三重积分的几种计算方法ppt

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1. 当   R3，有 X=(x, y, z) , d = dv则三重积分1. 直角坐标系下三重积分的计算直角坐标系下，记体积元素dv=dxdydzdzdydxyxz0则三重积分
2. xyz0z=z2(x, y)z=z1(x, y)D(1) 化成一个定积分和一个二重积分设 D 为  在 xy 平面上投影区域.y=y1(x)bay=y2(x)
3. zxyx+y+z=10例1. 计算其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.解： D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1 11Dx+y=1 xy
4. 例2. 计算其中  是由抛物柱面及平面y=0, z=0, 解： D: 0≤ y ≤ , 0 ≤ x ≤yxz0D0yx
5. y=y1(x, z)z0y=y2(x, z)Dxzyx
6. x=x2(y, z)z0x=x1(y, z)Dyzyx
7. 例3. 将化为三次定积分，其中 是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域.解：先对 z 积分，将 向 xy 平面投影.z= x2+y2 x2+y2=1 D: x2+y2≤1z=1z=1xyz01Dxyz=1z= x2+y2
8. xyz01Dxyz=1z= x2+y2
9. 解2：先对 y 积分，将  向 xz 平面投影：z= x2+y2  Dxy: x2 ≤z ≤ 1,z=1 1 ≤x≤1z= x2+y2 xyz0Dxz11
10. (2) 化为一个二重积分和一个定积分 :(x, y)D(z), z1≤z≤z20xzyz2zz2D(z)
11. 例4. 计算其中  是由 z=x2+y2 和 z=1所围成的闭区域.xyz01D(z)1解：D(z): x2+y2≤zz[0, 1]
12. 例5. 计算解： D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤ 1xyzxy0111x : 0 ≤ x ≤ 1 其中  是由平面 x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.D(x)z=1xy xy01x1x
13. 2. 利用柱面坐标计算三重积分M  (r, , z)x=rcosy=rsinz=z(0≤r<+, 0≤≤2, <z<+)rzM•0xzyyx
14. 柱面坐标的三组坐标面分别为 r=常数=常数z=常数xyzo
15. = r故 dxdydz=rdrddz
16. 例1. 计算其中 由与 z=1 所围闭区域.解： D: x2+y2≤1z =1 z =rz =0xyz0Dz=rz=1
17. xyz0z=rz=11D
18. 例2. 计算 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解：D: x2+y2≤1xyz01
19. 例3. 再解例1其中是由与 z=1 所围闭区域.解：用 =  截  得 D()而 0≤  ≤2 故原积分=xyz
20. xzyD( )z1r0z= r1
21. 例4. 再解例2其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解：用 =  截  得 D()而 0≤  ≤2 故原积分 =xyz0
22. xyz0011rz
23. 3. 利用球面坐标计算三重积分M  (r, ,)x=OPcos z= r cos(0≤r<+, 0≤≤, 0≤≤2)y= OPsin •M0zxyrPxyz= r sin cos= rsin sin
24. 球面坐标的三组坐标面： r =常数 =常数 =常数dxdydz= r2sin drddzxy
25. 例5. 计算其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解：x2+y2+z2=1  r=1而 0≤  ≤2 故用 =  截  得 D()原积分xyz0
26. xyz0z011r=1
27. 例6.和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区域.解： x2+y2+z2=a2 r=a原积分zyxa
28. zyxar=az
29. 例7. 计算次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1. 解：x2+y2+(z1)2≤1  r=2cosxyz0表为球坐标系中的三zy

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