1985年普通高等学校招生全国统考试理科数学试题答案
考生注意：份试题八道题满分120分第九题附加题满分10分计入总分
．（题满分15分）题5题题出代号ABCD四结中结正确正确结代号写题圆括号选3分选选错者选出代号超（否写圆括号）律0分
（1）果正方体ABCDA＇B＇C＇D＇棱长四面体A＇ABD体积 （ D )
（2） （ A ）
（A）必条件 （B）充分条件
（C）充分必条件 （D）充分必条件
（3）面出函数中函数区间增函数π周期偶函数？ （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
(4)极坐标方程图象 （ C ）
(A)
O X
(C)
O X
(B)
O X
(D)
O X
（5）12345五数字组成20000百位数数字3没重复数字五位数 （ B ）
（A）96 （B）78
（C）72 （D）64
二．（题满分20分）题5题题满分4分求直接写出结果）
（1）求方程解集
答：
（2）设求值
答：π
（3）求曲线焦点
答：（00）
（4）设(3x1)6a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0求a6+a5+a4+a3+a2
+a1+a0值
答：64（26）
（5）设函数f(x)定义域[01]求函数f(x2)定义域
答：[11]
三．（题满分14分）
（1）解方程
解：原数方程
解方程x10x27
检验：x7增根x0原方程根
（2）解等式
解：
解
四．（题满分15分）
图设面ACBD相交BC成二面角450P面AC点Q面BD点已知直线MQ直线PQ面BD射影MBC设PQ面BD成角β∠CMQθ（00<θ<900)线段PM长求线段PQ长
A
P
B N C 450
M θ
R β
Q D
解：点P作面BD垂线垂足R直线MQ直线PQ面BD射影RMQR作BC垂线设垂足N
PN⊥BC（三垂线定理）∠PNR二面角面角∠PNR450
直线MQ直线PQ面BD射影∠PQRβ
Rt△PNR中NRPRctg450NRPR
Rt△MNR中MR
Rt△PMR中
已知00＜θ＜900
Rt△PRQ中
线段PQ长
五．（题满分15分）
设O复面原点Z1Z2复面两动点满足：（1）Z1Z2应复数辐角分定值θθ
（2）△OZ1Z2面积定值S
求△OZ1Z2重心Z应复数模值
Y
Z1
θ
O θ X
Z2
解：设Z1Z2Z应复数分z1z2z中
Z△OZ1Z2重心根复数加法意义
知△OZ1Z2面积定值S
六．（题满分15分）
已知两点P（22）Q（02）条直线：Lyx设长线段AB直线L移动图求直线PAQB交点M轨迹方程（求结果写成普通方程）
解：线段AB直线yx移动AB长设点AB分（)(+1+1)中参数
Y
yx
Q
P·
X
B O
A
M
：直线PA方程
直线QB方程
1直线PAQB行交点
2．时直线PAQB相交设交点M(xy)（2）式
述两式代入（1）式
21时直线PAQB然相交交点坐标满足（*）式
（*）式求动点轨迹方程
注：考生没指出021时情形扣分
七．（题满分14分）
设
（1）证明等式正整数n成立
（2）设定义证明
（1）证：数学纳法略
证二：等式正整数k成立k1n（n≥1）求
正整数n成立
（2）（1）bn定义知
意指定正数ε
取N整数部分数列bn第N项项满足
根极限定义证
八．（题满分12分）
设b两实数
A{(xy)|xnyn+bn整数}
B{(xy)|xmy3m2+15m整数}
C{(xy)|x2+y2≤144}
面XOY点集合讨否存b
（1）A∩B≠（表示空集）
（2）（b)∈C
时成立
解：果实数b（1）成立存整数mn
(nn+b)(m3m2+15)
出存整数nn+b3n2+15
写成n+b(3n2+15)0
等式表明点P（b)直线L：nx+y(3n2+15)0记原点直线L距离d
仅时式中等号成立n整数式中等号成立
点P直线L点P原点距离必满足
（2）成立求2+b2≤144见（1）成立b必（2）成立
存实数b（1）（2）时成立
九．（附加题题满分10分）
已知曲线yx36x2+11x6应弧段求点P曲线该点切线y轴截距求出值
解：已知曲线方程yx36x2+11x6y＇3x212x+11
曲线取点P(x0y0)点P处切线斜率
y＇|xx03x0212x0+11
点P处切线方程
y(3x0212x0+11)(xx0)+y0
设切线y轴截距r
r(3x0212x0+11)(x0)+(x036x02+11x06)2x03+6x026
根题意求r（x0变量函数）区间[02]值
r＇6x02+12x06x0(x02)
0＜x0＜2时r＇＞0r增函数r区间[02]左端点x00处取值点P（06）处切线y轴截距
值r值6
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考生注意：份试题八道题满分120分第九题附加题满分10分计入总分
．（题满分15分）题5题题出代号ABCD四结中结正确正确结代号写题圆括号选3分选选错者选出代号超（否写圆括号）律0分
（1）果正方体ABCDA＇B＇C＇D＇棱长四面体A＇ABD体积 （ D )
（2） （ A ）
（A）必条件 （B）充分条件
（C）充分必条件 （D）充分必条件
（3）面出函数中函数区间增函数π周期偶函数？ （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
(4)极坐标方程图象 （ C ）
(A)
O X
(C)
O X
(B)
O X
(D)
O X
（5）12345五数字组成20000百位数数字3没重复数字五位数 （ B ）
（A）96 （B）78
（C）72 （D）64
二．（题满分20分）题5题题满分4分求直接写出结果）
（1）求方程解集
答：
（2）设求值
答：π
（3）求曲线焦点
答：（00）
（4）设(3x1)6a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0求a6+a5+a4+a3+a2
+a1+a0值
答：64（26）
（5）设函数f(x)定义域[01]求函数f(x2)定义域
答：[11]
三．（题满分14分）
（1）解方程
解：原数方程
解方程x10x27
检验：x7增根x0原方程根
（2）解等式
解：
解
四．（题满分15分）
图设面ACBD相交BC成二面角450P面AC点Q面BD点已知直线MQ直线PQ面BD射影MBC设PQ面BD成角β∠CMQθ（00<θ<900)线段PM长求线段PQ长
A
P
B N C 450
M θ
R β
Q D
解：点P作面BD垂线垂足R直线MQ直线PQ面BD射影RMQR作BC垂线设垂足N
PN⊥BC（三垂线定理）∠PNR二面角面角∠PNR450
直线MQ直线PQ面BD射影∠PQRβ
Rt△PNR中NRPRctg450NRPR
Rt△MNR中MR
Rt△PMR中
已知00＜θ＜900
Rt△PRQ中
线段PQ长
五．（题满分15分）
设O复面原点Z1Z2复面两动点满足：（1）Z1Z2应复数辐角分定值θθ
（2）△OZ1Z2面积定值S
求△OZ1Z2重心Z应复数模值
Y
Z1
θ
O θ X
Z2
解：设Z1Z2Z应复数分z1z2z中
Z△OZ1Z2重心根复数加法意义
知△OZ1Z2面积定值S
六．（题满分15分）
已知两点P（22）Q（02）条直线：Lyx设长线段AB直线L移动图求直线PAQB交点M轨迹方程（求结果写成普通方程）
解：线段AB直线yx移动AB长设点AB分（)(+1+1)中参数
Y
yx
Q
P·
X
B O
A
M
：直线PA方程
直线QB方程
1直线PAQB行交点
2．时直线PAQB相交设交点M(xy)（2）式
述两式代入（1）式
21时直线PAQB然相交交点坐标满足（*）式
（*）式求动点轨迹方程
注：考生没指出021时情形扣分
七．（题满分14分）
设
（1）证明等式正整数n成立
（2）设定义证明
（1）证：数学纳法略
证二：等式正整数k成立k1n（n≥1）求
正整数n成立
（2）（1）bn定义知
意指定正数ε
取N整数部分数列bn第N项项满足
根极限定义证
八．（题满分12分）
设b两实数
A{(xy)|xnyn+bn整数}
B{(xy)|xmy3m2+15m整数}
C{(xy)|x2+y2≤144}
面XOY点集合讨否存b
（1）A∩B≠（表示空集）
（2）（b)∈C
时成立
解：果实数b（1）成立存整数mn
(nn+b)(m3m2+15)
出存整数nn+b3n2+15
写成n+b(3n2+15)0
等式表明点P（b)直线L：nx+y(3n2+15)0记原点直线L距离d
仅时式中等号成立n整数式中等号成立
点P直线L点P原点距离必满足
（2）成立求2+b2≤144见（1）成立b必（2）成立
存实数b（1）（2）时成立
九．（附加题题满分10分）
已知曲线yx36x2+11x6应弧段求点P曲线该点切线y轴截距求出值
解：已知曲线方程yx36x2+11x6y＇3x212x+11
曲线取点P(x0y0)点P处切线斜率
y＇|xx03x0212x0+11
点P处切线方程
y(3x0212x0+11)(xx0)+y0
设切线y轴截距r
r(3x0212x0+11)(x0)+(x036x02+11x06)2x03+6x026
根题意求r（x0变量函数）区间[02]值
r＇6x02+12x06x0(x02)
0＜x0＜2时r＇＞0r增函数r区间[02]左端点x00处取值点P（06）处切线y轴截距
值r值6
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