难点7 奇偶性单调性()
函数单调性奇偶性高考重点容考查容灵活样节帮助考生深刻理解奇偶性单调性定义掌握判定方法正确认识单调函数奇偶函数图象
●难点磁场
(★★★★)设a>0f(x)R偶函数(1)求a值(2)证明： f(x)(0+∞)增函数
●案例探究
［例1］已知函数f(x)(－11)定义f()－1仅0(1)f(x)奇函数(2)f(x)(－11)单调递减
命题意图：题考查函数奇偶性单调性判定运算力逻辑推理力属★★★★题目
知识托：奇偶性单调性定义判定赋值法转化思想
错解分析：题思维力求较高果赋值够准确运算技关结果难获
技巧方法：(1)获f(0)值进取x－y解题关键(2)判定范围焦点
证明：(1)f(x)+f(y)f()令xy0f(0)0令y－xf(x)+f(－x)f()f(0)0∴f(x)－f(－x)∴f(x)奇函数
(2)先证f(x)(01)单调递减
令0∵001－x1x2>0∴>0
(x2－x1)－(1－x2x1)(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1
∴0<<1题意知f()<0
f(x2)∴f(x)(01)减函数f(x)奇函数f(0)0
∴f(x)(－11)减函数
［例2］设函数f(x)定义R偶函数区间(－∞0)单调递增
f(2a2+a+1)命题意图：题考查函数奇偶性单调性基应复合函数单调性判定方法题属★★★★★级题目
知识托：逆认识奇偶性单调性指数函数单调性函数值域问题
错解分析：逆思维受阻条件认识清晰复合函数判定程序紊乱
技巧方法：题属知识组合题类关键读题程中条件思考认识通题会解组合题类掌握审题般技巧方法
解：设0∴f(－x2)∴f(x2)
f(2a2+a+1)3a2－2a+1解0a2－3a+1(a－)2－
∴函数y()单调减区间［+∞］
结合0●锦囊妙计
难点涉问题解决方法：
(1)判断函数奇偶性单调性
具体函数严格定义判断注意变换中等价性
抽象函数托定义基础赋值法注意赋值科学性合理性
时注意判断证明讨三者区针列磁场训练认真体会数形统
复合函数奇偶性单调性问题解决关键：握复合程掌握基函数
(2)加强逆思维数形统正反结合解决基应题目节展开研究奇偶性单调性应
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)列函数中奇函数( )
Af(x)(x－1) Bf(x)
Cf(x) Df(x)
2(★★★★★)函数f(x)图象( )
A关x轴称 B关y轴称
C关原点称 D关直线x1称
二填空题
3(★★★★)函数f(x)R增函数yf(|x+1|)单调递减区间_________
4(★★★★★)函数f(x)ax3+bx2+cx+d满足f(0)f(x1)f(x2)0 (0三解答题
5(★★★★)已知函数f(x)ax+ (a>1)
(1)证明：函数f(x)(－1+∞)增函数
(2)反证法证明方程f(x)0没负数根
6(★★★★★)求证函数f(x)区间(1+∞)减函数
7(★★★★)设函数f(x)定义域关原点称满足：(i)f(x1－x2)
(ii)存正常数af(a)1求证：
(1)f(x)奇函数
(2)f(x)周期函数周期4a
8(★★★★★)已知函数f(x)定义域Rmn∈R恒f(m+n)f(m)+f(n)－1
f(－)0x>－时f(x)>0
(1)求证：f(x)单调递增函数
(2)试举出具种性质函数加验证
参考答案
难点磁场
(1)解：题意切x∈Rf(x)f(－x)+aex整理(a－)
(ex－)0a－0a21a>0∴a1
(2)证法：设0＜x1＜x2f(x1)－f(x2)
x1>0x2>0x2>x1∴>01－e＜0
∴f(x1)－f(x2)＜0f(x1)＜f(x2)
∴f(x)(0+∞)增函数
证法二：f(x)ex+e－xf′(x)ex－e－xe－x·(e2x－1)x∈(0+∞)时e－x>0e2x－1>0
时f′(x)>0f(x)［0+∞)增函数
歼灭难点训练
1解析：f(－x) －f(x)f(x)奇函数
答案：C
2解析：f(－x)－f(x)f(x)奇函数图象关原点称
答案：C
二3解析：令t|x+1|t(－∞－1递减yf(x)R单调递增∴yf(|x+1|)(－∞－1递减
答案：(－∞－1
4解析：∵f(0)f(x1)f(x2)0∴f(0)d0f(x)ax(x－x1)(x－x2)ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x
∴b－a(x1+x2)f(x)［x2+∞单调递增a>0知0＜x1＜xx1+x2>0
∴b－a(x1+x2)＜0
答案：(－∞0）
三5证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞x2－x1>0 >1>0
∴>0x1+1>0x2+1>0
∴>0
f(x2)－f(x1)+ >0
∴f(x)(－1+∞）递增函数
(2）证法：设存x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)00＜＜10＜－＜1＜x0＜2x0＜0矛盾f(x)0没负数根
证法二：设存x0＜0(x0≠－1)f(x0)0－1＜x0＜0＜－2＜1∴f(x0)＜－1f(x0)0矛盾x0＜－1>0 >0∴f(x0)>0f(x0)0矛盾方程f(x)0没负数根
6证明：∵x≠0∴f(x)
设1＜x1＜x2＜+∞
∴f(x1)>f(x2)函数f(x)(1+∞）减函数(题求导方法解决）
7证明：(1）妨令xx1－x2f(－x)f(x2－x1)
－f(x1－x2)－f(x)∴f(x)奇函数
(2）证f(x+4a)f(x)先计算f(x+a)f(x+2a)
∵f(x+a)f［x－(－a)］
∴f(x+4a)f［(x+2a)+2a］f(x)f(x)4a周期周期函数
8(1）证明：设x1＜x2x2－x1－>－题意f(x2－x1－)>0
∵f(x2)－f(x1)f［(x2－x1)+x1］－f(x1)f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)f(x2－x1)－1f(x2－x1)+f(－)－1f［(x2－x1)－］>0
∴f(x)单调递增函数
(2)解：f(x)2x+1验证程略
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函数单调性奇偶性高考重点容考查容灵活样节帮助考生深刻理解奇偶性单调性定义掌握判定方法正确认识单调函数奇偶函数图象
●难点磁场
(★★★★)设a>0f(x)R偶函数(1)求a值(2)证明： f(x)(0+∞)增函数
●案例探究
［例1］已知函数f(x)(－11)定义f()－1仅0
命题意图：题考查函数奇偶性单调性判定运算力逻辑推理力属★★★★题目
知识托：奇偶性单调性定义判定赋值法转化思想
错解分析：题思维力求较高果赋值够准确运算技关结果难获
技巧方法：(1)获f(0)值进取x－y解题关键(2)判定范围焦点
证明：(1)f(x)+f(y)f()令xy0f(0)0令y－xf(x)+f(－x)f()f(0)0∴f(x)－f(－x)∴f(x)奇函数
(2)先证f(x)(01)单调递减
令0
(x2－x1)－(1－x2x1)(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1
∴0<<1题意知f()<0
f(x2)
∴f(x)(－11)减函数
［例2］设函数f(x)定义R偶函数区间(－∞0)单调递增
f(2a2+a+1)
知识托：逆认识奇偶性单调性指数函数单调性函数值域问题
错解分析：逆思维受阻条件认识清晰复合函数判定程序紊乱
技巧方法：题属知识组合题类关键读题程中条件思考认识通题会解组合题类掌握审题般技巧方法
解：设0
f(2a2+a+1)
∴函数y()单调减区间［+∞］
结合0
难点涉问题解决方法：
(1)判断函数奇偶性单调性
具体函数严格定义判断注意变换中等价性
抽象函数托定义基础赋值法注意赋值科学性合理性
时注意判断证明讨三者区针列磁场训练认真体会数形统
复合函数奇偶性单调性问题解决关键：握复合程掌握基函数
(2)加强逆思维数形统正反结合解决基应题目节展开研究奇偶性单调性应
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)列函数中奇函数( )
Af(x)(x－1) Bf(x)
Cf(x) Df(x)
2(★★★★★)函数f(x)图象( )
A关x轴称 B关y轴称
C关原点称 D关直线x1称
二填空题
3(★★★★)函数f(x)R增函数yf(|x+1|)单调递减区间_________
4(★★★★★)函数f(x)ax3+bx2+cx+d满足f(0)f(x1)f(x2)0 (0
5(★★★★)已知函数f(x)ax+ (a>1)
(1)证明：函数f(x)(－1+∞)增函数
(2)反证法证明方程f(x)0没负数根
6(★★★★★)求证函数f(x)区间(1+∞)减函数
7(★★★★)设函数f(x)定义域关原点称满足：(i)f(x1－x2)
(ii)存正常数af(a)1求证：
(1)f(x)奇函数
(2)f(x)周期函数周期4a
8(★★★★★)已知函数f(x)定义域Rmn∈R恒f(m+n)f(m)+f(n)－1
f(－)0x>－时f(x)>0
(1)求证：f(x)单调递增函数
(2)试举出具种性质函数加验证
参考答案
难点磁场
(1)解：题意切x∈Rf(x)f(－x)+aex整理(a－)
(ex－)0a－0a21a>0∴a1
(2)证法：设0＜x1＜x2f(x1)－f(x2)
x1>0x2>0x2>x1∴>01－e＜0
∴f(x1)－f(x2)＜0f(x1)＜f(x2)
∴f(x)(0+∞)增函数
证法二：f(x)ex+e－xf′(x)ex－e－xe－x·(e2x－1)x∈(0+∞)时e－x>0e2x－1>0
时f′(x)>0f(x)［0+∞)增函数
歼灭难点训练
1解析：f(－x) －f(x)f(x)奇函数
答案：C
2解析：f(－x)－f(x)f(x)奇函数图象关原点称
答案：C
二3解析：令t|x+1|t(－∞－1递减yf(x)R单调递增∴yf(|x+1|)(－∞－1递减
答案：(－∞－1
4解析：∵f(0)f(x1)f(x2)0∴f(0)d0f(x)ax(x－x1)(x－x2)ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x
∴b－a(x1+x2)f(x)［x2+∞单调递增a>0知0＜x1＜xx1+x2>0
∴b－a(x1+x2)＜0
答案：(－∞0）
三5证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞x2－x1>0 >1>0
∴>0x1+1>0x2+1>0
∴>0
f(x2)－f(x1)+ >0
∴f(x)(－1+∞）递增函数
(2）证法：设存x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)00＜＜10＜－＜1＜x0＜2x0＜0矛盾f(x)0没负数根
证法二：设存x0＜0(x0≠－1)f(x0)0－1＜x0＜0＜－2＜1∴f(x0)＜－1f(x0)0矛盾x0＜－1>0 >0∴f(x0)>0f(x0)0矛盾方程f(x)0没负数根
6证明：∵x≠0∴f(x)
设1＜x1＜x2＜+∞
∴f(x1)>f(x2)函数f(x)(1+∞）减函数(题求导方法解决）
7证明：(1）妨令xx1－x2f(－x)f(x2－x1)
－f(x1－x2)－f(x)∴f(x)奇函数
(2）证f(x+4a)f(x)先计算f(x+a)f(x+2a)
∵f(x+a)f［x－(－a)］
∴f(x+4a)f［(x+2a)+2a］f(x)f(x)4a周期周期函数
8(1）证明：设x1＜x2x2－x1－>－题意f(x2－x1－)>0
∵f(x2)－f(x1)f［(x2－x1)+x1］－f(x1)f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)f(x2－x1)－1f(x2－x1)+f(－)－1f［(x2－x1)－］>0
∴f(x)单调递增函数
(2)解：f(x)2x+1验证程略
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