• 1. 高等工程数学Advanced Engineering Mathematics
    • 2. 2第二章 矩阵分析 矩阵的基本概念及运算 初等变换 矩阵的特征值和特征矢量 Jordan标准形 Hamilton-Cayley定理 矩阵分解
    • 3. 3矩阵矩阵是矩阵理论中的一个主要研究对象,也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中,矩阵的运算起着重要的作用,本章首先讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。
    • 4. 4矩阵的概念1.定义 由m×n个数aij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)排成的m行n列的数表称m行n列矩阵,简称m×n矩阵。记作一、概念:
    • 5. 5 这 m×n 个数称为矩阵 A 的元素,简称为元,数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列,称为矩阵 A的 ( i, j )元。以数 aij 为(i, j)元的矩阵可简记作 (aij) 或 (aij)m×n,m×n 矩阵 A也记作A m×n。 元素是实数的矩阵,称为实矩阵;元素是复数的矩阵称为复矩阵。 行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵,记作 An。
    • 6. 62.行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵,又称行向量。 只有一列的矩阵称为列矩阵,又称为列向量。 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵,记为An。 3.同型矩阵与矩阵相等: 如果两个矩阵的行数相等、列数也相等,就称它们是同型矩阵。 如果两个同型矩阵的对应元素相等,那么就称这两个矩阵相等。记作:A=B 4.零矩阵: 元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O。不同型的零矩阵是不相等的。
    • 7. 75. 对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵 如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零外,其余元素全为零,这样的 n 阶方阵称为对角矩阵。记作 A=diag(λ1,λ2,…,λn) 如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全为1,其余元素全为零,这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。 如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k,其余元素全为零,这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量矩阵。
    • 8. 8二、矩阵的运算1.矩阵的加法: 设有两个同型的 m×n 阶矩阵A= (aij) 、B= (bij),则矩阵 A 与 B 的和记为 A+B,并规定 注:矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行; 两个矩阵相加时,对应元素进行相加。
    • 9. 9矩阵加法的运算律: (1) A+ B = B+ A (2) ( A+B )+ C = A+ ( B+ C ) 设矩阵 A= (aij) ,记A= ( aij),称  A为矩阵 A的负矩阵。 由矩阵加法的定义,显然有 A+ ( A) = O,由此,矩阵的减法可定义为  A B =A+ ( B)
    • 10. 102.矩阵的数乘:  数λ与矩阵A的乘积记为λA或Aλ,并规定: 由此可见,矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵同型的矩阵,并且,是用数λ与矩阵的每一个元素相乘。
    • 11. 11矩阵数乘的运算律:矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性运算。
    • 12. 123.矩阵的乘法: 设矩阵 A为m×n 阶矩阵、矩阵B为 n×p 阶矩阵,A= (aij) m×n 、B= (bij) n×p ,则矩阵 A与 B 的乘积为一 m×p 阶矩阵 C = (cij) m×p,记 C = AB, 且
    • 13. 13[注意] 矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等; [注意] 矩阵的乘法中,必须注意矩阵相乘的顺序,AB是A左乘B的乘积,BA是A右乘B的乘积;矩阵乘法的运算律:
    • 14. 14[注意] AB与BA不一定同时会有意义;即使有意义,也不一定相等; [注意] AB = O 不一定有A= O或B= O ; A(XY ) = O 且 A≠ O 也不可能一定有X=Y
    • 15. 15只有方阵,它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律,而不满足交换律,因而有下面的式子: (1) An Am = An+m (2) ( An )m= An m (3) ( AB ) k ≠ Ak Bk4.矩阵的乘幂:设 A 是 n 阶方阵,定义:
    • 16. 165.矩阵的转置: 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的一个新矩阵,叫做 A的转置矩阵,记作AT。 如果 A是一个 m×n 阶矩阵,那么 AT 就是一个 n×m 阶矩阵。且 A 的行一定就是 AT中同序数的列
    • 17. 17对(4)的证明: 设矩阵 A为m×s 阶矩阵,矩阵 B为s×n阶矩阵,那么: ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵; 又设 C = A B,因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji ,即 cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs 而b1i,b2i,…,bsi 正好是 BT的第 i 行,aj1,aj2,…,ajs 正好是 AT的第 j 列,因此 cji 是 BTAT的第 i 行第 j 列的元素。故 ( AB )T = AT BT
    • 18. 186.方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵 A 的行列式,记为 | A| 或 det A [注意]:行列式与方阵是两个不同的概念,且它们的记号也是不同的。 方阵的行列式满足以下运算规律(设 A、B为n 阶方阵,λ为实数)
    • 19. 192.上(下)三角矩阵:1.数量矩阵: 矩阵 k E 称为数量矩阵。三、几类特殊的矩阵
    • 20. 203.行阶梯矩阵与行最简矩阵: 一个 m×n 阶矩阵 A= (aij)它的第 i 行的第一个非零元素记为 ,如果当i>k时,有 ji > jk 时,称 A为行阶梯矩阵。 若矩阵 B 满足以下条件 (1) B是行阶梯矩阵; (2) B的每一非零行的第一 个非零元素为1; (3) 每一非零行的第一个非零元素所在的列除它自身外其余元素全为零。称矩阵 B 为行最简矩阵。
    • 21. 214.对称矩阵与反对称矩阵: 设 A为 n 阶方阵, 若AT = A,即 aij = aji (i,j=1,2,…,n),称矩阵A 为对称矩阵;   若AT = A,即 aij =  aji (i,j = 1,2,…,n),称矩阵 A 为反对称矩阵。
    • 22. 225.正交矩阵: 若 n 阶方阵 A 满足 AAT= ATA=E 称 A为正交矩阵。 6.幂等、幂零、幺幂矩阵: 若 n 阶方阵A满足: A2 = A,称 A为幂等矩阵 Ak = O,称 A为幂零矩阵 Ak = E,称 A为幺幂矩阵
    • 23. 237.伴随矩阵: 设 A=(aij)n×n,矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵 称矩阵A的伴随矩阵,记为A*
    • 24. 24矩阵运算的例题:
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    • 26. 26
    • 27. 27逆矩阵 设对于 n 阶方阵 A,若存在 n 阶方阵 B 使得 A B = B A = E 恒成立,则称矩阵 A 可逆;B 称为 A 的逆矩阵,记为 A-1 = B 。1.若矩阵 A可逆,则 A的逆矩阵是唯一的。 证明:设 A有两个逆矩阵B1、B2,则 B1= B1E = B1(AB2) = (B1A) B2 = EB2 = B2一、可逆矩阵的定义二、可逆矩阵的判断
    • 28. 282.若| A|≠0,则 A可逆,且证明:由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有:AA*=A*A=|A|E,又 |A| ≠0
    • 29. 293.对于n 阶方阵 A、B 若有 AB = E 则:A、B 均可逆,且它们互为可逆矩阵。 证明:∵ AB = E ∴ | A| | B | =1 故 | A| ≠0且| B| ≠0,A、B均可逆, 且 A-1=B
    • 30. 301.若 A 可逆,则 | A| ≠0 证明:∵ A可逆 ∴ A A-1 = A-1 A = E 故 | A|| A-1 |=1, 即 | A| ≠0 同时还有三、可逆矩阵的性质奇异矩阵与非奇异矩阵: 若n方阵A的行列式 | A| ≠0,称矩阵 A为非奇异矩阵,否则矩阵A称为奇异矩阵。
    • 31. 312.如果A、B均可逆,那么AT与AB都可逆,且 (AT)-1=(A-1)T (AB)-1=B-1A-1 证明:∵ A、B均可逆 ∴ AA-1=A-1A=E 故 (AA-1)T=(A-1)TAT=ET=E ∴ (AT)-1=(A-1)T 同理  (AB)(B -1 A-1)= (B -1 A-1) (AB) =E   ∴ (AB)-1=B-1 A-1
    • 32. 32
    • 33. 33
    • 34. 34
    • 35. 35矩阵的初等变换  通过引进矩阵的初等变换,建立矩阵的秩的概念,然后再利用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵和解线性方程组.
    • 36. 36  矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算,它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。 引例:用消元法解下面的线性方程组
    • 37. 37
    • 38. 38
    • 39. 39 在上述过程中,对线性方程组的消元操作实际上就是对整个线性方程组进行了三种操作: (1)对某一方程两边同时乘以不为零的常数; (2)交换方程组中两个方程的位置; (3)给某一方程乘以常数k加到另一个方程上去。
    • 40. 40定义:下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 1) 交换两行(记为ri↔rj); 2) 以数k  0乘某一行所有元素(记作rj×k); 3) 把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去(记作ri+krj )   把定义中和“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变换的定义(所用记号是把“r”换成“c”)。   矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为矩阵的初等变换。
    • 41. 41 显然,三种初等变换都是可逆的,且其变换是同一类型的初等变换。变换ri↔rj的逆变换就是本身;变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ;变换 ri+krj 的逆变换为ri k rj。   如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B,称矩阵 A与 B是等价的,记为A~B 。    矩阵的等价关系有如下性质: 反身性: A~ A 对称性: A~B ,则B ~ A 传递性: A~B, B ~ C,则A ~ C
    • 42. 42  在数学上,我们把满足上述三条性质的关系称之为等价。   由前面的引例可以看出,同时也不难证明对矩阵进行行的初等变换,可以把矩阵化为行阶梯矩阵,进而可以化为行最简矩阵。   对行最简矩阵再施以列的初等变换,行最简矩阵可变成一种形状更简单的矩阵,称它为矩阵的标准形。矩阵标准形的特点是:其左上角是一单位矩阵,其余元素全是零。可以证明,任何一个m×n阶矩阵 A,都可以经过初等变化化为标准形F。
    • 43. 43矩阵的初等变换定义:由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 三种初等变换所对应的三个初等矩阵为
    • 44. 44
    • 45. 45设矩阵Am×n,Em(i,j),En(i,j),Em(i(k)), En(i(k)),Em(ij(k)), En(ij(k)),则可以验证:
    • 46. 46定理1.设 A是一个 m×n 阶矩阵,对 A 施行一次初等行变换,相当于对 A 左乘以相应的 m 阶初等阵;对 A 施行一次初等列变换,相当于对 A右乘以相应的 n 阶初等矩阵。
    • 47. 47初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵
    • 48. 48
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    • 50. 50
    • 51. 51
    • 52. 52利用初等变换求逆矩阵的方法,还可用于求A1B.由 A1(A|B)=(E|A1B) 可知,若对矩阵(A|B)施行初等行变换,当把A变为E时,B就变为A1B.
    • 53. 53
    • 54. 54
    • 55. 55
    • 56. 56
    • 57. 57向量的内积一、内积的定义
    • 58. 58二、内积的性质
    • 59. 59
    • 60. 60三、向量的正交性
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    • 62. 62
    • 63. 63四、规范正交基
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    • 66. 66
    • 67. 67
    • 68. 68
    • 69. 69五、正交矩阵与正交变换
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    • 72. 72特征值与特征向量
    • 73. 73
    • 74. 74
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    • 91. 91方阵的对角化方阵可对角化的定义 对 ,若 ,则称方阵A可对角化 问题: 如何判定一个方阵可对角化? 可对角化的方阵如何实现可对角化? 方阵可对角化的充要条件 可对角化 A有n个特征值,且每个特征值的几何重数等于其代数重数
    • 92. 92推论1:若 有n个互异的特征值,则A可对角化 推论2:若 的特征值都是单重的,则A可对角化例:下列矩阵能否对角化?对可对角化的矩阵,求其相似变换矩阵和相应的对角阵
    • 93. 93
    • 94. 94
    • 95. 95此矩阵不能对角化!
    • 96. 96对角阵的应用: 乘积、幂、求逆和求特征值都比较简洁 求幂: ,求
    • 97. 97求解线性微分方程组: 写成矩阵形式: 令
    • 98. 98
    • 99. 99方阵化为对角形是有条件的 退一步,如果一个方阵不能被化为对角形,能否降低要求,化为一个分块对角形?在实数域内,此问题的答案是肯定的,分块对角形就是所谓的Jordan标准形。 定义 Jordan块 称形如 的矩阵为 阶Jordan块 Jordan标准形
    • 100. 100Jordan矩阵 由若干个Jordan块构成的分块对角矩阵 为Jordan矩阵 Jordan块与对角形的差别仅在其上对角线:1:Jordan; 0:Diagonal 有的教科书上定义下对角线全为1的、其余元素为0的下三角阵为Jordan块,它们之间是转置关系 Jordan块本身就是一个分块数为1的Jordan矩阵 对角阵是一个特殊的Jordan矩阵:其每个Jordan块都是1阶的

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