中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年 5 月测试理科数学试卷(一卷)


    第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年 5 月测试 理科数学试卷(一卷) 本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 = −  = = − + A x x B y y x x x A| log ( 2) 0 , | 4 5,2 2  ,则 =AB A. 3, ) B. 2, ) C. (2 , ) D. (3 , ) 2. 在复平面内,复数 − + i i 1 23的虚部为 A. 13 B. 2 13 C. − 13 D. − 2 13 3.已知单位向量 ab, 满足 + = −a b a b|2 | | 2 |,则 − + =b a ba3 )()( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框 图,若输入 ==ab16, 10,则程序中需要做减法的次数为 A.6 B.5 C.4 D.3 5.在( + + −x x x2 1) ( 1)2 2 5 的展开式中, x 4 的系数为 A. −6 B. 6 C. 10 D. 4 6.在三角形 ABC 中, abc,, 分别为角 ABC,, 的对边,且满足 + = +b c a bc5 62 2 2 ,则 =+BC 2sin( ) A. 2 2 B. 5 5 C. 5 2 D. 5 25 7.函数 −= − xfx e x 2 3 )( 的部分图像大致是 A B C D 8.已知函数 = − − + −−f x x x e exx 3 661 3)(,若     −+    +    aaff11 011 2 ,则 a 的取值范围为 A.( − −  +, 1] [2 , ) B.)( − 1,2 C.(-1,0 ) ( 0 ,1) D.(- +1,1) [2 , ) 9.已知等差数列 an  满足: = + =a a a1, 41 4 16 ,则  aa a =2 2 212 19 A. 2 38 B. 219 C. 216 D. 2 76 10.已知椭圆 + =  ab abxy1( 0)22 22 的离心率为 5 2 ,以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆与直线 =+yx21相切,则 =a A. 2 B. 5 C. 3 D. 1 11.设 fx()为定义于 −[ 1,1 ] 上的偶函数,当 x [ 0 ,1] 时, =−f x x( ) |1 2 | ,则方程 =f f x x 2( ( )) 2 的实数解 的个数为 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 12.已知当푥 ∈ [0,1]时,不等式 − − + x x x xcos (1 ) (1- ) sin 022恒成立,则 的取值范围为 A. +   +  kk12 12 5 ( k 为任意整数) B. +   +  kk66 5 ( k 为任意整数) C. +   +  kk12 12225 ( k 为任意整数) D. +   +  kk66225 ( k 为任意整数) (第 4 题图) 扫码回复“中学生”查看答案 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设数列  na 满足 22 1221 4,10,5,3 nnnaaaaan −−=== ,则 20192018 1l n l n 2aa−= . 14.设实数 ,xy满足 0 2 2 0 3 xy xy x −  + +    ,则 22xy+ 的最大值为 . 15.假设抛一枚质地均匀的色子,若抛出的点数为 1、2 或 3,我们称为“小”,否则,若抛出的点 数为 4、5 或 6,则称为“大”.独立重复地抛这枚色子两次,已知两次都为“大”,则第 1 次抛出 的点数为 6 的概率 . 16.已知定义于实数 R 上的奇函数 ()fx满足 ( ) 2fx − ,则不等式 2( 1 ) ( 3 2l n )f x x x−  − 3 (1 2 ) x+− 的解集为 . 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试 题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60 分. 17.(12 分)设 ABC△ 中,cos (cos 3sin )cos 0CAAB+ − = ,内角 ABC、、 对应的对边长分别为 a b c、、. (1)求角 B 的大小; (2)若 2248ac+=,求 ABC△ 面积 S 的最大值,并求出 S 取得最大值时 b 的值. 18.(12 分)如下为简化的计划生育模型:每个家庭允许生男孩最多一个,即某一胎若为男孩,则不 能再生下一胎,而女孩可以多个.为方便起见,此处约定每个家庭最多可生育 3 个小孩,即若第 一胎或前两胎为女孩,则继续生,但若第三胎还是女孩,则不能再生了.设每一胎生男生女等可 能,且各次生育相互独立.依据每个家庭最多生育一个男孩的政策以及我们对生育女孩的约定, 令푋为某一家庭所生的女孩数,푌为此家庭所生的男孩数. (1)求 ,XY的分布列, 并比较它们数学期望的大小; (2)求概率 ( ( ))PXDX ,其中 ()DX 为 X 的方差. 19.(12 分) 如图,已知四棱锥 P ABCD− 的底面 ABCD 为边长为 2 的菱形,PA ⊥平面 ABCD, 2PA = , 60ABC =∠ ,F 为棱 PC 上一点,且 : 1: 3PF FC = . (1)求证: BD AF⊥ ; (2)求二面角 A P D C−−的余弦值; (3)求三棱锥 F APD− 的体积 V. 20.(12 分)已知双曲线 22 22:1(0,0)xyCabab−= 的离心率 3e = ,其左焦点 1F 到此双曲线渐近线的距离为 22. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若过点 (2 ,0 )D 的直线 l 交双曲线 C 于 AB、 两点,且以 AB 为直径的圆 E 过原点 O,求圆 E 的 圆心到抛物线 2 4xy= 的准线的距离. 21.(12 分)设函数 3( ) | ln | , 0aef x x b xx= − +  ,其中 e 为欧拉数, ,ab为未知实数,且 0a  .如果 (0, )e 和 (,)e  均为函数 ()fx的单调区间. (1)求 a ; (2)若函数 ( ) ( ) 3h x f x cx=+在 (0, ) ( , )ee 上有极值点, c 为实数,求 c 的取值范围. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计 分.作答时请写清题号. 22.[选修 4-5:不等式选讲] (10 分) 设 ()fx为定义于 (0,1) 上的函数,满足: (1)对任意 (0,1)x  ,都有 ( ) 0fx ; (2)对任意 , (0,1)xy ,都有 ( ) (1 ) 2( ) (1 ) f x f x f y f y −+− .求证: ()fx在 (0,1) 上的导数恒为零. 23. [选修 2-2,推理与证明] (10 分) 设数列 na 为非负实数列,且满足 12 1 2 0, 1, 1,2, k k k k i i a a a a k++ = − +   =  . 求证: 1 2 20 , 1,2,kka a kk+ −  = . (第 19 题图) 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年 5 月测试 文科数学试卷(一卷) 本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 = −  P x x | 1 4  , =Q x x |2 ,则 RPQ()= A.[2 ,4) B. − +( 1 , ) C. +[2 , ) D. −( 1,2] 2.已知复数 z 满足 − =i iz 4 (其中 i 为虚数单位),则 z 的虚部为 A. i4 B. 4 C.1 D. −1 3.已知实数 xy, 满足约束条件    +   x xy y 2 2 2 ,则 +xy3 的最大值为 A.2 B.6 C.8 D.12 4.已知实数 ab, 满足 +=ab 5 , =ablog log23,则 =ab A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 5.已知向量 ab, 满足 a = 1 , ab−=2 且 ab⊥ ,则向量 a 与 ab− 的夹角为 A.  3 B.  3 C.  6 D.  6 6.已知函数 =f x x xln)(,则函数 fx)( 的单调递增区间为 A.R B. +0, )( C. + e ,1 D. +e, )( 7.数列 an  的前 n 项和 N= − S n n nn 232*)(,若 N+ = p q p q5, *)(,则 +=aapq A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 8.已知 Rxy,,“ +xy1 且 −xy1 ”是“ +xy| | | | 1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.已知实数 a 0 ,则函数 =+ af x ax sin 1)( 的图象一定不可能的是 A B C D 10.已知 Rxy,,则方程组  =+  − + − + + = yx x y x y 31 2 2 22222)()( 的解 xy,)( 的个数 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 11.已知 △ ABC 中,角 A B C,, 所对的边分别是 abc,, .若 +=ba Cab4cos ,且 −=AB 6cos( ) 1 ,则 =Ccos A. 3 2 B. 4 3 C. 3 2 或 − 4 3 D.不存在 12.已知 Rm n p,, ,若三次函数 = + + +f x x mx nx p() 32 有三个零点 abc,, ,且满足 − = ff2( 1) (1) 3 , =ff(0) (2) 2 ,则 ++abc 1 1 1 的取值范围是 A.   3,11 B.   43,11 C.   42,11 D.   32,11 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 F1 和 F2 是椭圆 +=yx 3 12 2 的两个焦点,则 FF||12 = . 14.将 1 名同学和 2 名老师随机地排成一排,则该名学生恰好在 2 名老师中间的概率为 . 15.定义在 R 上的偶函数 fx()满足 + = + −f x f x f x4( 8) ( ) ( )1 2 ,则 =f 2020)( . 16.已知△ ABC 中, =A 2 π , =AB 3 , =AC 4.如图,点 D 为斜边 BC 上一个动点,将△ ABD 沿 AD O ππ--1 1 1 -1 y x O ππ--1 1 1 -1 y x O ππ--1 1 1 -1 y x O ππ--1 1 1 -1 y x 扫码回复“中学生”查看答案 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 翻折,使得平面 A B D ⊥ 平面 ACD .当 BD = 时, BC 取到最小值. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每道试 题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分 17.( 12 分)如图,点 0P 是锐角  的终边与单位圆的交点, 0OP 逆时 针旋转 3  得 1OP , 1OP 逆时针旋转 3  得 2OP ,  , 1nOP − 逆时针旋转 3  得 nOP . (1)若 0P 的坐标为 34,55   ,求点 1P 的横坐标; (2)若点 2020P 的横坐标为 4 5 ,求 2sin2 3 + 的值. 18.( 12 分)某高中某班共有 40 个学生,将学生的身高分成 4 组: [150,160) ,[160,170) ,[170,180) ,[180,190] 进行统计,作成如图 所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中 a 的值和身高在[160,170) 内的人数; (2)求这 40 个学生平均身高的估计值(同一组中的数据用该组 区间的中点值为代表)(精确到 0.01). 19.( 12 分)如图,四棱锥 P ABCD− 中, PAB△ 是边长为 2 的等 边三角形.梯形 ABCD 满足: 1BC CD==,//ABCD, AB BC⊥ . (1)求证: PDAB⊥ ; (2)若 2PD = ,求点 D 到平面 PBC 的距离. 20.( 12 分)如图,已知抛物线 2:4C x y = ,过直线 1y = 上一 点 M 作直线 l 交抛物线 C 于 ,AB两点,且点 M 为 AB 中 点.作直线 M N A B⊥ 交 y 轴于点 N. (1)求点 N 的坐标; (2)求△ N A B 面积的最大值. 21.( 12 分)已知函数 ()(1)lnfxxx =+ . (1)求 ()y f x= 在 1x = 处的切线方程; (2)已知实数 2k  时,求证:函数 ()yfx= 的图象与直线 ():1lykx=−有 3 个交点. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计 分.作答时请写清题号. 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲](10 分) 在极坐标系中,已知曲线 2 2 2: 1sinC  = + ,过点 ()1,0F − 引倾斜角为  的直线 l ,交曲线 C 于 ,PQ 两点. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 分别交直线 2x = 于 ,AB两点,且 PQAFBFAB−、、 成等比数列,求 cos 的值. 23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 已知实数 ,ab满足: 22ab+=. (1)求证: 2 82 1 ca b b c+ + +  + ; (2)若对任意的 ,ab +R, 1211ccba++−+ 恒成立,求 c 的取值范围. (第 16 题图) DDCC A A B' BB x y O N A B M (第 20 题图) (第 18 题图) a 0.03 0.0125 频率/组距 身高(cm)190180170160150 (第 19 题图) (第 17 题图)

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