2021年全国统高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）
省份：海南､辽宁､重庆
､选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1 复数复面应点象限（ ）
A 第象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
答案A
解析
分析利复数法化简求应点位置
详解该复数应点
该点第象限
选：A
2 设集合（ ）
A B C D
答案B
解析
分析根交集补集定义求
详解题设
选：B
3 抛物线焦点直线距离（ ）
A 1 B 2 C D 4
答案B
解析
分析首先确定抛物线焦点坐标然结合点直线距离公式值
详解抛物线焦点坐标
直线距离：
解：(舍)
选：B
4 北斗三号全球卫星导航系统国航天事业重成果．卫星导航系统中球静止步卫星轨道位球赤道面轨道高度（轨道高度指卫星球表面距离）．球作球心O半径r球点A纬度指赤道面成角度数．球表面直接观测颗球静止步轨道卫星点纬度值记卫星信号覆盖球表面表面积（单位：）S占球表面积百分约（ ）
A 26 B 34 C 42 D 50
答案C
解析
分析题意结合表面积公式球表面积公式整理计算求终结果
详解题意S占球表面积百分约：
选：C
5 正四棱台､底面边长分24侧棱长2体积（ ）
A B C D
答案D
解析
分析四棱台特征算出该体高底面面积棱台体积公式解
详解作出图形连接该正四棱台底面中心图
该四棱台底面边长分24侧棱长2
该棱台高
底面面积底面面积
该棱台体积
选：D
6 某物理量测量结果服正态分布列结中正确（ ）
A 越该物理量次测量中概率越
B 越该物理量次测量中10概率05
C 越该物理量次测量中9991001概率相等
D 越该物理量次测量中落落概率相等
答案D
解析
分析正态分布密度曲线特征逐项判断解
详解A数方差越数附越集中测量结果落概率越A正确
B正态分布密度曲线称性知该物理量次测量10概率B正确
C正态分布密度曲线称性知该物理量次测量结果概率概率相等C正确
D该物理量次测量结果落概率落概率次测量结果落概率落概率D错误
选：D
7 已知列判断正确（ ）
A B C D
答案C
解析
分析数函数单调性较关系出结
详解
选：C
8 已知函数定义域偶函数奇函数（ ）
A B C D
答案B
解析
分析推导出函数周期周期函数已知条件出结合已知条件出结
详解函数偶函数
函数奇函数
函数周期周期函数
函数奇函数
三选项未知
选：B
二､选择题：题4题题5分20分．题出选项中项符合题目求．全部选5分部分选2分选错0分．
9 列统计量中度量样离散程度（ ）
A 样标准差 B 样中位数
C 样极差 D 样均数
答案AC
解析
分析考查选项考查数离散程度考查数集中趋势确定正确选项
详解标准差定义知标准差考查数离散程度
中位数定义知中位数考查数集中趋势
极差定义知极差考查数离散程度
均数定义知均数考查数集中趋势
选：AC
10 图正方体中O底面中心P棱中点MN正方体顶点．满足（ ）
A B
C D
答案BC
解析
分析根线面垂直判定定理BC正误移直线构造考虑线线角判断AD正误
详解设正方体棱长
A图（1）示连接
（补角）异面直线成角
直角三角形
成立A错误
B图（2）示取中点连接
正方体面面
面
面
面面B正确
C图（3）连接B判断
C正确
D图（4）取中点中点连接
补角异面直线成角
正方体棱长2
直角
垂直D错误
选：BC
11 已知直线圆点列说法正确（ ）
A 点A圆C直线l圆C相切 B 点A圆C直线l圆C相离
C 点A圆C外直线l圆C相离 D 点A直线l直线l圆C相切
答案ABD
解析
分析转化点圆点直线位置关系关系结合点直线距离直线圆位置关系解
详解圆心直线l距离
点圆C
直线l圆C相切A正确
点圆C
直线l圆C相离B正确
点圆C外
直线l圆C相交C错误
点直线l
直线l圆C相切D正确
选：ABD
12 设正整数中记．（ ）
A B
C D
答案ACD
解析
分析利定义判断ACD选项正误利特殊值法判断B选项正误
详解A选项
A选项正确
B选项取
B选项错误
C选项
C选项正确
D选项D选项正确
选：ACD
三､填空题：题4题题5分20分．
13 已知双曲线离心率2该双曲线渐线方程_______________
答案
解析
分析双曲线离心率公式渐线方程解
详解双曲线离心率2
该双曲线渐线方程
答案：
点睛题考查双曲线离心率应渐线求解考查运算求解力属基础题
14 写出时具列性质①②③函数_______．
①②时③奇函数．
答案（答案唯均满足）
解析
分析根幂函数性质求
详解取满足①
时满足②
定义域
奇函数满足③
答案：（答案唯均满足）
15 已知量_______．
答案
解析
分析已知展开化简结果
详解已知
答案：
16 已知函数函数图象点点两条切线互相垂直分交y轴MN两点取值范围_______．
答案
解析
分析结合导数意义结合直线方程两点间距离公式化简解
详解题意
点点
理
答案：
点睛关键点点睛：
解决题关键利导数意义转化条件消变量运算解
四､解答题：题6题70分．解答应写出文字说明､证明程演算步骤．
17 记公差0等差数列前n项．
（1）求数列通项公式
（2）求成立n值．
答案(1)(2)7
解析
分析(1)题意首先求值然结合题意求数列公差确定数列通项公式
(2)首先求前n项表达式然求解二次等式确定n值
详解(1)等差数列性质：：
设等差数列公差：
：公差零：
数列通项公式：
(2)数列通项公式：：
等式：整理：
解：正整数值
点睛等差数列基量求解等差数列中类基问题解决类问题关键熟练掌握等差数列关公式灵活运
18 中角边长分．
（1）求面积
（2）否存正整数钝角三角形存求出值存说明理．
答案（1）（2）存
解析
分析（1）正弦定理出结合已知条件求出值进步求值利余弦定理角三角函数基关系求出利三角形面积公式求结果
（2）分析知角钝角结合三角形三边关系求整数值
详解（1）
锐角
（2）显然钝角三角形钝角
余弦定理
解
三角形三边关系
19 四棱锥中底面正方形．
（1）证明：面面
（2）求二面角面角余弦值．
答案（1）证明见解析（2）
解析
分析（1）取中点连接证面面面
（2）面作交建图示空间坐标系求出面面法量求二面角余弦值
详解
（1）取中点连接
正方形中
直角三角形
面
面面面
（2）面作交
结合（1）中面建图示空间坐标系
设面法量
取
面法量
二面角面角锐角余弦值
20 已知椭圆C方程右焦点离心率．
（1）求椭圆C方程
（2）设MN椭圆C两点直线曲线相切．证明：MNF三点线充条件．
答案（1）（2）证明见解析
解析
分析（1）离心率公式进解
（2）必性：三点线直线圆相切直线方程联立直线椭圆方程证
充分性：设直线直线圆相切联立直线椭圆方程结合弦长公式进解
详解（1）题意椭圆半焦距
椭圆方程
（2）（1）曲线
直线斜率存时直线合题意
直线斜率存时设
必性：
MNF三点线设直线
直线曲线相切解
联立
必性成立
充分性：设直线
直线曲线相切
联立
化简
直线
直线点MNF三点线充分性成立
MNF三点线充条件．
点睛关键点点睛：
解决题关键直线方程椭圆方程联立韦达定理应注意运算准确性解题重中重
21 种微生物群体身繁殖断生存设种微生物第0代次繁殖第1代次繁殖第2代……该微生物代繁殖数相互独立相分布列设X表示1微生物体繁殖代数．
（1）已知求
（2）设p表示该种微生物代繁殖灭绝概率p关x方程：正实根求证：时时
（3）根理解说明（2）问结实际含义．
答案（1）1（2）见解析（3）见解析
解析
分析（1）利公式计算
（2）利导数讨函数单调性结合极值点范围正零点
（3）利期意义根范围相应理解说明
详解（1）
（2）设
两零点
时时
增函数减函数
增函数
时减函数
正实根
减函数1正实根
综
时
两零点
时时
增函数减函数
存零点
正实根时
时
（3）意义：该种微生物繁殖代均数超1干代必然灭绝繁殖代均数超1干代灭绝概率1
22 已知函数．
（1）讨单调性
（2）面两条件中选证明：零点
①
②．
答案(1)答案见解析(2)证明见解析
解析
分析(1)首先求导函数解析式然分类讨确定函数单调性
(2)题意结合(1)中函数单调性函数零点存定理证题中结
详解(1)函数解析式：
时单调递减
单调递增
时单调递增
单调递减
单调递增
时单调递增
时单调递增
单调递减
单调递增
(2)选择条件①：
函数区间单调递增函数区间零点
结合函数单调性知函数区间没零点
综题中结成立
选择条件②：
时
函数区间单调递增函数区间零点
时构造函数
时单调递减
时单调递增
注意恒成立：时：
时
取
：
函数区间单调递增函数区间零点
结合函数单调性知函数区间没零点
综题中结成立
点睛导数研究函数单调性极值(值)效工具函数高中数学中重知识点历届高考中导数应考查非常突出导数应考查角度进行：(1)考查导数意义解析微积分相联系．(2)利导数求函数单调区间判断单调性已知单调性求参数．(3)利导数求函数值(极值)解决生活中优化问题．(4)考查数形结合思想应．
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省份：海南､辽宁､重庆
､选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1 复数复面应点象限（ ）
A 第象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
答案A
解析
分析利复数法化简求应点位置
详解该复数应点
该点第象限
选：A
2 设集合（ ）
A B C D
答案B
解析
分析根交集补集定义求
详解题设
选：B
3 抛物线焦点直线距离（ ）
A 1 B 2 C D 4
答案B
解析
分析首先确定抛物线焦点坐标然结合点直线距离公式值
详解抛物线焦点坐标
直线距离：
解：(舍)
选：B
4 北斗三号全球卫星导航系统国航天事业重成果．卫星导航系统中球静止步卫星轨道位球赤道面轨道高度（轨道高度指卫星球表面距离）．球作球心O半径r球点A纬度指赤道面成角度数．球表面直接观测颗球静止步轨道卫星点纬度值记卫星信号覆盖球表面表面积（单位：）S占球表面积百分约（ ）
A 26 B 34 C 42 D 50
答案C
解析
分析题意结合表面积公式球表面积公式整理计算求终结果
详解题意S占球表面积百分约：
选：C
5 正四棱台､底面边长分24侧棱长2体积（ ）
A B C D
答案D
解析
分析四棱台特征算出该体高底面面积棱台体积公式解
详解作出图形连接该正四棱台底面中心图
该四棱台底面边长分24侧棱长2
该棱台高
底面面积底面面积
该棱台体积
选：D
6 某物理量测量结果服正态分布列结中正确（ ）
A 越该物理量次测量中概率越
B 越该物理量次测量中10概率05
C 越该物理量次测量中9991001概率相等
D 越该物理量次测量中落落概率相等
答案D
解析
分析正态分布密度曲线特征逐项判断解
详解A数方差越数附越集中测量结果落概率越A正确
B正态分布密度曲线称性知该物理量次测量10概率B正确
C正态分布密度曲线称性知该物理量次测量结果概率概率相等C正确
D该物理量次测量结果落概率落概率次测量结果落概率落概率D错误
选：D
7 已知列判断正确（ ）
A B C D
答案C
解析
分析数函数单调性较关系出结
详解
选：C
8 已知函数定义域偶函数奇函数（ ）
A B C D
答案B
解析
分析推导出函数周期周期函数已知条件出结合已知条件出结
详解函数偶函数
函数奇函数
函数周期周期函数
函数奇函数
三选项未知
选：B
二､选择题：题4题题5分20分．题出选项中项符合题目求．全部选5分部分选2分选错0分．
9 列统计量中度量样离散程度（ ）
A 样标准差 B 样中位数
C 样极差 D 样均数
答案AC
解析
分析考查选项考查数离散程度考查数集中趋势确定正确选项
详解标准差定义知标准差考查数离散程度
中位数定义知中位数考查数集中趋势
极差定义知极差考查数离散程度
均数定义知均数考查数集中趋势
选：AC
10 图正方体中O底面中心P棱中点MN正方体顶点．满足（ ）
A B
C D
答案BC
解析
分析根线面垂直判定定理BC正误移直线构造考虑线线角判断AD正误
详解设正方体棱长
A图（1）示连接
（补角）异面直线成角
直角三角形
成立A错误
B图（2）示取中点连接
正方体面面
面
面
面面B正确
C图（3）连接B判断
C正确
D图（4）取中点中点连接
补角异面直线成角
正方体棱长2
直角
垂直D错误
选：BC
11 已知直线圆点列说法正确（ ）
A 点A圆C直线l圆C相切 B 点A圆C直线l圆C相离
C 点A圆C外直线l圆C相离 D 点A直线l直线l圆C相切
答案ABD
解析
分析转化点圆点直线位置关系关系结合点直线距离直线圆位置关系解
详解圆心直线l距离
点圆C
直线l圆C相切A正确
点圆C
直线l圆C相离B正确
点圆C外
直线l圆C相交C错误
点直线l
直线l圆C相切D正确
选：ABD
12 设正整数中记．（ ）
A B
C D
答案ACD
解析
分析利定义判断ACD选项正误利特殊值法判断B选项正误
详解A选项
A选项正确
B选项取
B选项错误
C选项
C选项正确
D选项D选项正确
选：ACD
三､填空题：题4题题5分20分．
13 已知双曲线离心率2该双曲线渐线方程_______________
答案
解析
分析双曲线离心率公式渐线方程解
详解双曲线离心率2
该双曲线渐线方程
答案：
点睛题考查双曲线离心率应渐线求解考查运算求解力属基础题
14 写出时具列性质①②③函数_______．
①②时③奇函数．
答案（答案唯均满足）
解析
分析根幂函数性质求
详解取满足①
时满足②
定义域
奇函数满足③
答案：（答案唯均满足）
15 已知量_______．
答案
解析
分析已知展开化简结果
详解已知
答案：
16 已知函数函数图象点点两条切线互相垂直分交y轴MN两点取值范围_______．
答案
解析
分析结合导数意义结合直线方程两点间距离公式化简解
详解题意
点点
理
答案：
点睛关键点点睛：
解决题关键利导数意义转化条件消变量运算解
四､解答题：题6题70分．解答应写出文字说明､证明程演算步骤．
17 记公差0等差数列前n项．
（1）求数列通项公式
（2）求成立n值．
答案(1)(2)7
解析
分析(1)题意首先求值然结合题意求数列公差确定数列通项公式
(2)首先求前n项表达式然求解二次等式确定n值
详解(1)等差数列性质：：
设等差数列公差：
：公差零：
数列通项公式：
(2)数列通项公式：：
等式：整理：
解：正整数值
点睛等差数列基量求解等差数列中类基问题解决类问题关键熟练掌握等差数列关公式灵活运
18 中角边长分．
（1）求面积
（2）否存正整数钝角三角形存求出值存说明理．
答案（1）（2）存
解析
分析（1）正弦定理出结合已知条件求出值进步求值利余弦定理角三角函数基关系求出利三角形面积公式求结果
（2）分析知角钝角结合三角形三边关系求整数值
详解（1）
锐角
（2）显然钝角三角形钝角
余弦定理
解
三角形三边关系
19 四棱锥中底面正方形．
（1）证明：面面
（2）求二面角面角余弦值．
答案（1）证明见解析（2）
解析
分析（1）取中点连接证面面面
（2）面作交建图示空间坐标系求出面面法量求二面角余弦值
详解
（1）取中点连接
正方形中
直角三角形
面
面面面
（2）面作交
结合（1）中面建图示空间坐标系
设面法量
取
面法量
二面角面角锐角余弦值
20 已知椭圆C方程右焦点离心率．
（1）求椭圆C方程
（2）设MN椭圆C两点直线曲线相切．证明：MNF三点线充条件．
答案（1）（2）证明见解析
解析
分析（1）离心率公式进解
（2）必性：三点线直线圆相切直线方程联立直线椭圆方程证
充分性：设直线直线圆相切联立直线椭圆方程结合弦长公式进解
详解（1）题意椭圆半焦距
椭圆方程
（2）（1）曲线
直线斜率存时直线合题意
直线斜率存时设
必性：
MNF三点线设直线
直线曲线相切解
联立
必性成立
充分性：设直线
直线曲线相切
联立
化简
直线
直线点MNF三点线充分性成立
MNF三点线充条件．
点睛关键点点睛：
解决题关键直线方程椭圆方程联立韦达定理应注意运算准确性解题重中重
21 种微生物群体身繁殖断生存设种微生物第0代次繁殖第1代次繁殖第2代……该微生物代繁殖数相互独立相分布列设X表示1微生物体繁殖代数．
（1）已知求
（2）设p表示该种微生物代繁殖灭绝概率p关x方程：正实根求证：时时
（3）根理解说明（2）问结实际含义．
答案（1）1（2）见解析（3）见解析
解析
分析（1）利公式计算
（2）利导数讨函数单调性结合极值点范围正零点
（3）利期意义根范围相应理解说明
详解（1）
（2）设
两零点
时时
增函数减函数
增函数
时减函数
正实根
减函数1正实根
综
时
两零点
时时
增函数减函数
存零点
正实根时
时
（3）意义：该种微生物繁殖代均数超1干代必然灭绝繁殖代均数超1干代灭绝概率1
22 已知函数．
（1）讨单调性
（2）面两条件中选证明：零点
①
②．
答案(1)答案见解析(2)证明见解析
解析
分析(1)首先求导函数解析式然分类讨确定函数单调性
(2)题意结合(1)中函数单调性函数零点存定理证题中结
详解(1)函数解析式：
时单调递减
单调递增
时单调递增
单调递减
单调递增
时单调递增
时单调递增
单调递减
单调递增
(2)选择条件①：
函数区间单调递增函数区间零点
结合函数单调性知函数区间没零点
综题中结成立
选择条件②：
时
函数区间单调递增函数区间零点
时构造函数
时单调递减
时单调递增
注意恒成立：时：
时
取
：
函数区间单调递增函数区间零点
结合函数单调性知函数区间没零点
综题中结成立
点睛导数研究函数单调性极值(值)效工具函数高中数学中重知识点历届高考中导数应考查非常突出导数应考查角度进行：(1)考查导数意义解析微积分相联系．(2)利导数求函数单调区间判断单调性已知单调性求参数．(3)利导数求函数值(极值)解决生活中优化问题．(4)考查数形结合思想应．
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