弹塑性力学课件

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1. 工程弹塑性力学
2. 绪论0.1 课程研究对象、研究任务 0.2 基本假定 0.3 几个基本概念 0.4 参考书目
3. 0.1 弹塑性力学的研究对象和任务弹塑性力学:研究可变形固体受到外荷载、温度变化及边界约束变动等作用时、弹塑性变形和应力状态的科学。固体力学的一个分支学科研究对象:对实体结构、板壳结构、杆件的进一步分析。PPP
4. 研究方法:材料力学、结构力学:简化的数学模型研究任务:弹塑性力学:较精确的数学模型建立并给出用材料力学、结构力学方法无法求解的问题的理论和方法。给出初等理论可靠性与精确度的度量。学习目的:确定一般工程结构的弹塑性变形与内力的分布规律。确定一般工程结构的承载能力。为研究一般工程结构的强度、振动、稳定性打下理论基础。
5. 0.2 基本假定1).假定固体材料是连续介质——连续性假定2).物体为均匀的各向同性的3).物体的变形属于小变形4).物体原来是处于一种无应力的自然状态
6. 0.3 几个基本概念张量的概念只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量温度、质量、力所做的功除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量物体的速度、加速度在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等张量关于三维空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表示成： M=rn=3n标量:n=0,零阶张量矢量:n=1,一阶张量应力,应变等:n=2,二阶张量二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义。
7. 0.3 几个基本概念为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法。下标记号法:不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N＝3)内分别取数1，2，3，…，N重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程N内所有分量，然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。自由标号:哑标号:
8. 0.3 几个基本概念当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。求和约定:dij记号：Kroneker-delta记号
9. 0.3 几个基本概念凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加(减），并得到同阶的一个新张量，法则为：张量的计算:1 、张量的加减第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到一个新的分量的集合—新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。2 、张量的乘法张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。3 、张量函数的求导
10. 0.4 主要参考书目《Foundations of Solid Mechanics》1 、Y.C.Fung(冯元桢)2 、杨桂通3 、徐秉业《A first course in continuum mechanics 》《固体力学导论》《连续介质力学导论》《弹塑性力学》《应用弹塑性力学》
11. 第一章弹塑性力学基础1.1 应力张量 1.2 偏量应力张量 1.3 应变张量 1.4 应变速率张量 1.5 应力、应变 Lode参数
12. 1.1 应力张量～力学的语言yxzO正应力剪应力过C点可以做无穷多个平面K不同的面上的应力是不同的到底如何描绘一点处的应力状态?1).一点的应力状态
13. 一点的应力状态yxzOtyxtyzsytyxtyzsytzxtzysztxytxzsxtxytxzsxtzxtzyszPABC1.1 应力张量一点的应力状态可由过该点的微小正平行六面体上的应力分量来确定。应力张量数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量叫做二阶张量。用张量下标记号法下标1、2、3表示坐标x1、x2、x3即x、y、z方向(1.1)(1.2)
14. 1.1 应力张量2).一点斜面上的应力(不计体力)i ：自由下标；j为求和下标（同一项中重复出现）。斜截面外法线n的方向余弦:令斜截面ABC的面积为1(1.3)(1.4)
15. 1.1 应力张量斜截面OABC上的正应力:斜截面OABC上的剪应力:(1.5)(1.6)
16. 1.1 应力张量3).主应力及其不变量主平面:剪应力等于零的截面主应力--λ:主平面上的正应力代入采用张量下标记号Kroneker delta记号(1.7)(1.8)(1.9)
17. 1.1 应力张量dij记号：Kroneker-delta记号方向余弦满足条件：采用张量表示联合求解 l1,l2,l3：l1,l2,l3不全等于0(1.10)(1.11)(1.12)(1.13)
18. 1.1 应力张量联合求解 l1,l2,l3：行列式展开后得：简化后得(1.14)(1.15)式中:是关于λ的三次方程，它的三个根，即为三个主应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。主应力大小与坐标选择无关，故J1,J2,J3也必与坐标选择无关。
19. 1.1 应力张量若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：(1.16)主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：(1.17)主剪应力面(t1 )213t1213t1
20. 1.1 应力张量最大最小剪应力：取主方向为坐标轴取向,则一点处任一截面上的剪应力的计算式:消去l3：由极值条件
21. 1.1 应力张量最大最小剪应力：第一组解：第二组解：第三组解：它们分别作用在与相应主方向成45º的斜截面上因为：
22. 1.1 应力张量4).八面体上的应力s1s2s3沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的八个面组成的图形，称为八面体。(1.19)八面体的法线方向余弦：八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：八面体（每个坐标象限1个面）或(1.20)
23. 1.1 应力张量4).八面体上的应力s1s2s3八面体面上的正应力为:八面体面上的剪应力为：八面体（每个坐标象限1个面）(1.23)(1.21)八面体面上的应力矢量为：(1.22)平均正应力
24. 1.1 应力张量例题:已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定, 即x＝3, y＝0, z＝0, xy＝1 , yz ＝2, zx ＝1, 应力单位为MPa。试求该点的主应力值。代入式(1.14)后得:解:解得主应力为:
25. 1.2 应力偏量张量1).应力张量分解物体的变形(1.32)体积改变形状改变由各向相等的应力状态引起的材料晶格间的移动引起的球应力状态/静水压力弹性性质塑性性质球形应力张量偏量应力张量
26. 1.2 应力偏量张量1).应力张量分解(1.31)球形应力张量偏量应力张量其中:平均正应力/静水压力
27. 1.2 应力偏量张量2).主偏量应力和不变量(1.31)二阶对称张量其中:剪应力分量始终没有变化主偏量应力(1.33)
28. 1.2 应力偏量张量证明偏应力状态的主方向与原应力状态的主方向重合例:设原应力状态主方向的方向余弦为l1,l2,l3，则由式(1.9)得证明：显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(a)中的任意两式和l12+l22+l32=1所确定。(a)若设偏应力状态主方向的方向余弦为l1’,l2’,l3’，则由式(1.9)同样得：显然，方向余弦l1’,l2’,l3’将由式(b)中的任意两式和l1’2+l2’2+l3’ 2=1所确定。(b)由于:l1=l1’; l2=l2’ ; l3= l3’ 可见式(a)与式(b)具有相同的系数，且已知l12+l22+l32= l1’2+l2’2+l3’ 2=1
29. 1.2 应力偏量张量2).主偏量应力和不变量(1.33)偏应力状态的主方向与原应力状态的主方向一致,主值为:满足三次代数方程式：(1.34)式中J1’,J2’,J3’为不变量(1.35)
30. 1.2 应力偏量张量(1.40)利用J1’=0，不变量J2’还可写为:(1.38)
31. 1.2 应力偏量张量(1.43)3).等效应力(应力强度)在弹塑性力学中，为了使用方便，将乘以系数后，称之为等效应力(1.41)简单拉伸时:“等效”的命名由此而来。各正应力增加或减少一个平均应力，等效应力的数值不变，这也说明等效应力与球应力状态无关
32. 1.2 应力偏量张量(1.42)4).等效剪应力(剪应力强度)“等效”的命名由此而来。
33. 例题：已知结构内某点的应力张量如右式，试求该点的球形应力张量、偏量应力张量、等效应力及主应力数值。解：1.2 应力偏量张量
34. 等效应力:1.2 应力偏量张量
35. 关于主应力的方程为:由主应力求等效应力:1.2 应力偏量张量
36. 1.3 应变张量1).一点应变状态位移刚性位移变形位移物体内各点的位置虽然均有变化，但任意两点之间的距离却保持不变。物体内任意两点之间的相对距离发生了改变。要研究物体在外力作用下的变形规律，只需要研究物体内各点的相对位置变动情况，也即研究变形位移位移函数位置坐标的单值连续函数
37. 1.3 应变张量微小六面体单元的变形当物体在一点处有变形时，小单元体的尺寸(即单元体各棱边的长度)及形状(即单元体各面之间所夹直角)将发生改变。由于变形很微小，可以认为两个平行面在坐标面上的投影只相差高阶微量，可忽略不计。
38. 1.3 应变张量微小六面体单元的变形B点位移分量D点位移分量A点位移分量∠xOy的改变量:
39. 1.3 应变张量变形后AB边长度的平方:M点沿X方向上的线应变:(a)(b)(c)代入(a)得:略去高阶微量同理，M点沿Y方向上的线应变:
40. 1.3 应变张量同理:∠xOy的改变量，即剪应变:
41. 1.3 应变张量对角线AC线的转角:刚性转动
42. 1.3 应变张量(1.44)1).一点应变状态工程应变分量：(几何方程/柯西几何关系)
43. 1.3 应变张量(1.45)1).一点应变状态受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变与剪应变(任意两相互垂直方向所夹直角的改变量)的总和，就表示了该点的应变状态。定义:应变张量:(1.46)
44. 1.3 应变张量2).主应变及其不变量由全微分公式:M点的位移分量N点的位移分量表示刚性转动，不引起应变，计算应变时可忽略。
45. 1.3 应变张量在主应变空间中:主平面法线方向的线应变主应变:
46. 1.3 应变张量类似于应力张量:eij: 二阶对称张量。主应变e1, e2, e3 满足： ei3 -I1ei2 -I2ei -I3 =0 I1、I2 、I3 为应变张量不变量。其中:(1.47)(1.48)平均正应变:
47. 1.3 应变张量偏量应变张量:(1.52)eij 的主轴方向与eij 的主方向一致，主值为: e1= e1-e ， e2= e2-e ， e3= e3-e 满足三次代数方程式：(1.50)(1.51)I2’应用较广,又可表达为:
48. 1.3 应变张量等效应变(应变强度):(1.54)等效剪应变(剪应变强度):(1.55)
49. 1.4 应变速率张量一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，而且与时间也有关。如以u、v、w表示质点的位移分量，则:设应变速率分量为:质点的运动速度分量
50. 1.4 应变速率张量线应变速率在小变形情况下，应变速率分量与应变分量之间存在有简单关系:剪应变速率
51. 1.4 应变速率张量在小变形情况下的应变速率张量:(1.56)可缩写为在一般情况下，应变速率主方向与应变主方向不重合，且在加载过程中发生变化。
52. 1.4 应变速率张量应变增量:应变增量由位移增量微分得：由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因此dt可不代表真实时间，而是代表一个加载过程。因而用应变增量张量来代替应变率张量更能表示不受时间参数选择的特点。(1.57)应变微分由两时刻应变差得：泰勒级数展开高阶微量忽略高阶微量
53. 1.5 应力和应变的Lode参数一、应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形） :任一斜面上应力位于阴影线内ms=Q2A/Q1A =(Q2Q3-Q1Q2)/Q1Q3AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1如果介质中某点的三个主应力的大小为已知，便可以在-平面内绘出相应的应力圆。
54. 1.5 应力和应变的Lode参数一、应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形） :AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.61)
55. 1.5 应力和应变的Lode参数一、应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形） :AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.63)式(1.63)表明，当一点处于空间应力状态时，过该点的任一斜截面上的一对应力分量、一定落在分别以(1-2)／2、 (2-3)／2 、 (3- 1)／2为半径的三个圆的圆周所包围的阴影面积(包括三个圆周)之内。
56. 1.5 应力和应变的Lode参数若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态(各向等拉或各向等压)，则应力圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小(直径)则取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大(应力分量的大小有改变，但应力状态的形式不变)，则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。
57. 1.5 应力和应变的Lode参数二、应力Lode参数:几何意义:应力圆上Q2A与Q1A之比，或两内圆直径之差与外圆直径之比。球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。为此，引进参数——Lode参数：Lode参数：表征Q2在Q1与Q3之间的相对位置，反映中间主应力对屈服的贡献。AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.64)
58. 1.5 应力和应变的Lode参数应力Lode参数的物理意义：1、与平均应力无关；2、其值确定了应力圆的三个直径之比；3、如果两个应力状态的Lode参数相等，就说明两个应力状态对应的应力圆是相似的，即偏量应力张量的形式相同；Lode参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状态特征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。(1.65)
59. 1.5 应力和应变的Lode参数简单应力状态的Lode参数：Q3OQ1Q2stAQ1OQ2Q3stA单向压缩(s1=s2=0, s3<0) 单向拉伸(s1>0, s2=s3=0) ms=1 ms=-1
60. 1.5 应力和应变的Lode参数简单应力状态的Lode参数：Q2OQ1Q3st纯剪(s1>0, s2=0, s3=-s1): ms=0
61. 1.5 应力和应变的Lode参数为表征偏量应变张量的形式，引入应变Lode参数：三、应变Lode参数:如果两种应变状态的me 相等，则表明它们所对应的应变莫尔圆是相似的，也就是说，偏量应变张量的形式相同。几何意义：应变莫尔圆上Q2A与Q1A之比(1.66)
62. 1.6 弹性力学的基本方程应力分量满足平衡方程：一、平衡方程(1.67)
63. 1.6 弹性力学的基本方程弹性体的应力--应变关系服从虎克定律二、物理方程(1.72)
64. 1.6 弹性力学的基本方程x对y， y对x求两次偏导，有：三、应变协调方程保证物体在变形后不会出现‘撕裂’，‘套叠’的现象
65. 1.6 弹性力学的基本方程类似可得三维问题的应变协调方程：(1.82)
66. 1.6 弹性力学的基本方程例题：设有应变分量如右式，其余的应变分量均为零。若它们是一种可能的应变状态试确定各常数之间的关系。解：如果应变分量是一种可能的应变状态，则需满足变形协调方程。根据给定的应变分量，式(1.82) 中的五个式子均恒满足、余下必须满足的应变协调方程为:代入给定的应变分量有:比较两边对应项系数有:所以解为：
67. 第五章简单应力状态的弹塑性问题5.1 基本实验资料 5.2 应力－应变的简化模型 5.3 应变的表示法 5.4 理想弹塑性材料的简单桁架 5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架 5.6 加载路径对桁架内应力和应变的影响
68. 5.1 基本实验资料一、应力--应变曲线（1）单向拉伸曲线123OsssaDsee p e e （a）有明显屈服流动阶段拉伸试验和静水压力试验是塑性力学中的两个基本试验，塑性应力应变关系的建立是以这些实验资料为基础。屈服应力（b）无明显屈服流动阶段Os0.2Dseep ee CAB0.2%屈服应力如:低碳钢,铸铁,合金钢等如:中碳钢,高强度合金钢,有色金属等
69. 5.1 基本实验资料一、应力--应变曲线经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力。在第二次加载过程中，弹性系数仍保持不变，但弹性极限及屈服极限有升高现象，其升高程度与塑性变形的历史有关，决定与前面塑性变形的程度。这种现象称为材料的应变强化(或加工硬化)。材料在塑性阶段的一个重要特点：在加载和卸载的过程中应力和应变服从不同的规律：加载卸载简单拉伸试验的塑性阶段：
70. 5.1 基本实验资料一、应力--应变曲线（2）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料）O拉se压应变<10%时，基本一致；应变10%时，较大差异。一般金属的拉伸与压缩曲线比较用简单拉伸试验代替简单压缩试验进行塑性分析是偏于安全的。
71. 5.1 基本实验资料一、应力--应变曲线（3）反向加载卸载后反向加载，ss’’< ss’——Bauschinger效应BAss’s’’B’B’’O’拉伸塑性变形后使压缩屈服极限降低的现象。即正向强化时反向弱化。
72. 5.1 基本实验资料一、应力--应变曲线(4) 断裂特性伸长率:标志材料的塑性特性，其值越大则材料破坏后的残余变形越大。截面收缩率: dk 5%：塑性材料；低碳钢dk=20% ~30% dk <5%：脆性材料。
73. 5.1 基本实验资料塑性变形有以下特点： (2)、由于应力—应变关系的非线性，应力与应变间不存在单值对应关系，同一个应力可对应不同的应变，反过来也是如此。这种非单值性是一种路径相关性，即需要考虑加载历史。 (1)、由于塑性应变不可恢复，所以外力所作的塑性功具有不可逆性，或称为耗散性。在一个加载卸载的循环中外力作功恒大于零，这一部分能量被材料的塑性变形损耗掉了。 (3)、当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的弹性区域和产生塑性变形的塑性区域。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化。
74. 5.1 基本实验资料二、静水压力(各向均匀受压)试验(1)、体积变化体积应变与压力的关系 (bridgman实验公式)体积压缩模量派生模量铜铝铅a7.31x10-713.34x10-723.73x10-7b2.7x10-123.5x10-1217.25x10-12铜：当p＝1000MPa时，ap＝7.31×10-4，而bp2＝2.7×10-6。说明第二项远小于第一项，可以略去不计。因此根据上述试验结果，在塑性理论中常认为体积变形是弹性的。因而对钢、铜等金属材料，可以认为塑性变形不受静水压力的影响。但对于铸铁、岩石、土壤等材料，静水压力对屈服应力和塑性变形的大小都有明显的影响，不能忽略。
75. 5.1 基本实验资料二、静水压力(各向均匀受压)试验(2)、静水压力对屈服极限的影响Bridgman对镍、铌的拉伸试验表明，静水压力增大，塑性强化效应增加不明显，但颈缩和破坏时的塑性变形增加了。静水压力对屈服极限的影响常可忽略。
76. 5.2 应力应变简化模型一般应力-应变曲线： s =Ee ， e < es (屈服前：线弹性) s =j(e) ，e > es (屈服后)选取模型的标准：1、必须符合材料的实际性质2、数学上必须是足够地简单
77. 5.2 应力应变简化模型1. 理想弹塑性模型符号函数:（软钢或强化率较低的材料）加载:卸载:Osssees E 为一个大于或等于零的参数
78. 5.2 应力应变简化模型1. 理想弹塑性模型用应变表示的加载准则：加载:卸载:Osssees E符号函数:公式只包括了材料常数E和，故不能描述应力应变曲线的全部特征；在＝s处解析式有变化，给具体计算带来困难;理想弹塑性模型抓住了韧性材料的主要特征，因而与实际情况符合得较好。缺点:优点:
79. 5.2 应力应变简化模型2. 线性强化弹塑性模型（材料有显著强化率）Osssees EE’加载:卸载:
80. 5.2 应力应变简化模型2. 线性强化弹塑性模型用应变表示的加载准则：Osssees EE’加载:卸载:在许多实际工程问题中，弹性应变<<塑性应变，因而可以忽略弹性应变。
81. 5.2 应力应变简化模型* 刚塑性模型（忽略弹性变形） (b) 线性强化刚塑性模型OssseOssse(a) 理想刚塑性模型特别适宜于塑性极限载荷的分析。总应变较大，
82. 5.2 应力应变简化模型3. 一般加载规律 Osssee p BCAe O1wees w(e)=AC/AB 弹性曲线与实际曲线的相对差值(5.12)
83. 5.2 应力应变简化模型对线性强化弹性材料在加载时:(5.13)
84. 5.2 应力应变简化模型4.幂次强化模型在＝0处与轴相切理想弹性模型理想刚塑性模型虎克定律只有两个参数A和n，因而也不可能准确地表示材料的所有特征。但由于解析式比较简单，而且n可以在较大范围内变化，所以也经常被采用。(5.14)
85. 5.2 应力应变简化模型5. Ramberg-Osgood模型 (三参数模型) 1，1为0.7E(初始切线模量)处的应力应变强化指数强化系数(5.15)流动应力s1取(sb+s0.2)/2。sb为抗拉强度，s0.2为工程屈服应力；流动应变e1= s1/E，E为弹性模量。例：钛合金钢有三个参数，能较好地代表真实材料，数学表达式简单。
86. 5.2 应力应变简化模型1). 等向强化模型拉伸和压缩时的屈服极限相等BAss’s’’B’B’’O’2). 随动强化模型拉伸和压缩的弹性范围不变 6.反向加载应力-应变简化模型等向强化：OABB’’ 随动强化：OABB’(5.16)例：线性强化的情形(5.17)(5.18)塑性应变按绝对值进行累积
87. 5.2 应力应变简化模型BAs1.5ss-sssseCDEO-0.5ssFes解：例题：已知一单向加载过程的应力路径为01.5ss 0  –ss 0，材料符合线性随动强化规律，强化模量E’=E/100，试求出对应的应变路径。应变路径为：051ss/E 49.5ss/E  –ss/E 0
88. 5.2 应力应变简化模型BAs1.5ss-1.2sssseCDEO-0.5ssFes例2：应力路径：01.5ss 0  –1.2ss 0应变路径：解：051es 49.5es  –21es  –19.8es
89. 5.3 应变的表示法工程应变：自然应变/对数应变：原始长度变形后长度(5.19)适用于大变形(5.20)(5.21)不适用于大变形在塑性变形较大时，用-曲线不能真正代表加载和变形的状态。颈缩阶段：应变；应力不符合材料的实际情况
90. 5.3 应变的表示法工程应变与自然应变的关系：（1）小变形时，e E；变形程度越大，误差越大。(5.22)1.20.40.81.6-1.6-0.4-0.8-1.21.01.21.41.6Ol/l0ee =l/l0-1E=lnl/l0当变形程度小于10%时，两值比较接近。小变形与大变形界限的由来
91. 5.3 应变的表示法工程应变与自然应变的关系：（2）自然应变为可加应变，工程应变为不可加应变(5.23)例如： l0  1.5l0  1.8l0  2l0假设某物体原长l0 ，经历l1，l2变为l3，总相对应变为：各阶段的相应应变为：
92. 5.3 应变的表示法工程应变与自然应变的关系：（2）自然应变为可加应变，工程应变为不可加应变(5.24)用自然应变表示变形程度：各阶段的相应应变为：(5.25)
93. 5.3 应变的表示法工程应变与自然应变的关系：（3）自然应变为可比应变，工程应变为不可比应变失去了可以比较的性质可以比较
94. 5.4 理想弹塑性材料的简单桁架hhldl01Pq23三杆桁架结构A平衡方程：如图，三杆桁架受竖向力P作用，杆件截面均为A，试作弹塑性分析。消去N3，并用应力表示：(5.26)变形协调关系：(5.27)
95. 5.4 理想弹塑性材料的简单桁架一、弹性阶段（ P Pe）应力-应变关系：（Pe：弹性极限荷载）联立(5.26)(5.29)(5.28)(5.29)(5.30)(5.31)当s2=ss时，桁架内将出现塑性状态，相应的荷载为弹性极限荷载Pe(5.32)对应A点位移为:(5.34)(5.33)(5.30),(5.31)变为
96. 5.4 理想弹塑性材料的简单桁架二、弹塑性阶段（ P > Pe）（塑性流动阶段）约束塑性变形阶段：杆2已屈服，杆1、3仍为弹性塑性流动阶段：3杆均屈服,相应的荷载为塑性极限荷载点A的位移：(5.38)(5.35)(5.36)(5.37)
97. 5.4 理想弹塑性材料的简单桁架弹性与塑性极限荷载（极限位移）的关系：荷载-挠度曲线：理想弹塑性线性强化d /deP/PeP1/PePs/Pe1.0011/cos2q(5.39)
98. 5.4 理想弹塑性材料的简单桁架卸载符合弹性规律。设荷载变化为DP ，则由式(5.33)得三、卸载若加载至P*（ Pe< P*< Ps ）再卸载至零，即DP=P*，则残余应力和应变为(5.40)整体处于弹塑性阶段时杆1的应力弹性阶段的应力hhldl01Pq23A(5.41)对于超静定结构，卸去外荷载后，残余应变≠塑性应变，它含有弹性应变。
99. 5.4 理想弹塑性材料的简单桁架从P*卸载至零的过程为弹性变形过程，从零再重复加载到P*（ P* >Pe），此过程仍为弹性过程。这相当于将弹性范围由扩大了。四、重复加载这种使其弹性范围扩大的有利的残余应力状态称为安定状态。
100. 5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架联立平衡和协调方程可求得平衡方程与协调方程不变加载过程，物理方程改变部分：1. 弹性阶段 (P Pe)：与理想弹塑性相同2. 约束塑性变形阶段(P Pe)：(5.42)(5.43)

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