1.(2014·新课标全国Ⅱ理)设F抛物线C:y2=3x焦点F倾斜角30°直线交CAB两点O坐标原点△OAB面积( )
A B
C D
答案 D
解析 先求直线AB方程抛物线方程联立组成方程组化简利根系数关系求解.
已知焦点坐标F(0)直线AB方程y=(x-)4x-4y-3=0
方法:联立抛物线方程化简4y2-12y-9=0
|yA-yB|==6
S△OAB=|OF||yA-yB|=××6=
方法二:联立方程x2-x+=0
xA+xB=
根抛物线定义
|AB|=xA+xB+p=+=12
原点直线AB距离
h==
S△OAB=|AB|·h=
解:|AB|===12
S△ABO=·|OF|·|AB|·sinθ=··12·=
2.设O坐标原点F抛物线y2=4x焦点A抛物线点·=-4点A坐标( )
A.(2±2) B.(1±2)
C.(12) D.(22)
答案 B
解析 设A(x0y0)F(10)=(x0y0)
=(1-x0-y0)·=x0(1-x0)-y=-4
∵y=4x0∴x0-x-4x0+4=0⇒x+3x0-4=0x1=1x2=-4(舍).∴x0=1y0=±2
3.已知抛物线C:y2=8x点M(-22)C焦点斜率k直线C交AB两点.·=0k=( )
A B
C D.2
答案 D
解析 题意知抛物线C焦点坐标(20)直线AB方程y=k(x-2)代入y2=8xk2x2-4(k2+2)x+4k2=0设A(x1y1)B(x2y2)
x1+x2=x1x2=4①
⇒
∵·=0
∴(x1+2y1-2)·(x2+2y2-2)=0
∴(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0
x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0④
①②③④式解k=2选D
4(2015·河南豫东豫北十名校)图示抛物线x2=2py(p>0)焦点F直线l交抛物线AB两点交准线点C|BC|=|BF||AF|=4+2p值( )
A.1 B.2
C D.3
答案 B
解析 B作准线垂线BB′|BB′|=|BF||BC|=|BF|直线l倾斜角45°设A(x0y0)|AF|=4+2x0-=|AF|=2+2∴(2+2)+p=4+2∴p=2
5.(2015·江西重点中学盟校联考)已知抛物线C:y=x2-2原点动直线l交抛物线CAB两点PAB中点设动点P(xy)4x-y值( )
A.2 B.-2
C.4 D.-4
答案 A
解析 设直线l方程y=kx抛物线C方程y=x2-2联立消yx2-kx-2=0设A(x1y1)B(x2y2)x1+x2=kx=y=4x-y=2k-=-(k-2)2+2k=2时4x-y取值2
6(2015·湖南益阳模拟)图示已知直线l:y=k(x+1)(k>0)抛物线C:y2=4x相交AB两点AB两点抛物线C准线射影分MN|AM|=2|BN|k值( )
A B
C D.2
答案 C
解析 设A(x1y1)B(x2y2)联立方程组消xky2-4y+4k=0①
直线抛物线相交
Δ=42-4×k×4k=16(1-k2)>0(*)
y1y2方程①两根
|AM|=2|BN|y1=2y2④
解②③④组成方程组k=
k=代入(*)式检验等式成立.k=选C
7.设F抛物线y2=4x焦点ABC该抛物线三点++=0||+||+||=( )
A.9 B.6
C.4 D.3
答案 B
解析 焦点F坐标(10)设ABC坐标分A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3).
∴=(x1-1y1)=(x2-1y2)=(x3-1y3).
∵++=0
∴x1-1+x2-1+x3-1=0
∴x1+x2+x3=3
∴||+||+||
=++
=++
=x1+1+x2+1+x3+1=6
8.已知抛物线y2=4x点P(40)直线抛物线交A(x1y1)B(x2y2)两点y+y值________.
答案 32
解析 设直线方程x=ky+4抛物线联立
y2-4ky-16=0∴y1+y2=4ky1y2=-16
∴y+y=(y1+y2)2-2y1y2=16k2+32
值32
9图示直线l:y=x+b抛物线C:x2=4y相切点A
(1)求实数b值
(2)求点A圆心抛物C准线相切圆方程.
答案 (1)-1 (2)(x-2)2+(y-1)2=4
解析 (1)x2-4x-4b=0(*)
直线l抛物线C相切
Δ=(-4)2-4×(-4b)=0解b=-1
(2)(1)知b=-1方程(*)x2-4x+4=0
解x=2代入x2=4yy=1点A(21).
圆A抛物线C准线相切
圆A半径r等圆心A抛物线准线y=-1距离r=|1-(-1)|=2
圆A方程(x-2)2+(y-1)2=4
10图示斜率1直线抛物线y2=2px(p>0)焦点F抛物线交AB两点M抛物线弧AB动点.
(1)|AB|=8求抛物线方程
(2)求S△ABM值.
答案 (1)y2=4x (2)p2
解析 (1)条件知lAB:y=x-y2=2px联立消yx2-3px+p2=0x1+x2=3p抛物线定义|AB|=x1+x2+p=4p
|AB|=8p=2抛物线方程y2=4x
(2)方法:(1)知|AB|=4plAB:y=x-设M(y0)MAB距离d=
点M直线AB方-y0-<0
d====
y0=p时dmax=p
S△ABM值×4p×p=p2
方法二:(1)知|AB|=4plAB:y=x-设直线AB行抛物线相切直线方程y=x+m代入抛物线方程x2+2(m-p)x+m2=0Δ=4(m-p)2-4m2=0m=直线AB行抛物线相切直线方程y=x+两直线间距离d==p
S△ABM值×4p×p=p2
11.(2015·广东百高中联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F点K(-10)直线l抛物线C准线交点直线l抛线C相交AB两点.
(1)求抛物线C方程
(2)设·=求直线l方程.
答案 (1)y2=4x
(2)3x-4y+3=03x+4y+3=0
解析 (1)题意知-=-1解p=2
抛物线C方程y2=4x
(2)设A(x1y1)B(x2y2)设直线l方程x=my-1(m≠0).
x=my-1代入y2=4x整理y2-4my+4=0
Δ>0m2>1y1+y2=4my1y2=4
x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2
x1x2=(my1-1)(my2-1)=m2y1y2-m(y1+y2)+1=1
=(x1-1y1)=(x2-1y2)
·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2
8-4m2=解m=±满足m2>1
直线l方程x=±y-1
3x-4y+3=03x+4y+3=0
12.(2015·山东莱芜期末)已知抛物线C顶点坐标原点焦点F(0c)(c>0)直线y=2x距离
(1)求抛物线C方程
(2)直线y=kx+1(k≠0)抛物线C交AB两点设线段AB中垂线y轴交点P(0b)求实数b取值范围.
答案 (1)x2=2y (2)b∈(2+∞)
解析 (1)题意=c=
抛物线C方程x2=2y
(2)设A(x1y1)B(x2y2)x2-2kx-2=0Δ=4k2+8>0
x1+x2=2k线段AB中点坐标(kk2+1).
线段AB中垂线方程y=-(x-k)+k2+1
y=-x+k2+2
令x=0b=k2+2
b∈(2+∞).
1.面机器行进中始终保持点F(10)距离直线x=-1距离相等机器接触点P(-10)斜率k直线k取值范围________.
答案 (-∞-1)∪(1+∞)
解析 题意知机器轨迹抛物线轨迹方程y2=4x点P(-10)斜率k直线方程y=k(x+1)题意知直线抛物线交点联立消yk2x2+(2k2-4)x+k2=0Δ=(2k2-4)2-4k4<0k2>1k>1k<-1
2.抛物线y2=4x焦点F直线交该抛物线AB两点O坐标原点.|AF|=3△AOB面积( )
A B
C D.2
答案 C
解析 题意抛物线y2=4x焦点F(10)准线方程l:x=-1A点横坐标2妨设A(22)直线AB方程y=2(x-1)y2=4x联立2x2-5x+2=0B(-)S△AOB=S△AOF+S△BOF=×1×|yA-yB|=
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