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化工传递过程基础(第三版)PPT
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1. 化工传递过程基础
2. 一、化工研究的基本问题?绪 论图0-1 McCabe-Thiele图平衡线精馏段操作线提馏段操作线 过程的平衡和限度 –《化工热力学》 过程的速率和实现过程所需要的设备 化学反应速率和设备–《化学反应动力学》和《化学反应工程》 物理过程速率和设备– 《化工传递》和《化工单元操作》
3. 推动力:温度差推动力:浓度差二、本课程的学习内容? 动量传递 热量传递 质量传递 物理过程的速率和传递机理的探讨推动力:速度差
4. 第一章 传递过程概论第一节 流体流动导论一、静止流体的特性(一)流体的密度(ρ)均质流体: 非均质流体:ρ:点密度 dM:微元质量 dV:微元体积 流体:气体和液体的统称图1-1 均质水溶液图1-2 非均质溶液方法:取一微元,设微元质量为dM,体积为dV密度:
5. (二)不可压缩流体与可压缩流体 不可压缩流体:密度不随空间位置和时间变化的流体; 通常液体可视为不可压缩流体 可压缩流体:密度随空间位置或时间变化的流体; 气体为可压缩流体;但如气体等温流动且压力改变不大时,可近似为不可压缩流体。流体的比体积(质量体积υ):[m3/kg]重要
6. (三)流体的压力流体表面均匀受力p:点压力,dP:垂直作用在微元体表面的力,dA:微元体表面积压力单位及换算压力表示方法图1-3 均匀受力图压力P图1-4 非均匀受力图 流体表面非均匀受力压力P1atm = 1.013×105Pa = 1.013bar = 1.033kgf·cm-2 = 7.60×102mmHg绝对压力和相对压力(表压力和真空度)表压力 = 绝对压力-大气压力真空度 = 大气压力-绝对压力e.g, p = 2atm 绝对压力为2标准大气压p = 3x105N/m2(表压) p = 500mmHg (真空度)
7. (四)流体平衡微分方程平衡状态(物理意义):流体微元受力分析:质量力和表面力 质量力(体积力):如重力,静电力,电磁力等 化学工程中,质量力指重力(FB) 表面力:是流体微元的表面与其相邻流体作用所产生(Fs) 静止状态:表面力表现为静压力 运动状态:表面力除压力外,还有粘性力 流体平衡微分方程(欧拉平衡微分方程)压力P 流体平衡条件:FB+ Fs = 0
8. 流体平衡微分方程(欧拉平衡微分方程)的推导流体平衡条件:x方向平衡条件:FB+ Fs = 0 x方向作用力:质量力(dFBx):表面力(dFsx 静压力产生):
9. x方向微分平衡方程:y方向微分平衡方程:z方向微分平衡方程: 静止流体平衡微分方程(欧拉平衡微分方程)重要 自己推?
10. (五)流体静压力学方程欧拉平衡微分方程质量力:X = 0,Y = 0,Z = - g流体静力学方程积分得:对于一定密度的液体,压力差与深度h成正比,故液柱高度h可用来表示压力差的大小(mmHg,mH2O)
11. ??二、流体流动的基本概念(一)流速与流率流速:流体流动的速度,表示为流速不均匀分布情况下,点流速(在dθ时间内流体流过距离ds)流率:单位时间内流体通过流动截面的量[m/s] 以流体的体积计量称为体积流率(流量,Vs)m3/s 以质量计量称为质量流率(w),kg/s计算:在流动截面上任取一微分面积dA,其点流速为ux,则通过该微元面积的体积流率dVs?通过整个流动截面积A的体积流率Vs?求解:1.体积流率定义式:2.体积流率积分:3.质量流率(w):
12. 主体平均流速(ub): 截面上各点流速的平均值质量流速(G): 单位时间内流体通过单位流动截面积的质量(用于气体)[kg/(m2s)](二)稳态流动和不稳态流动 稳态流动:当流体流过任一截面时,流速、流率和其他有关的物理量不随时间而变化,称为稳态流动或定常流动;数学特征:e.g与时间θ无关不稳态流动:流体流动时,任一截面处的有关物理量中只要有一个随时间而变化,称为不稳态流动或不定常流动;重要
13. (三)粘性定律和粘度1. 牛顿粘性定律负号“-”剪应力,单位截面积上的表面力,N/m2; 产生:相邻两层流体之间由于粘性作用而产生,粘性力,表面力的一种;动力粘度(粘度),流体的一种物性参数,试验测定,查物化手册;ux在y轴方向上的速度梯度;表示当y增加时,ux减少,速度梯度dux/dy为负值。当dux/dy为正值“+”时,可将负号“-”去掉。重要
14. 物理意义:单位速度梯度时,作用在两层流体之间的剪应力; 单位:SI单位和物理单位2. 动力粘度 (μ)SI单位制:物理单位制:3. 运动粘度 (ν)特性:是温度、压力的函数;流体的动力粘度与密度的比值,称为运动粘度 (ν) 压力对液体粘度影响可忽略,气体的粘度在压力较低时(<1000kPa)影响较小,压力大时,随压力升高而增大。 气体的粘度随温度的升高而增大;液体随温度的升高而减少;1P = 100cP
15. (五)粘性流体和理想流体(四)牛顿型流体和非牛顿型流体牛顿型流体:遵循牛顿粘性定律的流体;非牛顿型流体:不遵循牛顿粘性定律的流体; 所有气体和大多数低分子量的液体,如水、空气等某些高分子溶液、油漆、血液等粘性流体:具有粘性的流体,也叫实际流体;理想流体:完全没有粘性的流体,即μ= 0 的流体,自然界不存在;简化问题,对于粘度较小的流体,如水和空气
16. (六)流动形态与雷诺数 (Reynolds number)1. 雷诺试验层流(laminar flow):流速较小时,流体成直线状平稳流动。表明流体中各质点沿着彼此平行的直线而运动,与侧旁的流体无任何宏观混合。湍流(紊流 turbulent flow):流速较大时,流体中各质点除了沿管路向前运动之外,各质点还作不规则的脉动,且彼此之间相互碰撞与混合。雷诺实验
17. 2. 雷诺数(Re) u和d称为流体流动的特征速度和特征尺寸物理意义:作用在流体上的惯性力和粘性力的比值 Re<2000,总是层流; Re>10000,一般都为湍流; 2000<Re<10000,过渡状态。若受外界条件影响,如管道直径或方向的改变、外来的轻微振动都易促使过渡状态下的层流变为湍流重要当量直径圆截面d矩形截面环形截面d2 - d1
18. (七)动量传递现象假定: (1)两层分子交换数相等,有N个分子参与交换; (2)N个分子的总质量为W;则,从流层2转入1中的x方向动量:从流层1转入2中的x方向动量:流层2在x方向净输出动量给流层1:动量由高速区向低速区传递
19. 动量通量:单位时间通过单位垂直于y方向面积上传递的动量[kg·(m/s)/(m2·s)] 层流流体在流向上的动量,沿其垂直方向由高速流层向低速流层传递,导致流层间剪应力τ(内摩擦力)的产生。本质上是分子微观运动的结果,属于分子传递过程。剪应力[N/m2 = kg·(m/s2)/(m2)= kg·(m/s)/(m2·s)] 湍流流体在流向上的动量,分子传递+涡流传递。
20. 牛顿粘性定律1. 分子间动量传递 傅立叶定律 费克定律2. 分子间热量传递 —— 热传导3. 分子间质量传递 ——分子扩散高温低温第二节 动量、热量与质量传递的类似性
21. 一、分子传递的基本定律速度梯度动量通量 牛顿粘性定律温度梯度热量通量 傅立叶定律粘度导热系数浓度梯度质量通量 费克定律组分A在组分B中的扩散系数推动力通量定律
22. 二、动量通量、热量通量与质量通量的普遍表达式(一)动量通量 τ:动量通量 ν:动量扩散系数 d(ρux/dy):动量浓度梯度(动量通量)= —(动量扩散系数)x (动量浓度梯度)重要
23. (二)热量通量 q/A:热量通量 α:热量扩散系数 d(ρcpt/dy):热量浓度梯度(热量通量)= —(热量扩散系数)x (热量浓度梯度)重要
24. (三)质量通量 jA:组分A的质量通量 DAB:质量扩散系数 d(ρA/dy):质量浓度梯度(质量通量)= —(质量扩散系数)x (质量浓度梯度)重要
25. 二、动量通量、热量通量与质量通量的普遍表达式(通量)= —(扩散系数)x (浓度梯度)例1-1:已知一圆柱形固体由外表面向中心导热,试写出沿径向的导热现象方程求解:zroq现象方程:
26. 三、涡流传递的类似性 动量通量 热量通量 质量通量
27. 动量、热量和质量传递的通量表达式仅有分子运动的传递过程以涡流运动为主的传递过程兼有分子运动和涡流运动的传递过程动量通量热量通量质量通量
28. Review一、物理量基本概念 密度 非均质流体 可压缩流体 不可压缩流体 压力 受力不均流体表面 流速 粘度 雷诺数
29. 二、基本状态 平衡状态流体物质: 稳态流动三、方程与定律 静止流体平衡微分方程 流体静压力学方程 牛顿粘性定律(分子动量传递) 傅立叶定律(分子热量传递) 费克定律(分子质量传递)
30. 四、动量、热量和质量传递的通量表达式仅有分子运动的传递过程以涡流运动为主的传递过程兼有分子运动和涡流运动的传递过程动量通量热量通量质量通量
31. 第一篇 动 量 传 递
32. 第二章 连续性方程和运动方程第一节 描述流动问题的两种观点一、欧拉观点和拉格朗日观点(一)欧拉观点以相对于坐标固定的流场内的任一空间点为研究对象,研究流体流经每一空间点的力学性质; 特点:选定研究对象的体积、位置固定,通过研究对象的物理量随时间改变;(二)拉格朗日观点研究对象是流体运动的质点或微团,研究每个流体质点自始至终的运动过程; 特点:选定研究对象的质量固定,位置和体积随时间改变;
33. 二、物理量的时间导数 偏导数、全导数和随体导数e.g 河流中鱼的浓度(c)随空间位置和时间变化(一)偏导数表示某一固定空间点上的流动参数随时间的变化率本例:当观察者站在岸边,观察得到河流中某一固定位置处鱼的浓度随时间的变化率。
34. (二)全导数对 c 进行全微分同除以dθ其中,表示当观察者在流体中以任意速度运动时,观测到的流动参数随时间的变化率本例:当观察者驾着船,在船上所观察到的水中鱼的浓度随时间的变化率就是全导数,它等于岸边观察的结果,再叠加因船的运动而导致的鱼的浓度变化。
35. (三)随体导数(拉格朗日导数)随体导数是全导数的一个特殊情况,即当vx= ux, vy= uy, vz= uz ( ux, uy 和 uz是流体的速度)表示当观察者在流体中以与流体完全相同的速度运动时,其观测到的流动参数随时间的变化率。后三项为对流导数,表示因流体流动而导致的流动参数随时间的变化率。本例:当独木船跟随着流体一起漂流运动时,观察者在船上所观察到的水中鱼的浓度随时间的变化率就是随体导数。
36. 第二节 连续性方程一、连续性方程的推导欧拉观点,取流场中一空间点M, M点处的流速和密度为:u = u (x,y,z,θ), ρ= ρ (x,y,z,θ)方法:微分质量衡算(流出质量流率)-(流入质量流率)+(累积质量流率)= 0x方向:流入质量流率:流出质量流率:(流出质量流率)-(流入质量流率)=
37. 累积质量流率:(流出质量流率)-(流入质量流率)=y方向:(流出质量流率)-(流入质量流率)=z方向:(流出质量流率)-(流入质量流率)=x方向:微分质量衡算 连续性方程
38. 二、对连续性方程的分析连续性方程另一表达形式:对时间求随体导数:或
39. 连续性方程的几种简化形式 稳态流动:连续性方程: 稳态流动时的连续性方程: 不可压缩流体:ρ是常数稳态和非稳态流动:重要!
40. 例2-1某一非稳态二维流场的速度分布为:由题设条件得即故该流体为不可压缩流体试证明该流场中的流体为不可压缩流体。
41. 三、柱坐标与球坐标系的连续性方程(一)柱坐标系(二)球坐标系式中,θ’ 为时间;r为径向坐标;z为轴向坐标,θ为方位角;ur、uθ和 uz分别为流速在柱坐标(r,θ,z)方向上的分量。式中,r为径向;θ为余纬度;Ф为方位角;ur、uФ和uθ分别为流速在球坐标系(r,θ,Ф)方向上的分量; θ’ 为时间。
42. 第三节 运动方程运动方程的推导:拉格朗日观点和牛顿第二运动定律(动量守恒定律)一、用应力表示的运动方程(一)动量守恒定律在流体微元上的表达式理解:流体的动量随时间的变化率应等于作用在该流体上的诸外力向量之和。拉格朗日观点:
43. 惯性力在x,y,z方向上的分量:x方向:y方向:z方向:
44. (二)作用在流体上的外力分析1. 体积力(FB)2. 表面力(Fs)分解为两个向量: 一个与作用表面相切,称剪切力; 一个与作用表面相垂直,称法向力; x方向:y方向:z方向:
45. (三)用应力表示的运动方程x方向:由前面得到:未知
46. dFsx的求解:
47. x方向:y方向:z方向:
48. x方向:y方向:z方向:
49. 原理:扭矩平衡10个未知变量,3个方程组!x方向:y方向:z方向:
50. 二、牛顿型流体的本构方程(一)剪应力牛顿粘性定律牛顿型流体!
51. (二)法向力不仅有p还有μ
52. 三、奈维-斯托克斯方程 牛顿型流体将以上三式写成向量形式,为
53. 不可压缩牛顿型流体将以上三式写成向量形式,为重要
54. 四、对奈维-斯托克斯方程的分析(一)方程组的可解性(二)初始条件和边界条件理论上可解,理论上既适用于层流又适用于湍流初始条件(I.C.):θ= 0时,u = u (x,y,z), p = p (x,y,z)
55. 边界条件(B.C.):(1)静止固面 在静止固面上,由于流体具有粘性, u = 0; (2)运动固面 在运动固面上,流体应满足 u流=u固; (3)自由表面 通常的自由表面系指一个流动的液体暴露于气体(多为大气)中的部分界面。此时,在自由表面上满足上式表明,自由表面上法向应力分量在数值上等于气体的压力,而剪应力分量为零
56. (三)关于重力项的处理欧拉平衡微分方程ps:流体的静压力静止流体
57. 不可压缩流体的奈维-斯托克斯方程:令流体的动力压力,简称动压力,是流体流动所需要的压力
58. 封闭管道中流体流动将以上三式写成向量形式,为 不可压缩流体的奈维-斯托克斯方程
59. 不可压缩流体的奈维-斯托克斯方程不可压缩流体的连续性方程??
60. 第三章 运动方程的运用第一节 阻力系数(一)绕流流动与曳力系数曳力:流体对物体施加的总曳力远离物体表面的流体速度物体表面的受力面积曳力系数
61. (二)管内流动与范宁摩擦系数流体的平均流速圆管壁面处的剪应力范宁摩擦因数
62. 第二节 平壁间与平壁面上的稳态层流一、平壁间的轴向平行层流 应用场合:板式热交换器,各种平板式膜分离装置等; 特点:平壁无限宽,忽略平壁宽度方向流动的变化,可认为是一维流动;一维流动:不可压缩流体:平壁无限宽:连续性方程
63. y方向奈维-斯托克斯方程:z方向奈维-斯托克斯方程:x方向奈维-斯托克斯方程:
64. 平壁间不可压缩流体作稳态层流的速度分布 忽略流道进、出口处的影响,流体速度分布呈抛物线形状 最大流速(umax)y = 0时 ux与umax之间的关系: “-” ?雷诺试验
65. 主体流速ub与umax之间的关系:重要 流动阻力:
66. 例3-1 10摄氏度的水以4m3/h的流率流过以宽1m,高0.1m的矩形水平管道。假定流动已经充分发展,流动为一维,试求截面上的速度分布及通过每米长管道的压力降。 已知10摄氏度水的粘度为1.307mN*s/m2 解:主体流速为了判断此情况下流体的流型,需计算Re,流道为矩形,故Re中的几何尺寸应采用当量直接de替代,de的值为
67. 故流动为层流,可采用式(3-24)确定速度分布方程,即每米长管道的压力降可利用(3-30)求算为
68. 二、平壁面上的降落液膜流动 应用场合:膜状冷凝,湿壁塔吸收等; 特点:稳态层流,一维流动;一侧紧贴壁面,另一侧为自由表面; 不可压缩流体在液膜内速度分布方程: 主体流速: 液膜厚度:重要
69. 例3-2 某流体的运动粘度为2*10-4m2/s,密度为800kg/m3,欲使该流体沿宽为1m的垂直平壁下降的液膜厚度达到2.5mm,则液膜下降的质量流率应为多少?解:由式(3-37),得因此,单位宽度的质量流量为上述计算结果仅当液膜内流动为层流时才是正确的,因此,需要验算流动的Re数。当量直径
70. 故由此可知,流动确为层流,上述计算结果是正确的。
71. 第三节 圆管中的轴向稳态层流 不可压缩流体在水平圆管中作稳态层流流动 速度分布方程: 最大流速: 主体流速:重要
72. 流动阻力: 范宁摩擦系数f:摩擦系数λ= 64/Re重要 圆管壁面处的剪应力:
73. 例3-3 毛细管粘度计测量流体粘度的原理是使被测流体在一细长的圆管(毛细管)中作稳态层流流动,测定流体流过整个圆管的压力降,从而求出流体的粘度。已知甘油在299.6K下流过长度为0.3048m,内径为0.00254m的水平圆管。在体积流率为1.878*10-6m3/s时,测得压降为2.76*105pa。在299.6K时甘油的密度为1261kg/m3。试求甘油的粘度?解:由式(3-51)得式中
74. L = 0.3048 m 将以上各值代入上式中,得校核流动的雷诺数因此流动为层流,计算是正确的。
75. 奈维-斯托克斯方程 Case 1:粘性力 >> 惯性力,则可忽略惯性力爬流(蠕动流):流速非常低的流动e.g. 细粒子在流体中的自由沉降、气溶胶粒子的运动以及某些润滑问题雷诺数 Case 2:惯性力 >>粘性力,则可忽略粘性力势流:理想流体的无旋流动e.g. 流体绕过沉浸物体流动Re<1, CD雷诺数非常大贴近物体壁面区域 粘性力不能忽略!
76. 速度势函数 速度势函数表达式 使用条件:流动必须是无旋的!
77. 流函数 流函数表达式 使用条件:不可压缩流体的二维平面流!
78. 第四章 边界层流动 速度边界层定义、边界层的形成、发展和分离 边界层的概念和定义 边界层分离条件和分离后果 速度边界层微分和积分方程 沿平板流动,层流边界层圆管不考虑,Rexc 速度分布、应力分布、流量的求取
79. 平壁间不可压缩流体稳态层流充分发展流段 圆管中不可压缩流体的轴向稳态层流
80. 一、流体在平板间流动二、流体在圆管内流动xc
81. 一、普兰德边界层理论的要点 速度边界层的定义:在壁面附近区域,存在着一薄的流体层。在该层流体中,与流动相垂直方向上的速度梯度很大。这样的一层流体称为边界层。粘性力不能忽略! 大雷诺数的流动:整个流动划分为两个性质截然不同的区域:重要其一:紧贴物体壁面一层非常薄的区域,边界层。惯性力和粘性力都要考虑。其二:边界层之外的流动区域,外部流动区。粘性力可忽略。P74
82. 二、边界层的形成与发展 平板壁面形成:一流体以u0流到平板前缘时,紧贴壁面的流体停滞不动,流速为零,从而在垂直于流动的方向上建立起一个速度梯度。与此速度梯度相应的剪应力将促使靠近壁面的一层流体的流速减慢,开始形成边界层。发展:随着流体沿平板的向前流动,边界层在壁面上逐渐加厚。在平板前部的一段距离内,边界层的厚度较小,流体维持层流流动,相应的边界层称为层流边界层。经过这段距离后,边界层中的流动型态由层流经一过渡区逐渐转为湍流,此时的边界层称为湍流边界层。湍流边界层包括:层流内层(层流底层),缓冲层(过渡层),湍流边界层重要P75
83. 临界距离(xc) 由层流边界层开始转变为湍流边界层的距离; xc的大小与壁面前缘的形状、壁面的粗糙度、流体的性质以及流速等因素有关;壁面愈粗糙、前缘愈钝,则xc愈短 临界雷诺数Rexc;对于光滑的平板壁面,边界层由层流开始转变为湍流的Rexc范围是:
84. 圆管 边界层形成与发展:一粘性流体以流速u0流进水平圆管时,由于流体的粘性作用在管壁处形成边界层并逐渐加厚。在距管进口的某一段距离处,边界层在管中心汇合,此后便占据管的全部截面,边界层厚度即维持不变。 管内流动两个区域:一是边界层汇合以前的区域,称之为进口段流动;另一是边界层汇合以后的流动,称为充分发展的流动。 边界层的两种情形:(i)u0较小,层流边界层 → 充分发展的层流流动;(ii)u0较大,层流内层 → 缓冲层 → 充分发展的湍流主体;
85. 三、边界层厚度的定义边界层厚度δ边界层厚度δ约在10-3m的量级
86. 四、边界层的分离 现象:当一粘性流体流过曲面物体,物体表面曲率较大时,边界层与固体壁面相脱离。 后果:壁面附件的流体发生倒流并产生漩涡,导致流体能量的大量损失。 必要条件: 物面附件的流动区域中存在逆压梯度; 流体的粘性;重要 逆压梯度:e.gdp/dx > 0,压力沿流动方向递增,而流速递减。此区域称为逆压区。 发生场合:流体流经管件、阀门、管路突然扩大与突然缩小以及管路的进出口等局部地方;当流体绕过物体运动时,在什么情况下会出现”逆压力梯度”?存在压力梯度的条件下,是否一定会发生边界层分离,为什么?P93-94
87. 第二节 普兰德边界层方程一、平板层流边界层微分方程普兰德边界层方程:不可压缩流体的Navier-Stokes方程,利用量级分析进行简化。ux = O (1), x = O (1), y = O (δ) e.gO (1) 是 O (δ) 的103倍将 写成差分形式,即?
88. 量级?解:Rex愈大,边界层厚度δ越愈小!题:
89. 普兰德边界层方程求解(精确解) : 引入流函数ψ代替ux和uy 引入一无因次的位置变量η(x,y)代替位置x和y无因次流函数 f(η)orP82 表4-1:η、f、f’、f’’
90. 重要对于给定的位置(x,y) 解题思路:(无因次流函数f(η)及其导数表)查表 (P82)求出ux,uy找出对应的f 和 f’
91. 平板壁上层流边界层厚度: 局部壁面剪应力: 流体流过长度为L,宽度为b的平板壁面,总曳力:
92. 【例4-1】 25oC的空气在常压下以6 m/s 的速度流过一薄平板壁面。试求距平板前缘0.15 m处的边界层厚度 ,并计算该处y方向上距壁面1 mm处的 、 及 在 y方向上的速度梯度 值。已知空气的运动粘度为1. 55 密度为 。解:首先计算距平板前缘0.15 m处的雷诺数,确定流型<流动在层流边界层范围之内。(1) 计算边界层厚度
93. (2) 计算 y方向上距壁面 1 mm 处的 、 及已知 x =0.15 m , y =0.001 m , 由式(4-15)得查表4-1 ,当 时由式(4-25) 得 由式(4-26) 得 u0 = 6m/s x = 0.15 m y = 1 mm
94. 再由式 (4-19) 可得好小呀!
95. 二、平板层流边界层积分动量方程卡门:边界层进行微分动量衡算,用ux(y)近似代替真实速度ux(x,y) 平板层流边界层积分动量方程:若已知ux = ux(y),代入方程左侧积分,右侧微分,得到边界层厚度等 边界层内速度侧形的确定:
96. 1. 线性多项式两个边界条件:2. 二次多项式
97. 3. 三次多项式4. 四次多项式重要??
98. 平板层流边界层积分动量方程近似解平板层流边界层积分动量方程精确解
99. 【例 4-2】 常压下温度为20 的空气以5 的流速流过一块宽1 m的平板壁面。试计算距平板前缘0.5 m 处的边界层厚度的质量流率,并计算这一段平板壁面的曳力系数和承受的摩擦曳力。设临界雷诺数 。 解:由有关数据表中查处空气在1 和20 下的物性值为 计算 的雷诺数 故距平板前缘0.5 m处的边界层为层流边界层。 (1)求边界层厚度 由式(4-52)得
100. (2)求算进入边界层的质量流率ωx 在任意位置 x 处,进入边界层的质量流率ωx可根据下试求出 式中,b为平板的宽度;ux为距平板垂直距离y处空气的流速,层流边界层内的速度分布可采用式(4-46a)表示 将式(2)代入式(1)积分= 0.0214 kg/s
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