.选择题:
1.正方体三顶点构成正三角形数( )
A.4 B.8 C.12 D.24
2.设abc均非零复数值( )
A.1 B.±ω C.1ωω2 D.1-ω-ω2
3.设a正整数a<100a3+2324整样a数( )
A.4 B.5 C.9 D.10
4.设函数yf(x)切实数x满足f(3+x)f(3-x).方程f(x)0恰6实数根6实根( )
A.18 B.12 C.9 D.0
5.设S{(xy)|x2-y2奇数xy∈R}T{(xy)|sin(2πx2)-sin(2πy2)cos(2πx2)-cos(2πy2)xy∈R}( )
A.ST B.TS C.ST D.S∩TØ
6.方程|x-y2|1-|x|图象( )
二.填空题:
1.cos210°+cos250°-sin40°sin80° .
2.△ABC中已知三角ABC成等差数列假设边分abcc-a等AC边高hsin .
3.正奇数集合{135…}第n组(2n-1)奇数进行分组:
{1} {357} {911131517}……
(第组) (第二组) (第三组)
1991位第 组.
4.19912000106余数 .
5.设复数z1z2满足|z1||z1+z2|3|z1-z2|3log3|(z1)2000+(z2)2000| .
6.设集合M{12…1000}现M中非空子集X令αX表示X中数数.样αX算术均值 .
三.设正三棱锥P—ABC高POMPO中点AM作棱BC行面三棱锥截两部分试求两部分体积.[源学*科*网]
四.设O抛物线顶点F焦点PQF弦.已知|OF|a|PQ|B.求△OPQ面积.
五.已知0 loga(ax+ay)≤loga2+.
1991年全国高中数学联赛二试题
.设S{12…n}A少含两项公差正等差数列项S中添加S元素A构成A相公差等差数列.求种A数(里两项数列作等差数列).
二.设凸四边形ABCD面积1求证:边(包括顶点)部找出四点中意三点顶点构成四三角形面积.
三.设an述然数N数:N位数字n位数字取134.求证:a2n完全方数.里n12….
1991年全国高中数学联赛解答
第试
.选择题:
1.正方体三顶点构成正三角形数( )
A.4 B.8 C.12 D.24
答案B
解析正方形顶点应着正三角形.选B
3.设a正整数a<100a3+2324整样a数( )
A.4 B.5 C.9 D.10
答案B
解析24|a3-1a≡0±1±2±34a3≡0±10±30.a-1≡0(mod 8).
a≡012(mod 3)a3≡01-1(mod 3)∴ a-1≡0(mod 3).a-1≡0(mod 24).选B.
5.设S{(xy)|x2-y2奇数xy∈R}T{(xy)|sin(2πx2)-sin(2πy2)cos(2πx2)-cos(2πy2)xy∈R}( )
A.ST B.TS C.ST D.S∩TØ
答案A
解析x2-y2奇数sin(2πx2)-sin(2πy2)cos(2πx2)-cos(2πy2)成立SÍT.
xy时sin(2πx2)-sin(2πy2)cos(2πx2)-cos(2πy2)成立ST选A.
6.方程|x-y2|1-|x|图象( )
答案D
解析∵ |x-y2|方程等价
选D.
2.△ABC中已知三角ABC成等差数列假设边分abcc-a等AC边高hsin .
3.正奇数集合{135…}第n组(2n-1)奇数进行分组:
{1}{357}{911131517}……
(第组) (第二组) (第三组)
1991位第 组.
答案32
解析1+3+…+(2n-1)n2第n组数2n2-1解2(n-1)2-1+2≤1991≤2n2-1n32.第32组.
5.设复数z1z2满足|z1||z1+z2|3|z1-z2|3log3|(z1)2000+(z2)2000| .
答案4000
解析|z1+z2|2+|z1-z2|22(|z1|2+|z2|2)|z2|3.|z1||z2||z1+z2|3argz1-argz2±120°.
∴|(z1)2000+(z2)2000|2×34000|cos(120°×2000)|34000.log3|(z1)2000+(z2)2000|4000.
三.设正三棱锥P—ABC高POMPO中点AM作棱BC行面三棱锥截两部分试求两部分体积.
解析
MPO中点延长AOBC交点DDBC中点连PDAM面PAD延长AMPD相交设交点F.题中截面面PBC交F直线GHGH分PBPC.BC∥截面AGH∴GH∥BC.
面PAD中△POD直线AF截··11∴.
∴ ∴Þ.截面分三棱锥成两部分成顶点A两棱锥A—PGHA—HGBC.二者体积4∶21.
第二试
.设S{12…n}A少含两项公差正等差数列项S中添加S元素A构成A相公差等差数列.求种A数(里两项数列作等差数列).
解法二:k[]样数列A必连续两项项{12…k}中{k+1k+2…n}中反两集合中取数差公差构成A样数列
n2k时样A数k2n2n2k+1时样A数k(k+1) (n2-1).
∴ 样数列[n2].
[源ZxxkCom]
二.设凸四边形ABCD面积1求证:边(包括顶点)部找出四点中意三点顶点构成四三角形面积.
解析证明:考虑四边形四顶点ABCD△ABC△BCD△CDA△DAB面积设中面积三角形△ABD.
⑴ S△ABC>ABCD求.
⑵ S△ABD
⑶ S△ABD余三三角形面积均> S△ABD.
S△ABC+S△ACD1S△ACD>S△ABC
∵ S△ABC>S△ABDS△ABE>S△ABD.S△ACES△ABE>S△BCES△ABC>.ABCE四点求.
⑷ S△ABD余三三角形中面积三角形△BCD(否ABCD面积)妨设S△ADC S△ABD.AD∥BC四边形ABCD梯形.
S△ABDS△ABCADaBC3a设梯形高h
2ah1.设角线交OO作EF∥BC分交ABCDEF.
三.设an述然数N数:N位数字n位数字取134.求证:a2n完全方数.里n12….
解析证明:设N中x1x2…xk∈{134}.x1+x2+…+xkn.假定n>4.删xk时xk次取134时x1+x2+…+xk-1分等n-1n-3n-4.n>4时
anan-1+an-3+an-4. ①
a1a21a32a44
利①初始值表:[源ZxxkCom]
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9[源学科网]
10
11
12
13
14
……
an
1
1
2
4
6
9
15
25
40
64
104
169
273
441
……
规律
1
12
1´2
22
2´3
32
3´5
52
5´8
82
8´13
132
13´21
212
……
找规律:
a2(k+1)a2k+1+a2k-1+a2k-2fkfk+1+fk-1fk+f fkfk+1+fk-1(fk+fk-1)
fkfk+1+fk-1fk+1fk+1(fk-1+fk)fk+1fk+1f
a2(k+1)+1a2(k+1)+a2k+a2k-1 f+f+fk-1fk f+fk(fk+fk-1) f+fkfk+1fk+1(fk+1+fk)fk+2fk+1.
证明2:(特征方程)证①式a1a21a32a44
差分方程:λ4-λ3-λ-10. Þ(λ2+1)(λ2-λ-1)0.方程根λ±iλ.
∴ 令anαin+β(-i)n+γ()2+d()2
利初值求出an·in+·(-i)n+()n+2+()n+2.
∴ a2n{[()n+1-()n+1]}2.
a2nbn[2(-1)n+()n +1+()n+1] [()2(n+1)+()2(n+1)-2()n+1()n+1]
{[()n+1-()n+1]}2.
记fn[()n+1-()n+1]特征根m12.特征方程m2-m-10.递推关系fnfn-1+fn-2.
f01f11均正整数切正整数nfn正整数.a2n完全方数.
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