学目标 1掌握球表面积体积公式2解决球关组合体计算问题
知识点 球表面积体积公式
1球表面积公式 S＝4πR2(R 球半径)
2球体积公式 V＝4
3πR3
1球表面积等圆面积 2 倍( × )
2两球半径 1∶2体积 1∶4( × )
3球心截面圆圆心连线垂直截面( √ )
4球体积关球半径函数( √ )
题型 球体积表面积
例 1 (1)已知球表面积 64π求体积
(2)已知球体积500
3 π求表面积
解 (1)设球半径 R 4πR2＝64π解 R＝4 球体积 V＝4
3πR3＝4
3π·43＝256
3 π
(2)设球半径 R4
3πR3＝500
3 π解 R＝5 球表面积 S＝4πR2＝4π×52＝100π
反思感悟 (1)公式计算球表面积体积关键半径球心确定球条件
(2)两结：①两球表面积等两球半径方②两球体积等两球半径
立方
踪训练 1 (1)两球体积 8∶27两球表面积( )
A2∶3 B4∶9 C 2∶ 3 D 8∶ 27
答案 (1)B 解析 (1)两球体积 8∶27
半径 2∶3
表面积 4∶9
（2）球体积表面积数值相等球半径等( )
A3 B2 C1 D1
2
答案 A 解析 设球半径 R 4πR2＝4
3πR3 R＝3
（3）球表面积 16π体积( )
A64π B64π
3 C32π D32π
3
答案 D
解析 设球半径 R题意知 4πR2＝16π R＝2球半径 2体积 V＝4
3πR3＝32
3 π（4）盛满水圆柱形容器壁底面半径 5高 2现半径 3 玻璃球缓慢浸没水中
(1)求圆柱体积 (2)求溢出水体积
解 (1)∵壁底面半径 5高 2∴圆柱体积 V＝π×52×2＝50π
(2)溢出水体积4
3
×π×33＝36π
题型二 球截面问题
例 2 球相距 9 cm 两行截面面积分 49π cm2 400π cm2求球表面积．
解 截面球心侧时图①示球轴截面球截面性质知 AO1∥BO2 O1O2 两截面圆圆
心 OO1⊥AO1OO2⊥BO2
设球半径 R∵π·O2B2＝49π∴O2B＝7 cm
理 O1A＝20 cm
设 OO1＝x cm OO2＝(x＋9)cm
Rt△O1OA 中R2＝x2＋202①
Rt△OO2B 中R2＝72＋(x＋9)2②
联立①② x＝15R＝25
∴S 球＝4πR2＝2 500π(cm2)
球表面积 2 500π cm2
截面球心两侧时图②示球轴截面球截面性质知O1A∥O2B O1O2 分两截面圆
圆心 OO1⊥O1AOO2⊥O2B
设球半径 R
∵π·O2B2＝49π∴O2B＝7 cm
∵π·O1A2＝400π∴O1A＝20 cm
设 O1O＝x cm OO2＝(9－x)cm
Rt△OO1A 中R2＝x2＋400
Rt△OO2B 中R2＝(9－x)2＋49
∴x2＋400＝(9－x)2＋49解 x＝－15合题意舍．
综述球表面积 2 500π cm2
反思感悟 (1)关球截面问题常画出球心截面圆问题转化面中圆问题
(2)解题时注意助球半径 R截面圆半径 r球心截面距离 d 构成直角三角形 R2＝d2＋r2
踪训练 2 (1)图水放置透明盖正方体容器容器高 8 cm球放容器口容器
注水球面恰接触水面时测水深 6 cm计容器厚度球体积( )
A500π
3 cm3B866π
3 cm3
C1 372π
3 cm3
D2 048π
3 cm3
答案 A
解析 图作出球截面 MC＝8－6＝2(cm)BM＝1
2AB＝1
2
×8＝4(cm)
设球半径 R cm R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42
∴R＝5
∴V 球＝4
3π×53＝500
3 π(cm3)
(2)面截球直径 2 5 cm 圆面球心面距离 2 cm该球体积( )
A12π cm3 B36π cm3
C64 6π cm3 D108π cm3
答案 B
解析 设球心 O截面圆心 O1连接 OO1
OO1 垂直截面圆 O1图示
Rt△OO1A 中
O1A＝ 5 cmOO1＝2 cm
∴球半径 R＝OA＝ 22＋ 52＝3(cm)
∴球体积 V＝4
3
×π×33＝36π(cm3)
核心素养直观想象 球关切接问题
例 3－1 半球接正方体试求半球体积正方体体积．
解 作正方体角面截面图示设半球半径 R正方体棱长 a
CC′＝aOC＝ 2a
2 Rt△C′CO 中勾股定理 CC′2＋OC2＝OC′2
a2＋
2a
2
2
＝R2∴R＝ 6
2 a
V 半球＝2
3πR3＝2
3π
6
2 a 3
＝ 6
2 πa3V 正方体＝a3
V 半球∶V 正方体＝ 6
2 πa3∶a3＝ 6π∶2
方 3 切球问题
例 3－2 三球第球切正方体第二球正方体条棱相切第三球正方体
顶点求三球表面积．
解 设正方体棱长 a三球半径分 r1r2r3球表面积分 S1S2S3作出截面图分求出
三球半径．
正方体切球球心正方体中心切点六面中心四切点球心作截面图①示 2r1＝a
∴r1＝a
2
∴S1＝4πr21＝πa2
球正方体棱切点条棱中点球心作正方体角面截面图②示 2r2＝ 2a∴r2＝ 2
2 a
∴S2＝4πr22＝2πa2
正方体顶点球面球心作正方体角面截面图③示 2r3＝ 3a∴r3＝ 3
2 a∴S3＝4πr23
＝3πa2
综S1∶S2∶S3＝1∶2∶3
踪训练 3 (1)棱长 2 正方体木块削成体积球该球体积( )
A4π
3 B 2π
3 C 3π
2 Dπ
6
答案 A
解析 题意知球正方体切球根特征知球直径正方体棱长相等球
直径 2半径 1体积4
3
×π×13＝4π
3
(2)长方体顶点三侧面面积分 3515外接球表面积________
答案 9π
解析 设长方体顶点三条棱长分 abc
ab＝ 3
bc＝ 5
ac＝ 15
解
a＝ 3
b＝1
c＝ 5
∴外接球半径 a2＋b2＋c2
2
＝3
2
∴外接球表面积 4π×
3
2 2＝9π
[素养评析] (1)正方体切球
球正方体六面相切称球正方体切球时球半径 r1＝a
2
面四切点作截面
图①
(2)球正方体条棱相切
球正方体条棱相切棱中点球心作正方体角面 r2＝ 2
2 a图②
(3)长方体外接球
长方体八顶点球面称球长方体外接球根球定义知长方体体角线球直径长
方体顶点三条棱长 abc球心作长方体角面球半径 r3＝1
2 a2＋b2＋c2图③
(4)助直观空间想象认识事物位置关系分析数学问题充分体现直观想象数学核心素养
课堂练
1 两球表面积差 48π圆周长 12π两球半径差( )
A1 B2 C3 D4
答案 B
解析 设两球半径分 R1R2 R1>R2 4π(R21－R22)＝48π2π(R1＋R2)＝12π R1－R2＝2
2 两半径 1 铁球熔化成球球半径________
答案 (2)3 2
设球半径 R题意 4
3πR3＝2×4
3π×13 R＝3 2
3已知棱长 2 正方体体积球 O 体积相等球 O 半径________
答案 3 6
π
解析 设球 O 半径 r4
3πr3＝23 解 r＝3 6
π4．球半径 R 增加 2R球体积变原________倍表面积变原________倍．
解析 球半径 R 时球体积 V1＝4
3πR3表面积 S1＝4πR2半径增加 2R 球体积 V2＝4
3π(2R)3
＝32
3 πR3表面积 S2＝4π(2R)2＝16πR2
V2
V1
＝
32
3 πR3
4
3πR3
＝8S2
S1
＝16πR2
4πR2
＝4
体积变原 8 倍表面积变原 4 倍．
答案 8 4
1球体积表面积公式
设球半径 R
(1)体积公式：V＝4
3πR3
(2)表面积公式：S＝4πR2
2面截球截面特征
(1)面截球截面圆面
(2)球心截面圆心连线垂直截面
(3)球心截面距离 d 球半径 R 截面半径 r面关系 r＝ R2－d2
3常见体球切接问题解决策略：
解决类问题实质根体相关数求球直径半径关键根切点接点作出轴截面
图空间问题转化面问题计算
4 月 27 日 限时训练
1正方体表面积球表面积相等体积( )
A 6π
6 B π
2 C 2π
2 D3 π
2π
答案 A
解析 设正方体棱长 a球半径 R 6a2＝4πR2a
R
＝ 2π
3
设正方体球体积分 V1V2V1
V2
＝ a3
4
3πR3
＝ 3
4π
2π
3 3＝ 6π
6
2两球体积 12π两球球心截面圆周长 6π两球半径差( )
A1 B2 C3 D4
答案 A
解析 设两球半径分 Rr(R>r)题意
4
3πR3＋4
3πr3＝12π
2πR＋2πr＝6π
解 R＝2
r＝1
∴R－r＝13．球外切正方体全面积等 6 cm2球体积( )
A4
3π cm3 B 6
8 π cm3
C1
6π cm3 D 6
6 π cm3
解析 设正方体棱长 a 6a2＝6a＝1球半径 r＝a
2
＝1
2
球体体积 V＝4
3πr3＝4
3π×1
8
＝1
6π cm3
答案 C
4正方体切球外接球体积( )
A1∶ 3 B1∶3 C1∶3 3 D1∶9
答案 C
解析 设正方体棱长 a切球半径a
2
∴V ＝4
3π
a
2 3＝πa3
6
正方体外接球半径 3
2 a∴V 外＝4
3π
3
2 a 3＝3 3πa3
6
∴V ∶V 外＝1∶3 3
5图示古希腊数学家阿基米德墓碑文墓碑刻着圆柱圆柱切球球直径恰
圆柱高相等相传图形表达阿基米德引豪发现圆柱体积球体积圆柱表面积
球表面积分( )
A3
2
3
2 B4
3
1 C3
2
1 D4
3
4
3
答案 A
解析 设球半径 R圆柱底面半径 R高 2R
∴V 圆柱＝πR2×2R＝2πR3V 球＝4
3πR3V 圆柱
V 球
＝2πR3
4
3πR3
＝3
2
S 圆柱
S 圆
＝6πR2
4πR2
＝3
2
6面截球直径 6 cm 圆面球心圆面距离 4 cm该球体积( )
A100π
3 cm3 B208π
3 cm3
C500π
3 cm3 D416 3π
3 cm3
答案 C
解析 图根题意OO1＝4 cmO1A＝3 cm
∴OA＝R＝ OO21＋O1A2＝5(cm)
球体积 V＝4
3πR3＝500π
3 (cm3)选 C
7球条半径中点作垂直该半径面截面面积球表面积( )
A 3
16 B 9
16 C3
8 D 9
32
答案 A
解析 设球半径 R截面圆 M圆 M 半径 r画图知(图略)R2＝1
4R2＋r2∴3
4R2＝r2
∴S 球＝4πR2截面圆 M 面积πr2＝3
4πR2
截面面积球表面积
3
4πR2
4πR2
＝ 3
16选 A
8．已知 1 2 5a b a b 1 9
1 2a b
值 ( )
A 4 B 8 C 9 D 6
答案B
9．正方体等边圆柱球体积相等表面积分 S 正S 柱S 球面关系中成立( )
A．S 球>S 柱>S 正 B．S 正>S 球>S 柱
C．S 正>S 柱>S 球 D．S 柱>S 正>S 球
解析 正方体棱长 a体积 V＝a3S 正＝6a2＝63 V2
等边圆柱(轴截面正方形)高 2h体积 V＝π·h2·2h＝2πh3S 柱＝6πh2＝33 2πV2
球半径 R体积 V＝4
3πR3S 球＝4πR2＝3 36πV2
∴S 正>S 柱>S 球．选 C
答案 C
10（1）列说法中错误________(填序号)
①圆柱轴截面母线截面中面积 ②球截面中球心截面面积③圆台行底面截面圆面 ④圆锥轴截面全等等腰直角三角形
答案 ④
（2）图圆柱圆锥底面直径高球直径相等时圆柱圆锥球体积
________
答案 3∶1∶2
解析 设球半径 R
V 柱＝πR2·2R＝2πR3
V 锥＝1
3πR2·2R＝2
3πR3
V 球＝4
3πR3
V 柱∶V 锥∶V 球＝2πR3∶2
3πR3∶4
3πR3＝3∶1∶2
（3）球心距离 2 面截球截面面积π球体积
解析 面截球截面面积π圆半径 1已知球心该截面距离 2球半径 r
＝ 12＋22＝ 5球体积：4
3π( 5)3＝20 5π
3
（4）图圆柱形容器盛高度 6 cm 水放入 3 相铁球(球半径圆柱底面半径相)水
恰淹没面球球半径 cm
答案 B
解析 题意设球半径 r题意三球体积水体积等圆柱体体积
∴3×4
3πr3＝πr2(6r－6)
解 r＝3选 B
12某组合体直观图图示中间圆柱形左右两端均半球形图中 r＝1l＝3试求该组合体表
面积体积
解 该组合体表面积 S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π该组合体体积 V＝4
3πr3＋πr2l＝4
3π×13＋π×12×3＝13π
3
13 图示圆锥形空杯子面放着半球形冰淇淋果冰淇淋融化会溢出杯子？请
计算数说明理
考点 柱体锥体台体表面积体积
题点 求体积表面积问题
解 题图知半球半径 4 cm
V 半球＝1
2
×4
3πR3＝1
2
×4
3π×43＝128
3 π(cm3)
V 圆锥＝1
3πR2h＝1
3π×42×12＝64π(cm3)
V 半球
解 题意知求体表面积三部分组成：
圆台底面侧面半球面
S 半球＝8π cm2S 圆台侧＝35π cm2S 圆台底＝25π cm2
求体表面积 68π cm2
V 圆台＝1
3
×[π×22＋ π×22×π×52＋π×52]×4＝52π(cm3)V 半球＝4
3π×23×1
2
＝16
3 π(cm3)
求体体积
V 圆台－V 半球＝52π－16
3 π＝140
3 π(cm3)
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