9 棵乙组选出学植树 8 棵该事件
2 种结果 P（Y17） 8
1
16
2
理 4
1)18( YP4
1)19( YP8
1)21(4
1)20( YPYP
机变量 Y 分布列：
Y 17 18 19 20 21

P
8
1
4
1
EY17×P（Y17）+18×P（Y18）+19×P（Y19）+20×P（Y20）+21×P（Y21）
17× +18× +19× +20× +21× 19
31．解析：（1）X 取值：01234
14
44
4
5
()(01234)
iCCPXii C
−


X 0 1 2 3 4
P 1
70 16
70 36
70
（2）令 Y 表示新录员工月工资 Y 取值 210028003500
1( 3500) ( 4) 70
8( 2800) ( 3) 35
53( 2100) ( 2) 70
1 16 533500 2800 2100 228070 70 70
PYPX
PYPX
PYPX
EY



 +  + 


新录员工月工资期 2280 元．


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