20192020学年市中高三第五次模拟考试
数学试题（理科）
（满分：150分 时间：120分钟）
选择题（题12题题5分60分）
1复数纯虚数（虚数单位）实数值（ ）
A B C D
2已知（ ）
A B C D
3非零量满足夹角（ ）
A B C D
4图某体三视图该体表面积（ ）
A B
C D
5 已知等差数列前项满足数列公差（ ）
A1 B2 C4 D6
6 直线圆相交MN两点取值范围（ ）
A B C D
7中美俄等21国领导合影留念站成两排前排11排10中国领导站第排正中间位置美俄两国领导站中国领导相邻两侧果领导站位置做求站法（ ）
A种 B种 C种 D种
8函数图象致（ ）
A B
C D
9设满足约束条件目标函数值（ ）
A B C D
10国古代数学名著九章算术中更相减损法思路面程序框图相似执行该程序框图输入分1418输出等（ ）
A2 B4 C6 D8
11 设正整数展开式中第四项系数记函数图象围成阴影部分面积取点恰落阴影区域概率（ ）
A B C D
12已知函数时函数均增函数取值范围（ ）
A B C D
二填空题（题4题题5分20分）
13某校次测试中约600参加考试数学考试成绩（试卷满分150分）统计结果显示数学考试成绩80分120分间数约总数次测试中数学考试成绩低120学生约___________
14已知数列满足成立值_________
15已知函数区间单调递增值____________
16设分双曲线左右焦点右支点射线分原点作行线交点离心率____________
三解答题（题6题70分解答请写出必文字说明演算步骤）
17已知量设
（1）求函数解析式单调增区间
（2）△中分角边求△面积
182016年1月1日起国全面二孩政策正式实施次口生育政策历史性调整生生二孩休久产假等问题成千千万万家庭生育决策避开话题解针产假安排方案形成生育意愿某调查机构机抽取200户生育二胎力适龄家庭进行问卷调查数：
产假安排（单位：周）
14
15
16
17
18
生育意愿家庭数
4
8
16
20
26
（1）表中数频率代概率面产假14周16周估计某家庭生育意愿概率分少？
（2）假设5种安排方案中机抽取2种安排分作备选方案然单位根单位情况选择
①求两种安排方案休假周数低32周概率
②果表示两种方案休假周数求机变量分布列数学期
19图示体中四边形正方形面
（1）求证：面
（2）求面成角正弦值
（3）棱否存点面面？果存求值果存说明理
20已知椭圆C中心坐标原点焦点x轴左顶点A左焦点点椭圆直线椭圆C交EF两点直线AEAF分y轴交MN点
（1）求椭圆C方程
（2）MN直径圆否定点？求出定点坐标请说明理
21已知函数
（1）时求证：
（2）时试讨函数零点数
选做题：请两题中选题作答两题做第22题分
22面直角坐标系中原点极点轴极轴建立极坐标系曲线方程（参数）曲线极坐标方程曲线相交两点
(1)求值
(2)求点两点距离积
23 （1）已知实数满足证明：
（2）已知a>0求证：－≥a＋－2
数学试题（理科）参考答案解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
D
B
B
A
D
B
B
A
11二项展开式通项公式令r3
∴求概率
12(2]
解析：函数均增函数恒成立恒成立令恒成立ab满足直角坐标系作出行域中表示意义点P(22)行域点Q(ab)两点连线斜率图知取值范围(2]
13120 145 151
16
解：设PT交x轴点TOM∥PTPT角分线
代入
17(1)
函数单调递增区间
(2)
∵
∴
∴
∴
∴
∴
18解：（1）表中信息知产假14周时某家庭生育意愿概率
产假16周时某家庭生育意愿概率
（2）①设两种安排方案休假周数低32周事件已知5种安排方案中机抽取2种方案选 法（种）
低32周选法（1418）（1517）（1518）（1617）（1618）（1718）6种古典概型概率计算公式
②题知机变量取值29303132333435
分布列
29
30
31
32
33
34
35
P
01
01
02
02
02
01
01
19解：（1）设PA中点G连结EGDG
∵PA∥BEPA4BE2
∴BE∥AGBEAG
∴四边形BEGA行四边形
∴EG∥ABEGAB
∵正方形ABCDCD∥ABCDAB
∴EG∥CDEGCD
∴四边形CDEG行四边形
∴EG∥DG
∵DG面PADCE面PAD
∴CE∥面PAD
(2)图建立空间坐标系B(400)C(440)E(402)P(004)D(040)
∴
设面PCE法量
∴
令x1
∴
设PD面PCE成角
PD面PCE成角正弦值
（3）假设存点F(a00)满足题意
设面DEF法量
令x2
面DEF面PCE
存点F(00)满足题意
20解：（1）设椭圆C方程
∵椭圆左焦点
∴
∵点
椭圆C
解b2椭圆C方程
（2）椭圆C左顶点A点A坐标
直线椭圆交两点EF设点E()（妨设）点F联立方程组
消y
直线AE方程
直线AEAF分y轴交点MN
令x0
点
理点
设MN中点P点P坐标
MN直径圆方程
令y0x2x2
MN直径圆两定点
21解：（1）m1时
①
令
时
∴
∴函数增函数时
∴函数增函数时
（2）（1）①式知时
∴
∴函数单调递减区间单调递增区间
∴
∴②
（I）时
∴
∴②式
∴函数增函数
∴时时
∴函数仅零点x0
（II）时
ⅰ）时
∴
函数时单调递减
∴
时函数零点
ⅱ）时
函数单调递增
时
∴函数零点存性定理知
时
时
∴函数单调递减区间单调递增区间
∴
时
∴
∴函数零点存性定理知
综述时函数仅零点时函数两零点
22 解析：(1) 曲线普通方程
普通方程x+y10
参数方程：
代入
(2)
23（1）证明：证法∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
证法二：证需证
需证需证
∵
∴
∴成立
∴证明等式成立
（2）证明：证需证
需证
证
需证
证式显然成立
∴原等式成立
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数学试题（理科）
（满分：150分 时间：120分钟）
选择题（题12题题5分60分）
1复数纯虚数（虚数单位）实数值（ ）
A B C D
2已知（ ）
A B C D
3非零量满足夹角（ ）
A B C D
4图某体三视图该体表面积（ ）
A B
C D
5 已知等差数列前项满足数列公差（ ）
A1 B2 C4 D6
6 直线圆相交MN两点取值范围（ ）
A B C D
7中美俄等21国领导合影留念站成两排前排11排10中国领导站第排正中间位置美俄两国领导站中国领导相邻两侧果领导站位置做求站法（ ）
A种 B种 C种 D种
8函数图象致（ ）
A B
C D
9设满足约束条件目标函数值（ ）
A B C D
10国古代数学名著九章算术中更相减损法思路面程序框图相似执行该程序框图输入分1418输出等（ ）
A2 B4 C6 D8
11 设正整数展开式中第四项系数记函数图象围成阴影部分面积取点恰落阴影区域概率（ ）
A B C D
12已知函数时函数均增函数取值范围（ ）
A B C D
二填空题（题4题题5分20分）
13某校次测试中约600参加考试数学考试成绩（试卷满分150分）统计结果显示数学考试成绩80分120分间数约总数次测试中数学考试成绩低120学生约___________
14已知数列满足成立值_________
15已知函数区间单调递增值____________
16设分双曲线左右焦点右支点射线分原点作行线交点离心率____________
三解答题（题6题70分解答请写出必文字说明演算步骤）
17已知量设
（1）求函数解析式单调增区间
（2）△中分角边求△面积
182016年1月1日起国全面二孩政策正式实施次口生育政策历史性调整生生二孩休久产假等问题成千千万万家庭生育决策避开话题解针产假安排方案形成生育意愿某调查机构机抽取200户生育二胎力适龄家庭进行问卷调查数：
产假安排（单位：周）
14
15
16
17
18
生育意愿家庭数
4
8
16
20
26
（1）表中数频率代概率面产假14周16周估计某家庭生育意愿概率分少？
（2）假设5种安排方案中机抽取2种安排分作备选方案然单位根单位情况选择
①求两种安排方案休假周数低32周概率
②果表示两种方案休假周数求机变量分布列数学期
19图示体中四边形正方形面
（1）求证：面
（2）求面成角正弦值
（3）棱否存点面面？果存求值果存说明理
20已知椭圆C中心坐标原点焦点x轴左顶点A左焦点点椭圆直线椭圆C交EF两点直线AEAF分y轴交MN点
（1）求椭圆C方程
（2）MN直径圆否定点？求出定点坐标请说明理
21已知函数
（1）时求证：
（2）时试讨函数零点数
选做题：请两题中选题作答两题做第22题分
22面直角坐标系中原点极点轴极轴建立极坐标系曲线方程（参数）曲线极坐标方程曲线相交两点
(1)求值
(2)求点两点距离积
23 （1）已知实数满足证明：
（2）已知a>0求证：－≥a＋－2
数学试题（理科）参考答案解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
D
B
B
A
D
B
B
A
11二项展开式通项公式令r3
∴求概率
12(2]
解析：函数均增函数恒成立恒成立令恒成立ab满足直角坐标系作出行域中表示意义点P(22)行域点Q(ab)两点连线斜率图知取值范围(2]
13120 145 151
16
解：设PT交x轴点TOM∥PTPT角分线
代入
17(1)
函数单调递增区间
(2)
∵
∴
∴
∴
∴
∴
18解：（1）表中信息知产假14周时某家庭生育意愿概率
产假16周时某家庭生育意愿概率
（2）①设两种安排方案休假周数低32周事件已知5种安排方案中机抽取2种方案选 法（种）
低32周选法（1418）（1517）（1518）（1617）（1618）（1718）6种古典概型概率计算公式
②题知机变量取值29303132333435
分布列
29
30
31
32
33
34
35
P
01
01
02
02
02
01
01
19解：（1）设PA中点G连结EGDG
∵PA∥BEPA4BE2
∴BE∥AGBEAG
∴四边形BEGA行四边形
∴EG∥ABEGAB
∵正方形ABCDCD∥ABCDAB
∴EG∥CDEGCD
∴四边形CDEG行四边形
∴EG∥DG
∵DG面PADCE面PAD
∴CE∥面PAD
(2)图建立空间坐标系B(400)C(440)E(402)P(004)D(040)
∴
设面PCE法量
∴
令x1
∴
设PD面PCE成角
PD面PCE成角正弦值
（3）假设存点F(a00)满足题意
设面DEF法量
令x2
面DEF面PCE
存点F(00)满足题意
20解：（1）设椭圆C方程
∵椭圆左焦点
∴
∵点
椭圆C
解b2椭圆C方程
（2）椭圆C左顶点A点A坐标
直线椭圆交两点EF设点E()（妨设）点F联立方程组
消y
直线AE方程
直线AEAF分y轴交点MN
令x0
点
理点
设MN中点P点P坐标
MN直径圆方程
令y0x2x2
MN直径圆两定点
21解：（1）m1时
①
令
时
∴
∴函数增函数时
∴函数增函数时
（2）（1）①式知时
∴
∴函数单调递减区间单调递增区间
∴
∴②
（I）时
∴
∴②式
∴函数增函数
∴时时
∴函数仅零点x0
（II）时
ⅰ）时
∴
函数时单调递减
∴
时函数零点
ⅱ）时
函数单调递增
时
∴函数零点存性定理知
时
时
∴函数单调递减区间单调递增区间
∴
时
∴
∴函数零点存性定理知
综述时函数仅零点时函数两零点
22 解析：(1) 曲线普通方程
普通方程x+y10
参数方程：
代入
(2)
23（1）证明：证法∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
证法二：证需证
需证需证
∵
∴
∴成立
∴证明等式成立
（2）证明：证需证
需证
证
需证
证式显然成立
∴原等式成立
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