第一节 随机变量的联合概率分布

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1. 第三章多元随机变量的分布1
2. §1 二维随机变量的联合概率分布到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）来确定的等等.2
3. 一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随机向量. 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，为简单起见，我们重点讨论二维随机变量 .请注意与一维情形的对照 .3
4. 一、二维离散型随机变量的联合分布律则称二维表为(X,Y)的联合分布律。 1. 联合分布4
5. 5
6. 例1 袋中有2只白球3只黑球，还原摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律。解6
7. 例1 袋中有2只白球3只黑球，还原摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律。解7
8. 例2解由于所以 8
9. 故(X,Y)的联合概率分布为 9
10. 2. 边缘分布二维随机变量(X,Y)作为一个整体, 用联合分布来刻画. 而X和Y都是一维随机变量, 各有自己的分布, 称为边缘分布.设( X,Y )是离散型二维随机变量，联合分布律为则边缘分布为记作10
11. 袋中有2只白球3只黑球，还原摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则(X,Y)的联合分布律为例3Y的边缘分布X的边缘分布所以的边缘分布律分别为11
12. 若改为非还原摸球，则(X,Y)的联合分布律为边缘分布为12
13. 边缘分布为与还原的情况比较，但边缘分布却完全相同。两者的联合分布完全不同，若改为非还原摸球，则(X,Y)的联合分布律为 13
14. 说明：联合分布可以唯一确定边缘分布，但是边缘分布一般不能唯一确定联合分布。也即，二维随机向量的性质一般不能由它的分量的个别性质来确定，还要考虑分量之间的联系，这也说明了研究多维随机向量的作用。 14
15. 3. 条件分布在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量设有两个随机变量X,Y ，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.这个分布就是条件分布.15
16. 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若P(Y=yj)>0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.类似地，对于固定的 i，若P(X=xi)>0，则称为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.16
17. 条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.例如：17
18. 设(X,Y )的联合分布律为例4解求在给定Y=2下随机变量X的条件分布律和在给定X=1下随机变量Y的条件分布律。因为所以在给定Y=2下随机变量X的条件分布律为18
19. 或写为19
20. 所以在给定X=1下随机变量Y的条件分布律为或写为20
21. 一射手进行射击, 击中目标的概率为 p, (0<p<1)，射击进行到击中目标两次为止. 以X 表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y 表示总共进行的射击次数. 试求X和Y的联合分布及条件分布. 依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目标,且在前n-1次射击中有一次击中目标.{X=m}表示首次击中目标时射击了m次,n次射击击中2nn-11……………….m击中例5解21
22. X和Y的联合概率函数为n次射击击中2nn-11……………….m击中再求边缘分布.22
23. 再求条件分布.23
24. 离散均匀分布24
25. 25
26. 二维随机变量（X,Y）X和Y的联合分布函数X的分布函数一维随机变量X二、二维随机变量的(联合)分布函数26
27. 27
28. 二维随机变量分布函数的基本性质28
29. 三、二维连续型随机变量的联合概率密度1. 联合分布29
30. 上的一个区域. 30
31. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为例6解(1) 由规范性31
32. 32
33. 33
34. 2. 边缘分布即同理,边缘分布函数与联合分布函数的关系34
35. 设( X,Y )是连续型二维随机变量，联合密度函数为关于X的边缘密度函数为关于Y 的边缘密度函数为35
36. 求 (1) c的值；(2) 两个边缘密度；解 (1)设(X,Y)的概率密度是例7xy0136
37. xy01(2)所以37
38. xy01(2)所以38
39. xy0139
40. 3. 条件分布边缘概率密度为 , 若对固定的x , 为在X=x的条件下，Y 的条件概率密度;类似地，对一切使的 y, 定义为在 Y=y的条件下，X的条件概率密度 .定义设X和Y的联合概率密度为则称40
41. 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为X的边缘密度为例8解xy041
42. 所以, 当|x|<1时, 有所以x 作为已知变量42
43. 练习：P97 习题三 43
44. ENDEND44