第讲 光 学
§11 光学基础
1光直线传播：光均匀介质中直线传播
2光独立传播：束光交错时互妨碍原方传播
3光反射定律：
①反射光线入射光线法线决定面
A
B
S
S1
S2
S3
O
图121
②反射光线入射光线分居法线两侧
③反射角等入射角
4光折射定律：
①折射光线入射光线法线决定面
②折射光线入射光线分居法线两侧
③入射角折射角满足
④光光密介质光疏介质中传播入射角界角C时发生全面反射现象（折射率 光密介质折射率光疏介质界角）
§12 光反射
121组合面镜成：
S
S1
S2
S3
S4
S5
O
图122
1组合面镜 两面镜组成光学系统做组合面镜射组合面镜光线面镜间发生次反射会出现生成复现象先种较简单现象两面互相垂直面镜（交O点）镜间放点光源S（图121）S发出光线两面镜反射形成三虚方法难证明：三虚位O圆心OS半径圆SS间面镜（延长线）保持着
称关系方法容易确定较复杂情况中复数位置
两面面镜AOBO成60º角放置（图122）述规律容易确定位置：①O圆心OS半径作圆②S做AOBO垂线圆交③作BOAO垂线圆交④作AOBO垂线圆交便S
两面镜中5
图123
α
L1
L2
A
O
双镜面反射图123两镜面间夹角15ºOA10cmA点发出垂直光线射两镜间反复反射直光线行某镜面射出A点开始次反射点光线走路程少？
图124示光线第次反射反射线BC根面反射称性∠述均直线光线间反复反射光线直线传播等效设光线第n次反射入射点该次反射线射镜面n值应满足关系α
L1
L2
A
O
C
B
C¹
O¹
D
图124
<90º取n5∠总路程
2全反射
全反射光密度媒质1射光疏媒质2入射角界角时光线发生全反射
全反射现象重实意义现代通讯重组成部分——光导纤维利光全反射现象图125光导纤维示 i
γ
β
A
B
n1
n2
图125
意图AB端面纤维芯材料折射率外层材料折射率试问入射角什范围确保光光导纤维传播？
图125中r表示光第次折射折射角β表示光第二次入射角β界角光外两种材料界面发生全反射光直保持纤维芯里传播
例1图126示AB表示直面镜水放置米尺（刻度P1
P2
M
N
a
b
A
B
S
图126
面着面镜）MN屏三者相互行屏MNab表示条竖直缝（ab间透光）某眼睛紧贴米尺孔S（位置图示）通面镜米尺部分刻度试题图三角板作图求出部位
部分涂标志
分析 题考查面镜成规律成作图眼通孔见米尺刻度反射定律知米尺刻度必须面镜反射反射光线进入眼睛会米尺刻度通两种方法解问题
图127
图128
解法：相面镜AB作出眼S连接Sa延长交面镜点C连接点C延长交米尺点E点E眼米尺刻度左端连接延长交米尺点F 面镜交D连接S点D点F眼米尺刻度右端EF间米尺刻度眼部分图127示
A
B
O
P
P1
P2
120º
（d）
P5
A
B
O
P1
P2
P3
P4
60º
（b）
P4
A
B
O
45º
P1
P2
P3
P5
P6
P7
（c）
图129
A
B
O
θ
P1
P2
P3
P4
（a）
P
解法二：根面镜成称性作米尺屏MN分ab分图128示连接Sa交AB点C延长交点点作垂线交点E点眼米尺刻度左端连接交AB点D延长交点点作（AB）垂线交点F点F眼米尺刻度右端EF部分眼通面镜见米尺部分
点评：面镜成特点物具称性涉面镜问题中利特点常问题简洁明晰解决
例2两面镜间夹角45º60º120º物体总放面镜角等分线试分求出数
分析：第面镜生成构成第二面镜物物第二面镜成成第面镜物反复穷特定条件限次循环两镜成重合数目增确定数
解：设两面镜AB夹角2θ物P处角等分线图129（a）示两镜交线
O点圆心OP半径作辅助圆点圆周面镜A成表示面镜B成表示图难出：
A
B
C
P
O
图1210
A
O
C
P
图1211
圆弧角位置
圆弧角位置
中k取值k12…
k次反射A成B成重合
时k47图129（a）示
时k35图129（b）示
时k15整数图1210（d）直接出物P镜A成镜B面镜B成镜A面两
A
B
P
O
图1212
例3张片时拍摄物体正面侧面物体面放两直立面镜AOBO物体两面镜成摄入机图1211示图中带箭头圆圈P代表头部（尺寸远OC长度）白色半圆代表脸部正面着相机镜头斜线半圆代表脑头发箭头表示头顶帽子图1211俯视图两面镜夹角∠AOB72º设头中心恰位角分线OC相机距离远面镜距离
1 1试图1211中标出P方位示意图
图1213
2方框中画出片（分空白斜线表示脸头发箭头表示头顶帽子）
题求画出示意图须力求准确
解 题答案图1213示
例4五角楼光学仪器中常种元件图1214示棱镜玻璃制成
BCCD两面高度抛光ABDE两面高度抛光镀银试证明： C
A
E
B
D
1125º
1125º
1125º
90º
图1214
BC面入射光线方历两次反射（ABDE面）相应CD面出射光线必入射光线垂直
解 图1215示i表示入射角表示反射角r表示折射角次序标注明光线透明表面a 点入射棱镜反射两次CD面e点出射出DE面b点
入射角
反射角
四边形bEAC中
i1
A
B
C
D
E
1125º
1125º
1125º
90º
γ1
i2
i2
i3
i3
45º
i4
γ4
F
图1215
△cdb中
∠cdb180º
180º
证明：进入棱镜第条光线ab总第三条光线ce互相垂直
棱镜C角直角360º270º∠dec90º∠dec设棱镜折射率n根折射定律
总成立棱镜折射率入射角关光路符合面求BC面法线CD面法线垂直出射光线总入射光线垂直者说图1216
光线种棱镜恒点偏转角——90º
例6横截面矩形玻璃棒弯成图1216示形状束行光垂直射入表面A试确定通表面A进入光全部表面B射出Rd值已知玻璃折射15
分析 图1217示A外侧入射光线外侧圆界面入射角较A侧入射光线入射角侧入射光外侧圆界面入射角α果侧光界面恰发生全反射反射光线刚侧圆相切余光保证仅外侧圆界面续程中够发生全反射侧圆相交抓住侧光线进行分析满足相应条件
解 侧光入射角α等反射界角时入射光线全部B表面射出没光线方透出
图1217
求
图1218
点评 全反射问题掌握全反射产生条件基础具体分析界条件边界光线表现解决类问题关键
例7． 普通光纤种传输光圆柱形细丝具圆形截面纤芯A包层B组成B折射率A折射率光纤端面圆柱体轴垂直端面射入光长光纤中传播时纤芯A包层B分界面发生次全反射现利普通光纤测量流体F折射率实验方法：光纤端（出射端）浸流体F中令光纤轴行单色行光束凸透镜折射会聚光纤入射端面中心O端面折射进入光纤光纤中传播O点出发光束圆锥形已知边缘光线轴夹角图1218示光端面出射进入流体F距出射端面处放置垂直光纤轴毛玻璃屏DD出现圆形光斑测出直径然移动光屏D距光纤出射端面 处测出圆形光斑直径图1219示
（1）已知AB折射率分求测流体F折射率表达式
图1219
（2）均未知量通进步实验测出值？
分析 光线光纤中传播时纤芯A包层B分界面发生全反射光线射出光纤端面作出相应光路图根光折射定律关系求出
解 （1）光纤光线轴O点出发光纤中传播光线轴相交位通轴剖面图1220面光路图设O点发出轴夹角α光线射AB分界面入射角i反射角i该光线光纤中次反射时入射角均i射出射端面时入射角α该光线折射折射角关系折射定
90º ①
②
i全反射界角时发生全反射没光损失相应光线变光强射出射端面光线发生反射时部分光线通折射进入图1220
B反射光强着反射次数增越越弱致未达出射端面前已衰减零射出射端面光线i数值定等值式决定：
③
应α值
④
时时O发出光束中光线满足条件射端面时出射端面处α值
⑤
时O发出光线满足条件射端面时出射端面处α值
⑥
端面处入射角α时折射角θ达值设②式知
⑦
⑥⑦式时
⑧
图1221
③⑦式时
⑨
数值图1221关系求
⑩
表达式应
（11）
（12）
（2）输出端介质改空气光源保持变样手续做次测量测里撇量前面未撇量意义相已知空气折射率等1
时
（13）
时
（14）
（11）（12）两式分（13）（14）相均
（15）
结果适值情况
§13 光折射
图131
131层介质折射
图：层介质折射率分折射定律：
132面折射视深
水中深度h处发光点Q作OQ垂直水面求射出水面折射线延长线OQ交点深度入射角i关系
设水相空气折射率折射定律
d
d′
Q
Q′
O
x
M
i
γ
图132
令OMx
式表明Q发出光线折射延长线交点接法线方光线
时入射角i关折射线延长线似交点深度原光点深度
S2 S3 S1 O2 O1 S S1
Q N
P M
图133
图133示MN反射率较低表面PQ背面镀层反射率高表面通常镜子镀银层反射成定条件够四反射中亮度底离镜距离玻璃折射率n玻璃厚度d求两间距离
图中S物点MN反射次表示MN面折射PQ面反射MN面折射成视深公式
A
B
C
E
F
i1
i2
i′2
i′1
D
G
δ
折射率
图134
两间距离
133棱镜折射色散
入射光线棱镜折射改变方出射光线入射光线间夹角称偏角图134关系知
h
L
S
S′
δ
δ
图135
中
①α时
δ（n1）α
厚度计顶角α三棱镜称光楔轴光线言δ入射角关成光线光楔偏折样角度δ作光楔折射成光路图时画成光线产生偏折角薄板图135设物点S离光楔L点S正方
hlδ（n1）αl
②棱镜中折射光线相顶角α称成等腰三角形时
阳光
红
紫
图136
者
棱镜偏角δ式测棱镜折射率
图137
紫
红
阳光
种介质色光折射率种色光偏折角白光棱镜折射产生色散现象虹霓太阳气中水滴折射反射形成色散现象阳光水滴两次折射次反射图136形成紫外红虹阳光滴两次折射两次反射图137形成红外紫霓霓次反射光线较弱容易
134费马原理
费马原理指出光指定两点间传播实际光程总保持恒定里光程指光某种均匀介质中通路程该种媒质折射率积
费马原理光学中十分重基原理费马原理推导出光学中重规律例光直线传播反射定律折射定律光程极推出果反射面旋转椭球面点光源置焦点反射光线焦点反射光线焦点便光程恒定例子外透镜光线折x
y
B
A
M（xy）
n
R
f′
F′
图138
射作典型
凸透镜折射率n放置空气中透镜面孔半径R透镜外光轴取点（图138）行光光轴入射时光线均会聚点试问：（1）透镜凸面应取什形状？（2）透镜顶点A点O相距少？（3）透镜孔径R限制？
解 根费马原理行光入射会聚光线应相等光程边缘光线条光线光程应相等确定凸面方程余问题迎刃解
（1）取坐标系图光线等光程性
整理点M（xy）坐标xy应满足方程
令式成
双曲线方程旋转称性透镜凸面应旋转双曲面
（2）透镜顶点A位置 应满足
者
见定nR决定
（3）点透镜外R限制条件
求
讨 极限情形 时结果：
x
y
R
f′
A
M
N
n
θ
Φ
θt
F′
图139
点A点重合
a0
透镜凸面双曲线方程变
双曲线退化成点两条直线时透镜凸面变成顶点圆锥面图139示考虑意条入射光线MN折射定律关系
图1310
入射行光线折射均圆锥面达点时角θ全反射界角
例1半径R半圆柱形玻璃砖横截面图1310示O圆心已知玻璃折射率光玻璃射空气1
3
2
图1311
时发生全反射界角45°束MN面成450行光束射玻璃砖半圆柱面玻璃折射部分光MN面射出求MN面射出光束宽度少？
分析 图1311示进入玻璃中光线①垂直半球面半径方直达球心入射角等界角恰O点发生全反射光线①左侧光线球面折射射MN入射角界角MN发生全反射MN射出光线①右侧直球面正相切光线③范围光线光球面折射MN面入射角均界角MN面射出
MN出射宽度求
解 图1311中BO半径方入射光线O点正发生全反射入射光线③图1312
C点球面相切时入射角折射角r
表示C点折射光线垂直MN射出MN相交E点MN面OE出射光宽度
图1313
讨 果行光束45°角空气射半圆柱面表面图1312示时半圆柱面出射光束范围？参见图1313示折身定律折射光线垂直线夹角均30°考虑E点发生折射折射光线EA果光线刚A点发生全反射EAOB行射A点左边MA区域折射光（）半圆柱面入射角均45°界角发生全反射半圆柱面射出A点右边光线（）界角射出着φ角增时C点次达界角发生全反射时知够半圆柱球面出射光束范围限制AC区域应角度
d
图1314
点评 正确作出光路图抓住边界光线分析解答问题两重方予足够重视
例2定厚度d行板折射率式变化
图1315
束光O点空气垂直入射板A点角α出射（图1314）求A点折射率nA确定A点位置板厚度（设）
解 首先考虑光路线（图1315）系列折射率行板透射光应斯涅耳定律
更简单形式
图1316
公式意薄层成立情形里折射率x轴变化
题中垂直光束折射率n0点入射常数板点
x关系已知板中光束
图（1316）表明光束路径半径XCr圆
现已知道光路径找问题解答折射定律光A点射出时
图1317
题情形
根
出A点x坐标x1cm
光线轨迹方程
代入x1cm板厚度yd5cm
例3图1317表示盛折射率n液体槽槽中部扣着称屋脊形薄壁透明罩ADB顶角2罩空气整罩子浸没液体中槽底AB中点处 图1318
亮点C请求出：位液面方图标面眼睛侧面观察亮点条件
解 题图示面光线进行分析讨右侧观察情形图1318示亮点发出光线CP两次折射液面射出折射定律图标记相关角度
（1）
（2）
中
（3）
果液光线入射液面时发生全反射没液面射出折射光线全反射界角γ应满足条件
见光线CP折射液面射出观察条件
（4）
（5）
现计算利（3）式
（1）式
（1）式
（6）
图（1）（2）式（6）式均出α越γ越果α值光线相应γ设光线射出液面反部分光线射出液面液面方观察亮点极端情况求出题求条件
C点发出α值光线极CD光线DB面折射进入液体（6）式知相应
观察亮点条件
图1319
式写成
取方
化简
方化简
液面方侧面适方亮点时nφ间应满足条件
例4图1319示两顶角分棱镜胶合起（）折射率式出：
中
1确定方入射光线AC面时发生折射波长确定情形折射率
2画出入射角相波长三种光线路径
3确定组合棱镜偏角
4计算行DC入射离开组合棱镜时行DC光线波长
图1320
解 1果方达AC面波长光线折射
情形
2波长长红光均15反波长短蓝光两折射率均15现研究折射率AC面变化已知道图1321
波长光
果考虑波长光 理蓝光现画出光线穿组合棱镜路径（图1320）
3波长光组合棱镜作顶角30°折射率n15单棱镜
知道偏称折射时发生图1321中α角相等时发生
根折射定律
偏角
图1322
4利图1322中数写出
消α
变换
二次方程求解出
图1323
例5玻璃圆柱形容器壁定厚度装种紫外线射会发出绿色荧光液体液体中点成绿色光源已知玻璃绿光折射率液体绿光折射率容器壁外半径r：R少时容器侧面容器壁厚零？
分析 谓容器侧面容器壁厚零指眼容器截面位置绿光C点处容器外壁切线方射出题描述折射角90°界折射题中未出关系需分讨
解 （1）时求r：R值时应考虑图1323中ABCD样种界情况中BC光线容器壁相切CD光线容器外壁相切两次界折射时应该
图1324
设时容器壁半径直角三角形BCO中时C处发生界折射壁厚零时荧光液体中点发出光C处发生界折射满足
壁厚零
（2）时
时荧光液体发出光线直接穿容器壁CD延长线发光体壁厚零时应满足条件然
（3）时
荧光液体发出光容器壁发生折射角90°界折射时壁厚零时应考虑图1324中ABCD样种界情况中AB光线入射角90°BC光线折射角时应该
直角三角形OBE中
图1323图1324中角相
代入
时容器壁厚度零
面讨图1323图1324中B点C点位置意条件眼位置均成立（段说明少）
例6放空气中玻璃棒折射率n15中心轴线长L45cm端半径10cm凸球面
（1）玻璃棒作相架理想天文远镜（光轴限远处物成光轴限远处远系统）取中心轴光轴玻璃棒端应磨成什样球面？
（2）玻璃棒限远物点射行入射光束玻璃棒光轴成角度时棒射出行光束光轴成角度求（值等玻璃棒远系统视角放率）
图1325
F1
分析 首先知道远系统说光轴限远处物点发出入射光线行光轴光线系统出射光线应光轴行点光轴限远处然运正弦定理折射定律角度似计算出结果
解 （1）远系统说光轴限远处物点发出入射光行光轴光线系统出射光线应光轴行点光轴限远处图1325示图中左端球面球心
正弦定理折射定律角度似
①
②
光线射端面时折射光线行光轴光线知该端面球心定端面顶点B左方B等球面半径图1325示
仿面左端球面折射关系
③
④
②③④式代入数值
⑤
右端应半径等5cm外凸面球面
图1326
F1
M
（2）设限远处物点射入行光线ab表示令abA图1326示两条光线左端球面折射相交点M左端球面限远物点成点现求M点位置中
⑥
⑦
已知均角度
⑧
②式较知M位 垂直光轴面面已知玻璃棒天文远系统M点傍轴光线棒右端面射出时相互行光线容易出M射光线原方射出M点意光线（包括光ab）玻璃棒射出行光线方方光轴夹角
⑨
②③式
⑩
图1327
例7直立面镜前放置半径R球形玻璃鱼缸缸壁薄中心离镜面3R缸中充满水远处观察者通球心镜面垂直方注视鱼缸条鱼离镜面处速度v缸壁游动求观察者鱼两相速度水折射率n43见图1327图1328
解 鱼1秒钟游距离v距离作物必须求出两计算中考虑轴光线角度角度正弦角度身似
点游动鱼折射面形成（图图1328
1327）点角度发出光线A点水中入射角v空气中折射角出射光线相反方延长出虚位置显然
三角形
利通常似
虚球心距离
水折射率n43折射率2实距物距商放率
水说放率2
速度v相应线段物位E处面镜前距离2R处镜2R远处形成物样虚离球心距离5R般情形中设
虚通球作透镜观察时（虚）物确定实需考虑面镜
需求出γ角度发出光线C点入射角ε中三角形中
玻璃中折射角
需算出角
C点D点两角相加相加两种情况等180°
三角形
外
距
k5n43
放率
k5n43代入放率23
综合结果鱼速度v运动鱼虚速度2v运动鱼实速度运动两相速度
原速度83倍
必须解决重问题：理已知道运动观察者作实验时什现象呢？
两速度鱼真实速度值水中标尺读数致实际观察两反方速度中速度速度三倍三倍应远处时清楚鱼缸远处鱼缸前两距离833R肉眼实明视距离远方注视题目中讲远处观察者指观察两距离射光线角度变化观察者足够远距离差速度逐渐增加接83然必须具关鱼实际速度（v）信息
两相速度物原始速度普遍公式
充满水圆柱形玻璃缸面镜子支杆实验容易做玻璃缸壁运动杆代表条鱼
§14光球面反射折射
图141
图142
141球面镜成
（1）球面镜焦距球面镜反射遵反射定律法线球面半径束轴行光线凹镜反射会聚轴点F（图141）F点称凹镜焦点束轴行光线凸面镜反射发散反延长会聚轴点F（图142）F点称凸镜虚焦点焦点F镜面顶点O间距离做球面镜焦距f证明球面镜焦距f等球面半径R半
（2）球面镜成公式 根反射定律推导出球面镜成公式面凹镜例推导：（图143示）设凹镜轴物体SS发出射凹镜光线镜面A 图143
A
点反射轴交
点半径CA反射法线S根反射定律CA角A分线根角分线性质
①
SA轴光线①式改写
②
②式中OS物距u距v设凹镜焦距f
代入①式
化简
公式样适凸镜球面镜成公式时注意：凹镜焦距f取正凸镜焦距f取负实物u取正虚物u取负实v正虚v负
式球面镜成公式适凹面镜成凸面镜成量符号遵循实取正虚取负原凸面镜焦点虚焦距负值成中长 物长h成放率m表示
成公式放率关系式讨球面镜成情况凹镜表Ⅰ列凸镜表Ⅱ列
表Ⅰ 凹镜成情况
物性质
物位置
位置
正倒
虚实
实
物
侧f
缩
倒
实
～2f
侧f～2f
缩
倒
实
2f
侧2f
等
倒
实
2f～f
侧f～2f
放
倒
实
f
放
f～0
异侧～0
放
正
虚
虚物
异侧0～f
缩
正
实
表Ⅱ 凸镜成情况
物性质
物位置
位置
正倒
性质
实物
f～
侧0～f
缩
正
虚
虚
物
～2f
侧f～2f
缩
倒
虚
2f
侧2f
等
倒
虚
f～2f
侧～2f
放
倒
虚
f
f～0
异侧～0
放
正
实
（3）球面镜次成 球面镜次成原：次运球面镜成公式时前球面镜反射光线尚未成便遇球面镜时引进虚概念
图144
图144示半径R凸镜凹镜轴相互重合放置两镜顶点O1 O2 相距26R现轴距凹镜顶点O106R处放点光源S设点光源直接射凹镜问S凹镜凸镜反射次成处？
S凹镜中成
解
根题意：凹镜反射光线尚未成便已凸镜反射时凹镜原成作凸镜虚物处理
解
说明凸镜成S位置
142球面折射成
（1）球面折射成公式
（a）单介质球面折射成
图145示果球面左右方折射率分1nSir均行
①
图145
代入①式
②
轴光线说αθβ样
代入②式
时v焦距f
（b）双介质球面折射成
图146示球形折射面两侧介质折射率分n1n2C球心O顶点球面曲率半径RS物点点轴光线
联立式解
图146
球面折射成公式式中uυ符号样遵循实正虚负法R球心C出射光侧（凸面入射光）时正球心C入射光侧（凹面入射光）时负
图147
t
引入焦点焦距概念入射光行轴行光（u∝）时出射光（反延长线）交点第二焦点（称方焦点）时距第二焦距出射光行光时入射光（延长线）交点第焦点（物方焦点）时物距第焦距代入成公式改写成
反射定律成折射定律时物倒球面镜反射成公式球面镜折射成公式中反射光行进方逆转距υ球面半径R正负规定应折射时相反述公式中令球面镜反射成公式凹面镜凸面镜厚透镜成
（C）厚透镜折射成
设构成厚透镜材料折射率n物方介质折射率方介质折射率前两边球面曲率半径次透镜厚度物点轴P点时物距现计算点距首先考虑第球面AOB入射光折射时假定第二球面AOB存认球AOB右边折射率等n介质充满种情况P点成处距然考虑光线第二球面折射球面说便虚物
球面AOB物公式
球面AOB物公式
样二球面成法求透镜成距u
（2）光焦度
折射成右端仅介质折射率球面曲率半径关定介质定形状表面说变量定义量光焦度φ表示：
60cm
30cm
图148
表征单折射球面入射行光束屈折领φ数值越行光束折越厉害φ＞0时屈折会聚性φ＜0时屈折发散性φ0时应面折射时轴行光束折射轴行光束出现屈折现象
光焦度单位[米1]称[屈光度]数值100通常说眼镜片度数
（3）镀银透镜面镜等效
薄凸透镜凸面曲率半径R30cm已知轴光线时：透镜面镀银作等焦距30cm凹面镜透镜凸面镀银作等凹面镜等效焦距
图149
透镜面镀银时作等焦距30cm凹面镜时透镜等效面曲率半径60cm球面反射镜凹面镜成性质物点置等效曲率中心 时轴光线凸面折射面反射原路返回凸面折射光线 点物重合图148示题意
凸面镀银光路图149示关键寻找等效曲率中心通凸面点A作垂直球面指曲率中心C光线光线面折射交光轴令
光逆性原理知等效凹面镜曲率中心f10cm
例1图1410示双凸薄透镜两球面曲率半径均r透镜折射率 图1410
n考察透镜表面反射形成实试问物放处反射物位竖直面（考虑重反射）
解 物点发出光透镜前表面（左表面）反射形成虚合题意须考虑
物点发出光透镜前表面折射透镜表面反射折回前表面折射三次成实符合题意利球面折射成公式球面反射成公式结合物面求求解
球面反射成公式：中反射面焦距（R球面半径）凹面镜f取正值凸面镜f取负值
球面折射成公式：
入射光顶点射球心时R取正值入射光球心射顶图1411甲
点时R取负值
图1411甲示物点Q发出光透镜前表面折射成设物距u距v根球面折射成公式：
里空气折射率透镜介质折射率入射光顶点射球心Rr取正值
图1411乙
（1）
第次成
凸透镜表面说物点Q透镜前表面折射成风点物点物距（虚物）透镜表面反射成距（图1411乙示）球面反射成公式
图1411丙
前面数代入
（2）
第二次成
透镜表面反射成点作透镜前
表面折射成物点物距（虚物）
透镜前表面折射成距
（见图1411丙示）球面折射成公式
时射光侧折射率 折射光侧折射率 （空气）入射光球心射顶点R值取负值写出
代入前面关系
（3）
第三次成（1）（2）两式解
（4）
（4）式（3）式相加
（5）
物点Q点竖直面求
代入（5）解物距
图1412
说明 题见观察反射调整物距反射物竖直面测出物距P根式利已知透镜折射率n求出透镜球面半径r反已球面半径r求出透镜折射率n
例2显微镜物镜组中常配图1412示透镜表面球面左表面球心半径右表面球心半径透镜玻璃空气折射率n两球心间距离
时观察物位处试证明
1物射透镜光线透镜折射出射光线均相交点Q
2 2
解 首先考虑面折射物球心处全部入射光线折射通面说物点处
考虑面折射设入射光线轴夹角θ入射点P入射角i折射角
r折射线延长线轴交点Q图1413折射定律知
图1413
中应正弦定理
已知
设CP轴夹角α
显然θ≠0时r＜α出射线轴相交点Q必透镜左方
θ外角
中应正弦定理
数值θ关见出射线延长线交点点距离
图1414
例3薄透镜图1414面旋转椭球面（椭圆绕长轴旋转成曲面）焦点面球面球心C 重合已知透镜放空气中时穷远处椭球长轴物点射全部入射光线（限傍轴光线）会聚点椭圆偏心率e
(1)求透镜材料折射率n（证）
(2)果透镜置折射率介质中达述样求椭圆应满足什条件？
分析 解题关键正确运椭圆性质折射定律
图1415
解 （1）根题设行旋转椭球长轴入射光线旋转椭球面球面两次折射全部会聚点作出证：果椭球面折射射球面光线射球心C射旋转椭球面第二焦点满足题设求光路图图1415示：PA入射线AC椭球面折射折射线BNA点处椭球面法线
i入射角r折射角根椭圆性质法线BN分法线夹角r正弦定律
图1416
求
2a长轴长度2c焦点间距离n满足条件意入射角i行旋转椭球长轴入射光线会聚C（）点
（2）果透镜置折射率介质中求
图1417
椭圆偏心率e应满足
椭圆e＜1果解 总找椭球面满足求
例4（1）图1416示凹球面镜球心C盛透明液体已知C液面高度CE400cm轴CO物A物离液面高度AE恰300cm时物A实物处高度实验时光圈直径保证轴光线成试求该透明液体折射率n
图1419
（2）体温计横截面图1417示已知细水银柱A离圆柱面顶点O距离2RR该圆柱面半径C圆柱面中心轴位置玻璃折射率n32E代表眼求图示横截面眼见水银柱位置虚正倒放倍数
解 （1）轴物A发出光线AB液体界面折射BD方入射球面镜时BD延长线球心C光线球面反射必原路折回光逆性原理折回光线相交A（图1418）
空气液体界面折射定律
光圈足够时B→E
（2）先考虑轴点物A发出两条光线轴方ACOE入射界面偏折出射进入眼
E二AP方入射角i斜入射界面P点折射角r折射光线PQ进入眼EP点应非常O点说入射角i 折射角r应角度弧度量度角（轴）似折射定律写两条光线反延长轴相交物A虚点（图1419）
正弦定律
角（轴）似：
式写
解式
分析成倒立放情况水银柱成定高度垂轴物体AB然轭点选B发出条光线界面折射反延长线垂轴线相交点物B虚点物AB正立虚
选B点发出圆柱面轴心C光线BC该光线界面说正入射（入射角零）偏折出射反延长BC线交垂轴线
图1420
放率
图1421
例5半径R0128m玻璃半球球心O面部分相垂直直线轴轴轴放置细条形发光体（离球心较）长度L0020m眼轴附着面部分半球（图1420）条形发光体两亮（处亮度更弱必考虑）条形发光体轴前移动时两轴移动现调整条形发光体位置两恰头尾相接连起时条形发光体端距球心O距离
试利数求出构成半球玻璃折射率n（计算时考虑轴光线）
解 1条形发光体两光线面部分反射形成光线面折射进入玻璃凹面镜反射面折射穿出玻璃形成
2求半球外轴光点A述两面反射处（见图1421）
凹面镜反射D求法：
（1）A点发出光面折射进入玻璃射凹面镜凹面镜说相光线B点射（1422）令OBb
（1）
图1422
（2）凹面镜公式
（f焦距）求凹面镜成C位置令OCC
代入式
图1423
解出C
（2）
出C点半球
（3）C点发出光线折射穿出玻璃外时外面观察点D处（见图1423）令ODd
（3）
D点眼光点A位置
（3）式知a越d越
d＜a
图1424
3现条形发光体面反射成设凹面镜反射成根（3）式ad间关系知离球心O二恰头尾相接时位置应图1424示重合
（4）
图151
式中距球心O距离
（5）
代入已知数：R0128m
例6某眼睛点10cm明视范围80cm配100度视镜明视范围变成少？
解配制眼镜中通常眼睛焦距倒数称焦度D表示焦距单位m时配眼镜度数等眼镜焦度100倍
题中配视眼镜度数100度眼睛度数视镜焦距
戴眼镜距离物体时成虚清点10cm
解物距
明视远点10 cm +80 cm 90 cm戴眼镜清远物体时成虚离90 cm处根透镜公式解清远物距：
戴100度视眼镜明视范围011m～90m
说明 配戴视眼镜远视眼镜戴眼镜眼睛治助清物体成虚戴眼镜时清明视范围
§15透镜成
151透镜成作图
（1）三条特殊光线
①通光心光线方变
②行轴光线折射焦点
③通焦点光线折射行轴
（2）般光线作图：光线SA光心O作轴OO’行SA焦面 交P点连接APAP反延长线SA折射光线
*物概念：发光物体发光点视物点物物点发出光束系列光学系统作成会聚光束会聚点物实点成发散光束反延长线交点物虚点行光束成
152薄透镜成公式
薄透镜成公式：
式中fuv正负遵循实正虚负法令
图152
该式称牛顿公式式中x物物方焦点距离方焦点距离物点焦点着光路x取正反取负值点焦点逆着光路取正值反取负值该式直接运成作图推导请读者行推导弄清意义面牛顿公式讨问题
光源v02ms速度着焦距f20cm凸透镜光心运动距光心两点时求位置速度
代入牛顿公式
述意义图152示
设△t时间点光源位移△x点位移
△t→0时△x→0略△x二阶量
图153
值代入求移动方移动方相
*实正虚负法：凸透镜焦距取正值凹透镜焦距取负值实距取正值虚距取负值实物物距取正值虚物物距取负值
*实物虚物：发散入射光束顶点（问否实际光束通顶点）实物会聚入射光束顶点（永远没实际光束通该顶点）虚物假定P实物虚光线循原路相反方进行（a）反（b）图示表示光线未遇凸面镜前会聚虚物均实物
153组合透镜成
u
v
图154
果焦距分AB两片薄透镜构成透镜组（轴）点光源S放轴距透镜u处透镜侧距透镜v处成（图154）示成结果两角度考虑
AB薄透镜互相拢放起成薄透镜设组合透镜焦距f应
①
考虑角度认SAB两透镜次成结果SA成设位A右侧距A处应
②
位透镜B右侧处B虚物物距B成
③
②③解
④
较①④两式知
果AB中凹透镜取负代入
154光学仪器放率
实光学仪器放率 幻灯相机常见实光学仪器类仪器获物体实放率m般指成实长度放率vmu
果幻灯机幻灯片银幕相距25m时银幕放率24想放率40假设幻灯片动镜头银幕应分移动少？
d
L
图155
根第次放映知
解
第二次放映
解
较知镜头缩回16mm较知银幕应移远154m
虚光学仪器放率 远镜显微镜常见虚光学仪器类仪器物体虚目扩观察视角放率m般指视角放率果直接观察物体视角α仪器观察物体视角β
mβα
先显微镜放率果台显微镜物镜焦距目镜焦距镜筒长L成离目镜d处试证明显微镜放率
s
f1
f2
图156
显微镜光路图155示AB物镜Ⅰ成放实物镜长度放率
相L较B
u≈f
v
图157
图158
图159
位目镜Ⅱ焦点目镜成放虚（通常成观察者明视距离d）轴光线时观察者目镜中视角β
观察者显微镜直接观AB视角α
显微镜放率m
难出目镜长度放率
面天文远镜放率果天文远镜物镜焦距目镜焦距试证明天文远镜放率
远镜成光路图156示远处物体AB物镜Ⅰ成然目镜Ⅱ远处成虚（图中未画出）观察者观察视角图中β远镜观察者直接观察距远镜S远处物体AB视角似图中α
远镜放率m
155常见光学仪器
投影仪器 电影机幻灯机印相放机绘图投影仪等属投影仪器部分会聚投影镜头画片成放实屏幕图157物距u略焦距f画片总物方焦面附距υ»f放率距v成正
光学系统图158示A物面垂直光轴L会聚透镜M光轴成45°角面镜P面垂直面镜反射光轴设物A面字试图159中实面P画出形状
眼睛 眼睛相复杂天然光学仪器结构类似机图1510 H
H’
图1510
眼球水方剖面图中布满视觉神网膜相机中感光底片虹膜相机中变光阑中间圆孔称瞳孔眼球中晶状体折射率均匀透镜包眼球外面坚韧膜前面透明部分称角膜余部分巩膜角膜晶状体间部分称前房中充满水状液晶状体网膜间眼球腔称房中充满玻璃状液眼睛物方介质折射率等例子聚焦光穷远时物焦距
f171mm方焦距f228眼睛通改变晶状体曲率（焦距）调节聚焦距离
眼睛肌肉完全松弛紧张时清楚点分称调节范围远点点正 图1511
常眼睛远点穷远视眼眼球长穷远物体成网膜前远点限远位置远视眼眼球短穷远物体成网膜（虚物点）矫正视眼远视眼镜应分凹透镜凸透镜谓散光眼球方面曲率引起需非球面透镜矫正
视角视角放 物体两端眼光心张角度做视角视角物体尺寸物体眼距离关两物点（物体两点）眼视角（约）时眼区分
图1512
物体时增视角缩短物眼间距离眼点距离时视网膜成反模糊清必须光学仪器增视角
图1513
图1511眼（E）通放镜观察物体AB眼光心时视角
物体焦点成明视距离：
放镜物体置明视距离图1512BE25cm视角：
图1514
图1515
光学仪器观察虚视角物体放虚位置直接观察视角φ值做光学仪器视角放率β表示视角放率
放镜
显微镜 图1513显微镜成原理图观察物体AB置物镜焦点外焦点处（）成放实目镜焦点焦点处（）眼睛目镜光心观察位明视距离虚
显微镜物镜视角放率
未图中画出目镜放率：
未图中画出显微镜视角放率：
式中L镜筒长度«L计算放率时L代表物镜距通常显微镜焦距mm数量级明镜焦距稍长般2cm
远镜 远镜观察远物体图1514图1515分表示开普勒远镜伽利略远镜光路图
图1516
图1516
两种远镜焦距较长凸透镜做物镜远处物体点发出光线似行光物镜焦面成实开普勒远镜目镜凸透镜焦距较短物方焦面物镜方焦面重合结果物穷远处虚伽利略远镜目镜凹透镜物方焦面（右侧）物镜方焦面重合时实成虚物凹透镜折射成穷远处
图中出伽利略远镜观察正立观察面物体开普勒远镜观察倒立适合作天文远镜图中关系出两种远镜视角放率均：
类远镜物镜凹面镜称反射式远镜型天文远镜反射式远镜
例题
例1图1516AB线状物体物透镜成试作图法确定镜位置焦距写出作图步骤
分析 倒透镜应凸透镜物AB行物相透镜轴斜放物体AB引出延长线交点必光心垂直轴面条特殊光线解答题关键光线
图1519
图1518
解 作连线两条连线交点O凸透镜光心位置作AB延长线交C点C点必定落透镜CO两点画出透镜位置O点 CO垂直连线MN透镜光轴图1517示A点作行光轴直线交透镜D点连接该连线光轴交点F透镜右焦点位置作行光轴直线交透镜E点连线EA光轴交点透镜左焦点位置
点评 熟练掌握凸透镜凹透镜成特点规律灵活运特
殊光线作图解决类作图题关键
例2图1518MN凸透镜光轴O光心F焦点图中画两条光线点光源S凸透镜折射两条光线作图法确定光源S点位置
分析 凸透镜折射两条出射光线点发出两条出射光线反延长线交点点 图1520
图1521
位置物点发出光心光线改变方确定物点S落直线凸透镜右焦点F连线交凸透镜P点物点发出行光轴光线凸透镜折射F焦点P点作光轴MN行线相交处物点S位置图1519示
解 反延长两条出射光线交点点分作O连线F连线凸透镜交PP点作MN行线PS交SS物点位置
点评 正确理解物理意义物间关系利解答类作图题
例3斯涅耳档案中张光学图（见1520）墨水褪色留三点薄透镜焦点F光源S透镜点L外留部分光源S画直线a正文中知道S点点更透镜恢复张图？果画出确定图中透镜焦距
解 1令O透镜光学中心
2FO点应位垂直透镜光轴直角
3连接光源直线总通透镜光学中心
4连接FL点线段FL中点C圆心画通FL点圆
5圆直径着圆周角总直角判定O点位圆直线a交点
6圆中找O点两位置（）
7恢复出两种示意图图1521示
8光源S更透镜断定透镜符图1522
合题意实际透镜S距离二倍焦距距离二倍焦距
例4焦距均f二凸透镜两圆形面反射镜放置图1522二透镜轴透镜轴二面镜垂直通二面镜中心四镜直径相轴点光源O
1画出光源右条光线OA（图1522示）光学系统中光路
2分说出光源右发出光线左发出光线位置（O点外）形成光源O实？虚
3现透明板半部（包括透镜中心）遮住说出什变化
图1523
P
Q
解 1光线OA第次返光路图1523示光线图中左方返回O点继续右方进行作第二次返第二次返光路图中未画出图中光路称轴画出光线重复两种返光路
2右发出光线：处成实右方限远处成虚处成实P处（左方处轴）成虚
H
2f
F
F
图1524
左发出光线：处成实左方限远处成虚处成实Q处（右方处轴）成虚
3右发出光线处成实左发出光线处成实两均未遮住时暗
例5凸透镜焦距f面镀银现凸面侧距2f处垂直轴放置高H物端透镜轴（图1524）
（1）作图法画出物镀银透镜成标明该虚实
（2）计算法求出位置
分析 道题实质凸透镜紧密接合面镜组合成问题然画出光线透镜折射射面镜光路光路然遵守凸透镜面镜成规律具体分析光路时必须牢牢抓住点成计算遵守凸透镜面镜成计算方法
解 （1）作图法求物AP条光线光路图1525示
说明：凸透镜面镀银构成会聚透镜L密接面镜M组合LM图1525示图中OL光心轴FL两焦点AP物作图时利列三条特征光线：
H
P
A
F
S
T
A
P
L M
Q
O
S
F
图1525
①P射O入射光线通O方变原方射面镜M然M反射反射光线光轴夹角等入射角均α反射线射入透镜时通光心O透镜射出时方述反射线相图中
②P发出通L左方焦点F入射光线PFRL折射出射线轴行垂直射面镜M然M反射反射光线行L轴左射入LL折射出射线通焦点
F图中RFP
③P发出行轴入射光线PQL折射出射线射L焦点图中方射面镜然M反射反射线指称F点QF方反射线L折射出射线法画出：通O作行QF辅助线通光心方保持变焦面相交T点入射行光线透镜相交焦面点QFL折射出射线通T点图中QTQFL折射出射光线
列三条出射光线交点LM组合成P点应A点图判明倒立实采取三条光线中意两条正确答案
（2）陆续成计算物APLM组合成位置
物AP透镜L成第取成公式距面镜距离2f处原物相
第作物反射镜M成第二第反射镜M2f处M说虚物成实M前2f处原物相
第二作物透镜L成第三光线L右方入射物（第二）位L左方虚物取物距透镜公式距
C
F
O
F
图1526
述结果表明第三题求位置透镜左方距离处求
高物高
C
F
O
F
x
P
Pˊ
xˊ
yyˊ
图1527
例6图1526示凸透镜焦距f15cmOC25cmC圆心r5cm半径发光圆环轴面试求出该圆环通透镜折射成
分析 先考虑发光圆环意点P透镜成P点绕圆环周时应点集合构成整发光圆环通透镜成解析方法讨题
解 图1527示O点直角坐标系原点建立坐标系xOy考虑发光圆环点
P（xy）
①
发光点P（xy）根透镜成公式放率关系
②
③
联立②③式解
④
⑤
④⑤式代入①式中整理
⑥
⑥式需求圆环称中心位光心45cm处光轴长轴椭圆
讨 果发光圆环球壳取代根称性球壳圆环绕轴旋转周行成椭圆
r1
r2
f
d
F
A
B
图1528
点评 曲线形线状物通透镜成定曲线状什样曲线视具体情况定例题中发光圆环成变椭圆环例题关键建立恰物方方坐标系球解问题
例7求厚透镜两波长焦距条件类型透镜讨行性
解 必须知道厚透镜性质厚透镜述数表征球形表面半径厚度d折射n（图1528）焦距fBF式出
焦距点B算起B离表面距离
述公式意厚度厚透镜成立轴光线满意结果定似
光透镜色散透镜波长折射率波长折射率折射率n幂次整理焦距公式
二次方程定f值应两n值问题解决
先代入方程令相等
整理
果半径厚度d满足条件两波长两折射率说焦距相趣折射率积起作色散（）折射率1括号数值1说明半径镜厚意味着透镜相厚
结果讨：首先透镜凸凹种透镜限半径次负发散透镜许双凹透镜
120cm
80cm
090cm
图1329
果求f（fh）两折射率相值实现点复杂问题
例7相机镜头L前228m处物体清晰成镜头面120cm处相胶片P两面行玻璃板插入镜头胶片间光轴垂直位置图1329示设相机镜头作简单薄凸透镜光线轴光线
1求插入玻璃板新位置
2果保持镜头玻璃板胶片三者间距离变求物体然清晰成胶片物体应放处？
解 解法1
图1330
1折射率n厚度d 两面行玻璃板会聚点傍轴光束折射作方法求出：图1330取指点傍轴光线C光线行玻璃板折射光路CDE板第面入射角i折射角r均角度反延长E交D点处法线F容易出DE行四边形
行板厚度d
ir
结果会聚点傍轴光线均成立轴点会聚傍轴光束行玻璃板折射会聚轴点种情形行玻璃板作点远离板方移动距离题数
成镜头面120+03123（cm）处
2设机镜头焦距f 放玻璃板时
1228+121f
f114cm
插入玻璃板时成离镜头12cm处胶片应改变物距放玻璃板时成镜头面v处
v12003117(cm)
设时物距u
1u+11171114
u≈445m
：物体置镜头前445m时插入玻璃板胶片清晰
解法2
图1531
1玻璃板第面折射物距
根公式 （见图1531）
玻璃板第二面折射（见图1332）
物距
图1532
根
成镜头面距
原移动△v
2设机镜头焦距f插入玻璃板时
1f1228+112
f114cm
放玻璃板成离镜头12cm处胶片采光路逆性原理已知位置求物体应位置
玻璃板第二面折射：
已知：距设相应物
物
L1
L2
图1529
玻璃板第面折射：
已知：距设相应物P
凸透镜距v86+31117(cm) 时物距u
1u+11171114
u445m
物体应放相机镜头前445m处胶片清晰
L1
d+u
u
v
dv
d
O1
O2
L2
图1531
例8两焦距分凸透镜果两透镜做适配置垂直光轴物体原位置成等倒立图1533示试求出满足述求配置方案中透镜位置
分析 首先应根题目出条件分析出物透镜成虚实出光学系统配置关系然运透镜成公式求出光学系统中物位置具体距离数量关系
解 设光线左右先两凸透镜成题目求位置反回考虑光线第2透镜继续右传播成必虚满足题设求判定作透镜2物必左侧物距透镜2焦距倒立考虑透镜2
物应该透镜1定傍轴物体成（中间）定物倒立实必然成透镜1右侧（原物样肯定中间定缩）分析表明光线系统配置图1528示
根图标明两透镜位置物距距
L1
L2
d
2cm
18cm
F′
F
(焦)
图1534
①
虚
②
物相等
③
③
代入①②化简
题图中求必须分析知取焦距较透镜（取透镜a反反）作透镜放物右方距离u处焦距较透镜作透镜放透镜右方距离d处题求配置方案
例9焦距20cm薄凸透镜焦距18cm薄凹透镜应放置行光通组合透镜成
1行光束2会聚光束3发散光束（情况均绘图表示）
L2
L1
d
F′
F2
图1535
F2
F1
L1
L2
图1536
解 设凸透镜焦点凹透镜焦点
1行光束
F2
F1
L2
L1
图1537
（1）凸透镜前时d2cmd两透镜间距离（见图1534）
L2
L1
d
F′
F2
图1538
d
F1
F2
L2
L1
图1539
图1540
（2）凹透镜前时d2cm根光路逆性原理相前面系统反
2会聚光束
（1） 凸透镜前时20cm＞d＞2cm（图1535）
（2） 凹透镜前时d＞2cm（图1536）
3发散光束
（1）凸透镜前时d＞2cm（图1537）
（2）凸透镜前时20cm＞d＞2cm（图1538）
凹透镜前时20cm＞d＞2cm（图1539）
10焦距f数值均相三薄透镜 次凸透镜凹透镜凸透镜构成轴光学系统相邻透镜间距离均d透镜光心分图1540示透镜左方位光轴物点P光学系统终成透镜右方Q点 距离物点P透镜距离应少？
分析 题陆续成考虑透镜做出⑥式解列式子时容易出错考虑称性解法清晰物理图求解动
题⑦式解P成思路解出简明样想必须透镜成时物距零距零作已知结行
解（1）该系统凹透镜言左右称光学系统题意物点P点Q处称位置凹透镜言物点成点应分居两侧物距距相等
图1541
图1542
1
代入凹透镜物公式
2
解 3
物距距均负值表明：物点P透镜成作凹透镜物点位右侧虚物凹透镜成左侧虚虚点虚点凹透镜位称位置（图1541）
4
代入凸透镜物公式
5
解出
（2）②式凹透镜距表示
物点右左逐渐趋时物距负值逐渐增趋零时距负值逐渐增趋零点左右趋时时凸透镜言距参见图1542代入⑤式
解：
7
结果表明物点P透镜恰成透镜光心系统称性知透镜成称点Q距数值
知⑥式⑦式均求解⑦式结果透镜间距d必须满足条件
8
角度考虑P通成正光心处时原处样面结果
例11束行光薄凸透镜光轴入射透镜折射会聚透镜f48cm处透镜折射率n15透镜凸面镀银物置面前12cm处求成位置
分析凸透镜凸面镀银成凹面镜根凸透镜行光汇聚关系求出凸球面曲率半径R求出凹面镜焦距根面折射成凹面镜成规律进步求出成位置
图1543
解（1）先求凸球面曲率求径R行光轴光线面垂直发生折射球面发生折射交光轴F点图1543示C点球面球心正弦定理
1
折射定律知
2
12cm
图1544
ir时两式
3
4
（2）凸面镀银成半径R凹面镜图1544示令P表示物位置P点面折射成根折射定律推出
5
薄透镜凹面镜距离认等设反射成球面镜成公式
6
图1545
解知位面左方面折射说虚物面折射成实点
7
8
成实透镜左方24cm处
例12高圆柱形容器口放焦距90mm凸透镜透镜方中轴线距透镜100mm处放圆面形光源（图1545）
1光源产生半径45mm实求实位置
2容器中注水水面高光源10mm求位置
3继续注水注满容器恰碰透镜求时
解1设uvf分物距距焦距成公式
h
h′
γ
i
图1546
代入u100mmf90mm
放率公式知光源半径b
2注入水水面高光源h(mm)时水面折射作光源等效浮段距离等效光源距水面处设ir分入射角折射角（图1546）轴光线
原物距u注入水变成等效物距
距
题中h100mmu100mm
实透镜方1170mm处
3水注满恰碰透镜时面公式时h100mm
等效光源已焦距时半径
附加薄透镜
(a)
12cm
30cm
20cm
透镜
(b)
附
15cm
(C)
图1547
时成半径30mm正立虚位透镜方
例13单凸透镜构成焦距12cm暗箱伸长20cm相机相机拍摄距镜头15cm处物体需镜头附加焦距少薄透镜暗箱伸长时清晰呈现底片？（假设两薄透镜紧贴着间距离忽略计）
分析：组合透镜成问题两角度考虑求解（1）成先序物体前透镜成视透镜成物重复运透镜成公式求解（2）组合透镜视透镜整体处理根组合透镜总焦距分透镜间关系式求解
解法：附加薄透镜加镜头前面相机镜头焦距12cm暗箱伸长20cm设拍摄物体距离u
f12cmv20cm代入透镜成公式求u
设附加镜头焦距作距镜头15cm物体成30cm处
u15cmv30cm代入透镜成公式求
凸透镜光路图图1547示
图1547（a）表示附加薄透镜作距镜头15cm物体30cm处造成虚图1547（b）表示物透镜成镜20cm处底板成实图1547（c）表示附加透镜加透镜前面距透镜15cm物体AB发光线附加透镜透镜折射侧20cm处实
解法二：附加薄透镜加镜头面
附加透镜时物距u15cm焦距f12cm距v
设附加镜头焦距述附加透镜中虚物时物距距
透镜
15cm
(a)
12cm
1
2
1
3
2
1
附加薄透镜
(b)
附
15cm
(c)
透镜
图1548
光路图图1548示
图1548（a）表示距透镜15cm物体透镜侧成距透镜60cm实图1548（b）表示附加透镜附透镜光线①通光心方变物体射出光线透镜折射中光线②附加透镜折射改变方光线③成处图1548（c）表示距透镜15cm物体透镜附加透镜折射成侧20cm处
解法三：相机镜头焦距f12cm附加薄凸透镜焦距相焦距F凸透镜
6cm
10cm
5cm
6cm
L1
L2
n15
45˚
f1
f2
f210cm
f120cm
B
A
图1549
求F值代入①式
求附加薄透镜焦距
点评：透镜透镜透镜面镜棱镜球面镜等光学元件构成光学系统成问题类典型问题类问题方面注意光学元件成规律方面注意成先序物相性前光学元件视光学元件物
例14长度4mm物体AB图1549示光学系统成光学系统直角棱镜会聚透镜发散透镜组成关参数尺寸均示图中求：
1位置
2作图说明实虚正立倒立
解 解法1
1分析等效处理
根棱镜玻璃折射率棱镜斜面全反射界角
6cm
10cm
5cm
6cm
L1
L2
N15
45˚
图1550
注意物长 4mm光路估算进入棱镜轴光线斜面入射角45º左右界角发生全反射光线言棱镜斜面成反射镜题光路反射镜成考虑方法光路拉直图4334示
图1551
现问题转化正立物体块垂直光轴厚度6cm玻璃板会聚透镜发散透镜成问题
2求位置
厚玻璃板轴光线产生右侧移动定距离成光学系统面部分光路物称侧移物利光轴光线光轴成角光线讨求出移动距离
设轴物点B厚度玻璃板作形成点（侧物点）（图1551）画出厚玻璃板光线折射图知
角度时
物AB通厚玻璃板成间距离
透镜说物物距
图1552
见物证 左方焦面距
考虑透镜行光线入射情况
必成发散透镜左侧焦面（虚）
整光路成位置 左侧10cm处
3求虚实正倒情况
作图法求解图1552示（图示清楚图中物高加）
连接延长便发光线行光线方光心作行线交C点出发折射通光心光线图1553
反延长左侧焦面交点成点令左侧焦面光轴焦点正立虚图
AB等高
解法2
关物体棱镜（折射反射折射）成位置采视深法处理
图1553示AB发出PQ面垂直光束PQ面折射成视深问题PQ面距离均ABPQ面距离n倍
（物相）
PQ面折射成变
PQ面折射成变
求出作透镜物距部分求解解法1
例15焦距2000cm薄凸透镜轴离透镜中心3000cm处发光点S厚度忽略光楔C（顶角三棱镜）放发光点透镜间垂直轴透镜距离200cm图1554示设光楔折射率n15楔角0028弧度透镜图1554
侧离透镜中心4625cm处放面镜M反射面着透镜垂直轴问形成发光点相发光点位置处（讨轴光线角度似适分析计算程中应作出必光路图）？
分析光具成问题厚度忽略光楔成程中作相光线产生偏折薄板面镜光线反射次凸透镜成程中根折射定律透镜成公式关数学似进行系列计算出结果
图1555
解五次成程
（1）光楔入射光线偏折偏角（出射光线入射光线方夹角）表示图1555知
轴光线
样
图1556
代入数值
入射角关成光线光楔偏折样角度光楔厚度忽略作光路图时画成光线产生偏折角薄板图1556
光点S光楔成虚点轴光线S正方S距离h离光楔距离
代入数
（2）透镜L实物点位置式求出
图1557
u3000cmf2000cm代入
视光轴垂直物透镜放率公式
求
图1558
点光轴方光轴距离078cm透镜中心距离6000cm处图1557
（3）面镜面镜虚物面镜成点称面镜（图1557）
（4）作透镜实物
透镜折射次成设点L距离分
透镜左侧轴方图1558
（5）第二次透镜折射成光线光楔偏折次成点正方离光楔距离50cm离光轴距离（见图1558）
点光轴垂足S距离
点发光点S左侧光轴方光轴距离055cm光轴垂足S距离2200cm
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§11 光学基础
1光直线传播：光均匀介质中直线传播
2光独立传播：束光交错时互妨碍原方传播
3光反射定律：
①反射光线入射光线法线决定面
A
B
S
S1
S2
S3
O
图121
②反射光线入射光线分居法线两侧
③反射角等入射角
4光折射定律：
①折射光线入射光线法线决定面
②折射光线入射光线分居法线两侧
③入射角折射角满足
④光光密介质光疏介质中传播入射角界角C时发生全面反射现象（折射率 光密介质折射率光疏介质界角）
§12 光反射
121组合面镜成：
S
S1
S2
S3
S4
S5
O
图122
1组合面镜 两面镜组成光学系统做组合面镜射组合面镜光线面镜间发生次反射会出现生成复现象先种较简单现象两面互相垂直面镜（交O点）镜间放点光源S（图121）S发出光线两面镜反射形成三虚方法难证明：三虚位O圆心OS半径圆SS间面镜（延长线）保持着
称关系方法容易确定较复杂情况中复数位置
两面面镜AOBO成60º角放置（图122）述规律容易确定位置：①O圆心OS半径作圆②S做AOBO垂线圆交③作BOAO垂线圆交④作AOBO垂线圆交便S
两面镜中5
图123
α
L1
L2
A
O
双镜面反射图123两镜面间夹角15ºOA10cmA点发出垂直光线射两镜间反复反射直光线行某镜面射出A点开始次反射点光线走路程少？
图124示光线第次反射反射线BC根面反射称性∠述均直线光线间反复反射光线直线传播等效设光线第n次反射入射点该次反射线射镜面n值应满足关系α
L1
L2
A
O
C
B
C¹
O¹
D
图124
<90º取n5∠总路程
2全反射
全反射光密度媒质1射光疏媒质2入射角界角时光线发生全反射
全反射现象重实意义现代通讯重组成部分——光导纤维利光全反射现象图125光导纤维示 i
γ
β
A
B
n1
n2
图125
意图AB端面纤维芯材料折射率外层材料折射率试问入射角什范围确保光光导纤维传播？
图125中r表示光第次折射折射角β表示光第二次入射角β界角光外两种材料界面发生全反射光直保持纤维芯里传播
例1图126示AB表示直面镜水放置米尺（刻度P1
P2
M
N
a
b
A
B
S
图126
面着面镜）MN屏三者相互行屏MNab表示条竖直缝（ab间透光）某眼睛紧贴米尺孔S（位置图示）通面镜米尺部分刻度试题图三角板作图求出部位
部分涂标志
分析 题考查面镜成规律成作图眼通孔见米尺刻度反射定律知米尺刻度必须面镜反射反射光线进入眼睛会米尺刻度通两种方法解问题
图127
图128
解法：相面镜AB作出眼S连接Sa延长交面镜点C连接点C延长交米尺点E点E眼米尺刻度左端连接延长交米尺点F 面镜交D连接S点D点F眼米尺刻度右端EF间米尺刻度眼部分图127示
A
B
O
P
P1
P2
120º
（d）
P5
A
B
O
P1
P2
P3
P4
60º
（b）
P4
A
B
O
45º
P1
P2
P3
P5
P6
P7
（c）
图129
A
B
O
θ
P1
P2
P3
P4
（a）
P
解法二：根面镜成称性作米尺屏MN分ab分图128示连接Sa交AB点C延长交点点作垂线交点E点眼米尺刻度左端连接交AB点D延长交点点作（AB）垂线交点F点F眼米尺刻度右端EF部分眼通面镜见米尺部分
点评：面镜成特点物具称性涉面镜问题中利特点常问题简洁明晰解决
例2两面镜间夹角45º60º120º物体总放面镜角等分线试分求出数
分析：第面镜生成构成第二面镜物物第二面镜成成第面镜物反复穷特定条件限次循环两镜成重合数目增确定数
解：设两面镜AB夹角2θ物P处角等分线图129（a）示两镜交线
O点圆心OP半径作辅助圆点圆周面镜A成表示面镜B成表示图难出：
A
B
C
P
O
图1210
A
O
C
P
图1211
圆弧角位置
圆弧角位置
中k取值k12…
k次反射A成B成重合
时k47图129（a）示
时k35图129（b）示
时k15整数图1210（d）直接出物P镜A成镜B面镜B成镜A面两
A
B
P
O
图1212
例3张片时拍摄物体正面侧面物体面放两直立面镜AOBO物体两面镜成摄入机图1211示图中带箭头圆圈P代表头部（尺寸远OC长度）白色半圆代表脸部正面着相机镜头斜线半圆代表脑头发箭头表示头顶帽子图1211俯视图两面镜夹角∠AOB72º设头中心恰位角分线OC相机距离远面镜距离
1 1试图1211中标出P方位示意图
图1213
2方框中画出片（分空白斜线表示脸头发箭头表示头顶帽子）
题求画出示意图须力求准确
解 题答案图1213示
例4五角楼光学仪器中常种元件图1214示棱镜玻璃制成
BCCD两面高度抛光ABDE两面高度抛光镀银试证明： C
A
E
B
D
1125º
1125º
1125º
90º
图1214
BC面入射光线方历两次反射（ABDE面）相应CD面出射光线必入射光线垂直
解 图1215示i表示入射角表示反射角r表示折射角次序标注明光线透明表面a 点入射棱镜反射两次CD面e点出射出DE面b点
入射角
反射角
四边形bEAC中
i1
A
B
C
D
E
1125º
1125º
1125º
90º
γ1
i2
i2
i3
i3
45º
i4
γ4
F
图1215
△cdb中
∠cdb180º
180º
证明：进入棱镜第条光线ab总第三条光线ce互相垂直
棱镜C角直角360º270º∠dec90º∠dec设棱镜折射率n根折射定律
总成立棱镜折射率入射角关光路符合面求BC面法线CD面法线垂直出射光线总入射光线垂直者说图1216
光线种棱镜恒点偏转角——90º
例6横截面矩形玻璃棒弯成图1216示形状束行光垂直射入表面A试确定通表面A进入光全部表面B射出Rd值已知玻璃折射15
分析 图1217示A外侧入射光线外侧圆界面入射角较A侧入射光线入射角侧入射光外侧圆界面入射角α果侧光界面恰发生全反射反射光线刚侧圆相切余光保证仅外侧圆界面续程中够发生全反射侧圆相交抓住侧光线进行分析满足相应条件
解 侧光入射角α等反射界角时入射光线全部B表面射出没光线方透出
图1217
求
图1218
点评 全反射问题掌握全反射产生条件基础具体分析界条件边界光线表现解决类问题关键
例7． 普通光纤种传输光圆柱形细丝具圆形截面纤芯A包层B组成B折射率A折射率光纤端面圆柱体轴垂直端面射入光长光纤中传播时纤芯A包层B分界面发生次全反射现利普通光纤测量流体F折射率实验方法：光纤端（出射端）浸流体F中令光纤轴行单色行光束凸透镜折射会聚光纤入射端面中心O端面折射进入光纤光纤中传播O点出发光束圆锥形已知边缘光线轴夹角图1218示光端面出射进入流体F距出射端面处放置垂直光纤轴毛玻璃屏DD出现圆形光斑测出直径然移动光屏D距光纤出射端面 处测出圆形光斑直径图1219示
（1）已知AB折射率分求测流体F折射率表达式
图1219
（2）均未知量通进步实验测出值？
分析 光线光纤中传播时纤芯A包层B分界面发生全反射光线射出光纤端面作出相应光路图根光折射定律关系求出
解 （1）光纤光线轴O点出发光纤中传播光线轴相交位通轴剖面图1220面光路图设O点发出轴夹角α光线射AB分界面入射角i反射角i该光线光纤中次反射时入射角均i射出射端面时入射角α该光线折射折射角关系折射定
90º ①
②
i全反射界角时发生全反射没光损失相应光线变光强射出射端面光线发生反射时部分光线通折射进入图1220
B反射光强着反射次数增越越弱致未达出射端面前已衰减零射出射端面光线i数值定等值式决定：
③
应α值
④
时时O发出光束中光线满足条件射端面时出射端面处α值
⑤
时O发出光线满足条件射端面时出射端面处α值
⑥
端面处入射角α时折射角θ达值设②式知
⑦
⑥⑦式时
⑧
图1221
③⑦式时
⑨
数值图1221关系求
⑩
表达式应
（11）
（12）
（2）输出端介质改空气光源保持变样手续做次测量测里撇量前面未撇量意义相已知空气折射率等1
时
（13）
时
（14）
（11）（12）两式分（13）（14）相均
（15）
结果适值情况
§13 光折射
图131
131层介质折射
图：层介质折射率分折射定律：
132面折射视深
水中深度h处发光点Q作OQ垂直水面求射出水面折射线延长线OQ交点深度入射角i关系
设水相空气折射率折射定律
d
d′
Q
Q′
O
x
M
i
γ
图132
令OMx
式表明Q发出光线折射延长线交点接法线方光线
时入射角i关折射线延长线似交点深度原光点深度
S2 S3 S1 O2 O1 S S1
Q N
P M
图133
图133示MN反射率较低表面PQ背面镀层反射率高表面通常镜子镀银层反射成定条件够四反射中亮度底离镜距离玻璃折射率n玻璃厚度d求两间距离
图中S物点MN反射次表示MN面折射PQ面反射MN面折射成视深公式
A
B
C
E
F
i1
i2
i′2
i′1
D
G
δ
折射率
图134
两间距离
133棱镜折射色散
入射光线棱镜折射改变方出射光线入射光线间夹角称偏角图134关系知
h
L
S
S′
δ
δ
图135
中
①α时
δ（n1）α
厚度计顶角α三棱镜称光楔轴光线言δ入射角关成光线光楔偏折样角度δ作光楔折射成光路图时画成光线产生偏折角薄板图135设物点S离光楔L点S正方
hlδ（n1）αl
②棱镜中折射光线相顶角α称成等腰三角形时
阳光
红
紫
图136
者
棱镜偏角δ式测棱镜折射率
图137
紫
红
阳光
种介质色光折射率种色光偏折角白光棱镜折射产生色散现象虹霓太阳气中水滴折射反射形成色散现象阳光水滴两次折射次反射图136形成紫外红虹阳光滴两次折射两次反射图137形成红外紫霓霓次反射光线较弱容易
134费马原理
费马原理指出光指定两点间传播实际光程总保持恒定里光程指光某种均匀介质中通路程该种媒质折射率积
费马原理光学中十分重基原理费马原理推导出光学中重规律例光直线传播反射定律折射定律光程极推出果反射面旋转椭球面点光源置焦点反射光线焦点反射光线焦点便光程恒定例子外透镜光线折x
y
B
A
M（xy）
n
R
f′
F′
图138
射作典型
凸透镜折射率n放置空气中透镜面孔半径R透镜外光轴取点（图138）行光光轴入射时光线均会聚点试问：（1）透镜凸面应取什形状？（2）透镜顶点A点O相距少？（3）透镜孔径R限制？
解 根费马原理行光入射会聚光线应相等光程边缘光线条光线光程应相等确定凸面方程余问题迎刃解
（1）取坐标系图光线等光程性
整理点M（xy）坐标xy应满足方程
令式成
双曲线方程旋转称性透镜凸面应旋转双曲面
（2）透镜顶点A位置 应满足
者
见定nR决定
（3）点透镜外R限制条件
求
讨 极限情形 时结果：
x
y
R
f′
A
M
N
n
θ
Φ
θt
F′
图139
点A点重合
a0
透镜凸面双曲线方程变
双曲线退化成点两条直线时透镜凸面变成顶点圆锥面图139示考虑意条入射光线MN折射定律关系
图1310
入射行光线折射均圆锥面达点时角θ全反射界角
例1半径R半圆柱形玻璃砖横截面图1310示O圆心已知玻璃折射率光玻璃射空气1
3
2
图1311
时发生全反射界角45°束MN面成450行光束射玻璃砖半圆柱面玻璃折射部分光MN面射出求MN面射出光束宽度少？
分析 图1311示进入玻璃中光线①垂直半球面半径方直达球心入射角等界角恰O点发生全反射光线①左侧光线球面折射射MN入射角界角MN发生全反射MN射出光线①右侧直球面正相切光线③范围光线光球面折射MN面入射角均界角MN面射出
MN出射宽度求
解 图1311中BO半径方入射光线O点正发生全反射入射光线③图1312
C点球面相切时入射角折射角r
表示C点折射光线垂直MN射出MN相交E点MN面OE出射光宽度
图1313
讨 果行光束45°角空气射半圆柱面表面图1312示时半圆柱面出射光束范围？参见图1313示折身定律折射光线垂直线夹角均30°考虑E点发生折射折射光线EA果光线刚A点发生全反射EAOB行射A点左边MA区域折射光（）半圆柱面入射角均45°界角发生全反射半圆柱面射出A点右边光线（）界角射出着φ角增时C点次达界角发生全反射时知够半圆柱球面出射光束范围限制AC区域应角度
d
图1314
点评 正确作出光路图抓住边界光线分析解答问题两重方予足够重视
例2定厚度d行板折射率式变化
图1315
束光O点空气垂直入射板A点角α出射（图1314）求A点折射率nA确定A点位置板厚度（设）
解 首先考虑光路线（图1315）系列折射率行板透射光应斯涅耳定律
更简单形式
图1316
公式意薄层成立情形里折射率x轴变化
题中垂直光束折射率n0点入射常数板点
x关系已知板中光束
图（1316）表明光束路径半径XCr圆
现已知道光路径找问题解答折射定律光A点射出时
图1317
题情形
根
出A点x坐标x1cm
光线轨迹方程
代入x1cm板厚度yd5cm
例3图1317表示盛折射率n液体槽槽中部扣着称屋脊形薄壁透明罩ADB顶角2罩空气整罩子浸没液体中槽底AB中点处 图1318
亮点C请求出：位液面方图标面眼睛侧面观察亮点条件
解 题图示面光线进行分析讨右侧观察情形图1318示亮点发出光线CP两次折射液面射出折射定律图标记相关角度
（1）
（2）
中
（3）
果液光线入射液面时发生全反射没液面射出折射光线全反射界角γ应满足条件
见光线CP折射液面射出观察条件
（4）
（5）
现计算利（3）式
（1）式
（1）式
（6）
图（1）（2）式（6）式均出α越γ越果α值光线相应γ设光线射出液面反部分光线射出液面液面方观察亮点极端情况求出题求条件
C点发出α值光线极CD光线DB面折射进入液体（6）式知相应
观察亮点条件
图1319
式写成
取方
化简
方化简
液面方侧面适方亮点时nφ间应满足条件
例4图1319示两顶角分棱镜胶合起（）折射率式出：
中
1确定方入射光线AC面时发生折射波长确定情形折射率
2画出入射角相波长三种光线路径
3确定组合棱镜偏角
4计算行DC入射离开组合棱镜时行DC光线波长
图1320
解 1果方达AC面波长光线折射
情形
2波长长红光均15反波长短蓝光两折射率均15现研究折射率AC面变化已知道图1321
波长光
果考虑波长光 理蓝光现画出光线穿组合棱镜路径（图1320）
3波长光组合棱镜作顶角30°折射率n15单棱镜
知道偏称折射时发生图1321中α角相等时发生
根折射定律
偏角
图1322
4利图1322中数写出
消α
变换
二次方程求解出
图1323
例5玻璃圆柱形容器壁定厚度装种紫外线射会发出绿色荧光液体液体中点成绿色光源已知玻璃绿光折射率液体绿光折射率容器壁外半径r：R少时容器侧面容器壁厚零？
分析 谓容器侧面容器壁厚零指眼容器截面位置绿光C点处容器外壁切线方射出题描述折射角90°界折射题中未出关系需分讨
解 （1）时求r：R值时应考虑图1323中ABCD样种界情况中BC光线容器壁相切CD光线容器外壁相切两次界折射时应该
图1324
设时容器壁半径直角三角形BCO中时C处发生界折射壁厚零时荧光液体中点发出光C处发生界折射满足
壁厚零
（2）时
时荧光液体发出光线直接穿容器壁CD延长线发光体壁厚零时应满足条件然
（3）时
荧光液体发出光容器壁发生折射角90°界折射时壁厚零时应考虑图1324中ABCD样种界情况中AB光线入射角90°BC光线折射角时应该
直角三角形OBE中
图1323图1324中角相
代入
时容器壁厚度零
面讨图1323图1324中B点C点位置意条件眼位置均成立（段说明少）
例6放空气中玻璃棒折射率n15中心轴线长L45cm端半径10cm凸球面
（1）玻璃棒作相架理想天文远镜（光轴限远处物成光轴限远处远系统）取中心轴光轴玻璃棒端应磨成什样球面？
（2）玻璃棒限远物点射行入射光束玻璃棒光轴成角度时棒射出行光束光轴成角度求（值等玻璃棒远系统视角放率）
图1325
F1
分析 首先知道远系统说光轴限远处物点发出入射光线行光轴光线系统出射光线应光轴行点光轴限远处然运正弦定理折射定律角度似计算出结果
解 （1）远系统说光轴限远处物点发出入射光行光轴光线系统出射光线应光轴行点光轴限远处图1325示图中左端球面球心
正弦定理折射定律角度似
①
②
光线射端面时折射光线行光轴光线知该端面球心定端面顶点B左方B等球面半径图1325示
仿面左端球面折射关系
③
④
②③④式代入数值
⑤
右端应半径等5cm外凸面球面
图1326
F1
M
（2）设限远处物点射入行光线ab表示令abA图1326示两条光线左端球面折射相交点M左端球面限远物点成点现求M点位置中
⑥
⑦
已知均角度
⑧
②式较知M位 垂直光轴面面已知玻璃棒天文远系统M点傍轴光线棒右端面射出时相互行光线容易出M射光线原方射出M点意光线（包括光ab）玻璃棒射出行光线方方光轴夹角
⑨
②③式
⑩
图1327
例7直立面镜前放置半径R球形玻璃鱼缸缸壁薄中心离镜面3R缸中充满水远处观察者通球心镜面垂直方注视鱼缸条鱼离镜面处速度v缸壁游动求观察者鱼两相速度水折射率n43见图1327图1328
解 鱼1秒钟游距离v距离作物必须求出两计算中考虑轴光线角度角度正弦角度身似
点游动鱼折射面形成（图图1328
1327）点角度发出光线A点水中入射角v空气中折射角出射光线相反方延长出虚位置显然
三角形
利通常似
虚球心距离
水折射率n43折射率2实距物距商放率
水说放率2
速度v相应线段物位E处面镜前距离2R处镜2R远处形成物样虚离球心距离5R般情形中设
虚通球作透镜观察时（虚）物确定实需考虑面镜
需求出γ角度发出光线C点入射角ε中三角形中
玻璃中折射角
需算出角
C点D点两角相加相加两种情况等180°
三角形
外
距
k5n43
放率
k5n43代入放率23
综合结果鱼速度v运动鱼虚速度2v运动鱼实速度运动两相速度
原速度83倍
必须解决重问题：理已知道运动观察者作实验时什现象呢？
两速度鱼真实速度值水中标尺读数致实际观察两反方速度中速度速度三倍三倍应远处时清楚鱼缸远处鱼缸前两距离833R肉眼实明视距离远方注视题目中讲远处观察者指观察两距离射光线角度变化观察者足够远距离差速度逐渐增加接83然必须具关鱼实际速度（v）信息
两相速度物原始速度普遍公式
充满水圆柱形玻璃缸面镜子支杆实验容易做玻璃缸壁运动杆代表条鱼
§14光球面反射折射
图141
图142
141球面镜成
（1）球面镜焦距球面镜反射遵反射定律法线球面半径束轴行光线凹镜反射会聚轴点F（图141）F点称凹镜焦点束轴行光线凸面镜反射发散反延长会聚轴点F（图142）F点称凸镜虚焦点焦点F镜面顶点O间距离做球面镜焦距f证明球面镜焦距f等球面半径R半
（2）球面镜成公式 根反射定律推导出球面镜成公式面凹镜例推导：（图143示）设凹镜轴物体SS发出射凹镜光线镜面A 图143
A
点反射轴交
点半径CA反射法线S根反射定律CA角A分线根角分线性质
①
SA轴光线①式改写
②
②式中OS物距u距v设凹镜焦距f
代入①式
化简
公式样适凸镜球面镜成公式时注意：凹镜焦距f取正凸镜焦距f取负实物u取正虚物u取负实v正虚v负
式球面镜成公式适凹面镜成凸面镜成量符号遵循实取正虚取负原凸面镜焦点虚焦距负值成中长 物长h成放率m表示
成公式放率关系式讨球面镜成情况凹镜表Ⅰ列凸镜表Ⅱ列
表Ⅰ 凹镜成情况
物性质
物位置
位置
正倒
虚实
实
物
侧f
缩
倒
实
～2f
侧f～2f
缩
倒
实
2f
侧2f
等
倒
实
2f～f
侧f～2f
放
倒
实
f
放
f～0
异侧～0
放
正
虚
虚物
异侧0～f
缩
正
实
表Ⅱ 凸镜成情况
物性质
物位置
位置
正倒
性质
实物
f～
侧0～f
缩
正
虚
虚
物
～2f
侧f～2f
缩
倒
虚
2f
侧2f
等
倒
虚
f～2f
侧～2f
放
倒
虚
f
f～0
异侧～0
放
正
实
（3）球面镜次成 球面镜次成原：次运球面镜成公式时前球面镜反射光线尚未成便遇球面镜时引进虚概念
图144
图144示半径R凸镜凹镜轴相互重合放置两镜顶点O1 O2 相距26R现轴距凹镜顶点O106R处放点光源S设点光源直接射凹镜问S凹镜凸镜反射次成处？
S凹镜中成
解
根题意：凹镜反射光线尚未成便已凸镜反射时凹镜原成作凸镜虚物处理
解
说明凸镜成S位置
142球面折射成
（1）球面折射成公式
（a）单介质球面折射成
图145示果球面左右方折射率分1nSir均行
①
图145
代入①式
②
轴光线说αθβ样
代入②式
时v焦距f
（b）双介质球面折射成
图146示球形折射面两侧介质折射率分n1n2C球心O顶点球面曲率半径RS物点点轴光线
联立式解
图146
球面折射成公式式中uυ符号样遵循实正虚负法R球心C出射光侧（凸面入射光）时正球心C入射光侧（凹面入射光）时负
图147
t
引入焦点焦距概念入射光行轴行光（u∝）时出射光（反延长线）交点第二焦点（称方焦点）时距第二焦距出射光行光时入射光（延长线）交点第焦点（物方焦点）时物距第焦距代入成公式改写成
反射定律成折射定律时物倒球面镜反射成公式球面镜折射成公式中反射光行进方逆转距υ球面半径R正负规定应折射时相反述公式中令球面镜反射成公式凹面镜凸面镜厚透镜成
（C）厚透镜折射成
设构成厚透镜材料折射率n物方介质折射率方介质折射率前两边球面曲率半径次透镜厚度物点轴P点时物距现计算点距首先考虑第球面AOB入射光折射时假定第二球面AOB存认球AOB右边折射率等n介质充满种情况P点成处距然考虑光线第二球面折射球面说便虚物
球面AOB物公式
球面AOB物公式
样二球面成法求透镜成距u
（2）光焦度
折射成右端仅介质折射率球面曲率半径关定介质定形状表面说变量定义量光焦度φ表示：
60cm
30cm
图148
表征单折射球面入射行光束屈折领φ数值越行光束折越厉害φ＞0时屈折会聚性φ＜0时屈折发散性φ0时应面折射时轴行光束折射轴行光束出现屈折现象
光焦度单位[米1]称[屈光度]数值100通常说眼镜片度数
（3）镀银透镜面镜等效
薄凸透镜凸面曲率半径R30cm已知轴光线时：透镜面镀银作等焦距30cm凹面镜透镜凸面镀银作等凹面镜等效焦距
图149
透镜面镀银时作等焦距30cm凹面镜时透镜等效面曲率半径60cm球面反射镜凹面镜成性质物点置等效曲率中心 时轴光线凸面折射面反射原路返回凸面折射光线 点物重合图148示题意
凸面镀银光路图149示关键寻找等效曲率中心通凸面点A作垂直球面指曲率中心C光线光线面折射交光轴令
光逆性原理知等效凹面镜曲率中心f10cm
例1图1410示双凸薄透镜两球面曲率半径均r透镜折射率 图1410
n考察透镜表面反射形成实试问物放处反射物位竖直面（考虑重反射）
解 物点发出光透镜前表面（左表面）反射形成虚合题意须考虑
物点发出光透镜前表面折射透镜表面反射折回前表面折射三次成实符合题意利球面折射成公式球面反射成公式结合物面求求解
球面反射成公式：中反射面焦距（R球面半径）凹面镜f取正值凸面镜f取负值
球面折射成公式：
入射光顶点射球心时R取正值入射光球心射顶图1411甲
点时R取负值
图1411甲示物点Q发出光透镜前表面折射成设物距u距v根球面折射成公式：
里空气折射率透镜介质折射率入射光顶点射球心Rr取正值
图1411乙
（1）
第次成
凸透镜表面说物点Q透镜前表面折射成风点物点物距（虚物）透镜表面反射成距（图1411乙示）球面反射成公式
图1411丙
前面数代入
（2）
第二次成
透镜表面反射成点作透镜前
表面折射成物点物距（虚物）
透镜前表面折射成距
（见图1411丙示）球面折射成公式
时射光侧折射率 折射光侧折射率 （空气）入射光球心射顶点R值取负值写出
代入前面关系
（3）
第三次成（1）（2）两式解
（4）
（4）式（3）式相加
（5）
物点Q点竖直面求
代入（5）解物距
图1412
说明 题见观察反射调整物距反射物竖直面测出物距P根式利已知透镜折射率n求出透镜球面半径r反已球面半径r求出透镜折射率n
例2显微镜物镜组中常配图1412示透镜表面球面左表面球心半径右表面球心半径透镜玻璃空气折射率n两球心间距离
时观察物位处试证明
1物射透镜光线透镜折射出射光线均相交点Q
2 2
解 首先考虑面折射物球心处全部入射光线折射通面说物点处
考虑面折射设入射光线轴夹角θ入射点P入射角i折射角
r折射线延长线轴交点Q图1413折射定律知
图1413
中应正弦定理
已知
设CP轴夹角α
显然θ≠0时r＜α出射线轴相交点Q必透镜左方
θ外角
中应正弦定理
数值θ关见出射线延长线交点点距离
图1414
例3薄透镜图1414面旋转椭球面（椭圆绕长轴旋转成曲面）焦点面球面球心C 重合已知透镜放空气中时穷远处椭球长轴物点射全部入射光线（限傍轴光线）会聚点椭圆偏心率e
(1)求透镜材料折射率n（证）
(2)果透镜置折射率介质中达述样求椭圆应满足什条件？
分析 解题关键正确运椭圆性质折射定律
图1415
解 （1）根题设行旋转椭球长轴入射光线旋转椭球面球面两次折射全部会聚点作出证：果椭球面折射射球面光线射球心C射旋转椭球面第二焦点满足题设求光路图图1415示：PA入射线AC椭球面折射折射线BNA点处椭球面法线
i入射角r折射角根椭圆性质法线BN分法线夹角r正弦定律
图1416
求
2a长轴长度2c焦点间距离n满足条件意入射角i行旋转椭球长轴入射光线会聚C（）点
（2）果透镜置折射率介质中求
图1417
椭圆偏心率e应满足
椭圆e＜1果解 总找椭球面满足求
例4（1）图1416示凹球面镜球心C盛透明液体已知C液面高度CE400cm轴CO物A物离液面高度AE恰300cm时物A实物处高度实验时光圈直径保证轴光线成试求该透明液体折射率n
图1419
（2）体温计横截面图1417示已知细水银柱A离圆柱面顶点O距离2RR该圆柱面半径C圆柱面中心轴位置玻璃折射率n32E代表眼求图示横截面眼见水银柱位置虚正倒放倍数
解 （1）轴物A发出光线AB液体界面折射BD方入射球面镜时BD延长线球心C光线球面反射必原路折回光逆性原理折回光线相交A（图1418）
空气液体界面折射定律
光圈足够时B→E
（2）先考虑轴点物A发出两条光线轴方ACOE入射界面偏折出射进入眼
E二AP方入射角i斜入射界面P点折射角r折射光线PQ进入眼EP点应非常O点说入射角i 折射角r应角度弧度量度角（轴）似折射定律写两条光线反延长轴相交物A虚点（图1419）
正弦定律
角（轴）似：
式写
解式
分析成倒立放情况水银柱成定高度垂轴物体AB然轭点选B发出条光线界面折射反延长线垂轴线相交点物B虚点物AB正立虚
选B点发出圆柱面轴心C光线BC该光线界面说正入射（入射角零）偏折出射反延长BC线交垂轴线
图1420
放率
图1421
例5半径R0128m玻璃半球球心O面部分相垂直直线轴轴轴放置细条形发光体（离球心较）长度L0020m眼轴附着面部分半球（图1420）条形发光体两亮（处亮度更弱必考虑）条形发光体轴前移动时两轴移动现调整条形发光体位置两恰头尾相接连起时条形发光体端距球心O距离
试利数求出构成半球玻璃折射率n（计算时考虑轴光线）
解 1条形发光体两光线面部分反射形成光线面折射进入玻璃凹面镜反射面折射穿出玻璃形成
2求半球外轴光点A述两面反射处（见图1421）
凹面镜反射D求法：
（1）A点发出光面折射进入玻璃射凹面镜凹面镜说相光线B点射（1422）令OBb
（1）
图1422
（2）凹面镜公式
（f焦距）求凹面镜成C位置令OCC
代入式
图1423
解出C
（2）
出C点半球
（3）C点发出光线折射穿出玻璃外时外面观察点D处（见图1423）令ODd
（3）
D点眼光点A位置
（3）式知a越d越
d＜a
图1424
3现条形发光体面反射成设凹面镜反射成根（3）式ad间关系知离球心O二恰头尾相接时位置应图1424示重合
（4）
图151
式中距球心O距离
（5）
代入已知数：R0128m
例6某眼睛点10cm明视范围80cm配100度视镜明视范围变成少？
解配制眼镜中通常眼睛焦距倒数称焦度D表示焦距单位m时配眼镜度数等眼镜焦度100倍
题中配视眼镜度数100度眼睛度数视镜焦距
戴眼镜距离物体时成虚清点10cm
解物距
明视远点10 cm +80 cm 90 cm戴眼镜清远物体时成虚离90 cm处根透镜公式解清远物距：
戴100度视眼镜明视范围011m～90m
说明 配戴视眼镜远视眼镜戴眼镜眼睛治助清物体成虚戴眼镜时清明视范围
§15透镜成
151透镜成作图
（1）三条特殊光线
①通光心光线方变
②行轴光线折射焦点
③通焦点光线折射行轴
（2）般光线作图：光线SA光心O作轴OO’行SA焦面 交P点连接APAP反延长线SA折射光线
*物概念：发光物体发光点视物点物物点发出光束系列光学系统作成会聚光束会聚点物实点成发散光束反延长线交点物虚点行光束成
152薄透镜成公式
薄透镜成公式：
式中fuv正负遵循实正虚负法令
图152
该式称牛顿公式式中x物物方焦点距离方焦点距离物点焦点着光路x取正反取负值点焦点逆着光路取正值反取负值该式直接运成作图推导请读者行推导弄清意义面牛顿公式讨问题
光源v02ms速度着焦距f20cm凸透镜光心运动距光心两点时求位置速度
代入牛顿公式
述意义图152示
设△t时间点光源位移△x点位移
△t→0时△x→0略△x二阶量
图153
值代入求移动方移动方相
*实正虚负法：凸透镜焦距取正值凹透镜焦距取负值实距取正值虚距取负值实物物距取正值虚物物距取负值
*实物虚物：发散入射光束顶点（问否实际光束通顶点）实物会聚入射光束顶点（永远没实际光束通该顶点）虚物假定P实物虚光线循原路相反方进行（a）反（b）图示表示光线未遇凸面镜前会聚虚物均实物
153组合透镜成
u
v
图154
果焦距分AB两片薄透镜构成透镜组（轴）点光源S放轴距透镜u处透镜侧距透镜v处成（图154）示成结果两角度考虑
AB薄透镜互相拢放起成薄透镜设组合透镜焦距f应
①
考虑角度认SAB两透镜次成结果SA成设位A右侧距A处应
②
位透镜B右侧处B虚物物距B成
③
②③解
④
较①④两式知
果AB中凹透镜取负代入
154光学仪器放率
实光学仪器放率 幻灯相机常见实光学仪器类仪器获物体实放率m般指成实长度放率vmu
果幻灯机幻灯片银幕相距25m时银幕放率24想放率40假设幻灯片动镜头银幕应分移动少？
d
L
图155
根第次放映知
解
第二次放映
解
较知镜头缩回16mm较知银幕应移远154m
虚光学仪器放率 远镜显微镜常见虚光学仪器类仪器物体虚目扩观察视角放率m般指视角放率果直接观察物体视角α仪器观察物体视角β
mβα
先显微镜放率果台显微镜物镜焦距目镜焦距镜筒长L成离目镜d处试证明显微镜放率
s
f1
f2
图156
显微镜光路图155示AB物镜Ⅰ成放实物镜长度放率
相L较B
u≈f
v
图157
图158
图159
位目镜Ⅱ焦点目镜成放虚（通常成观察者明视距离d）轴光线时观察者目镜中视角β
观察者显微镜直接观AB视角α
显微镜放率m
难出目镜长度放率
面天文远镜放率果天文远镜物镜焦距目镜焦距试证明天文远镜放率
远镜成光路图156示远处物体AB物镜Ⅰ成然目镜Ⅱ远处成虚（图中未画出）观察者观察视角图中β远镜观察者直接观察距远镜S远处物体AB视角似图中α
远镜放率m
155常见光学仪器
投影仪器 电影机幻灯机印相放机绘图投影仪等属投影仪器部分会聚投影镜头画片成放实屏幕图157物距u略焦距f画片总物方焦面附距υ»f放率距v成正
光学系统图158示A物面垂直光轴L会聚透镜M光轴成45°角面镜P面垂直面镜反射光轴设物A面字试图159中实面P画出形状
眼睛 眼睛相复杂天然光学仪器结构类似机图1510 H
H’
图1510
眼球水方剖面图中布满视觉神网膜相机中感光底片虹膜相机中变光阑中间圆孔称瞳孔眼球中晶状体折射率均匀透镜包眼球外面坚韧膜前面透明部分称角膜余部分巩膜角膜晶状体间部分称前房中充满水状液晶状体网膜间眼球腔称房中充满玻璃状液眼睛物方介质折射率等例子聚焦光穷远时物焦距
f171mm方焦距f228眼睛通改变晶状体曲率（焦距）调节聚焦距离
眼睛肌肉完全松弛紧张时清楚点分称调节范围远点点正 图1511
常眼睛远点穷远视眼眼球长穷远物体成网膜前远点限远位置远视眼眼球短穷远物体成网膜（虚物点）矫正视眼远视眼镜应分凹透镜凸透镜谓散光眼球方面曲率引起需非球面透镜矫正
视角视角放 物体两端眼光心张角度做视角视角物体尺寸物体眼距离关两物点（物体两点）眼视角（约）时眼区分
图1512
物体时增视角缩短物眼间距离眼点距离时视网膜成反模糊清必须光学仪器增视角
图1513
图1511眼（E）通放镜观察物体AB眼光心时视角
物体焦点成明视距离：
放镜物体置明视距离图1512BE25cm视角：
图1514
图1515
光学仪器观察虚视角物体放虚位置直接观察视角φ值做光学仪器视角放率β表示视角放率
放镜
显微镜 图1513显微镜成原理图观察物体AB置物镜焦点外焦点处（）成放实目镜焦点焦点处（）眼睛目镜光心观察位明视距离虚
显微镜物镜视角放率
未图中画出目镜放率：
未图中画出显微镜视角放率：
式中L镜筒长度«L计算放率时L代表物镜距通常显微镜焦距mm数量级明镜焦距稍长般2cm
远镜 远镜观察远物体图1514图1515分表示开普勒远镜伽利略远镜光路图
图1516
图1516
两种远镜焦距较长凸透镜做物镜远处物体点发出光线似行光物镜焦面成实开普勒远镜目镜凸透镜焦距较短物方焦面物镜方焦面重合结果物穷远处虚伽利略远镜目镜凹透镜物方焦面（右侧）物镜方焦面重合时实成虚物凹透镜折射成穷远处
图中出伽利略远镜观察正立观察面物体开普勒远镜观察倒立适合作天文远镜图中关系出两种远镜视角放率均：
类远镜物镜凹面镜称反射式远镜型天文远镜反射式远镜
例题
例1图1516AB线状物体物透镜成试作图法确定镜位置焦距写出作图步骤
分析 倒透镜应凸透镜物AB行物相透镜轴斜放物体AB引出延长线交点必光心垂直轴面条特殊光线解答题关键光线
图1519
图1518
解 作连线两条连线交点O凸透镜光心位置作AB延长线交C点C点必定落透镜CO两点画出透镜位置O点 CO垂直连线MN透镜光轴图1517示A点作行光轴直线交透镜D点连接该连线光轴交点F透镜右焦点位置作行光轴直线交透镜E点连线EA光轴交点透镜左焦点位置
点评 熟练掌握凸透镜凹透镜成特点规律灵活运特
殊光线作图解决类作图题关键
例2图1518MN凸透镜光轴O光心F焦点图中画两条光线点光源S凸透镜折射两条光线作图法确定光源S点位置
分析 凸透镜折射两条出射光线点发出两条出射光线反延长线交点点 图1520
图1521
位置物点发出光心光线改变方确定物点S落直线凸透镜右焦点F连线交凸透镜P点物点发出行光轴光线凸透镜折射F焦点P点作光轴MN行线相交处物点S位置图1519示
解 反延长两条出射光线交点点分作O连线F连线凸透镜交PP点作MN行线PS交SS物点位置
点评 正确理解物理意义物间关系利解答类作图题
例3斯涅耳档案中张光学图（见1520）墨水褪色留三点薄透镜焦点F光源S透镜点L外留部分光源S画直线a正文中知道S点点更透镜恢复张图？果画出确定图中透镜焦距
解 1令O透镜光学中心
2FO点应位垂直透镜光轴直角
3连接光源直线总通透镜光学中心
4连接FL点线段FL中点C圆心画通FL点圆
5圆直径着圆周角总直角判定O点位圆直线a交点
6圆中找O点两位置（）
7恢复出两种示意图图1521示
8光源S更透镜断定透镜符图1522
合题意实际透镜S距离二倍焦距距离二倍焦距
例4焦距均f二凸透镜两圆形面反射镜放置图1522二透镜轴透镜轴二面镜垂直通二面镜中心四镜直径相轴点光源O
1画出光源右条光线OA（图1522示）光学系统中光路
2分说出光源右发出光线左发出光线位置（O点外）形成光源O实？虚
3现透明板半部（包括透镜中心）遮住说出什变化
图1523
P
Q
解 1光线OA第次返光路图1523示光线图中左方返回O点继续右方进行作第二次返第二次返光路图中未画出图中光路称轴画出光线重复两种返光路
2右发出光线：处成实右方限远处成虚处成实P处（左方处轴）成虚
H
2f
F
F
图1524
左发出光线：处成实左方限远处成虚处成实Q处（右方处轴）成虚
3右发出光线处成实左发出光线处成实两均未遮住时暗
例5凸透镜焦距f面镀银现凸面侧距2f处垂直轴放置高H物端透镜轴（图1524）
（1）作图法画出物镀银透镜成标明该虚实
（2）计算法求出位置
分析 道题实质凸透镜紧密接合面镜组合成问题然画出光线透镜折射射面镜光路光路然遵守凸透镜面镜成规律具体分析光路时必须牢牢抓住点成计算遵守凸透镜面镜成计算方法
解 （1）作图法求物AP条光线光路图1525示
说明：凸透镜面镀银构成会聚透镜L密接面镜M组合LM图1525示图中OL光心轴FL两焦点AP物作图时利列三条特征光线：
H
P
A
F
S
T
A
P
L M
Q
O
S
F
图1525
①P射O入射光线通O方变原方射面镜M然M反射反射光线光轴夹角等入射角均α反射线射入透镜时通光心O透镜射出时方述反射线相图中
②P发出通L左方焦点F入射光线PFRL折射出射线轴行垂直射面镜M然M反射反射光线行L轴左射入LL折射出射线通焦点
F图中RFP
③P发出行轴入射光线PQL折射出射线射L焦点图中方射面镜然M反射反射线指称F点QF方反射线L折射出射线法画出：通O作行QF辅助线通光心方保持变焦面相交T点入射行光线透镜相交焦面点QFL折射出射线通T点图中QTQFL折射出射光线
列三条出射光线交点LM组合成P点应A点图判明倒立实采取三条光线中意两条正确答案
（2）陆续成计算物APLM组合成位置
物AP透镜L成第取成公式距面镜距离2f处原物相
第作物反射镜M成第二第反射镜M2f处M说虚物成实M前2f处原物相
第二作物透镜L成第三光线L右方入射物（第二）位L左方虚物取物距透镜公式距
C
F
O
F
图1526
述结果表明第三题求位置透镜左方距离处求
高物高
C
F
O
F
x
P
Pˊ
xˊ
yyˊ
图1527
例6图1526示凸透镜焦距f15cmOC25cmC圆心r5cm半径发光圆环轴面试求出该圆环通透镜折射成
分析 先考虑发光圆环意点P透镜成P点绕圆环周时应点集合构成整发光圆环通透镜成解析方法讨题
解 图1527示O点直角坐标系原点建立坐标系xOy考虑发光圆环点
P（xy）
①
发光点P（xy）根透镜成公式放率关系
②
③
联立②③式解
④
⑤
④⑤式代入①式中整理
⑥
⑥式需求圆环称中心位光心45cm处光轴长轴椭圆
讨 果发光圆环球壳取代根称性球壳圆环绕轴旋转周行成椭圆
r1
r2
f
d
F
A
B
图1528
点评 曲线形线状物通透镜成定曲线状什样曲线视具体情况定例题中发光圆环成变椭圆环例题关键建立恰物方方坐标系球解问题
例7求厚透镜两波长焦距条件类型透镜讨行性
解 必须知道厚透镜性质厚透镜述数表征球形表面半径厚度d折射n（图1528）焦距fBF式出
焦距点B算起B离表面距离
述公式意厚度厚透镜成立轴光线满意结果定似
光透镜色散透镜波长折射率波长折射率折射率n幂次整理焦距公式
二次方程定f值应两n值问题解决
先代入方程令相等
整理
果半径厚度d满足条件两波长两折射率说焦距相趣折射率积起作色散（）折射率1括号数值1说明半径镜厚意味着透镜相厚
结果讨：首先透镜凸凹种透镜限半径次负发散透镜许双凹透镜
120cm
80cm
090cm
图1329
果求f（fh）两折射率相值实现点复杂问题
例7相机镜头L前228m处物体清晰成镜头面120cm处相胶片P两面行玻璃板插入镜头胶片间光轴垂直位置图1329示设相机镜头作简单薄凸透镜光线轴光线
1求插入玻璃板新位置
2果保持镜头玻璃板胶片三者间距离变求物体然清晰成胶片物体应放处？
解 解法1
图1330
1折射率n厚度d 两面行玻璃板会聚点傍轴光束折射作方法求出：图1330取指点傍轴光线C光线行玻璃板折射光路CDE板第面入射角i折射角r均角度反延长E交D点处法线F容易出DE行四边形
行板厚度d
ir
结果会聚点傍轴光线均成立轴点会聚傍轴光束行玻璃板折射会聚轴点种情形行玻璃板作点远离板方移动距离题数
成镜头面120+03123（cm）处
2设机镜头焦距f 放玻璃板时
1228+121f
f114cm
插入玻璃板时成离镜头12cm处胶片应改变物距放玻璃板时成镜头面v处
v12003117(cm)
设时物距u
1u+11171114
u≈445m
：物体置镜头前445m时插入玻璃板胶片清晰
解法2
图1531
1玻璃板第面折射物距
根公式 （见图1531）
玻璃板第二面折射（见图1332）
物距
图1532
根
成镜头面距
原移动△v
2设机镜头焦距f插入玻璃板时
1f1228+112
f114cm
放玻璃板成离镜头12cm处胶片采光路逆性原理已知位置求物体应位置
玻璃板第二面折射：
已知：距设相应物
物
L1
L2
图1529
玻璃板第面折射：
已知：距设相应物P
凸透镜距v86+31117(cm) 时物距u
1u+11171114
u445m
物体应放相机镜头前445m处胶片清晰
L1
d+u
u
v
dv
d
O1
O2
L2
图1531
例8两焦距分凸透镜果两透镜做适配置垂直光轴物体原位置成等倒立图1533示试求出满足述求配置方案中透镜位置
分析 首先应根题目出条件分析出物透镜成虚实出光学系统配置关系然运透镜成公式求出光学系统中物位置具体距离数量关系
解 设光线左右先两凸透镜成题目求位置反回考虑光线第2透镜继续右传播成必虚满足题设求判定作透镜2物必左侧物距透镜2焦距倒立考虑透镜2
物应该透镜1定傍轴物体成（中间）定物倒立实必然成透镜1右侧（原物样肯定中间定缩）分析表明光线系统配置图1528示
根图标明两透镜位置物距距
L1
L2
d
2cm
18cm
F′
F
(焦)
图1534
①
虚
②
物相等
③
③
代入①②化简
题图中求必须分析知取焦距较透镜（取透镜a反反）作透镜放物右方距离u处焦距较透镜作透镜放透镜右方距离d处题求配置方案
例9焦距20cm薄凸透镜焦距18cm薄凹透镜应放置行光通组合透镜成
1行光束2会聚光束3发散光束（情况均绘图表示）
L2
L1
d
F′
F2
图1535
F2
F1
L1
L2
图1536
解 设凸透镜焦点凹透镜焦点
1行光束
F2
F1
L2
L1
图1537
（1）凸透镜前时d2cmd两透镜间距离（见图1534）
L2
L1
d
F′
F2
图1538
d
F1
F2
L2
L1
图1539
图1540
（2）凹透镜前时d2cm根光路逆性原理相前面系统反
2会聚光束
（1） 凸透镜前时20cm＞d＞2cm（图1535）
（2） 凹透镜前时d＞2cm（图1536）
3发散光束
（1）凸透镜前时d＞2cm（图1537）
（2）凸透镜前时20cm＞d＞2cm（图1538）
凹透镜前时20cm＞d＞2cm（图1539）
10焦距f数值均相三薄透镜 次凸透镜凹透镜凸透镜构成轴光学系统相邻透镜间距离均d透镜光心分图1540示透镜左方位光轴物点P光学系统终成透镜右方Q点 距离物点P透镜距离应少？
分析 题陆续成考虑透镜做出⑥式解列式子时容易出错考虑称性解法清晰物理图求解动
题⑦式解P成思路解出简明样想必须透镜成时物距零距零作已知结行
解（1）该系统凹透镜言左右称光学系统题意物点P点Q处称位置凹透镜言物点成点应分居两侧物距距相等
图1541
图1542
1
代入凹透镜物公式
2
解 3
物距距均负值表明：物点P透镜成作凹透镜物点位右侧虚物凹透镜成左侧虚虚点虚点凹透镜位称位置（图1541）
4
代入凸透镜物公式
5
解出
（2）②式凹透镜距表示
物点右左逐渐趋时物距负值逐渐增趋零时距负值逐渐增趋零点左右趋时时凸透镜言距参见图1542代入⑤式
解：
7
结果表明物点P透镜恰成透镜光心系统称性知透镜成称点Q距数值
知⑥式⑦式均求解⑦式结果透镜间距d必须满足条件
8
角度考虑P通成正光心处时原处样面结果
例11束行光薄凸透镜光轴入射透镜折射会聚透镜f48cm处透镜折射率n15透镜凸面镀银物置面前12cm处求成位置
分析凸透镜凸面镀银成凹面镜根凸透镜行光汇聚关系求出凸球面曲率半径R求出凹面镜焦距根面折射成凹面镜成规律进步求出成位置
图1543
解（1）先求凸球面曲率求径R行光轴光线面垂直发生折射球面发生折射交光轴F点图1543示C点球面球心正弦定理
1
折射定律知
2
12cm
图1544
ir时两式
3
4
（2）凸面镀银成半径R凹面镜图1544示令P表示物位置P点面折射成根折射定律推出
5
薄透镜凹面镜距离认等设反射成球面镜成公式
6
图1545
解知位面左方面折射说虚物面折射成实点
7
8
成实透镜左方24cm处
例12高圆柱形容器口放焦距90mm凸透镜透镜方中轴线距透镜100mm处放圆面形光源（图1545）
1光源产生半径45mm实求实位置
2容器中注水水面高光源10mm求位置
3继续注水注满容器恰碰透镜求时
解1设uvf分物距距焦距成公式
h
h′
γ
i
图1546
代入u100mmf90mm
放率公式知光源半径b
2注入水水面高光源h(mm)时水面折射作光源等效浮段距离等效光源距水面处设ir分入射角折射角（图1546）轴光线
原物距u注入水变成等效物距
距
题中h100mmu100mm
实透镜方1170mm处
3水注满恰碰透镜时面公式时h100mm
等效光源已焦距时半径
附加薄透镜
(a)
12cm
30cm
20cm
透镜
(b)
附
15cm
(C)
图1547
时成半径30mm正立虚位透镜方
例13单凸透镜构成焦距12cm暗箱伸长20cm相机相机拍摄距镜头15cm处物体需镜头附加焦距少薄透镜暗箱伸长时清晰呈现底片？（假设两薄透镜紧贴着间距离忽略计）
分析：组合透镜成问题两角度考虑求解（1）成先序物体前透镜成视透镜成物重复运透镜成公式求解（2）组合透镜视透镜整体处理根组合透镜总焦距分透镜间关系式求解
解法：附加薄透镜加镜头前面相机镜头焦距12cm暗箱伸长20cm设拍摄物体距离u
f12cmv20cm代入透镜成公式求u
设附加镜头焦距作距镜头15cm物体成30cm处
u15cmv30cm代入透镜成公式求
凸透镜光路图图1547示
图1547（a）表示附加薄透镜作距镜头15cm物体30cm处造成虚图1547（b）表示物透镜成镜20cm处底板成实图1547（c）表示附加透镜加透镜前面距透镜15cm物体AB发光线附加透镜透镜折射侧20cm处实
解法二：附加薄透镜加镜头面
附加透镜时物距u15cm焦距f12cm距v
设附加镜头焦距述附加透镜中虚物时物距距
透镜
15cm
(a)
12cm
1
2
1
3
2
1
附加薄透镜
(b)
附
15cm
(c)
透镜
图1548
光路图图1548示
图1548（a）表示距透镜15cm物体透镜侧成距透镜60cm实图1548（b）表示附加透镜附透镜光线①通光心方变物体射出光线透镜折射中光线②附加透镜折射改变方光线③成处图1548（c）表示距透镜15cm物体透镜附加透镜折射成侧20cm处
解法三：相机镜头焦距f12cm附加薄凸透镜焦距相焦距F凸透镜
6cm
10cm
5cm
6cm
L1
L2
n15
45˚
f1
f2
f210cm
f120cm
B
A
图1549
求F值代入①式
求附加薄透镜焦距
点评：透镜透镜透镜面镜棱镜球面镜等光学元件构成光学系统成问题类典型问题类问题方面注意光学元件成规律方面注意成先序物相性前光学元件视光学元件物
例14长度4mm物体AB图1549示光学系统成光学系统直角棱镜会聚透镜发散透镜组成关参数尺寸均示图中求：
1位置
2作图说明实虚正立倒立
解 解法1
1分析等效处理
根棱镜玻璃折射率棱镜斜面全反射界角
6cm
10cm
5cm
6cm
L1
L2
N15
45˚
图1550
注意物长 4mm光路估算进入棱镜轴光线斜面入射角45º左右界角发生全反射光线言棱镜斜面成反射镜题光路反射镜成考虑方法光路拉直图4334示
图1551
现问题转化正立物体块垂直光轴厚度6cm玻璃板会聚透镜发散透镜成问题
2求位置
厚玻璃板轴光线产生右侧移动定距离成光学系统面部分光路物称侧移物利光轴光线光轴成角光线讨求出移动距离
设轴物点B厚度玻璃板作形成点（侧物点）（图1551）画出厚玻璃板光线折射图知
角度时
物AB通厚玻璃板成间距离
透镜说物物距
图1552
见物证 左方焦面距
考虑透镜行光线入射情况
必成发散透镜左侧焦面（虚）
整光路成位置 左侧10cm处
3求虚实正倒情况
作图法求解图1552示（图示清楚图中物高加）
连接延长便发光线行光线方光心作行线交C点出发折射通光心光线图1553
反延长左侧焦面交点成点令左侧焦面光轴焦点正立虚图
AB等高
解法2
关物体棱镜（折射反射折射）成位置采视深法处理
图1553示AB发出PQ面垂直光束PQ面折射成视深问题PQ面距离均ABPQ面距离n倍
（物相）
PQ面折射成变
PQ面折射成变
求出作透镜物距部分求解解法1
例15焦距2000cm薄凸透镜轴离透镜中心3000cm处发光点S厚度忽略光楔C（顶角三棱镜）放发光点透镜间垂直轴透镜距离200cm图1554示设光楔折射率n15楔角0028弧度透镜图1554
侧离透镜中心4625cm处放面镜M反射面着透镜垂直轴问形成发光点相发光点位置处（讨轴光线角度似适分析计算程中应作出必光路图）？
分析光具成问题厚度忽略光楔成程中作相光线产生偏折薄板面镜光线反射次凸透镜成程中根折射定律透镜成公式关数学似进行系列计算出结果
图1555
解五次成程
（1）光楔入射光线偏折偏角（出射光线入射光线方夹角）表示图1555知
轴光线
样
图1556
代入数值
入射角关成光线光楔偏折样角度光楔厚度忽略作光路图时画成光线产生偏折角薄板图1556
光点S光楔成虚点轴光线S正方S距离h离光楔距离
代入数
（2）透镜L实物点位置式求出
图1557
u3000cmf2000cm代入
视光轴垂直物透镜放率公式
求
图1558
点光轴方光轴距离078cm透镜中心距离6000cm处图1557
（3）面镜面镜虚物面镜成点称面镜（图1557）
（4）作透镜实物
透镜折射次成设点L距离分
透镜左侧轴方图1558
（5）第二次透镜折射成光线光楔偏折次成点正方离光楔距离50cm离光轴距离（见图1558）
点光轴垂足S距离
点发光点S左侧光轴方光轴距离055cm光轴垂足S距离2200cm
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