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高三（）期末试卷
数学（理科）
题号 二 三 总分
分

选择题（题 12 题 600 分）
1 已知全集 UR集合 A{x|x（x2）≤0}B{10123}（∁ UA）∩B（ ）
A {1} B {13} C {123} D {1023}
2 复数 z 满足 复数 z 轭复数虚部（ ）
A B C D
3 鸡兔笼中国古代著名趣味题．孙子算
中样记载：鸡兔笼三十五头
九十四足问鸡兔？设计图算法解决
问题判断框中应填（ ）
A m＞94？
B m94？
C m35？
D m≤35？



4 函数 f（x）x2+e|x|图象（ ）
A B
C D
5 xy 满足 x+1≤y≤x y2x 值（ ）
A 2 B 2 C 1 D 1
6 设 alog43blog86c201（ ）
A a＞b＞c B b＞a＞c C c＞a＞b D c＞b＞a
7 函数 正周期 3π图象左移 单位长
度函数条称轴（ ） 第 2 页 17 页
A B C D
8 已知三棱锥 PABC 四顶点球 O 表面侧棱 PAPBPC 两两垂直
PAPBPC2 P 球心 1 半径球三棱锥 PABC 公部分体积
V1球 O 体积 V2 值（ ）
A B C D
9 年 4 月总书记专程前重庆石柱考察精准脱贫工作进步
解决两愁三保障突出问题安排包括甲乙 5 名专家石柱
县 3 乡镇进行调研求乡镇少安排名专家甲乙两名专
家安排乡镇概率
A B C D
10 已知双曲线 C： 1（a＞0b＞0）左右焦点分 F1F2原点直线
双曲线 C 交 AB 两点∠AF2B60°△ABF2 面积 双曲线
渐线方程（ ）
A y B y±2x C y D y
11 △ABC 中角 ABC 边分 abc已知 点 O 满足
2asinCcosBasinAbsinB+ △ABC 面积（ ）
A B C D
12 已知函数 f（x） x2+ +a（x＜0）g（x）lnx（x＞0）中 a∈R． f（x）
图象点 A（x1f（x1））处切线 g（x）图象点 B（x2g（x2））处
切线重合 a 取值范围（ ）
A （1+ln2+∞） B （1ln2+∞）
C D （ln2ln3+∞）
二填空题（题 4 题 200 分）
13 中国古代数学专家（九章算术）中样题：男子善走日增等里九日走
1260 里第日第四日第七日走 390 里该男子第三日走里数
______．
14 （1+x）•（1+2x）5 展开式中x4 系数______ （数字作答）
15 tanα3 值______．
16 抛物线光学性质：焦点射出光线抛物线
反射行抛物线称轴方射出抛物
线 y22px（p＞0）图行 x 轴光线射抛物
线点 P抛物线焦点 F 反射射抛物线
点 Q反射行 x 轴方射出两行光
线间距离 6抛物线方程______．
三解答题（题 7 题 840 分） 第 3 页 17 页
17 已知{an}首项 1 等数列项均正数 a2+a312．
（1）求数列{an}通项公式
（Ⅱ）设 bn 求数列{bn}前 n 项 Sn．







18 图示四棱锥 PABCD中面 PAD⊥面 ABCD
AD∥BCABBCPA1AD2
∠PAD∠DAB∠ABC90°点 E 棱 PC CEλCP
（0＜λ＜1）．
（1）求证：CD⊥AE．
（2）否存实数 λ二面角 CAED 余弦值 ？存求出实数 λ
值存请说明理．







19 庆祝 98 岁生日某高校组织歌颂祖国紧走题史知识
竞赛．参加竞赛学生中机抽取 40 名学生成绩分六段[7075）
[7580）[8085）[8590）[9095）[95100]图示频率
分布直方图．
（1）求图中 a 值样中位数众数
（2）竞赛成绩[7075） [95100]两分数段学生中机选取两名学生
设两名学生竞赛成绩差绝值 5 分事件 M求事件 M 发生概
率．
（3）激励学学热情现评出二三等奖分[95100]
等奖分[9095）二等奖分[8590）三等奖．频率
视概率现考生中机抽取三名设 ξ 获三等奖数求 ξ 分布列
数学期． 第 4 页 17 页









20 已知椭圆 C： + 1（a＞b＞0）点 A（20）离心率 O 坐标原点．
（1）求椭圆 C 标准方程
（2）设 PQR 椭圆 C 三点OQ PR 交点 M 3 PR
中点恰点 M 时判断△OPR 面积否常数说明理．







21 已知函数 f（x）xex1a（x+lnx）a∈R．
（1） f（x）存极值求实数 a 取值范围
（2）设 x0 f（x）极值点 f（x0）≥0证明：f（x0）≥2（x0
2x0
3）．







22 面直角坐标系 xOy 中曲线 C1 参数方程 （α 参数）直
线 C2 普通方程 y ．坐标原点 O 极点x 轴正半轴极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 C1 直线 C2 极坐标方程
（2）直线 C2 曲线 C1 交 AB 两点求 ． 第 5 页 17 页







23 已知 证明：
（1）
（2）






第 6 页 17 页
答案解析
1答案B

解析解：A[02]
∁ UA（∞0）∪（2+∞）
（∁ UA）∩B{13}．
选：B．
求出 A求补集交集．
题考查集合交补运算属基础题．
2答案A

解析解：∵
∴
∴ 虚部 ．
选：A．
已知等式变形复数代数形式运算化简然利轭复数概念答案．
题考查复数代数形式运算考查复数基概念基础题．
3答案B

解析解：题意知：i 鸡数量j 兔数量m 足数量
根题意程序框图中计算足数量 94 时算法结束．
判断框中应填入m94．
选：B．
Bi 鸡数量j 兔数量m 足数量根题意判断条件．
题考查算法程序框图中判断条件填写考查分析问题解决问题力属
基础题目．
4答案C

解析解：意 x∈Rf（x）x2+e|x|＞0 恒成立排 AB
f（0）02+e|0|1排 D
选：C．
f（x）＞0 恒成立排 AB f（0）1排 D正确选项．
题考查函数解析式确定函数图象考查读图识图力解决类题般方法
单调性奇偶性特殊点等角度运排法求解属基础题．
5答案A
第 7 页 17 页
解析解：作出实数 xy 满足等式组应面区域图（阴影部分）：

令 z2x+y y2x+z图知直线 y2x 点 A（22）时z
2x+y 取值4+22
选：A．
作出 xy 满足行域利 z 意义解答．
题考查线性规划应利 z 意义利结合数形结合解决题关
键．属基础题．
6答案D

解析解：指数函数 y2x R 单调递增 201＞20 c＞1
数函数 ylog4xylog8x （0+∞）单调递增：log41＜log43＜log44log81
＜log86＜log88 0＜a＜10＜b＜1
∴c
∵alog43 log23log2 blog863log26log2
∴a＜b
∴c＞b＞a
选：D．
先利指数函数数函数单调性出c＞10＜a＜10＜b＜1需较 a b
a b 化底数数利数函数单调性较出 a b
关系．
题考查数值较基础题．
7答案D

解析解：函数 正周期 3π
：
解：ω
：
图象左移 单位长度函数 第 8 页 17 页
g（x）4sin（）4sin（）
令： （k∈Z）
解：x （k∈Z）
k1 时
解：x
选：D．
直接利函数周期求出函数关系式进步利整体思想应求出结果．
题考查知识点：三角函数关系式恒等变换正弦型函数性质应考察
学生运算力转换力属基础题型．
8答案B

解析解：根题意球 O 半径
V2 4 π
V1 × ×1 3

选：B．
根条件知球 O 直径三棱锥 PABC 长方体体角线进求出球 O 体
积 V2半径 1 球三棱锥 PABC 公部分体积该球体积八分进
求出 V1．
题考查立体球体积计算公式考查外接球体积公式等知识考查空间想象力
考查计算力属中档题．
9答案A

解析解：题意5 名专家安排方式分三乡镇专家数分 31
1 221 两类
安排方法 + 150 种
甲乙两名专家安排乡镇方法 + 36 种
甲乙两名专家安排乡镇方法 15036114 种
甲乙两名专家安排乡镇概率 P ．
选：A．
计算出安排方法甲乙安排乡镇方法甲乙两名专家安
排乡镇概率．
题考查分步分类计数原理应注意优先分析受限制元素属基础题．
10答案D
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解析分析
题考查双曲线定义性质渐线方程求
法余弦定理简单应属中档题．
连接 AF1BF1四边形 AF2BF1 行四边形
根双曲线定义△ABF2 面积求|BF1||BF2|
△BF1F2 中应余弦定理求 ac 关
系进利双曲线中 abc 关系求渐
线方程．
解答
解：根题意连接 AF1BF1四边形 AF2BF1 行四边形
设|AF2|x|BF1|x|BF2|x+2a
∵△ABF2 面积 a2∠AF2B60°
∴ a2 x（x+2a）•化简 x2+2ax4a20
解 x（1）a x（1）a（舍）
|BF2|（ +1）a
△BF1F2 中|F2F1|2c余弦定理：4c2（1）2a2+（ +1）2a22（ +1）
（1）a2•（）
化简 c24a2双曲线中 c2a2+b2
b23a2 ±
渐线方程 y± x．
选：D．
11答案D

解析解：
．
b4．

点 O △ABC 重心
3
3
两边方 6| | |cos∠CAO+

6| | |× +
9| |40
| | △AOC 面积 ． 第 10 页 17 页
△ABC 面积△AOC 面积 3 倍．△ABC 面积 ．
选：D．
已知结合余弦定理求 b然结合重心性质量数量积性质求 AO然
根三角形面积公式求．
题考查余弦定理三角形重心性质量数量积性质三角形面积公式
应属中档试题．
12答案A

解析分析
题考查利导数研究曲线某点处切线方程考查数学转化思想方法训练利
导数求值较难题．
题意知x1＜0＜x2分求出函数 f（x）点 A 处切线方程 g（x）点 B 处
切线方程整理斜率相等y轴截距相等alnx2+（）21ln +（）
21令 t t＞0 at2tlnt 然利导数求 h（t）t2tlnt 值
答案求．
解答
解：题意知x1＜0＜x2
x1＜0 时函数 f（x）点 A（x1f（x1））处切线方程 y（ x1
2+ x1+a）（ x1+
）（xx1）
x2＞0 时函数 g（x）点 B（x2g（x2））处切线方程 ylnx2 （xx2）．
两直线重合充条件 x1+ ①lnx21 x1
2+a②
alnx2+（）21ln +（）21
令 t ① x1＜0＜x2 知 0＜t＜ at2tlnt
设 h（t）t2tlnt （0＜t＜ ）
h′（t）2t1
t∈（0）时h′（t）＜0h（t）（0）减函数
h（t）＞h（）ln21 t→0 时h（t）→+∞．
∴a＞ln21
a 取值范围（ln21+∞）．
选：A．
13答案120

解析解：题意天走路程等差数列
第 11 页 17 页

解
a3a1+2d120．
答案：120．
题意天走路程等差数列结合已知条件等差数列通项公式求公
式求首项公差求解．
题考查等差数列应根等差数列建立条件关系求出公差解决题关键．
14答案160

解析解：（1+x）•（1+2x）5 展开式中：
第式取 1 时式取含 x4 项
24 •x480x4
第式取 x 时式取含 x3 项
23 •x380x3
展开式中 x4 系数：80+80160．
答案：160．
根（1+x）•（1+2x）5 展开式中含 x4 项第式取 1 x 时式
应取 x4 x3 项求出系数．
题考查二项式定理应问题基础题目．
15答案

解析解： tanα3

．
答案：
直接利三角函数关系式变换倍角公式应求出结果．
题考查知识点：三角函数关系式恒等变换倍角公式应考查学生
运算力转换力思维力属基础题型．
16答案y26x

解析解：抛物线光学性质：PQ 必抛物线焦点 F（0）
直线 PQ 斜率存时易|PQ|2p
直线 PQ 斜率存时设 PQ 方程 yk（x）P（x1y1）Q（x2y2）
：k2（x2px+ ）2px整理 4k2x2（4k2p+8p）x+k2p20 第 12 页 17 页
x1+x2 x1x2
|PQ|x1+x2+p ＞2p
综直线 PQ x 轴垂直时弦长短
两行光线间距离 6 2p6
∴抛物线方程 y26x．
答案：y26x．
先题意 PQ 必抛物线焦点设出直线 PQ 方程联立直线 PQ 抛物线方
程表示出弦长出 PQ 值进求出 p 值出抛物线方程．
题考查直线抛物线位置关系通常需联立直线抛物线方程结合韦达定理
弦长公式等求解属常考题型．
17答案解：（Ⅰ）设{an}公 q（q＞0）
a2+a312 q+q212
解 q3 q4（舍）
an3n1
（Ⅱ）bn
（）
前 n 项 Sn （1 + + +
…+ + ）
（1+ ）
．

解析题考查等数列通项公式运考查数列裂项相消求方程思想
运算力属基础题．
（Ⅰ）设{an}公 q（q＞0）等数列通项公式解方程公
求通项公式
（Ⅱ）求 bn （）运数列裂项相消求化简
求．
18答案解：（1）证明：点 C 作 CF∥AB 交 AD 点 F
∵ABBC1AD2∠DAB∠ABC90°
∴四边形 ABCF 正方形 AFFD1AC ．
Rt△CFD 中CD △ACD 中CD2+AC24AD2∴CD⊥AC．
∵∠PAD90°∴PA⊥AD
面 PAD⊥面 ABCD面 PAD∩面 ABCDADPA⊂面 PAD
∴PA⊥面 ABCD∴PA⊥CD．
∵PAAC⊂面 PAC PA∩ACA∴CD⊥面 PAC
AE⊂面 PAC∴CD⊥AE．
（2）题知PAABAD 两两垂直
点 A 坐标原点ABADAP 直线分 xyz 轴建立空间直角坐标系
图示 第 13 页 17 页
A（000）P（001）C（110）D（020）∴ （110）
（020）．
假设存实数 λ（0＜λ＜1）二面角 CAED 余弦值
设 E（xyz）∵ λ ∴（x1y1z）λ（111）
∴E（1λ1λλ） （1λ1λλ）．
∵CD⊥面 PAC∴面 AEC 法量 （110）．
设面 AED 法量 （abc）

令 c1 a b0∴ （λ01λ）
∵ ≠0∴取 （λ01λ）
∴ 化简 3λ28λ+40
∵λ∈（01）∴λ (λ2 舍）
∴存实数 λ 二面角 CAED 余弦值 ．


解析（1） 点 C 作 CF∥AB 交 AD 点 F推导出四边形 ABCF 正方形CD⊥AC
PA⊥AD PA⊥面 ABCDPA⊥CD．进 CD⊥面 PAC证明 CD⊥AE．
（2）点 A 坐标原点ABADAP 直线分 xyz 轴建立空间直角坐标
系利量法求出存实数 λ 二面角 CAED 余弦值 ．
题考查线线垂直证明考查满足二面角实数值求法考查空间中线线线面
面面间位置关系等基础知识考查运算求解力中档题．
19答案解：（1）题意5×（001+002+004+005+a+002）1解 a006
样众数 875 第 14 页 17 页
设样中位数 b∵5×（001+002+004）035＜05
5×（001+002+004+006）065＞0
∴85＜b＜90
令 5×（001+002+004）+（b85）×00605解 b875
∴样中位数 875．
（2）成绩[7075）数 40×001×52成绩[95100]数 40×002×54
6 中机抽取 2 抽取 2 分数段概率 1 ．
∴事件 M 发生概率 ．
（3）考生中抽取 1 生获三等奖概率 006×503
ξ 服二项分布 B（303）
P（ξ0）0730343P（ξ1） •03•0720441P（ξ2） •032•070189
P（ξ3）0330027．
ξ 分布列：
ξ 0 1 2 3
P 0343 0441 0189 0027
E（ξ）3×0309．

解析（1）根矩形面积等 1 列方程求出 a根中位数定义估计中位数
范围列方程计算中位数高矩形组中值众数
（2）计算两组数计算抽取两组概率
（3）根二项分布概率公式求出分布列数学期．
题考查频率分布直方图离散型机变量分布列属中档题．
20答案解：（1）已知易 ∴b2a2c22
椭圆 C 标准方程： ．
（2）①点 Q 椭圆右顶点（左顶点样） Q（20）∵ M 线
段 OQ ∴ 时 PR⊥x 轴求
∴△OPR 面积等 ．
②点 Q 椭圆左右顶点设直线 PR 方程：ykx+m（m≠0）P（x1y1）
R（x2y2）
（2k2+1）x2+4kmx+2m240

∴PR 中点 M 坐标
∴点 Q 坐标 第 15 页 17 页
代入椭圆方程化简 ．∴
．
∵点 O 直线 PR 距离
∴△OPR 面积 ．
综知△OPR 面积常数 ．

解析（1）直接离心率 a 值 abc 间关系求出椭圆标准方程
（2） Q 否椭圆顶点讨量间关系 M PR 中点 Q 坐标
代入椭圆参数关系求出弦长 PR O 弦距离求面积定值．
考查直线椭圆综合应中难题．
21答案解：（1）∵函数 f（x）xex1a（x+lnx）a∈R．
∴ ．
令 g（x）xex1a
g′（x）（x+1）ex1＞0
∴g（x）（0+∞）增函数．
∵ x→0 时g（x）→a x→+∞时g（x）→+∞．
∴ a≤0 时g（x）＞0f′（x）＞0函数 f（x）区间（0+∞）增函数
存极值点
a＞0 时g（x）值域（a+∞）必存 x0＞0 g（x0）0．
∴ x∈（0x0）时g（x）＜0f′（x）＜0f（x）单调递减
x∈（x0+∞）时g（x）＞0f′（x）＞0f（x）单调递增
∴f（x）存极值点．
综知实数 a 取值范围（0+∞）．
证明：（2）（1）知 a0 a ．
∴lnalnx0+x01
f（x0） （1x0lnx0）．
f（x0）≥0 1x0lnx0≥0．
令 g（x）1xlnx题意 g（x）区间（0+∞）单调递减．
g（1）0∴ f（x0）≥0 0＜x0≤1
令 H（x）xlnx1（x＞0） H′（x）1
x＞1 时H′（x）＞0函数 H（x）单调递增
0＜x＜1 时H′（x）＜0函数 H（x）单调递减
∴ x1 时函数 H（x）取值 H（1）0
∴H（x）xlnx1≥0 x1≥lnx ex1≥x
∴ 1x0lnx0≥1x0（x01）2（1x0）≥0
∴f（x0） （1x0lnx0）≥ •2（1x0）2（） 第 16 页 17 页
∴f（x0）≥2（x0
2x0
3）．

解析（1）先求导函数根定义域（0+∞）构造函数 g（x）xex1a
通求导分类讨求 a 取值范围．
（2）（1）令 a0通分离参数 a 时求数根函数 f（x0）
≥0 1x0lnx0≥0．构造函数 g（x）1xlnx H（x）xlnx1导数判断 H
（x）单调情况进求 H（x）值结合 f（x0） （1x0lnx0）
证明等式成立．
题考查导数研究函数单调性极值值中综合应利导数证明等式成
立变换程复杂需强逻辑推理力高考常考点难点属难题．
22答案解：（1）曲线 C1 参数方程 （α 参数）
曲线 C1 普通方程（x3）2+（y3）24
曲线 C1 极坐标方程（ρcosθ3）2+（ρsinθ3）24
ρ26ρcosθ6ρsinθ+140．
∵直线 C2 原点倾斜角
∴直线 C2 极坐标方程 （ρ∈R）
（2）设点 AB 应极径分 ρ1ρ2


∴ ρ1ρ214
ρ1＞0ρ2＞0
∴ ．

解析（1）先曲线 C1 参数方程化普通方程化极坐标方程根直线
原点 C2 极坐标方程
（2）联立直线极坐标方程曲线 C1 极坐标方程根极径关系代入求
值．
题考查参数方程普通方程极坐标方程转化利极坐标求线段属中档
题．
23答案解：（1）：（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a×1+b×1+c×1 ）29
a2+b2+c2≥3仅 abc1 时等号成立．
（2）：（ + + ）（a+b+c）≥（ + + ）29
+ + ≥3
仅 abc1 时等号成立．

解析（1）柯西等式直接证明等式成立．
（2）柯西等式直接证明等式成． 第 17 页 17 页
题考查等式证明柯西等式应属中档题．


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