第章 概率基概念
§2.样空间机事件
1.事件间关系 称事件B包含事件A指事件A发生必然导致事件B发生
称事件A事件B事件指仅AB中少发生时事件发生
称事件A事件B积事件指AB时发生时事件发生
称事件A事件B差事件指仅A发生B发生时事件发生
称事件AB互相容互斥指事件A事件B时发生基事件两两互相容
称事件A事件B互逆事件称事件A事件B互立事件
2.运算规 交换律
结合律
分配律
徳摩根律
§3.频率概率
定义 相条件进行n次试验n次试验中事件A发生次数称事件A发生频数值称事件A发生频率
概率:设E机试验S样空间E事件A赋予实数记P(A)称事件概率
1.概率满足列条件:
(1)非负性:事件A
(2)规范性:必然事件S
(3)列加性:设两两互相容事件(取)
2.概率重性质:
(i)
(ii)两两互相容事件(取)
(iii)设AB两事件
(iv)意事件A
(v) (逆事件概率)
(vi)意事件AB
§4等概型(古典概型)
等概型:试验样空间包含限元素试验中事件发生性相
事件A包含k基事件里
§5.条件概率
(1) 定义:设AB两事件称事件A发生条件事件B发生条件概率
(2) 条件概率符合概率定义中三条件
1非负性:某事件B
2规范性:必然事件S
3列加性:设两两互相容事件
(3) 法定理 设称法公式
(4) 全概率公式:
贝叶斯公式:
§6.独立性
定义 设AB两事件果满足等式称事件AB相互独立
定理 设AB两事件AB相互独立
定理二 事件AB相互独立列事件相互独立:A
第二章 机变量分布
§1机变量
定义 设机试验样空间定义样空间S实值单值函数称机变量
§2离散性机变量分布律
1. 离散机变量:机变量全部取值限列限种机变量称离散型机变量
满足两条件(1)(2)1
2. 三种重离散型机变量
(1)01分布
设机变量X取01两值分布律称X服p参数01分布两点分布
(2)伯努利实验二项分布
设实验E两结果:A称E伯努利实验设时E独立重复进行n次称串重复独立实验n重伯努利实验
满足条件(1)(2)1注意
二项式展开式中出现项称机变量X服参数np二项分布
(3)泊松分布
设机变量X取值012…取值概率 中常数称X服参数泊松分布记
§3机变量分布函数
定义 设X机变量x意实数函数
称X分布函数
分布函数具性质(1) 减函数 (2) (3)
§4连续性机变量概率密度
连续机变量:果机变量X分布函数F(x)存非负积函数意函数x称x 连续性机变量中函数f(x)称X概率密度函数简称概率密度
1 概率密度具性质满足(1)
(3)(4)点x处连续
2三种重连续型机变量
(1)均匀分布
连续性机变量X具概率密度成X区间(ab)服均匀分布记
(2)指数分布
连续性机变量X概率密度 中常数称X服参数指数分布
(3)正态分布
连续型机变量X概率密度正态分布高斯分布记
特时称机变量X服标准正态分布
§5机变量函数分布
定理 设机变量X具概率密度设函数处处导恒Y连续型机变量概率密度
第三章 维机变量
§1二维机变量
定义 设E机试验样空间定义S机变量称机变量构成量(XY)做二维机变量
设(XY)二维机变量意实数xy二元函数称二维机变量(XY)分布函数
果二维机变量(XY)全部取值限列限称(XY)离散型机变量
称二维离散型机变量(XY)分布律
二维机变量(XY)分布函数果存非负积函数f(xy)意xy称(XY)连续性机变量函数f(xy)称机变量(XY)概率密度称机变量XY联合概率密度
§2边缘分布
二维机变量(XY)作整体具分布函数XY机变量分布函数分记次称二维机变量(XY)关X关Y
边缘分布函数
分称(XY)关X关Y边缘分布律
分称XY关X关Y边缘概率密度
§3条件分布
定义 设(XY)二维离散型机变量固定j
称条件机变量X条件分布律样条件机变量X条件分布律
设二维离散型机变量(XY)概率密度(XY)关Y边缘概率密度固定y〉0称Yy条件X条件概率密度记
§4相互独立机变量
定义 设分二维离散型机变量(XY)分布函数边缘分布函数xy称机变量XY相互独立
二维正态机变量(XY)XY相互独立充条件参数
§5两机变量函数分布
1ZX+Y分布
设(XY)二维连续型机变量具概率密度ZX+Y连续性机变量概率密度
XY相互独立设(XY)关XY边缘密度分 两公式称卷积公式
限相互独立正态机变量线性组合然服正态分布
2
设(XY)二维连续型机变量具概率密度
连续性机变量概率密度分XY相互独立设(XY)关XY边缘密度分化
3
设XY两相互独立机变量分布函数分z等价XYzXY相互独立分布函数
分布函数
第四章 机变量数字特征
§1.数学期
定义 设离散型机变量X分布律k12…级数绝收敛称级数机变量X数学期记
设连续型机变量X概率密度积分绝收敛称积分
值机变量X数学期记
定理 设Y机变量X函数Y(g连续函数)
(i)果X离散型机变量分布律k12…绝收敛
(ii)果X连续型机变量分概率密度绝收敛
数学期重性质
1设C常数
2设X机变量C常数
3设XY两机变量
4设XY相互独立机变量
§2方差
定义 设X机变量存称X方差记D(x)D(x)应引入量记称标准差均方差
方差重性质
1设C常数
2设X机变量C常数
3设XY两机变量特XY相互独立
4充条件X概率1取常数
切雪夫等式:设机变量X具数学期意正数等式
成立
§3协方差相关系数
定义 量称机变量XY协方差
称机变量XY相关系数
意两机变量X Y
协方差具述性质
1
2
定理 1
2 充条件存常数ab
0时称XY相关
附:种常概率分布表
分布
参数
分布律概率密度
数学期
方差
两点分布
二项式分布
泊松分布
分布
均匀分布
指数分布
正态分布
第五章 数定律中心极限定理
§1. 数定律
弱数定理(辛欣数定理) 设X1X2…相互独立服统分布机变量序列具数学期作前n变量算术均意
定义 设机变量序列a常数意正数称序列概率收敛a记
伯努利数定理 设n次独立重复试验中事件A发生次数p事件A次试验中发生概率意正数〉0
§2中心极限定理
定理(独立分布中心极限定理) 设机变量相互独立服分布具数学期方差(k12…)机变量
定理二(李雅普诺夫定理) 设机变量…相互独立具数学期方差记
定理三(棣莫弗拉普拉斯定理)设机变量)二项分布意
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